مرکز جرم مخروط تو خالی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
marm

نام: محمدامین

عضویت : شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۳ - ۱۷:۴۳


پست: 11

سپاس: 3

جنسیت:

مرکز جرم مخروط تو خالی

پست توسط marm »

مرکز جرم یک مخروط توپر و توحالی چگونه مشخص میشود ؟

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2108

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

Re: مرکز جرم مخروط تو خالی

پست توسط rohamjpl »

مرکز جرم نقطه ای است که کل جرم جسم در آن متمرکز می شود. مخروط می تواند یک مخروط توپر یا یک مخروط توخالی باشد. مرکز جرم مخروط توخالی در فاصله 2h/3 از راس و در فاصله h / 3 از قاعده خواهد بود.$\frac{\int_{o}^{h}dmy}{\int_{o}^{h}dm} $
من در مورد این فرمول مطمئن نیستم. اجازه دهید با در نظر گرفتن راس مخروط جامد O(0,0,0) در مختصات استوانه ای (r, θ, z) شروع کنیم. سپس ارتفاع مخروط را h و قاعده مخروط را شعاع a در نظر بگیرید.. در این مورد ما می دانیم که$r = \frac{a}{h} z.$
فرمول مرکز جرم این مخروط را می توان به صورت زیر نوشت$Mz_{m} = \int^{h}_{0} z \mathrm{d}m,$
جایی که m جرم کل مخروط (جامد) و zm محل مرکز جرم است. میتونیم dm بنویسیم مانند
$\mathrm{d}m = \pi \rho \frac{a^{2}}{h^{2}}z^{2}\mathrm{d}z,$جایی که ما dm را در نظر گرفتیم
جرم یک دیسک نازک در ارتفاع z و شعاع r با ضخامت dz باشد . اکنون می توانیم معادله کامل مرکز جرم را به عنوان بنویسیم
$Mz_{m} = \pi\rho\int^{h}_{0}\frac{a^{2}}{h^{2}}z^{3}\mathrm{d}z,$
این می شود$Mz_{m} = \rho Vz_{m} = \frac{1}{4}\pi\rho a^{2}h^{2}.$
می دانیم که حجم یک مخروط $V = \frac{1}{3}\pi a^{2} h$ است ، بنابراین ما پیدا می کنیم
$z_{m} \rho \frac{1}{3}\pi a^{2} h = \frac{1}{4}\pi\rho a^{2}h^{2},$ بنابراین
$z_{m} = \frac{3}{4} h.$ که فاصله از راس مخروط است.
من به مقاطع موازی با پایه نگاه می کنم. شعاع مقطع در ارتفاع z از قاعده $r(h-z)/h$ است، بنابراین مساحت آن $\pi r^2(h-z)^2/h^2$ است. بنابراین عنصر بینهایت کوچک حجم در آن ارتفاع $\pi r^2(h-z)^2\,dz/h^2$ است. ادغام z با توجه به حجم، برای مختصات z مرکز ثقل، به دست می آوریم
$\frac{\displaystyle\iiint z\,dV}{\displaystyle\iint 1\,dV} = \frac{\displaystyle\frac{1}{h^2} \int_0^h z\Big(\pi r^2(h-z)^2\,dz\Big)}{\displaystyle\frac{1}{h^2}\int_0^h \pi r^2(h-z)^2\,dz}.$
عامل $\pi r^2$
به z بستگی ندارد، بنابراین از صورت و مخرج لغو می شود. بنابراین شما دارید
$\frac{\int_0^h z(h-z)^2\,dz}{\int_0^z(h-z)^2\,dz} = \frac{\int_h^0 (h-w)w^2\,(-dw)}{\int_h^0 w^2(-dw)} = \frac{h^4/3 -h^4/4}{h^3/3} = \frac h 4.$
اگر هرمی با قاعده غیر دایره ای دارید، ناحیه در ارتفاع z
ثابت است (ثابت⋅$(\text{constant}\cdot(h-z)^2)$، و "ثابت" به شکل بستگی دارد، اما "ثابت" دوباره به عنوان عاملی هم در صورت و هم در مخرج ظاهر می شود و لغو می شود.
روش سوم تصویر
مرکز جرم یک مخروط یکنواخت به ارتفاع h و شعاع R را بیابید. بگذارید چگالی مخروط ρ باشد.
از نمودار مشخص است که اجزای x و y مرکز جرم یک مخروط 0 است:
$\begin{aligned} x_{CM} &= 0 \\ y_{CM} &= 0 \end{aligned}$از این رو، ما فقط باید $z_{CM}$ را پیدا کنیم
. برای مرکز جرم باید از معادله استفاده کنیم:$z_{CM} = \frac{1}{M} \int z \, dm$
در طول محاسبه، ما به این رابطه نیاز خواهیم داشت (که از مثلث های مشابهی که در نمودار مشاهده می شود به دست می آید):
$\frac{r}{z} = \frac{R}{h}$ما باید dm را پیدا کنیم $\begin{aligned} dm &= \rho \left( \pi r^{2} \right) \, dz \\ &= \rho \pi \frac{R^{2}}{h^{2}} z^{2} \, dz \end{aligned}$ سپس، برای پیدا کردن M
$\begin{aligned} M &= \int \, dm \\ &= \int\limits_{0}^{h} \rho \pi \frac{R^{2}}{h^{2}} z^{2} \, dz \\ &= \rho \pi \frac{R^{2}}{h^{2}} \frac{z^{3}}{3} \Big|_{0}^{h} \\ &= \rho \pi R^{2} \frac{h}{3} \end{aligned}$
اکنون اطلاعات کافی برای محاسبه $z_{CM}$ داریم
$\begin{aligned} z_{CM} &= \frac{1}{M} \int z \, dm \\ &= \frac{1}{M} \int\limits_{0}^{h} z \rho \pi \frac{R^{2}}{h^{2}} z^{2} \, dz \\ &= \frac{\rho \pi}{M} \frac{R^{2}}{h^{2}} \frac{z^{4}}{4} \Big|_{0}^{h} \\ &= \frac{3}{\rho \pi R^{2}h} \rho \pi \frac{R^{2}}{h^{2}}\frac{h^{4}}{4} \\ &= \frac{3}{4} h \end{aligned}$
امیدوارم کمک کند..I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamjpl پنج‌شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۸ - ۰۹:۰۴, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

marm

نام: محمدامین

عضویت : شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۳ - ۱۷:۴۳


پست: 11

سپاس: 3

جنسیت:

Re: مرکز جرم مخروط تو خالی

پست توسط marm »

متشکرم.خوب بود و کارساز

ارسال پست