مسئله ای از آونگ ساده

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
AlirezaEs20

نام: Alireza Eslami

عضویت : جمعه ۱۴۰۰/۷/۳۰ - ۲۲:۲۰


پست: 2



جنسیت:

تماس:

مسئله ای از آونگ ساده

پست توسط AlirezaEs20 »

سلام
یه مسئله از آونگ ساده هست
ممنون میشم جواب بدین smile072
.
.
.
کره ای توخالی را با استفاده از سوراخ کوچکیکه دارد از آب پرمیکنیم و به ریسمان خیلی بلندی می آویزیم،درحالی که سوراخ مزبور در پایین آن قرار دارد.آب به آهستگی از آن می ریزد.
مشاهده می شود که زمان تناوب نوسانات آونگ،اول افزایش و بعد کاهش می یابد.
چرا؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1009

سپاس: 676

جنسیت:

تماس:

Re: مسئله ای از آونگ ساده

پست توسط rohamjpl »

ببین دوست عزیز جواب شما یک کلمه تغییر در مرکز جرم بر دوره زمانی اونگ تأثیر می گذارد؟شما حرکت هارمونیک ساده در نظر بگیریدSimple Harmonic Motion SHMلذا دوره نوسانی شما میشه$T = 2\pi\sqrt{(l+R)/g}$
معادله دوره یک آونگ است.
$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$
این معادله برای طول های ثابت، گرانش ثابت و زوایای کوچک (به طوری که ریسمان افقی نباشد و در نیش کشش وجود داشته باشد) صادق است. با فرض صحت این موارد، شما هیچ اشتباهی در مورد آزمایش انجام نمی دهید. توجه داشته باشید که هیچ اشاره ای به جرم در معادله وجود ندارد، بنابراین تاثیری بر نتایج نخواهد داشت. طول آونگ به عنوان فاصله بین نقطه تعلیق تا مرکز جرم آونگ تعریف می شود. برای سادگی، ریسمان بدون جرم و گرانش ثابت با ارتفاعات کوچک فرض می‌شود.تصویر
از آنجایی که همه جرم ها شتاب یکسانی را تجربه می کنند و جرم به معادله بی ربط است، نشت آب نباید بر دوره نوسان تأثیر بگذارد.
با این حال، آنچه در واقع مشاهده می شود این است که دوره در ابتدا افزایش می یابد و بعداً کاهش می یابد..
طول آونگ به عنوان فاصله بین نقطه تعلیق تا مرکز جرم آونگ تعریف می شود. از آنجایی که مرکز جرم در حال تغییر است (به عنوان آب نشت می کند)، معادله اصلی اعمال نمی شود (از آنجایی که طول ثابت نیست). از طریق محاسبات (پیچیده تر) با طول های مختلف می توان نتایج مشاهده شده را توجیه کرد.به دلیل شواهد مشاهده ای و نظریه عمیق تر تأیید کننده آن، شما آزمایش را درست انجام می دهید.معادله دیفرانسیل که حرکت یک آونگ ساده را نشان می دهد$ {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0}$ ببین ساده بگم بازه زمانی توسط:$$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$$راL در اینجا طول از نقطه تعلیق تا مرکز جرم اونگ است. فرض کنید جرم ما کروی است، همانطور که آب به بیرون نشت می کند، مرکز جرم به سمت پایین تغییر می کند، L افزایش می یابد و در نتیجه دوره زمانی افزایش می یابد.مرکز جرم به مرکز هندسی بازخواهد گشت (که موقعیت اولیه آن زمانی بود که پر از آب بود)، اما به محض اینکه تمام آب به بیرون نشت کرد، L کاهش می یابد و دوره زمانی نیز کاهش می یابد.دوره زمانی آونگ ساده با جرم متغیر خوب اونچه من تو دانشگاه یاد میگیریم کمی پیشرفته تر هست آنچه اتفاق می‌افتد این است که طول مؤثر آونگ، ℓe، برای مدتی افزایش می‌یابد زیرا با خروج جیوه از گوی آونگ، مرکز جرم بیشتر به سمت بیرون حرکت می‌کند. از آنجایی که دوره متناسب با جذر طول است، $T\propto \sqrt{\ell_e}$
، سپس طول موثر بزرگتر به معنای دوره بزرگتر است. در نهایت، باب از مایع تخلیه می‌شود و طول مؤثر به همان جایی که در ابتدا بود (زمانی که گوی پر شد) باز می‌گردد، بنابراین دوره به حالت قبلی باز می‌گردد (کاهش می‌یابد).
مدل‌سازی این با استفاده از مکانیک نیوتنی ممکن است کمی دشوار باشد زیرا طول آونگ و جرم باب با گذشت زمان تغییر می‌کند. یک جایگزین می تواند نگاهی به رویکرد لاگرانژی باشد که در آن انرژی ها (جنبشی و پتانسیل) را در نظر می گیرید:
$L=T-V=\frac{1}{2}m(t)\left(\dot{\ell}^2+\ell(t)^2\dot{\theta}^2\right)+mg\ell(t)\cos\theta$
این منجر به معادلات حرکت می شود،
$\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[m(t)\dot{\ell}\right]-m(t)g\cos\theta&=0 \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[m(t)\ell(t)^2\dot\theta\right]+m(t)g\ell(t)\sin\theta&=0
\end{align}$
توجه داشته باشید که از آنجایی که m(t) داریم جرم متغییر نسبت به زمان
با توجه به زمان متمایز می‌شویم، از آنجایی که به شما گفته شده است که $\mathrm dm/\mathrm dt=\alpha$
، سپس $m(t)\sim m_0+\alpha t$ که در آن m0 جرم اولیه گوی است (سیال + پوسته). اگر فرض کنید $m_0\gg\alpha t$ (یعنی از دست دادن جرم ناچیز است)، می توانید m را در نظر بگیرید.
با این فرض و با استفاده از تقریب زاویه کوچک، معادلات دیفرانسیل را داریم:
$\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[\frac{\mathrm d\ell}{\mathrm dt}\right]-g\left(1-\frac{1}{2}\theta^2\right)&=0\tag{1}\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\ell(t)^2\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right]+g\ell(t)\theta&=0,\tag{2}
\end{align}$
دومی از این دو معادله Sturm-Liouville است. راه حل این بستگی به تابع واقعی برای طول موثر، ℓ(t) دارد. یکی از گزینه‌ها این است که فرض کنیم مرکز جرم به صورت خطی با زمان حرکت می‌کند، $\ell(t)=\ell_0+\beta t$ (حداقل تا $\beta t\geq r$، سپس فقط ℓ0 است زیرا این بدان معناست که جرم به طور کامل از باب تخلیه شده است). همچنین می توانید حجم را برای یافتن مرکز جرم سیال ادغام کنید.
$r_\text{CoM}=\frac{\int z\rho\mathop{}\!\mathrm{d}V}{\int \rho\mathop{}\!\mathrm{d}V},$
و این را به طول اولیه میله، ℓ0 اضافه کنید. البته با فرض اینکه ℓ0≫r
ما را به حالت "غیر جالب" آونگ استاندارد باز می گرداند زیرا طول تقریباً مستقل از زمان است.
من سعی نکرده ام ادامه دهم، اما تصور می کنم که با توجه به شرایط مرزی مناسب، معادله (1) قابل حل است. با این حال، ممکن است روش‌های عددی مورد نیاز باشد.1. ممکن است فرمالیسم همیلتونی شرایط بهتری از توابع ارائه دهد،
نکته در ریاضیات و کاربردهای آن، نظریه کلاسیک استورم-لیوویل، نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم واقعی به شکل زیر است:${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!\!\left[\,p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,}$برای توابع ضریب داده شده p(x)، q(x)، و w(x) و یک تابع مجهول y از متغیر آزاد x. تابع w(x) که گاهی با r(x) نشان داده می شود، تابع وزن یا چگالی نامیده می شود. تمام معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم را می توان به این شکل کاهش داد. این مقادیر λ اگر موجود باشند، ویژه‌مقدارهای مسئلهٔ مقدار مرزی تعریف شده توسط معادلهٔ بالا و شرایط مرزی تعیین شده خوانده می‌شوند. پاسخ‌های متناظر به هر λ، ویژه‌تابع‌های مسئله نامیده می‌شوند. پس اون تغییر در مرکز جرم هست که بردوره نوسان شما تاثیر داره
اثباتش هم میدم اجازه دهید یک مورد کلی را در نظر بگیریم که در آن یک شی Oاز نقطه ثابت P در حال نوسان استتصویر.
cمرکز جرم جسم O است .pنقطه محوری است که جسم به دور آن می چرخد (محور چرخش).
nنیروی طبیعی است که توسط محور P بر جسم O وارد می شود.اجازه دهید ممان اینرسی جسم Oرا I تعریف کنم
فاصله بین نقطه P را بگذارید (فاصله بین مرکز جرم C و محور P می‌توانیم معادله گشتاور جسم O را در مورد نقطه P بنویسیم. تنها نیروهایی که بر جسم وارد می‌شوند، نیروی نرمال (N) و نیروی گرانش (mg) هستند. از آنجایی که نیروی نرمال Nروی محور و نقطه اتکا اثر می کند، گشتاور ناشی از آن صفر است. بنابراین، تنها نیروی گرانشی گشتاور را تامین می کند.
$\vec{\tau} = \vec{l} \times m\vec{g} \tag{1}$
$\tau = I\alpha = -mgl \sin\theta \tag{2}$
علامت منفی ظاهر می شود زیرا گشتاور همیشه سعی می کند زاویه θ را کاهش دهدساده سازی معادله (2)در ادامه، شما دریافت می کنید:
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\frac{mgl}{I} \sin\theta \tag{3}$برای زوایای کوچک θ، تقریب زیر برقرار است:
$\sin \theta \approx \theta \tag{4}$
استفاده از (4)، می توانید بازنویسی کنید (3)مانند$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\frac{mgl}{I} \theta \tag{5}$
معادله کلی برای یک کمیت ϕتغییر هماهنگ بدون میرایی توسط:$\frac{d^2\phi}{dt^2} = - \omega^2\phi \tag{6}$
اگر با دقت مشاهده کنید، معادله (5)شبیه معادله (6) است. با مقایسه این دو معادله به دست می آید:
$\omega^2 = \frac{mgl}{I}$
$\omega = \sqrt{\frac{mgl}{I}} \tag{7}$
همانطور که می دانید دوره زمانی مربوط به ω است
مانند:$T = \frac{2\pi}{\omega} \tag{8}$جایگزین کردن ωاز (7) در معادله (8)، دریافت می کنید
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}} \tag{9}$
معادله بالا دوره زمانی را برای هر جسمی که به طور هماهنگ بدون میرایی با دامنه های کوچک نوسان می کند، نشان می دهد.
آونگ فقط یک مورد خاص از تعمیم فوق است.
جایگزینی مقادیر برای متغیرهای معادله (9)، دریافت می کنید:$T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{mgl}}$
$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$همانطور که در استخراخ و نتیجه مشاهده کردید، l
فاصله بین محور P و مرکز جرم جسم در حال چرخش O است. بنابراین، حرکت مرکز جرم به طور موثر فاصله بین مرکز جرم و محور را تغییر می دهد. این باعث تغییر در دوره زمانی می شود.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست