درک حرکت چرخشی در سطح ناهموار

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

درک حرکت چرخشی در سطح ناهموار

پست توسط rohamavation »

من برای به دست آوردن درک شهودی از حرکت چرخشی جسمی که بر روی سطح ناهموار می چرخد ، مشکل دارم و چند سوال در مورد آن دارم.
فرض کنید استوانه ای وجود دارد که به دلیل فشار اولیه بر روی سطح صاف و ناهموار از حالت سکون شروع به چرخش می کند ، مانند شکل زیر (همه پیکانهای مشخص شده نیرو هستند):در این حالت ، سیلندر بدون لغزش هنوز نمی چرخد. تنها نیروی افقی که بر سیلندر وارد می شود نیروی اصطکاک است ، بنابراین گشتاور خالص در مورد مرکز جرم مشخص شده توسط دایره سیاه ، شعاع x نیروی اصطکاکی است که باعث می شود سیلندر به صورت شعاعی شتاب گرفته و سرعت زاویه ای به دست آورد.
با این حال ، من متوجه می شوم که گشتاور خالص سیلندر 0 است اگر محور چرخش را به عنوان پایین سیلندر (نقطه تماس بین زمین و سیلندر) تعیین کنم. اولین سوال من این است که علت این اختلاف چیست؟ من گمان می کنم باید نیرویی در مورد مرکز جرم وجود داشته باشد ، اما من نمی دانم که منبع چنین نیرویی چه چیزی می تواند باشد.
بیایید بگوییم که استوانه برای مدتی می چرخد ​​و سرعت زاویه ای را به نقطه ای می رساند که سرعت مرکز جرم در حال حاضر برابر با شعاع سرعت زاویه ای است. حالا بیایید حرکت چرخشی را برای نورد بدون لغزش در نظر بگیریم (نمودار سمت راست ، پیکان های سیاه سرعت هستند ، پیکان های رنگی نیروها هستند):
من درک می کنم که چگونه سرعت در نقطه تماس نسبت به زمین صفر است. سوال دوم من این است که آیا این بدان معناست که هیچ نیروی اصطکاکی به جز اصطکاک نورد وجود ندارد ، همانطور که در نمودار مشخص کردم؟ من گمان می کنم که باید نیروی اصطکاک ساکن در نقطه تماس وجود داشته باشد ، اما این منطقی نیست زیرا در این صورت اصطکاک استاتیک گشتاور خالص را ایجاد می کند و در نتیجه شتاب زاویه ای پیوسته جسم را ایجاد می کند.
در نهایت ، بیایید همین سناریوها را در سطح شیب دار در نظر بگیریم.
تصویر
باز هم ، پیکان های رنگی نیروها هستند در حالی که تیرهای سیاه سرعتها هستند. سوال اصلی و سوم من این است که در این سناریو پس از شروع به چرخیدن استوانه بدون لغزش چه اتفاقی می افتد. آیا بدون لغزش به چرخش خود ادامه می دهد ، سرعت زاویه ای و سرعت مرکز جرم به همان میزان افزایش می یابد ، یا یکی از دیگری سبقت می گیرد؟ من پیش بینی می کنم که سرعت زاویه ای باید همچنان در حال افزایش باشد ، اما این بدان معناست که W*r> Vcm ، منجر به ایجاد نیروی اصطکاک در شیب و گشتاور خالص در جهت عقربه های ساعت نسبت به نحوه مشاهده آن در صفحه می شود. تلاشهای من برای نشان دادن این امر از نظر ریاضی دشوار بوده است ،
شما یک اشتباه اساسی انجام می دهید: محور چرخش از طریق CoG جسم گرد است ، نه نقطه تماس با کف.
بنابراین گشتاور شما نیروی اصطکاک برابر شعاع جسم گرد است ، همانطور که در زیر با جزئیات بیشتری توضیح داده شده است. این گشتاور باعث شتاب زاویه ای می شود ، با این فرض که جسم در حال حاضر در ω = vr نمی چرخد. اگر جسم بدون لغزش در یک سطح افقی با سرعت ثابت و بنابراین سرعت زاویه ای ثابت می چرخد ​​، اصطکاک لازم نیست زیرا شتاب (یا شتاب) زاویه ای وجود ندارد و بنابراین نیازی به گشتاور نیست.
من درک می کنم که چگونه سرعت در نقطه تماس نسبت به زمین صفر است. سوال دوم من این است که آیا این بدان معناست که هیچ نیروی اصطکاکی به جز اصطکاک نورد وجود ندارد ، همانطور که در نمودار مشخص کردم؟ من گمان می کنم که باید نیروی اصطکاک ساکن در نقطه تماس وجود داشته باشد ، اما این منطقی نیست زیرا در این صورت اصطکاک استاتیک گشتاور خالص را ایجاد می کند و در نتیجه شتاب زاویه ای پیوسته جسم را ایجاد می کند.
بله ، این بدان معناست که تنها یک نوع اصطکاک در مجموعه ایده آل شما وجود دارد.
برای شیب ها ، یکی از نمودارهای شما را به شرح زیر اقتباس کرده ام:
نورد با یا بدون لغزش
اجازه دهید ابتدا بدون لغزش به پرونده نگاه کنیم.
وزن جسم نورد $mg$ را می توان به دو جزء ، یکی موازی با شیب تجزیه کرد:
$F_x=mg\sin\theta,$،
و یک عمود بر آن:
$F_y=F_n=mg\cos\theta.$
جزء عمودی (به سمت شیب) ، که به آن نیروی عادی Fn نیز گفته می شود ، آن است که باعث ایجاد نیروی اصطکاک Ff می شود ، که معمولاً تا حدی ساده به شکل زیر مدل می شود:تصویر
$F_f=\mu F_n,$
با μ مقداری ضریب اصطکاک اگر μ به اندازه کافی بزرگ باشد ، لغزش ایجاد نمی شود. هنگامی که لغزش وجود ندارد ، سرعت خطی v به صورت زیر است:
$v=\frac{2\pi R}{T},$،
و با $\omega=\frac{2\pi}{T}$ (T زمان لازم برای تکمیل یک چرخش است) ،
$v=\omega R.$
نیروی خالص وارد بر جسم در جهت x (موازی با شیب) اکنون می تواند برای ایجاد معادله حرکت نیوتنی استفاده شود:
$F_x-F_f=ma,$
با:
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}.$
بنابراین با جایگزینی ها ، معادله حرکت معادله دیفرانسیل زیر است:
$(\sin\theta - \mu \cos\theta)g = \frac{dv}{dt}.$.
ادغام بین 0.0(برای مثال اما شما می توانید شرایط اولیه خود را تعیین کنید) و t ، v سپس می دهد:
$v=(\sin\theta - \mu \cos\theta)gt.$
در صورت عدم لغزش ، افزایش سرعت را می توان از طریق تعادل انرژی نیز تعیین کرد. همانطور که جسم به سمت پایین می رود انرژی پتانسیل U به انرژی جنبشی K تبدیل می شود ، به طوری که $\Delta U = \Delta K$ از دو جزء ، انرژی جنبشی انتقالی و چرخشی ساخته شده است و می توانیم بنویسیم:
$\Delta U=\Delta K_t+\Delta K_r.$
ΔU ، برای فاصله عمودی h پیموده شده با $\Delta U=mgh$ داده می شود و با عبارات $Delta K_t$ و $\Delta K_r$ بدست می آوریم:
$mgh=\frac{mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2},$ ،
جایی که من لحظه اینرسی و$\omega={v}/{R}$ است. سپس جایگزینی اجازه می دهد تا $v^2$ را جدا کنید.
اکنون اجازه دهید به صورت مختصر به موردی که μ = 0 و سپس $F_f=0$ نگاه می کنیم ، نگاه کنیم.
در مورد لغزش ،$F_f$ یک لحظه (گشتاور) در اطراف مرکز جسم ارائه می دهد و معادله چرخش به شرح زیر است:
$I\dot{\omega}=F_fR,$
جایی که $\dot{\omega}=\frac{d \omega}{dt}$ شتاب زاویه ای است. با $F_f=0$. ,$\dot{\omega}=\frac{d \omega}{dt}=0$در انگلیسی ساده این بدان معناست که شتاب زاویه ای وجود ندارد و اگر جسم در ابتدا نمی چرخید ، این کار را شروع نمی کند. در این حالت حرکت کاملاً ترجمه ای است و چرخشی وجود ندارد.
همچنین به این معنی است که وقتی اصطکاکی وجود نداشته باشد ، تعادل انرژی به موارد زیر کاهش می یابد:
$mgh=\frac{mv^2}{2},$و این بدان معناست که یک شیء کاملاً کشویی سرعت ترجمه بیشتری نسبت به یک چرخان به دست می آورد.
سوال اصلی و سوم من این است که در این سناریو پس از شروع به چرخیدن استوانه بدون لغزش چه اتفاقی می افتد. آیا بدون لغزش به چرخش خود ادامه می دهد ، سرعت زاویه ای و سرعت مرکز جرم به همان میزان افزایش می یابد ، یا یکی از دیگری سبقت می گیرد؟
نه ، اگر در ابتدا لغزش نمی کرد ، هرگز نمی لغزد.
مشتق ضریب اصطکاک بحرانی $\mu_c$
معادله چرخش جسم گرد در شیب به شرح زیر است:
$I\dot{\omega}=F_fR,$
یا:
$I\dot{\omega}=\mu mgR\cos\theta,$ ،
$I\frac{d \omega}{dt}=\mu mgR\cos\theta,$
با فرض ω = 0 ، t = 0 سپس یکپارچه می شویم:
$\omega=(\mu \frac{mgR}{I}\cos\theta)t.$
اکنون ما می توانیم مار را در چمن ببینیم: به نظر می رسد برای مقادیر بزرگ μ ، ω نیز بزرگ می شود و این درست نیست. این خطای ظاهری از این واقعیت ناشی می شود که Ff یک نیروی واکنشی است که نمی تواند خودسرانه بزرگ شود.
حالا دوباره فرض کنید هیچ لغزشی وجود ندارد. ما از بالا می دانیم که در آن زمان t شی سرعت انتقال را نیز بدست آورده است:
$v=(\sin\theta - \mu \cos\theta)gt.$
و همچنین با $v = ωR $، بدست می آوریم:
$(\mu \frac{mgR^2}{I}\cos\theta)t=(\sin\theta - \mu \cos\theta)gt,$
$\mu \frac{mR^2}{I}\cos\theta=(\sin\theta - \mu \cos\theta),$،
بازبینی شده به دست می آوریم:
$\large{\mu_c=\frac{I}{I+mR^2}\tan\theta}.$
این یعنی چی؟ برای اینکه اصلا لغزش نداشته باشیم به موارد زیر نیاز داریم:
$\mu \geq \mu_c$
سپس برای حالت کلی (که در $t=0, \omega=\omega_0$) بدون لغزش است:
$\large{\omega=\omega_0+(\mu_c \frac{mgR}{I}\cos\theta)t}.$
ثانیاً ، برای موردی که اصطکاکی در آن وجود ندارد
همه:
$μ = 0 $
$\large{\omega=\omega_0}.$.
به عبارت دیگر ، در حال حاضر با t = 0$ $می چرخد و با آن سرعت زاویه ای ω0$ $می چرخد. اگر چرخشی نبود ، در هر زمان این کار را شروع نمی کند.
ثالثاً ، برای مورد میانی (برخی لغزش ها):
$\mu_c > \mu > 0$
$\large{\omega=\omega_0+(\mu \frac{mgR}{I}\cos\theta)t}.$
خوب ، این مقدار زیادی جبر و یک حساب ساده بود ، لذت ببرید و امیدوارم مفید باشد!.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست