غیر قابل تشخیص بودن ذرات و تعریف آنتروپی گیبس

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1114

سپاس: 1408

جنسیت:

تماس:

غیر قابل تشخیص بودن ذرات و تعریف آنتروپی گیبس

پست توسط rohamjpl »

من در مورد پارادوکس گیبس مطالعه کرده ام، که در آن این فرض که ذرات یک گاز ایده آل تک اتمی قابل تشخیص هستند منجر به پارادوکسی می شود که در آن آنتروپی گسترده نیست. در کتاب فیزیک حرارتی شرودر، این با فرض اینکه ذرات گاز ایده آل قابل تشخیص نیستند تصحیح می شود و بنابراین تابع کثرت بر N تقسیم می شود$N!$= تعداد ذرات).
این برای من منطقی است، اما سردرگمی من هنگام اعمال این منطق در سیستم های مختلف، به عنوان مثال جامد انیشتین، به وجود می آید. در کتاب درسی، فرمول آنتروپی یک جامد انیشتین $S = Nk\ln\left(\frac{q}{N}+1\right)$ است که q تعداد واحدهای انرژی مشترک بین نوسانگرها و N تعداد نوسانگرها است. این بسیار گسترده است زیرا اگر $q→2q$ و $N→2N$ را جایگزین کنید، آنتروپی دقیقا دو برابر می شود. اما، این فرمول با فرض اینکه ذرات جامد انیشتین قابل تشخیص هستند به دست می‌آید، در حالی که از طرف دیگر آنتروپی گاز ایده‌آل فرض می‌کند که ذرات غیرقابل تشخیص هستند.
سوالات من این است:
چرا فرض اینکه ذرات گاز ایده آل قابل تشخیص نیستند صحیح است، اما اینکه فرض کنیم نوسانگرها در جامد انیشتین غیرقابل تشخیص هستند صحیح نیست؟ این تفاوت بین این دو سیستم به طور خاص چه نتیجه ای دارد، یا آیا یک اصل کلی وجود دارد که می تواند توصیف کند که چه زمانی باید ذرات را غیرقابل تشخیص در نظر گرفت؟
این مفهوم غیرقابل تشخیص چگونه در تعاریف مختلف آنتروپی نقش دارد؟ به طور خاص، من استخراج زیر از فرمول آنتروپی گیبس را خوانده‌ام $S = -k \sum p_i \ln(p_i)$ که در آن مجموع روی همه حالت‌های i اجرا می‌شود و pi احتمال قرار گرفتن ذره در حالت i است). به نظر می رسد که این استخراج قابلیت تمایز ذرات را نیز فرض می کند، زیرا تابع چندگانه که از آن مشتق شده است فقط یک ضریب چند جمله ای است. پس آیا این بدان معناست که این تعریف آنتروپی که برای گاز ایده آل تک اتمی اعمال می شود، نادرست است؟همچنین در یک جامد انیشتین شما ذرات غیرقابل تشخیصی دارید، بنابراین اگر 1N را نگیرید، پارادوکس گیب نیز وجود دارد! در تابع پارتیشن در نظر گرفته شود.
به نکته 2: عدم تمایز در آنتروپی نقش دارد زیرا تعریف بولتزمن این است:
$S=−kBln(Ω)$، که در آن $Ω$ تعداد ریز حالت‌ها نسبت به تعداد کلان حالت‌ها است.
فرمولی که با احتمالات دارید می‌تواند از فرمول آنتروپی بالا استخراج شود، اما عدم تمایز نقش مهمی را ایفا می‌کند زیرا شما $N!$ دارید، جایی که باید از تقریب استرلینگ استفاده کنید:
$\ln N! = N \ln(N) - N$
اگر بخواهید پتانسیل شیمیایی μ را محاسبه کنید این نیز بسیار مهم است زیرا در آنجا باید مشتق ln تابع پارتیشن را با توجه به N بگیرید
نکته چگونه بین ماکسول بولتزمن بوز-انیشتین و آمار فرمی دیراک تفاوت قائل می شوید؟
ذراتی که توسط آمار بوز-انیشتین تنظیم می شوند باید از یکدیگر غیرقابل تشخیص باشند و یک حالت انرژی می تواند توسط دو یا چند ذره اشغال شود. ... ذراتی که توسط آمار فرمی دیراک تنظیم می شوند باید از یکدیگر قابل تشخیص نباشند و یک حالت انرژی می تواند تنها توسط یک ذره اشغال شود.برخلاف آمار فرمی دیراک، آمار بوز-انیشتین فقط برای آن ذرات اعمال می‌شود که محدود به اشغال یک حالت نیستند - یعنی ذراتی که از محدودیت معروف به اصل طرد پائولی پیروی نمی‌کنند.ذرات در اینجا محلی، قابل تشخیص هستند و از اصل طرد پائولی پیروی نمی کنند.
بوز انیشتین
ذرات در اینجا محلی نیستند، غیرقابل تشخیص هستند و از اصل طرد پائولی پیروی نمی کنند.
فرمی دیراک
ذرات در اینجا محلی نیستند، غیرقابل تشخیص هستند و از اصل طرد پائولی پیروی می کنند.
.امیدوارم کمی به شما کمک کند :) smile151 »I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست