توزیع بولتزمان در ترمودینامیک آماری

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1471

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

توزیع بولتزمان در ترمودینامیک آماری

پست توسط rohamjpl »

در مکانیک آماری، آمار ماکسول-بولتزمن توزیع ذرات ماده کلاسیک را در حالت‌های مختلف انرژی در تعادل حرارتی توصیف می‌کند. زمانی که دما به اندازه کافی بالا باشد یا چگالی ذرات آنقدر کم باشد که اثرات کوانتومی ناچیز باشد، قابل استفاده است.در مکانیک و ریاضیات آماری، توزیع بولتزمن (همچنین به آن توزیع گیبس نیز گفته می‌شود) یک توزیع احتمال یا اندازه‌گیری احتمال است که احتمال قرار گرفتن یک سیستم در یک حالت معین را به عنوان تابعی از انرژی آن حالت و دمای سیستم نشان می‌دهد.البته حالت سیستم به عنوان تابعی از انرژی آن حالت و دمای سیستم در نظر گرفته و پارامترهای تابع احتمال را تشکیل می‌دهند. $\large {\displaystyle p_{i} \propto e^{- {\dfrac {\varepsilon_{i}} {kT}}}}$واضح است که در آن $p_i$، احتمال بودن سیستم در حالت i بوده و همچنین $\varepsilon_i$ نیز انرژی را در آن حالت بیان می‌کند. از طرفی KT یک ثابت توزیع محسوب شده که نتیجه حاصل‌ضرب k یعنی «ثابت بولتزمان» (Boltzmann’s constant) و «دمای ترمودینامیکی» (Thermodynamic Temperature) یعنی T است.نسبت احتمالات دو حالت به عنوان «عامل بولتزمان» (Boltzmann Factor)هستش $\large {\displaystyle {\dfrac {p_{i}}{p_{j}} = e^{\dfrac {\varepsilon_{j} – \varepsilon_{i}}{kT}}}}$شرط لازم و کافی برای هم ارزی بین تعریف مکانیک آماری آنتروپی (فرمول آنتروپی گیبس ${\displaystyle S = -k_{\mathrm {B} } \sum_{i} p_{i} \log p_{i} }$ و تعریف «ترمودینامیکی آنتروپی» یعنی رابطه ${\displaystyle dS = {\dfrac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}}$به همراه «رابطه ترمودینامیکی بنیادین» (Fundamental Thermodynamic Relation) محسوب می‌شود.
نکته: توزیع بولتزمان نباید با «توزیع ماکسول–بولتزمان» (Maxwell–Boltzmann distribution) اشتباه گرفته شود. واضح است که توزیع بولتزمان، این احتمال را نشان می‌دهد که یک سیستم در حالت خاصی به عنوان تابعی از انرژی آن حالت باشد، در حالیکه توزیع ماکسول-بولتزمان، برای توصیف سرعت ذرات در گازهای ایده آل به کار می‌رود.توزیع بولتزمن یک توزیع احتمال است از طرفی این تابع باید احتمال این که یک حالت خاص از سیستم اتفاق بیافتد را برحسب تابعی از انرژی و دمای آن حالت سیستم مشخص کند$\large \displaystyle p_{i} = \dfrac {1}{Q} e^{- {\varepsilon }_{i}/kT} = \dfrac {e^{ -{\varepsilon }_{i} / kT}}{\sum_{j = 1}^{M} {e^{{\varepsilon }_{j} / kT}}}$که در آن pi احتمال در حالت i و همچنین εi نیز انرژی را در آن حالت مشخص می‌کند. از طرفی
k ثابت بولتزمن و T نیز دمای سیستم و M نیز تعداد کل حالت‌های قابل دسترس سیستم مورد نظر است. به این ترتیب مشخص است که متغیر تصادفی مربوط به توزیع بولتمن دارای یک توزیع گسسته است و مقادیر متغیر تصادفی یا تکیه‌گاه آن شامل اعداد صحیح مثبت یا اعداد طبیعی است.با مفهوم احتمال براساس نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به کل حالت‌ها، صدق می‌کند. مخرج این کسر یعنی Q و برخی هم Z میگن «تابع پارش» (Partition Function) یا بخش‌های کانونی است.$\large \displaystyle Q = {\sum_{i = 1}^{M}{e^{ -{\varepsilon }_{i} / kT}}}$اما یک محدودیت نیز وجود دارد که مجموع احتمالات تمام حالت‌های در دسترس باید برابر با ۱ باشند. به این ترتیب تابع احتمال بولتزمان برای هر حالت از سیستم حاصل می‌شود. توزیع بولتزمان آنتروپی را به حداکثر می‌رساند، در نتیجه رابطه زیر برقرار است.$\large {\displaystyle H(p_{1}, p_{2}, \cdots ,p_{M}) = -\sum_{i = 1}^{M} p_{i} \log_{2}p_{i}}$البته باید به شرطی که به صورت $\textstyle {\sum {p_{i} {\varepsilon }_{i}}}$ در نظر گرفته می‌شود نیز توجه داشت. به این ترتیب حداکثر آنتروپی، برابر مقدار انرژی میانگین است که می‌تواند با استفاده از ضریب‌های لاگرانژ بدست آید.
«تابع پارش» را زمانی می‌توان محاسبه کرد که انرژی‌های حالت‌های قابل دسترسی در سیستم مورد بحث، مشخص باشند. برای اتم‌ها، مقادیر تابع پارتیشن را می‌توان در پایگاه داده طیف اتمی NIST یافت.
توزیع بولتمن نشان می‌دهد که حالت‌هایی که انرژی کمتری دارند همیشه احتمال رخ‌دادن بیشتری نسبت به حالت‌ها با انرژی بالاتر، دارند. همچنین این رابطه می‌تواند ارتباط بین احتمالات اشغال دو حالت را به ما بدهد. نسبت احتمالات برای حالت i و j به شکل زیر خواهد بود.$\large \displaystyle {\dfrac {p_{i}} {p_{j}} = e^{({\varepsilon }_{j} – {\varepsilon }_{i}) / kT}}$که در آن pi احتمال حالت i و pj نیز احتمال حالت j است. مشخص است که εi و εj انرژی‌های مربوط به حالت‌های متناظر را نشان می‌دهند.
توزیع بولتزمن اغلب برای توصیف توزیع ذرات خرد، مانند اتم‌ها یا مولکول‌ها بر روی وضعیت‌های انرژی قابل دسترسی استفاده می‌شود. اگر سیستمی از ذرات زیادی تشکیل شده باشد، احتمال وجود یک ذره در حالت iام عملاً برابر با این احتمال است که یک ذره تصادفی را از آن سیستم انتخاب و بررسی کنیم که در چه حالتی قرار دارد. به این ترتیب توزیع بولتزمن در حالتi محاسبه می‌شود.این احتمال برابر است با تعداد ذرات در حالت i تقسیم بر تعداد کل ذرات در سیستم. این محاسبه در حقیقت کسری از ذرات است که حالت i را اشغال می‌کنند. این احتمال توسط رابطه زیر بدست می‌آید.$\large {\displaystyle p_{i} = {\dfrac {N_{i}} {N}}}$در رابطه بالا، Ni، تعداد ذرات در حالت i و N نیز تعداد کل ذرات در سیستم است. ممکن است از توزیع بولتزمن برای یافتن این احتمال استفاده کنیم. همان طور که دیده‌ایم براین اساس، احتمال برابر با کسری از تعداد ذرات است که در حالت i هستند. پس معادله‌ای که کسر ذرات را در حالت iنشان می‌دهد، به عنوان تابعی از انرژی آن حالت خواهد بود. به این ترتیب به رابطه زیر خواهیم رسید.$\large \displaystyle {\dfrac {N_{i}}{N}} = {\frac {e^{ – {\varepsilon }_{i} /kT }}{\sum_{j = 1}^{M}{ e^{- {\varepsilon}_{j} / kT} }}}$
این معادله برای طیف سنجی اهمیت زیادی دارد. در طیف سنجی، یک خط طیفی از اتم‌ها یا مولکول‌ها را مشاهده می‌کنیم که علاقه‌مند به رفتن از حالتی به حالت دیگر هستند. برای این که این امکان وجود داشته باشد، باید ذراتی در حالت اول وجود داشته باشند که تحت گذار قرار گیرند. ممکن است بفهمیم که این وضعیت با پیدا کردن کسر ذرات در حالت اول برآورده می‌شود.
اگر این تعداد، ناچیز باشند، انتقال به احتمال بسیار زیاد، در دمایی که محاسبه برای آن انجام شده است، مشاهده نمی‌شود. به طور کلی کسر بزرگتری از مولکول‌ها در حالت اول به معنای تعداد بیشتری از گذارها به حالت دوم است. براین اساس این خط طیفی قوی‌تر بوجود می‌آید. با این حال، عوامل دیگری نیز وجود دارند که بر شدت یک خط طیفی تأثیر می‌گذارد. برای مثال می‌توان به ممنوعیت یا مجاز بودن حالت گذر اشاره کرد.آیا توزیع بولتزمن با فرض اساسی ترمودینامیک آماری در تضاد است؟در فیزیک آماری تعادل، فرض اساسی ترمودینامیک آماری بیان می‌کند که اشغال هر ریز حالت به همان اندازه محتمل است (یعنی$p_i=1/\Omega, S=-k_B\sum p_i\,{\rm ln}\,p_i=k_B{\rm ln}\,\Omega$ اما برای سیستم ایزوله در تعادل، توزیع بولتزمن را نیز داریم که$p_i=e^{-\beta E_i}/Z$ را بیان می‌کند، جایی که Ei سطوح انرژی مجاز است. بنابراین دو پی مطابقت دارند اگر و تنها در صورتی که یک سطح انرژی مجاز وجود داشته باشد. چگونه می توانیم این تعارض را حل کنیم؟احتمالات برابر برای حالت های یک سیستم ایزوله با انرژی کل ثابت در نظر گرفته شده است. هر حالت با این انرژی به همان اندازه محتمل است.
احتمالات بولتزمن برای سیستم‌هایی است که در تماس حرارتی و تعادل با مخزن دمای معین هستند - در این صورت انرژی سیستم ممکن است به دلیل تعامل با مخزن تغییر کند، بنابراین منطقی است که احتمال حالت با انرژی آن مرتبط باشد.چگونه توزیع Maxwell-Boltzmann را استخراج می کنید؟$\begin{align}
-\log\Big(\frac{N_i}{N}\Big) &\propto \frac{E_i}{K_BT}\\
\frac{N_i}{N} &\propto \exp\left( -\frac{E_i}{K_BT}\right)\\
\frac{N_i}{N} &= C \exp\left( -\frac{E_i}{K_BT}\right)
\end{align}$جایی که C ثابتی است که باید تعیین شود.سپس ثابت C را از شرط پیدا کنید$\begin{align}
1 &= \sum_i \frac{N_i}{N}\\
&= \sum_i C \exp\left( -\frac{E_i}{K_BT}\right)\\
&= C \sum_i \exp\left( -\frac{E_i}{K_BT}\right)
\end{align}$و $C= \frac{1}{\sum_j \exp\big(\frac{-E_j}{k_BT}\big)}$و درنهایت $\frac{N_i}{N} = \frac{ \exp\left( -\frac{E_i}{K_BT}\right) }{ \sum_j \exp\big(\frac{-E_j}{k_BT}\big) }$
.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست