کاهش سرعت چرخش جسم در اثر اصطکاک

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 847

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

کاهش سرعت چرخش جسم در اثر اصطکاک

پست توسط rohamjpl »

کاهش سرعت چرخش جسم در اثر اصطکاک
اگر من یک دیسک داشته ، با شعاع r ، جرم m ، با یک نیروی اولیه F در مرکز آن بچرخد ، و پس از آن نیروی اصطکاک (از محور یا مقاومت هوا یا هر دو) f ، پس چه مدت طول می کشد تا متوقف شود؟من به آن فکر کرده ام و چیزهای زیادی ارائه نکرده ام. اولین راه من بدین ترتیب است:$F = ma
$و$a = F/m$ ، شتاب اولیه (یا باید این باشد $(F-f)/m$
و سپس کاهش سرعت a = −f / m است.من مطمئن نیستم که چگونه سرعت خطی اولیه را محاسبه کنم ، اما با فرض اینکه آن را دارم ، می توانم بگویم ، پس می توانم بگویم که بعد از زمان t سرعت $v = u -at = u -ft/m$ است ، جایی که f نیروی اصطکاک بنابراین در صورت چرخش$t= um/f$ دیسک چرخش را متوقف خواهد کرد.با فرض 1. سرعت اولیه به بدن شما داده شد ، نه نیرو (زیرا نیروها با گذشت زمان عمل می کنند). $\dot\theta_0$
2. نیروی اصطکاک ثابت می ماند. 3. دیس در امتداد محور تقارن خود می چرخد و پر است
اگر جسمی در حال چرخش است ، در آن صورت می چرخد (قانون اول نیوتن).
نیروی ثابت چرخش دیسک را کند می کند ، اما برای دانستن اینکه چه مدت طول می کشد باید بدانید که چه مقدار نیرو برای تغییر سرعت لازم است.
شما باید لحظه اینرسی را در نظر بگیرید. لحظه اینرسی معمولاً یک ماتریس است و به جهتها بستگی دارد ، اما از آنجا که دیسک دارید ، با فرض یکنواخت بودن دیسک ، به راحتی می توانید لحظه اینرسی آن را پیدا کنید ، همان لحظه آن است از اینرسی است$I = \frac{m r^2}{2}$از این مرحله می توانید این مسئله را به عنوان یک مشکل سقوط آزاد در جایی که درمان می کنید ، تلقی کنید$mg \rightarrow F$
و$m \rightarrow I$و$v_0 \rightarrow \dot\theta_0$و$v_0 - at^2 =0$و$\dot\theta_0 - \frac{F}{I}t^2 =0$ پس $t =\sqrt{\frac{\dot\theta_0 I}{F}}$
اما به اشکال زاویه ای همه این متغیرها و معادلات نیاز دارید. یک جسم در حال چرخش دارای سرعت زاویه ای ω است. گرایش آن برای مقاومت در برابر تغییر در ω به عنوان لحظه سکون I شناخته می شود ، $mr^2/2$ است اگر تمام جرم در یک دیسک یکنواخت باشد که در مورد محور تقارن خود چرخانده شود. گشتاور τ نسخه زاویه ای نیرو است و اساساً این نیرو چندین برابر مزیت بازوی اهرمی است که نیرو داده است و در برخی فاصله های دور از محور اعمال می شود. قانون دوم نیوتن به $\tau = I \dot{\omega}$ تبدیل می شود.
اکنون شما از یک نیروی اولیه F صحبت می کنید. برای ایجاد حرکت چرخشی ، باید این نیرو را در فاصله غیر صفر d از محور چرخش مورد نظر اعمال کنید. فقط مولفه F عمود بر محور چرخش و خط از این محور تا نقطه کاربرد در اینجا کمک خواهد کرد ، بنابراین فرض می کنیم تمام نیرو در این جهت اعمال شده است. سپس می توان این را به عنوان گشتاور قدر $Fd$ توصیف کرد.
با این حال ، گشتاور اولیه و لحظه ای هیچ کاری برای حرکت دیسک نمی کند ، همانطور که هر نیروی خطی فوری و محدود ، جسمی را حرکت نمی دهد. نیرو باید در مدت زمان طولانی اعمال شود. یکی از راه های دیدن این امر این است که محصول نیرو و فاصله ای که از آن استفاده می شود ، انرژی منتقل شده است - اگر در هنگام اعمال نیرو چیزی حرکت نکند ، انرژی به جسم داده نمی شود. در عوض ، می توانیم از یک انگیزه صحبت کنیم. اگر تکانه زاویه ای $L = I\omega$ باشد ، آنگاه تکانه زاویه ای اولیه از$L_0 = Fd\Delta t$ برای نیرویی F که در فاصله d از محور ، در جهت مناسب اعمال شده و در یک بازه زمانی Δt پایدار است ، پیروی می کند. واضح است که سرعت زاویه ای اولیه برابر است$\omega_o = \frac{2Fd\Delta t}{mr^2}.$
حالا به قسمت کندی می رسیم. این بسیار پیچیده تر است. یک مدل ساده شده بیش از حد ، یک نیروی ثابت f را دارد که در فاصله غیر صفر x از محور چرخش اعمال می شود. سپس
$\dot{\omega} = \frac{2fx}{mr^2}$
(تا یک علامت). در این حالت چیزی شبیه $\omega = \omega_0 - \dot{\omega}t$ خواهیم داشت ، بنابراین کل زمان صرف شده برای چرخش می شود$\frac{\omega_0}{\dot{\omega}} = \frac{Fd\Delta t}{fx}.$
البته ممکن است اصطکاک به سرعت وابسته باشد. همچنین ، تقریباً به طور قطع در محدوده فواصل از محور اعمال می شود. این نکته اخیر به این معنی است که گشتاور کل که برای کند کردن دیسک عمل می کند باید با ادغام گشتاور در واحد سطح (نیرو در واحد سطح ، که احتمالاً ثابت است ، چند برابر فاصله از محور) بر روی منطقه تماس محاسبه شود. وابستگی سرعت یعنی ω˙ به ω بستگی دارد. اگر وابستگی ساده باشد ، نتیجه یک معادله دیفرانسیل خواهد بود که به راحتی قابل حل است. اگر پیچیده تر باشد ، از تکنیک های عددی استفاده می شود ، زیرا فرمول ساده ای وجود ندارد.
حداکثر سرعت زاویه ای برای توقف در یک چرخش با گشتاور مشخص
برای متوقف کردن شی باید کار کنید. برای یک گشتاور ثابت عمود بر بازوی لحظه ای ، کاری که انجام می دهد برابر با$\tau\cdot\Delta\theta$ است و شما $\Delta\theta\leq2\pi$ می خواهید.
باید بدیهی باشد که بیشترین سرعت زاویه ای که یک گشتاور τ می تواند متوقف کند ، باعث توقف کامل $2\pi$ رادیان می شود. در یک سیستم چرخشی ، انرژی جنبشی چرخشی توسط$E_r=\frac12I\omega^2$ (آنالوگ مستقیم $E_K=\frac12mv^2$) داده می شود. اکنون معادل سازی انرژی-کار را در نظر بگیرید.، انرژی$E_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ خواهد بود. کار انجام شده در یک چرخش $\tau\Delta\theta$است. این دو اصطلاح در مورد شما برابر است. یعنی من عبارت زیر را خواهم داشت$E_r = \frac{1}{2}I\omega^2 = \tau_\text{max} \Delta\theta$و$\omega_\text{max} = \sqrt{\frac{2\tau_\text{max}\Delta\theta}{I}}$شما در حال انجام Δθ خود به عنوان 2π ، برای یک چرخش کامل هستید ، از این رو$\omega_\text{max} = \sqrt{\frac{4\pi\tau_\text{max}}{I}}$
می بینم که شما با پیدا کردن شتاب زاویه ای$\alpha=\frac\tau I$ (جایی که $\alpha t=-\omega_{max}$گشتاور اعمال شده شما است) سعی کردید این کار را انجام دهید. این هم موثر است! با این حال گمان می کنم در آن گیر کرده اید$\alpha t=-\omega_{max}$
این کاملاً قابل درک است زیرا t چیزی بین 0 و یک دوره کامل است (تحت سرعت زاویه ای اصلی ω یعنی) ، اما شما نمی دانید t چیست.
می توانید برخی معادلات را برای حل همزمان t تنظیم کنید ، اما این لازم نیست زیرا شما به t اهمیت نمی دهید ، فقط به$\omega_{max}$اهمیت می دهید معادله دیگری وجود دارد که می توانید استفاده کنید ، به اصطلاح "معادله بی انتها":$\omega_f^2=\omega_o^2+2\alpha\Delta\theta$
جایی که ωf سرعت زاویه ای نهایی است ، $\omega_o$ سرعت زاویه ای اولیه است ، α شتاب زاویه ای است و Δθ جابجایی زاویه ای است (این باز هم یک آنالوگ مستقیم از معادله سینماتیک خطی $v^2=v_0^2+2a\Delta x$

بگذارید$\omega_f=0$ و $\omega_0=\omega_{max}$(یعنی شما با حداکثر سرعت شروع می کنید). با همان استدلال فوق $\Delta\theta=2\pi$ و اگر $\tau$ و$I$ می دانید می توانید α را پیدا کنید. سپس شما باید:$0=\omega_{max}^2+2\alpha\cdot2\pi$و$\omega_{max}^2=2\alpha\cdot2\pi$و$\omega_{max}=\sqrt{4\alpha\pi}$
که همان فوق است ، زیرا $\alpha=\frac \tau I$
چرا هنگام چرخاندن یک فرفره به حالت ایستاده برمی گردد؟من مشاهده کرده ام که یک چرخش در حال چرخش ، با ضربه زدن به آن با انگشت ، دوباره به حالت قائم در می آید (با حرکت غیرقابل اغماض ناچیز) ، به جای اینکه در هنگام خم شدن بسیار خیز ، تحت ترجیح قرار گیرد.تصویر شکل یک مقطع عمودی از بالا نشان می دهد که شامل محور تقارن بالا است. نقطه P در مرکز تقارن قرار دارد ، همانطور که مرکز جرم O بالای آن قرار دارد. حرکت زاویه ای بالا L top در جهت محور تقارن قرار دارد.
از آنجا که بالای آن به جای پایین نوک تیز ، یک گرد گرد دارد ، نقطه تماس بالا در P نیست ، بلکه در بعضی از نقاط C است. از فرضیات گفته شده در بالا ، در لحظه مورد علاقه P ثابت است. در مقابل ، از جهت $\vec{L}$ ، در C سطح بالا به سمت بیننده در حال حرکت است ، مستقیم از صفحه نمودار به سمت بالا. اصطکاک کشویی یک نیروی$\vec{F}_k$ (نشان داده نشده) در بالا در C ، در جهت مخالف حرکت بالا در آن نقطه است ، یعنی مستقیماً به سمت پایین از بیننده.
بردار موقعیت C از $\vec{X}_C$ است. نیروی $\vec{F}_k$ در بالا یک گشتاور در قسمت بالای مرکز جرم بالای آن تولید می کند ،$\vec{\tau} = \vec{X}_C \times \vec{F}_k \,\, .$گشتاور $\vec{\tau}$ را می توان به صورت زیر نوشتم$\vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, ,$
جایی که $\vec{\tau}_{\parallel}$ موازی $\vec{L}$ است و$\vec{\tau}_{\perp}$ عمود بر$\vec{L}$ است.

گشتاور $\vec{\tau}$این است که حرکت زاویه ای $\vec{L}$ با زمان تغییر می کند ،$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, .$
$\vec{\tau}_{\parallel}$در جهت مخالف $\vec{L}$ قرار دارد ، بنابراین اثر $\vec{\tau}_{\perp}$ کاهش بزرگی $\vec{L}$ است ، به عنوان مثال ، کاهش سرعت بالا.
اگر قسمت بالای آن در فضای خالی باشد ، اثر $\vec{\tau}$ چرخاندن قسمت بالای آن در جهت O در جهت ساعت در نمودار خواهد بود. با این وجود ، به دلیل محدودیتی که قسمت بالای صفحه با جدول در تماس است ، اثر $\vec{L}$ این است که O را از جدول بلند کرده و O را به بالاتر از C نزدیک کند.
برای تجزیه و تحلیل دقیق تر در مورد چگونگی اصطکاک کشویی در پایین قسمت بالا باعث بالا آمدن مرکز جرم بالا می شود ، بالا یک بدنه متقارن سفت و سخت است. معادلات حرکت یک جسم صلب در اطراف مرکز جرم آن توسط:
$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3$
$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega_3\Omega_1$
$I_3\dot\Omega_3=(I_1-I_2)\Omega_1\Omega_2$
فرض کنید که بالای سفت و سخت در مورد یک محور متقارن است (بگذارید بگوییم محور سوم) ، بنابراین ما داریم:
$I_1=I_2$
و همچنین اینکه محور سوم باریک است:$I_3<I_1(or I_2)$
$\Omega_3=\Omega = const.$
در این حالت معادله سوم حرکت دلالت دارد
Ω3 = Ω = ساختار.
و به جای دو معادله دیگر ، بدست می آوریم:
$\Omega_3=\Omega = const.$
$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega\Omega_1$
با استفاده از مشتق اول معادله دوم با توجه به زمان و جایگزینی معادله دوم ، به دست می آوریم:
$I_1I_2\ddot\Omega_2= \Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)\Omega_2$
این یک معادله یک نوسان ساز هارمونیک است:
$\ddot\Omega_2+k^2 \Omega_2 = 0$
با
$k^2= - \frac{\Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)}{I_1I_2}$
حال ، مشاهده کنید که $k^2>0 $ از آنجا که$I_3-I_1<0$ و$I_2-I_3>0$ ، بنابراین ثابت فنر واقعی است و نوسان ساز هارمونیک پایدار است.

هنگامی که یک نیروی خارجی کوچک با زمان محدود به یک اسیلاتور هارمونیک وارد شود ، در فرکانس طبیعی خود در اطراف موقعیت تعادل خود به نوسان در می آید. در هنگام ضربه زدن به قسمت بالا نیز همین اتفاق می افتد ، در این حالت گشتاور کمی در زمان محدود اعمال می شود. اگر حرکت زاویه ای در اطراف محور سوم بسیار بزرگ باشد ، به این ترتیب:
$I_3 \Omega_3>> \int T_3 dt$
جایی که $T_3$ جز component گشتاور در امتداد محور سوم است ، بنابراین سمت راست به دلیل استفاده از گشتاور ، ضربه است. در این حالت استفاده از toque سرعت زاویه ای بالای صفحه را تغییر نخواهد داد و تمام فرضیات فوق ما ثبات بالای صفحه را تضمین می کنند.
این اثر ژیروسکوپی نامیده می شود و بیان می کند که شیئی که در حال چرخش است دارای یک حرکت زاویه ای است $\vec{L}$ بنابراین تمایل دارد که محور چرخش خود باقی بماند ، $\vec{L}=I\omega$ سریعتر می چرخد (ω بیشتر) بیشتر تمایل دارد که محور چرخش خود باقی بماند.
یک تصویر زیر را در نظر بگیرید ، یک چرخش با سرعت زاویه ای ω می چرخد ، بنابراین دارای یک حرکت زاویه ای $\vec{L}$ است ، سریعتر $\vec{L}$ بیشتر می چرخد و بیشتر تمایل دارد که حرکت چرخشی خود را در مورد یک محور خاص حفظ کند ، توجه داشته باشید که وقتی سرعت آن کاهش می یابد (به دلیل نیروهای اصطکاک) $\vec{L}$ کمتری دارد بنابراین ترجیح آن به دلیل سنگین شدن آن به سمت پایین افزایش می یابد. تصویر
توجه داشته باشید که نیروی جاذبه باعث پیش فرض چرخش ماشینی (پیش از چرخش چرخشی آن) می شود بنابراین می توانیم از این مشاهده نتیجه بگیریم که برای تغییر محور چرخش چرخش باید نیرویی وارد شود ، محور چرخش (با فرض ثابت بودن$\vec{L}$. وقتی این نیرو برداشته شود ، به دلیل داشتن شتاب زاویه ای ، به طور طبیعی و بدون هیچ گونه مقدماتی به حالت اولیه برمی گردد.
به عنوان قانون اول نیوتون فکر کنید ، اما به جای حرکت ترجمه در حرکت چرخشی است.
قانون اول نیوتون اظهار داشت:
جسمی که در حال حرکت است تمایل دارد که در حرکت بماند و در یک خط مستقیم حرکت کند ، مگر اینکه توسط یک نیروی نامتعادل عمل کند.
ما می توانیم این قانون را برای حرکت چرخشی دوباره ایجاد کنیم:
جسمی که در حال چرخش است تمایل دارد که حرکات چرخشی در مورد یک محور خاص باقی بماند مگر اینکه توسط یک نیروی نامتعادل عمل کند.
جسمی که دارای یک حرکت انتقالی با سرعت v باشد به نیروی $\vec{F}$ نیاز دارد تا جهت حرکت خود را به طور مشابه تغییر دهد شیئی که دارای سرعت زاویه ای ω است برای تغییر محور چرخشی خود به نیرو احتیاج دارد.گشتاور به عنوان گرایش نیرو برای چرخش یک جسم در مورد یک محور و از نظر ریاضی به عنوان یک محصول بردار (ضربدری) از فاصله و نیرو تعریف می شود:$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$جایی که r فاصله ای از نقطه چرخش است و $\vec{F}$ به آن نیرو وارد می شود.
توجه داشته باشید که گشتاور یک بردار است و این بردار در شکلی که دادم تصویرچرخش بالا تقریباً عمودی می شود زیرا دارای حرکت زاویه ای است و این بدان معناست که اگر جسمی بچرخد در مقابل محور چرخش خود مقدمه گرفته و سریعتر بچرخد در مقابل این مقدمه مقاومت می کند تا اتفاق بیفتد ، بنابراین اگر هنوز آن را چرخاندم می چرخد با همان سرعت زاویه ای به سرعت صفر باز می گردد ، سریعتر می چرخد سریعتر به حالت اولیه خود باز می گردد.
برای توضیح این موضوع از نظر ریاضی ، یک در حال چرخش روی زمین با سرعت زاویه ای ω در نظر گرفته شده است و دارای سرعت زاویه ای شیب ω پی و زاویه شیب دار به عنوان $\phi$
تصویر
حرکت زاویه ای آن به صورت زیر تعریف می شود:$\vec{L}= \vec{\omega} I$
بگوم چرخش بالای Δθ چرخانده و تغییر آن در حرکت زاویه ای ΔL است.
سپس می توانیم Δθ را به صورت زیر بیان کنم$\Delta \theta \approx \frac{\Delta L}{L sin(\phi)}$
سرعت زاویه ای حق تقدم را می توان به شرح زیر بیان کرد:$\omega_p = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$اکنون می توانیم معادله اول را در این معادله جایگزین کنیم.
$\omega_p = \frac{\Delta L}{\Delta t L sin(\phi)}$
گشتاور به عنوان تغییر در حرکت زاویه ای تعریف می شود:$\frac{\Delta L}{\Delta t}= I \vec{\alpha} = \tau$حالا این را در معادله قبلی جایگزین می کنیم:$\omega_p = \frac{\tau}{L sin(\phi)}$
و فرمول زیر را دریافت می کنیم:$\omega_p = \frac{\vec{F}r}{L sin(\phi)}$
از این معادله می توان دریافت که اگر نیرویی را روی جسمی در حال چرخش وارد کنیم ،$\omega_p$ آن افزایش می یابد زیرا با نیروی اعمال شده متناسب است. اگر نیروی اعمال شده صفر باشد $\omega_p$ نیز صفر می شود ، بنابراین دیگر سرعت زاویه ای فوق العاده ای نخواهد داشت بنابراین دوباره به صورت ایستاده ایستاده است..I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم چهارم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست