استوکس بین 2 کره جریان دارد.با توجه به دو کره در حال چرخش با سرعت زاویه ای ثابت $\Omega_1$ و $\Omega_1$ حول محور عمودی و فشار در مرزهای کره ها $ p_1 $ و $ p_2 $ است.، که با مایع بین آنها پر شده است ، با استفاده از معادلات ناویر استوکس ، اجزای سرعت فیزیکی را در مختصات کروی (بدون گرانش ، بدون شرایط لغزش) پیدا کنید.${v_r} = 0,\quad {v_\theta } = 0,\quad {v_\varphi } = f(r)\sin
> \theta$این مشکل جریان استوکس است و من باید تابع $f (r) $ را پیدا کنم
به معادله هایی که من به دست آوردم به این شکل است:$\begin{align}
\frac{{\partial p}}{{\partial r}} &= {\rho _0}\sin^{2}\left( \theta \right)\frac{{{f^2}\left( r \right)}}{r}\tag{1}\\
\frac{{\partial p}}{{\partial \theta }} &= 0\tag{2}\\
\frac{{\partial p}}{{\partial \varphi }} &= \, - \mu \sin\left( \theta \right)\frac{{\left( { - 2f\left( r \right) + {r^2}f''\left( r \right)} \right)}}{r}\tag{3}
\end{align}$
این معادله را حل کنم. راهی برای پیدا کردن $ f (r) $استفاده کنم
وقتی جریان استوکس را در اطراف یک کره جستجو می کردم ، نمونه هایی را پیدا می کردم که در آن vr ، vθ چیزی است که در قالب یک تابع ارائه شده است اما vφ صفر است.
$\frac{\partial p}{\partial \theta}=\rho f^2\sin{\theta}\cos{\theta}$
$\frac{\partial p}{\partial \phi}=\frac{\mu \sin^2{\theta}}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)-2f\right]$
با تقارن ، p تابعی از ϕ نیست. از این رو،
$\frac{d}{d r}\left(r^2\frac{d f}{d r}\right)-2f=0$
این یک جریان استوکس (تعداد رینولدز کم) است و معادلات شعاعی و عرضی فقط عبارتهای اینرسی را شامل می شود. بنابراین می توان آنها را نادیده گرفت. تنها معادله مربوطه معادله در ϕ است
مشکل تعیین حرکت ایجاد شده در یک مایع چسبناک در حالت استراحت در بی نهایت توسط دو کره جامد (مساوی یا نابرابر) است که با سرعتهای ثابت کوچک مساوی با خط مراکز خود حرکت می کنند. همان تجزیه و تحلیل بلافاصله در مورد مشکل مربوطه که در آن کره ها ثابت هستند و جریان سیال از آنها با سرعت ثابت عبور می کند ، قابل استفاده است. این راه حل بر اساس تعیین عملکرد جریان استوکس برای حرکت سیال است و از این طریق نیروهای لازم برای حفظ حرکت کره ها محاسبه می شود.سیال هم دما را در جریان آرام بین دو کره متحدالمرکز در نظر بگیرید که سطوح مرطوب داخلی و خارجی آن به ترتیب شعاع kR و R دارند. حوزه داخلی و خارجی به ترتیب با سرعت زاویه ای $ ω_i $ و $ω_0 $ چرخش هستند. کره ها آنقدر آهسته می چرخند که فرض جریان خزنده معتبر باشد.I hope I help you understand the question. Roham Hesami
رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا