ممکن است $\int_s{\vec E} \cdot d\vec{s}=0$ دلالت بر $\vec E = 0$ نداشته باشد
ارسال شده: پنجشنبه ۱۴۰۰/۶/۴ - ۰۷:۲۹
آیا قانون گاوس اشتباه است یا ممکن است $\int_s{\vec E} \cdot d\vec{s}=0$ دلالت بر $\vec E = 0$نداشته باشد؟
چه زمانی نمی توانید از قانون گاوس استفاده کنید؟
هیچ قانون گاوس برای هر نوع میدان الکتریکی قابل اجرا نیست. اگر میدان متقارن باشد می توان از سطح آسان و شناخته شده به عنوان سطح گاوسی استفاده کرد. به عنوان مثال میدان الکتریکی را به دلیل بار نقطه ای در نظر بگیرید.آیا قضیه گاوس معتبر است؟
قانون گاوس تنها برای توزیع متقارن بار جسم مانند تقارن کروی و استوانه ای و صفحه معتبر است. همچنین یک رسانه معتبر دیگر مانند محیط دی الکتریک است.در آن آمده است که شار الکتریکی از طریق هر سطح بسته متناسب با کل بار الکتریکی محصور شده در این سطح است طبق قرارداد ، بار الکتریکی مثبت یک میدان الکتریکی مثبت ایجاد می کند.
آیا مفهوم قانون گاوس در همه جا معتبر است یا خیر؟ببینید من تعریف قانون گاوس بیارم کل شار الکتریکی خروجی از هر سطح بسته، برابر است با کل بار الکتریکی احاطه شده توسط آن سطح تقسیم بر ثابت گذردهی خلأ.${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},}$
قانون گاوس برای هر سطح بسته (سطح گاوسی) و هرگونه توزیع بارها معتبر است. اگر میدان الکتریکی در هر نقطه از سطح S شناخته شود اونوقت انتگرال در اصل قابل ارزیابی است و برابر با مجموع بارهای محصور تقسیم بر ε0 در نظر گرفته می شود. پس انتگرال سطحی است که نشر شار الکتریکی را از سطح بسته S بیان میکنه و طرف دیگه تساوی بار کل محصور شده در همان سطح S تقسیم بر ثابت الکتریکی است.${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
که در آن E · ∇ دیورژانس میدان الکتریکی است و ρ چگالی بار است. فرم انتگرالی و دیفرانسیلی با قضیه دیورژانس به هم مرتبط میشوند. هر یک از این اشکال دیفرانسیلی و انتگرالی را میتوان به دو فرم دیگر هم گفت از دید ارتباط بین میدان الکتریکی E و بار الکتریکی کل یا از دید جابجایی میدان الکتریکی D و بار الکتریکی آزاد. قانون گاوس خود اساساً برابر با مربع معکوس قانون کولن است، و قانون گاوس برای جاذبه اساساً با مربع معکوس قانون جاذبه نیوتون برابر است ببینید .بار الکتریکی که به صورت ساده تو کتاب درسی میزارن در میان بار الکتریکی آزاد طبقهبندی میشه برای مثال باری که در الکترواستاتیک جابجا میشه یا باری که روی صفحههای خازن ذخیره میشوند. در عوض بار مقید فقط در مورد چارچوب دی الکتریک بیان میشود و موادی که قابلیت قطبی شدن دارند.(تمام مواد تا حدی قابلیت قطبش دارند.) زمانی که موادی این چنین در یک میدان الکتریکی خارجی قرار میگیرند، الکترونها در قید اتمهای خود میمانند، اما در پاسخ به میدان الکتریکی یک تغییر فاصله میکروسکوپی با اتم خود میدهند، بنابراین الکترونهای یک سمت بیشتر از سمت دیگر اتم میشود. همه این جابجاییهای میکروسکوپیک جمع میشوند تا یک شبکه توزیع بار را تشکیل دهند، و این به منزله وجود بار مقید است. همه بارها از دیدگاه میکروسکوپیک اساساً یکسان هستند، اغلب دلایل عملی برای تمایز بین بار مقید و بار آزاد وجود دارد. یکی از دلایل اساس قانون گاوس است، که از لحاظE، در اکثر موارد در معادلات برای محاسبات و استفاده از D باید بار را به صورت بار آزاد در نظر بگیریم.
چگالی بار مشخص $\sigma(\theta)=k\cos(\theta)$ بر روی سطح پوسته کروی شعاع R. چسبانده شده است. پتانسیل حاصله را در داخل و خارج از کره پیدا کنید.
سوال پاسخ نهایی اون: $V(r,\theta) = \frac{kr}{3\epsilon_0}cos\theta$
این پاسخ نهایی گیج کننده است اونچه من خوندم زیرا میدان الکتریکی داخل کره وابسته به r و θ است در حالی که میدان الکتریکی درون یک پوسته صرف نظر از اینکه بار در خارج چگونه است از قانون گاوس صفر است.اینجا شک من:چرا میدان الکتریکی داخل صفر است؟آیا قانون گاوس می تواند این را توضیح دهد یا در اینجا شکست می خورد؟
از آنجا که حل با استفاده از انتگرال سطحی معمولی نتیجه مشابهی را به من داد و از آن زمان به بعد. واگرایی درون پوسته صفر است ، من به این نتیجه رسیدم که چند جمله ای قانون گاوس در شکل متفاوت درست است. بنابراین مشکل باید با شکل جدایی ناپذیر قانون گاوس باشد: $\int_s{\vec E}.d\vec{s} = \frac{q}{\epsilon_0}$
این قانع کننده نیست زیرا اثبات قانون گاوس انتظار ندارد که بارها آزادانه جابجا شود. حضور نیروی خارجی که بتواند بارها را ثابت نگه دارد قضیه را تغییر نمی دهد. این است که می گویند تنها یک بار شارژ$q_i$ در خارج وجود دارد
سپس $\int_s{\vec E_i}.d\vec{s} = \frac{q_{inside}}{\epsilon_0}=0$
در صورت وجود بارهای بیشتر ، پس از هر توزیع ، میدان الکتریکی خالص $\vec E = \vec E_1 + \vec E_2+\vec E_3+...$
بنابراین شار خالص ،$\int_s{\vec E}.d\vec{s} = \int_s{\vec E_1}.d\vec{s}+\int_s{\vec E_2}.d\vec{s}+\int_s{\vec E_3}.d\vec{s}+. . .=0$
یا ممکن است که $\int_s{\vec E}.d\vec{s}=0$ دلالت بر $\vec E = 0$ نداشته باشد؟چگالی بار مشخص $\sigma(\theta)=k\cos(\theta)$ بر روی سطح پوسته کروی شعاع R. چسبانده شده است. پتانسیل حاصله را در داخل و خارج از کره پیدا کنید.
پاسخی که برای این سوال شک دار به ذهم رسیداین است که از آنجا که بارها به سطح چسبانده شده اند و به طور مساوی توزیع نشده اند لازم نیست میدان الکتریکی داخل صفر باشد.
که تنها درصورتی صادق است که میدان در سطح گوس دارای مقداری ثابتی باشد و عمود بر سطحی باشد که در آن تلاقی می کند.
به عنوان مثال ، اگر یک بار خارج از یک جعبه قرار دهید و$\oint \vec E\cdot d\vec S$ را در سطح محدود کننده جعبه محاسبه کنید ، این انتگرال 0 است زیرا هیچ بار خالص محصوری وجود ندارد ، اما این به معنی$\vec E=0$ در داخل جعبه با هندسه ساده میدان در هر نقطه از سطح جعبه مقدار یکسانی ندارد.
به عبارت دیگر ، بله کاملاً ممکن است که 0 شار خالص$\oint \vec E\cdot d\vec S=0$ اما $\vec E\ne 0$ داشته باشیم.
یک وضعیت مشابه زمانی رخ می دهد که توزیع بار از تقارن خاصی برخوردار نباشد: یافتن سطحی که مقدار $\vec E$ بر روی آن ثابت باشد بسیار مشکل می شود.
در چنین مواردی برای محاسبات عملی باید از اصل روی هم قرار گرفتن استفاده کرد.$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0$
به این معنی نیست که $\mathbf{E}(P) = 0$ در هر نقطه. یک مثال متضاد بسیار ساده برای این منظور در نظر گرفتن یک میدان الکتریکی یکنواخت است که تمام فضا را پر می کند:$\mathbf{E}(P) := \mathbf{E}_0$
برای بردار میدان الکتریکی ثابت ، غیر صفر $\mathbf{E}_0$. دشوار نیست که ببینیم که کل جریان از طریق هر سطح بسته در اینجا باید صفر باشد ، زیرا خطوط میدان فقط خطوط بی نهایت مستقیم هستند که در آنها بردارهای $\mathbf{E}_0$ به هر نقطه در نقطه فضا در امتداد ، و از نظر هندسی ، هر مستقیم بی نهایت خطی که وارد سطح بسته و محدود می شود باید از آن خارج شود.I hope I help you understand the question. Roham Hesami
چه زمانی نمی توانید از قانون گاوس استفاده کنید؟
هیچ قانون گاوس برای هر نوع میدان الکتریکی قابل اجرا نیست. اگر میدان متقارن باشد می توان از سطح آسان و شناخته شده به عنوان سطح گاوسی استفاده کرد. به عنوان مثال میدان الکتریکی را به دلیل بار نقطه ای در نظر بگیرید.آیا قضیه گاوس معتبر است؟
قانون گاوس تنها برای توزیع متقارن بار جسم مانند تقارن کروی و استوانه ای و صفحه معتبر است. همچنین یک رسانه معتبر دیگر مانند محیط دی الکتریک است.در آن آمده است که شار الکتریکی از طریق هر سطح بسته متناسب با کل بار الکتریکی محصور شده در این سطح است طبق قرارداد ، بار الکتریکی مثبت یک میدان الکتریکی مثبت ایجاد می کند.
آیا مفهوم قانون گاوس در همه جا معتبر است یا خیر؟ببینید من تعریف قانون گاوس بیارم کل شار الکتریکی خروجی از هر سطح بسته، برابر است با کل بار الکتریکی احاطه شده توسط آن سطح تقسیم بر ثابت گذردهی خلأ.${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},}$
قانون گاوس برای هر سطح بسته (سطح گاوسی) و هرگونه توزیع بارها معتبر است. اگر میدان الکتریکی در هر نقطه از سطح S شناخته شود اونوقت انتگرال در اصل قابل ارزیابی است و برابر با مجموع بارهای محصور تقسیم بر ε0 در نظر گرفته می شود. پس انتگرال سطحی است که نشر شار الکتریکی را از سطح بسته S بیان میکنه و طرف دیگه تساوی بار کل محصور شده در همان سطح S تقسیم بر ثابت الکتریکی است.${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
که در آن E · ∇ دیورژانس میدان الکتریکی است و ρ چگالی بار است. فرم انتگرالی و دیفرانسیلی با قضیه دیورژانس به هم مرتبط میشوند. هر یک از این اشکال دیفرانسیلی و انتگرالی را میتوان به دو فرم دیگر هم گفت از دید ارتباط بین میدان الکتریکی E و بار الکتریکی کل یا از دید جابجایی میدان الکتریکی D و بار الکتریکی آزاد. قانون گاوس خود اساساً برابر با مربع معکوس قانون کولن است، و قانون گاوس برای جاذبه اساساً با مربع معکوس قانون جاذبه نیوتون برابر است ببینید .بار الکتریکی که به صورت ساده تو کتاب درسی میزارن در میان بار الکتریکی آزاد طبقهبندی میشه برای مثال باری که در الکترواستاتیک جابجا میشه یا باری که روی صفحههای خازن ذخیره میشوند. در عوض بار مقید فقط در مورد چارچوب دی الکتریک بیان میشود و موادی که قابلیت قطبی شدن دارند.(تمام مواد تا حدی قابلیت قطبش دارند.) زمانی که موادی این چنین در یک میدان الکتریکی خارجی قرار میگیرند، الکترونها در قید اتمهای خود میمانند، اما در پاسخ به میدان الکتریکی یک تغییر فاصله میکروسکوپی با اتم خود میدهند، بنابراین الکترونهای یک سمت بیشتر از سمت دیگر اتم میشود. همه این جابجاییهای میکروسکوپیک جمع میشوند تا یک شبکه توزیع بار را تشکیل دهند، و این به منزله وجود بار مقید است. همه بارها از دیدگاه میکروسکوپیک اساساً یکسان هستند، اغلب دلایل عملی برای تمایز بین بار مقید و بار آزاد وجود دارد. یکی از دلایل اساس قانون گاوس است، که از لحاظE، در اکثر موارد در معادلات برای محاسبات و استفاده از D باید بار را به صورت بار آزاد در نظر بگیریم.
چگالی بار مشخص $\sigma(\theta)=k\cos(\theta)$ بر روی سطح پوسته کروی شعاع R. چسبانده شده است. پتانسیل حاصله را در داخل و خارج از کره پیدا کنید.
سوال پاسخ نهایی اون: $V(r,\theta) = \frac{kr}{3\epsilon_0}cos\theta$
این پاسخ نهایی گیج کننده است اونچه من خوندم زیرا میدان الکتریکی داخل کره وابسته به r و θ است در حالی که میدان الکتریکی درون یک پوسته صرف نظر از اینکه بار در خارج چگونه است از قانون گاوس صفر است.اینجا شک من:چرا میدان الکتریکی داخل صفر است؟آیا قانون گاوس می تواند این را توضیح دهد یا در اینجا شکست می خورد؟
از آنجا که حل با استفاده از انتگرال سطحی معمولی نتیجه مشابهی را به من داد و از آن زمان به بعد. واگرایی درون پوسته صفر است ، من به این نتیجه رسیدم که چند جمله ای قانون گاوس در شکل متفاوت درست است. بنابراین مشکل باید با شکل جدایی ناپذیر قانون گاوس باشد: $\int_s{\vec E}.d\vec{s} = \frac{q}{\epsilon_0}$
این قانع کننده نیست زیرا اثبات قانون گاوس انتظار ندارد که بارها آزادانه جابجا شود. حضور نیروی خارجی که بتواند بارها را ثابت نگه دارد قضیه را تغییر نمی دهد. این است که می گویند تنها یک بار شارژ$q_i$ در خارج وجود دارد
سپس $\int_s{\vec E_i}.d\vec{s} = \frac{q_{inside}}{\epsilon_0}=0$
در صورت وجود بارهای بیشتر ، پس از هر توزیع ، میدان الکتریکی خالص $\vec E = \vec E_1 + \vec E_2+\vec E_3+...$
بنابراین شار خالص ،$\int_s{\vec E}.d\vec{s} = \int_s{\vec E_1}.d\vec{s}+\int_s{\vec E_2}.d\vec{s}+\int_s{\vec E_3}.d\vec{s}+. . .=0$
یا ممکن است که $\int_s{\vec E}.d\vec{s}=0$ دلالت بر $\vec E = 0$ نداشته باشد؟چگالی بار مشخص $\sigma(\theta)=k\cos(\theta)$ بر روی سطح پوسته کروی شعاع R. چسبانده شده است. پتانسیل حاصله را در داخل و خارج از کره پیدا کنید.
پاسخی که برای این سوال شک دار به ذهم رسیداین است که از آنجا که بارها به سطح چسبانده شده اند و به طور مساوی توزیع نشده اند لازم نیست میدان الکتریکی داخل صفر باشد.
که تنها درصورتی صادق است که میدان در سطح گوس دارای مقداری ثابتی باشد و عمود بر سطحی باشد که در آن تلاقی می کند.
به عنوان مثال ، اگر یک بار خارج از یک جعبه قرار دهید و$\oint \vec E\cdot d\vec S$ را در سطح محدود کننده جعبه محاسبه کنید ، این انتگرال 0 است زیرا هیچ بار خالص محصوری وجود ندارد ، اما این به معنی$\vec E=0$ در داخل جعبه با هندسه ساده میدان در هر نقطه از سطح جعبه مقدار یکسانی ندارد.
به عبارت دیگر ، بله کاملاً ممکن است که 0 شار خالص$\oint \vec E\cdot d\vec S=0$ اما $\vec E\ne 0$ داشته باشیم.
یک وضعیت مشابه زمانی رخ می دهد که توزیع بار از تقارن خاصی برخوردار نباشد: یافتن سطحی که مقدار $\vec E$ بر روی آن ثابت باشد بسیار مشکل می شود.
در چنین مواردی برای محاسبات عملی باید از اصل روی هم قرار گرفتن استفاده کرد.$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0$
به این معنی نیست که $\mathbf{E}(P) = 0$ در هر نقطه. یک مثال متضاد بسیار ساده برای این منظور در نظر گرفتن یک میدان الکتریکی یکنواخت است که تمام فضا را پر می کند:$\mathbf{E}(P) := \mathbf{E}_0$
برای بردار میدان الکتریکی ثابت ، غیر صفر $\mathbf{E}_0$. دشوار نیست که ببینیم که کل جریان از طریق هر سطح بسته در اینجا باید صفر باشد ، زیرا خطوط میدان فقط خطوط بی نهایت مستقیم هستند که در آنها بردارهای $\mathbf{E}_0$ به هر نقطه در نقطه فضا در امتداد ، و از نظر هندسی ، هر مستقیم بی نهایت خطی که وارد سطح بسته و محدود می شود باید از آن خارج شود.I hope I help you understand the question. Roham Hesami