چرخاندن سطل آب در جاذبه صفر و شکل سیال چرخان

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 933

سپاس: 602

جنسیت:

تماس:

چرخاندن سطل آب در جاذبه صفر و شکل سیال چرخان

پست توسط rohamjpl »

چرخاندن سطل آب در جاذبه صفر
همه می دانند که سطح یک سطل آب در حال چرخش روی زمین چگونه خواهد بود - سهمی. اما اگر جاذبه را خاموش کنیم (برای مثال با انجام آزمایش در آسانسور در حال سقوط آزاد) ، چه می شود؟ آیا سطح هنوز سهموی است؟ من سردرگمی خود را با جزئیات بیشتری توضیح می دهم.
سرعت سطل چرخان با استفاده از نیروهای اصطکاکی که در مرز بین سطل و آب ایجاد می شود به آب منتقل می شود. اما این نیروهای اصطکاک بدون توجه به وجود گرانش یا نبودن وجود دارد. بنابراین اگر کل حجم آب داخل سطل را به عنوان یک سیستم واحد در نظر بگیرم ، این نیروی اصطکاک گشتاور مثبتی به آن می دهد. بنابراین آب باید بچرخد. برای چرخش پایدار آب ، باید نیروی گریز از مرکز وجود داشته باشد. در جاذبه معمولی ، سطح آب شکل خود را به پارابلوئید تغییر می دهد به طوری که بر هر ذره ای که به سمت داخل هدایت می شود نیروی خالص وجود دارد. اما در سقوط آزاد ، فشاری بر ذره ای درون مایع وارد نمی شود. بنابراین تنها نیرویی که می تواند شتاب گریز از مرکز را تأمین کند ، نیروی بین مولکولی بین ذرات است که برای حفظ سرعتهای عظیم ضعیف است. بنابراین دقیقاً چه اتفاقی می افتد؟
با فرض اینکه یک سطل دارای یک درب باشد ، در نهایت قسمت اعظم آب در خارج سطل قرار می گیرد.
بالاخره این زیستگاه اصلی گرانش مصنوعی شما در حال چرخش است.
اصولاً مقداری آب می تواند در مرکز شناور بماند اما پایدار نیست.
اگر سطل فاقد درپوش باشد ، آب از طرفین بیرون می زند و انتهای باز آن تمام می شود.
زیرا این دقیقاً مانند چرخاندن یک سطل آب در یک دایره عمودی است. اگر آب به اندازه کافی سریع چرخانده شود ، بیرون نمی ریزد.
وقتی چیزها را در مدارهای دایره ای می چرخانید ، می خواهد "از مدار" خارج شود.
به همین دلیل است که آب در سطل به سطل فشرده می شود که این حرکت برعکس گرانش است وقتی سطل بالای سر شما قرار دارد.
وقتی بدن شما به عقب می چرخد ​​، بدن شما به در فشار می دهد ، همین احساس را دارد. بدن شما در حال حرکت است و بنابراین می خواهد به حرکت خود ادامه دهد ، اما ماشین بدن را مجبور به تغییر جهت می کند (همراه با ماشین بچرخد).
بنابراین در آن لحظه ، شما همانطور که در هر شرایط عادی به زمین فشار می دهید ، به طرف ماشین (در) فشار می دهید.
بنابراین هنگامی که ماشین می چرخد ​​، ممکن است به نظر برسد که "گرانش به صورت جانبی" روی بدن شما تأثیر می گذارد. یا در مورد آب در سطل به نظر می رسد که "گرانش به سمت بالا عمل می کند" روی آب ، وقتی سطل بالای سر شما باشد. و در مورد آب ریخته شده در فنجان در هواپیمای چرخان ، دقیقاً یکسان است - به نظر می رسد "جاذبه از هواپیما به سمت پایین عمل می کند ، حتی وقتی هواپیما به سمت بالا و پایین باشد".
اما همانطور که توضیح داده شد این جاذبه نیست ، بلکه تمایل اجسام به ادامه مسیر در هنگام حرکت است. این احساس یا گرایش در اصطلاح روزمره "نیروی گریز از مرکز" نامیده می شود.
و همه اینها تنها در صورت غلبه بر جاذبه کار خواهد کرد. در غیر این صورت آب فقط به سمت پایین می افتد (گویی سطل آب را به آرامی به سمت بالا می چرخانید).
باید نشان دهم که سطح آب در یک سطل که با سرعت زاویه ای ثابت می چرخد ، شکل سهمی دارد. من با این مشکل کاملاً گیج شده ام ، اما کاری که من انجام دادم این است:$\vec{F}_{cf} + \vec{F}_{grav} = -\vec{\nabla} U = m(\vec{\Omega}\times\vec{r})-mg\hat{z}$
جایی که $F_{cf}$ نیروی گریز از مرکز است ،$F_{grav}$ نیروی جاذبه است ، U انرژی پتانسیل است ،$\vec{r}:=(x,y,z)$. بنابراین $\nabla U(z) = mg-m\Omega^2 z$، از این رو$U(z) = gmz-\frac{1}{2}\Omega^2 z^2+C$که یک سهمی است
در این روش من سعی می کردم از این واقعیت استفاده کنم که سطح برای$F_{cf}+F_{grav}$ برابر است
به اما ظاهراً رویکرد من کاملاً آب را نگه نمی دارد. من ایده دیگری دارم. نظر خودم
ظرف استوانه ای زیر را با مایع در نظر بگیرید که با $ ω$ یکسان می چرخد
سطح مایع دوار یک عنصر مایع نامحدود $\mathrm{d}m$ را در نظر بگیریددر ارتفاع hبالاتر از حداقل پارابولا نیروهای وارد بر آن عبارتند از:1) گرانش:
$g\mathrm{d}m$2) نیروی گریز از مرکز:
$\mathrm{d}F_c=\omega^2r\mathrm{d}m$زاویه α را در نظر بگیرید:
$\tan\alpha=\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r}=\frac{F_c}{g\mathrm{d}m}=\frac{\omega^2r\mathrm{d}m}{g\mathrm{d}m}=\frac{\omega^2r}{g}$
این بدان معناست که:
$\omega^2r\mathrm{d}r-g\mathrm{d}h=0$
این معادله دیفرانسیل را ادغام کنید:
$\int_0^r\omega^2r\mathrm{d}r=\int_0^hg\mathrm{d}h$
$\frac{\omega^2r^2}{2}=gh$
$\implies h=\frac{\omega^2r^2}{2g}$
این یک سهمی درجه دوم است.
البته عملکرد انرژیپتانسیل من U (z) به هیچ وجه نشان نمی دهد که سطح آب سهمی است. آنچه من باید پیدا کنم شکل عملکردی سطح آب دوار است ، یعنی ارتفاع سطح z به عنوان تابعی از r در مختصات استوانه ای r و z. (به دلیل تقارن چرخشی $\phi$ لازم نیست.) نیروی گریز از مرکز است
$F_{cf}=m\omega^2 r$
و نیروی گرانشی است $F_{grav}=-mg$
سطح آب با جهت نیروی حاصل از آن متعامد است$\vec F=\vec F_{cf}+\vec F_{grav}$
بنابراین شیب سطح آب است
$\frac {dz(r)}{dr}=\frac{|F_{cf}|}{|F_{grav}|}=\frac {m\omega^2 r}{mg}$
از این طریق با یکپارچگی به دست می آییم$z-z_0=\frac{1}{2g}\omega^2 r^2$
بنابراین ما در واقع یک سطح سهمی در آب چرخان در سطل می گیریم.
من داشتم از پویایی سیال عبور می کردم و به این قسمت رسیدم که به شکل یک سطح مایع در یک ظرف استوانه ای چرخان است. کار در کتاب چیزی شبیه به این است:
این یک جرم متر آب در سطح مایع چرخان در فاصله x از محور چرخش آن در نظر می گیرد. این یک نیروی شبه $m \cdot x \cdot \omega^2$ را شعاعی به سمت خارج و نیروی وزنی آن ($mg$) را در نظر می گیرد. سپس برای محاسبه نیروی خالص و زاویه ای که با عمودی ایجاد می کند ، ادامه می یابد. از آنجا با ادغام اساسی ، معادله سطح مایع به دست می آید یعنی y = (x2⋅ω2) 2g.
من این را کار می کنم
اما اگر بخواهم همان چرخش را از طریق یک قاب اینرسی مشاهده کنم ، چگونه می توانم پیش بروم؟ منظور من این است که هیچ نیروی شبه ای وجود نخواهد داشت ، بلکه یک شتاب مرکز گریز از همان شدت شعاعی به سمت داخل است. این جایی است که من با تردیدهای خاصی روبرو هستم.تصویر
نیروهای وارد شده بر روی مایع ، نیروی گریز از مرکز به داخل و نیروی وزنی به سمت پایین خواهد بود. بنابراین نیروی خالص در جهتی دیگر خواهد بود و در نتیجه شیب سطح در آن نقطه در جهتی دیگر خواهد بود. همان سطح برای داشتن دو شکل متفاوت در دو قاب متفاوت؟
اگر کسی بتواند با اشاره به نقص درک من به من کمک کندممنون میشم.مایع چرخان
برای چرخش مایع ، ابتدا معادله پیوستارها را در نظر بگیرید:
$\begin{equation}
\rho \frac{\text{d}\vec{\mathbf{v}}}{\text{d}t} = \vec{\mathbf{f}}+\text{Div}\hat{\sigma},
\end{equation}$
که$\hat{\sigma}$تانسور تنش مایعات است و در حالت بدون اصطکاک$\text{Div}\hat{\sigma}=-\vec{\bigtriangledown} p$ چگالی نیروهای بیرونی است. در صورت وجود یک قاب چرخش ، مایع در حالت تعادل است ، بنابراین این معادله به صورت $\vec{\mathbf{0}}=\vec{\mathbf{f}}+\text{Div}\hat{\sigma}$ خوانده می شود ، جایی که $\vec{\mathbf{f}}$ را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:
$\begin{equation}
\vec{\mathbf{f}}_{grav} = \frac{\text{d}\vec{\mathbf{F}}_{grav}}{\text{d}V}=\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m*\vec{\mathbf{g}}=\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m\left[-\vec{\bigtriangledown}(gz)\right]=-\vec{\bigtriangledown}\left(\rho gz\right)
\end{equation}$
$\begin{equation}
\vec{\mathbf{f}}_{cf} = \frac{\text{d}\vec{\mathbf{F}}_{cf}}{\text{d}V}=-\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m\omega^2\vec{\mathbf{s}}=-\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m\left[-\vec{\bigtriangledown}(\frac{1}{2}\omega^2(x^2+y^2))\right]=+\vec{\bigtriangledown}\left(\frac{1}{2}\rho\omega^2s^2\right)
\end{equation}$
$\begin{equation}
\vec{\mathbf{f}}=\vec{\mathbf{f}}_{grav}+\vec{\mathbf{f}}_{cf}
\end{equation}$f
و اکنون شرایط تعادل$\vec{\mathbf{f}}+\text{Div}\hat{\sigma}=\vec{\mathbf{0}}$ این را به ما می گوید
$\begin{equation}
\vec{\bigtriangledown}\left(-p-\rho gz+\rho\omega^2s^2\right)=\vec{\mathbf{0}}
\end{equation}$
$\begin{equation}
-p-\rho gz+\rho\omega^2s^2=-p-\rho gz+\rho\omega^2(x^2+y^2)=\text{const},
\end{equation}$ ساختار ،
که مشخصات سهمی (*) را می دهد.
اگر می خواهید از یک فریم مرجع اینرسی استفاده کنید ، فقط کافی است به جای نیروی گریز از مرکز استفاده کنید که مجموع دو نیرو بر روی یک قطعه از مواد با dm جرم و حجم dV باید نیروی گریز از مرکز برای حفظ حرکت دایره ای باشد. در این مورد l.h.s. از $\rho \frac{\text{d}\vec{\mathbf{v}}}{\text{d}t} = \vec{\mathbf{f}}+\text{Div}\hat{\sigma}$ صفر نخواهد بود ، بلکه چگالی نیروی گریز از مرکز است. با استفاده از $\text{d}\vec{\mathbf{v}}/\text{d}t$ باید شتاب مرکز گریز$\omega^2\vec{\mathbf{s}}$ بدست آورید:
$\begin{equation}
\rho\omega^2\vec{\mathbf{s}}=-\vec{\bigtriangledown}p - \vec{\bigtriangledown} gz
\end{equation}$
$\begin{equation}
-\vec{\bigtriangledown}\rho\omega^2s^2=-\vec{\bigtriangledown}p - \vec{\bigtriangledown} gz,
\end{equation}$
که همان معادله قبل از دادن مشخصات سهموی است.
: برای دیدن اینکه l.h.s در واقع تراکم نیروی گریز از مرکز است:
$\begin{equation}
\vec{\mathbf{f}}_{cp}=\frac{1}{\text{d}V}\text{d}\vec{\mathbf{F}}_{cp}=\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m\omega^2\vec{\mathbf{s}}=\rho\omega^2\vec{\mathbf{s}}
\end{equation}$
* نحوه دریافت نمایه:
در$z=h_{\text{liquid}}=h_{\text{liquid}}(x,y)$ فشار جفت است ، بنابراین ساختار به سادگی $const=p_{\text{air}}$ است و محدودیت l.h.s. را می گیرد. روی سطح مایعی که می گیریم باشد
$\begin{equation}
-p\left(x,y,z=h_{\text{liquid}}(x,y)\right)-\rho gh_{\text{liquid}}(x,y)+ \rho\omega^2s^2=p_{\text{air}}
\end{equation}$
$\begin{equation}
-p_{\text{air}}-\rho gh_{\text{liquid}}+\rho\omega^2s^2=p_{\text{air}}
\end{equation}$
$\begin{equation}
\rho gh_{\text{liquid}}=\rho\omega^2s^2
\end{equation}$
$\begin{equation}
h(x,y)_{\text{liquid}}=\frac{\omega^2}{g}(x^2+y^2)
\end{equation}$
روش دوم با توجه به فرض عدم انعطاف پذیری و جریان ثابت ؛
معادله اولر را در یک میدان جاذبه یکنواخت در نظر بگیرید:
$\dfrac{\partial{\vec{v}}}{\partial{t}} + (\vec{v}*{\vec\nabla})\vec{v} = -\vec\nabla{\dfrac{p}{\rho}}+ \vec{g}$
میدان سرعت ذره شیر برقی است ، $\vec \nabla \cdot \vec v$ ، سرعت x و y را می توان با توجه به عملکرد جریان$\Psi$ بیان کرد.
$v_{x} = \dfrac{\partial{\Psi}}{\partial{y}}$
$v_{y} = -\dfrac{\partial{\Psi}}{\partial{x}}$
vz = 0 (فرض می کنم محور z محور چرخش باشد)
با جایگزینی هرمولفه به صورت جداگانه در معادله اولر ، از نظر فشار سطح به شتاب مرکز گریز می رسیم (همانطور که درخواست شد قاب اینرسی).
$x\omega^{2} = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial{p}}{\partial{x}}$
$y\omega^{2} = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial{p}}{\partial{y}}$
$\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial{p}}{\partial{z}}+g = 0$
حال ، انتگرال کلی این عبارات را ارزیابی کنید.
$\dfrac{p}{\rho} = \dfrac{\omega^{2}(x^2+y^2)}{2} - gz + C$
با توجه به p = ثابت در یک سطح آزاد و حل برای z ،
$z = \dfrac{\omega^{2}(x^2+y^2)}{2g}$
سطح شکل یک سهمی وار بیضی گونparaboloid را به خود می گیرد. نباید سردرگمی ایجاد شود. نیروی گریز از مرکز و نیروهای گریز از مرکز فقط ابزارهای مختلفی هستند که برای نزدیک شدن به یک مسئله مشابه استفاده می شوند. نیروی گریز از مرکز در جهت افقی قرار دارد ، نه به سمت بالا همانطور که در توضیح مسئله بیان کرده اید.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست