تعارض بین معادله برنولی و بقای حرکت؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1467

سپاس: 3151

جنسیت:

تماس:

تعارض بین معادله برنولی و بقای حرکت؟

پست توسط rohamjpl »

معادله معروف برنولی بیان می کند که $P+\frac{\rho V^2}{2}=c$
با این حال، یک بقای حرکت ساده با در نظر گرفتن P1و P2 در دو طرف عمل می کند، و سرعت از V1 به V2 تغییر می کند، $P_1+\rho_1 V_1^2=P_2+\rho_2 V_2^2$ را به دست می دهد که با ضریب 1/2 با برنولی تفاوت دارد.مشکل چیه
ضریب 1/2 از رابطه $\vec v \cdot\nabla \vec v = \nabla \frac{\vec v^2}{2} + (\nabla\times\vec v)\times \vec v$ در معادله بقای تکانه می آید.$\rho \left(\frac{\partial \vec v}{\partial t}+\vec v \cdot\nabla \vec v\right)=\vec g-\nabla p$
$\vec u \equiv \vec v$میدان سرعت است
$p$میدان فشار است
$\vec g$ میدان گرانش است
اگر معادله را ایجاد کنید، با فرض اینکه میدان گرانش از پتانسیلی مانند $\vec g=-\nabla \phi$ ناشی می‌شود.
و این که جریان در حالت ثابت است، یعنی $\frac{\partial \vec v}{\partial t}=0$ سپس:
$\nabla\left(\frac{\vec v^2}{2}+\frac p\rho+\phi\right)+\vec \omega\times\vec v=0$
، جایی که $\vec{\omega}\equiv \nabla \times \vec{v}$عملگر گردابی است
در حالت تعادل، $W=\Delta E_k + \Delta E_p$(کار نیروهای فشار، انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل)
$W=p_{1}A_{1}(v_{1}\Delta t) - p_{2}A_{2}(v_{2}\Delta t)$
$\Delta E_k=\Delta m(v^{2}_{2}- v^{2}_{1})/2$
$\Delta E_p=\Delta mgh_{2}- \Delta mgh_{1}$
جواب دقیق بدم تمایز بین این دو معادله این است که: $p+ \rho u^2=constant$، فقط برای جریان تراکم پذیر 1 بعدی معتبر است در حالی که $p+(1/2) \rho u^2=constant$ است.، برای جریان تراکم ناپذیر معتبر است.
این تفاوت به دلیل جفت شدن معادله تداوم و تکانه در جریان تراکم پذیر است. این جفت برای جریان تراکم ناپذیر وجود ندارد. شما می توانید این را با یک مشتق ساده از معادله اویلر 1D ببینید. معادله اویلر اساساً معادله تکانه است که در آن نیروهای ویسکوز نادیده گرفته می شوند.$\frac{dP}{\rho}+ u du + gdz = 0$
از نیروهای جسم نیز غافل شویم. حالا این می شود:
$\frac{dP}{\rho}+ u du + gdz = 0$
جایی که P فشار است، ρچگالی و u سرعت 1 بعدی است. این برای هر دو جریان تراکم پذیر و غیر قابل تراکم معتبر است. برای استخراج معادله برنولی، شما به سادگی هر دو طرف را ادغام می کنید.$dP=- (\rho u) du$
اگر چگالی، ρثابت است، جریان تراکم ناپذیر است، و شما می توانید $\rho$ را بگیرید
از علامت انتگرال خارج شوید تا معادله برنولی خود را بدست آورید.
$P= -\rho \int{u du} = -\rho \frac{u^2}{2}+constant$
$P+\frac{\rho u^2}{2}=constant$
حال، مورد جریان های تراکم پذیر را در نظر بگیرید. در اینجا نمی توا$P_1 V_1 =P_2 V_2$ برای بدست آوردن $P_1 + \rho {V_1}^2=P_2 + \rho {V_2}^2$ استفاده کنید.
.استخراج از معادله اویلر فقط به دیدن تمایز بسیار آسان کمک می کند.
.من در حال انجام پروژه ای در رابطه با معادلات ناویر-استوکس، اویلر و برنولی هستم.$\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} + u(u \cdot\nabla)\right)=-\nabla p + \rho g$, و برنولی $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 +\rho g h_2.$از اویلر شروع کنید
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+ (u\cdot \nabla) u\right)= -\nabla (p+\rho g z)$و استفاده کنید
$[(u\cdot \nabla) u]_j=(u_i\partial_i) u_j= u_i \partial_j u_i + u_i(\partial_i u_j-\partial_j u_i)$در قالب هویت برداری
$(u\cdot \nabla) u=- u\times (\nabla\times u)+\nabla \left(\frac 12 |u|^2\right)$برای نوشتن آن به عنوان
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}- u\times (\nabla\times u)\right)= -\nabla \left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)$حال جریان ثابتی را در نظر بگیرید که در آن $\partial u/\partial t=0$ است و یک ضرب نقطه ای با u در هر دو طرف بگیرید. شما دریافت می کنید
$(v\cdot \nabla)\left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)=0$که برنولی است یعنی کمیت داخل پرانتز در طول یک خط جریان ثابت است.
برای جریان تراکم پذیر باید بنویسید
$\frac 1 \rho \nabla p= \nabla h$که در آن h آنتالپی خاص است (H=E+PV در واحد جرم) و سپس برنولی تبدیل می شود
$h+ g z+\frac 12|v^2|= constant.$
توجه معادله برنولی فقط برای جریان در امتداد یک خط جریان که در حالت چسبناک، تراکم ناپذیر، ثابت و غیر چرخشی است، کاربرد دارد؟جواب ساده معادله برنولی واقعاً شبیه یک معادله بقای انرژی است: اگر هر دو طرف را در جریان جرم m˙ ضرب کنید (همچنین ثابت فرض می شود) به دست می آید:$\frac12 \dot{m}v^2+\dot{m}gh+\dot{m}\frac{p}{d}=C$این معادله فقط در مورد سیالات غیر لزج کاربرد دارد زیرا سیالات با ویسکوزیته قابل توجه تلفات انرژی ویسکوزیته را تجربه می کنند، که حفظ نمی شوند: انرژی از دست رفته به دلیل اصطکاک چسبناک باید تامین شود،همچنین می‌توان آن را از معادله حرکت اویلر یک عنصر سیال dm که در حال حرکت (منتقل میکند اما نمی‌چرخد) در امتداد یک خط جریان از طریق یک مجرا استخراج کرد:
ذره اویلر:این معادله (توازن نیروهای وارد بر عنصر سیال) به صورت زیر است:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh+\frac{d\sigma_w}{\rho g}=0$جمله چهارم عبارت تنش برشی برای یک سیال چسبناک است. برای یک سیال غیر لزج این جمله صفر می شود، بنابراین:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh=0$با ادغام بین دو نقطه در امتداد یک خط جریان و با فرض تراکم ناپذیری (ρ=ثابت)، به دست می آوریم:$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho g}+\int_{v_1}^{v_2}\frac{vdv}{g}+\int_{h_1}^{h_2}dh=0$و $\implies \frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2g}+(h_2-h_1)=0$
نهایتا
$\frac{p_2}{\rho}+\frac12 v_2^2+gh_2=\frac{p_1}{\rho}+\frac12 v_1^2+gh_1$
استخراج واقعی معادله برنولی از شکل گردابی معادله تراکم ناپذیر ناویر-استوکس می آید. از نظر گردابی، معادله ناویر-استوکس به شکل زیر است:
$\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{V} = -\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right) + \nu \cdot \left(\nabla \times \vec{\omega}\right)$حال اگر جریان ثابت داشته باشیم، $\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = 0$ و اگر جریان را غیر لزج فرض کنیم، معادله کاهش می یابد،
$\vec{\omega} \times \vec{V} = -\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right)$بدیهی است که اگر جریان غیر چرخشی باشد، یعنی$\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$ در این صورت باقی می‌مانیم،
$\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right) = 0$یا معادل آن،
$\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k = \textrm{constant}$این معروف ترین شکل معادله برنولی است که به جریان ثابت، تراکم ناپذیر، نامرغوب و غیر چرخشی نیاز دارد. همچنین یک نکته مهم در مورد این رابطه، چون جریان غیر چرخشی است، می توان معادله برنولی را در سراسر خطوط جریان اعمال کرد. حالا برای موردی که شما مشخص کردید، مثلاً، اگر جریان چرخشی باشد چطور؟ خوب، شما باید جهت کمیت برداری $\vec{\omega} \times \vec{V}$ را در نظر بگیرید. بردار حاصل از$\vec{\omega} \times \vec{V}$ به بردار سرعت و گرداب متعامد است. بنابراین، در امتداد یک خط ساده مقدار $\vec{\omega} \times \vec{V} = 0$بنابراین، معادله حاصل تبدیل به
$\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k = \mathrm{constant\big|_{streamline}}$بنابراین، نتیجه این است که اگر جریان ثابت، تراکم‌ناپذیر، نامرغوب و غیر چرخشی $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$ داشته باشیم، می‌توان معادله برنولی را در سراسر خطوط جریان اعمال کرد. با این حال، اگر جریان چرخشی باشد $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} \neq 0$، ما فقط می توانیم معادله برنولی را در امتداد یک خط جریان اعمال کنیم.hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamjpl سه‌شنبه ۱۴۰۰/۱۱/۵ - ۰۹:۴۳, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 62

سپاس: 25

Re: تعارض بین معادله برنولی و بقای حرکت؟

پست توسط Player »

سیستمی که در معرض میدان گرانشی قرار گرفته، بقای حرکت ندارد؛ بقای انرژی دارد. زمانی که توپی را به هوا میاندازید؛ تکانه توپ در هر لحظه تغییر می کند (بقای حرکت ندارد)، اما انرژی کلش بدون تغییر می ماند. اگر میخواهید با بقای حرکت سیالات را بررسی کنید؛ باید حرکت کره زمین ناشی از گرانش سیال را نیز در نظر بگیرید؛ که خب کار بیهوده ایست و کار بهتر؛ استفاده از بقای انرژیست.

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1467

سپاس: 3151

جنسیت:

تماس:

Re: تعارض بین معادله برنولی و بقای حرکت؟

پست توسط rohamjpl »

داوود جان دقیق درست میگین .البته شما بحث میبرید به میدان گرانشی ببخشید انگار من تو نسبیت کار میکنم منظورم خودمانی Gravitational field intensity همون gکه به جسم اعمال میشه. برای تقریب های ما که مساله حل میکنیم برای امتحان و جواب دان به استاد اینها کافی و درسته .استاد با تاکید کامل هم نمیگه بقای حرکت نداره میگه بقای انرژی دارد میگه قانون بقای انرژی در سیالات است .میگه مفهوم بقا و پیوستگی در سیالات میگه مفهوم تکانه را بفهمید اینم ساده هست یعنی تاکید کامل داشته میگه شما برای جریان تراکم پذیر و ناپذیر از این روشها استفاده کنید برای یک جریان یک بعدی، ثابت، نامرغوب، تراکم پذیر یا تراکم ناپذیر قابل استفاده است.و برای یک جریان ثابت، تراکم ناپذیر، ایزنتروپیک (غیر لزج + آدیاباتیک) قابل استفاده است یعنی اصل برنولی را می توان از اصل بقای انرژی استخراج کرد. این بیان می کند که در یک جریان ثابت، مجموع تمام اشکال انرژی در یک سیال در امتداد یک جریان در تمام نقاط آن جریان یکسان است.من با قاون اول نیوتن حرکت اشنا هستم طبق قانون اول نیوتن، جسم در حال حرکت با همان سرعت و در همان جهت به حرکت خود ادامه می دهد مگر اینکه نیروی نامتعادل بر آن اثر بگذارد همه اجسام در برابر تغییرات حالت حرکت خود مقاومت می کنند. در غیاب نیروی نامتعادل، جسم در حال حرکت این حالت حرکت را حفظ می کند. لازم ذکر هست فشار در یک سیال در یک نقطه از هر جهت یکسان است. اگر "فشار" در دو جهت عمود بر هم متفاوت بود، در این صورت نیروی برشی بر روی سیال در جهت های بین آن دو اثر می گذارد. یک سیال طبق تعریف نمی تواند تنش های برشی را تحمل کند - این تفاوت بین یک سیال و یک جامد است
برای یک سیال غیر چسبناک، تانسور تنش مورب و همسانگرد است. بنابراین تنها یک نیرو در واحد سطح نرمال به سطح وجود دارد که آن فشار است. به جهت سطح در نظر گرفته شده بستگی ندارد.
از طرف دیگر، اگر سطح کوچکی از مواد را در یک سیال قرار دهید، نیرویی متفاوت خواهید دید زیرا جریان را تغییر می دهید.
در نهایت، اگر جریان یک جهته باشد، ذره سیال در جهت های عمود بر جهت جریان شتاب نمی گیرد. اگر ozرا به این جهت نشان دهیم، قانون نیوتن که مطابق با حالت نرمال پیش بینی شده است $\left( -\overrightarrow{\nabla }p+\mu \overrightarrow{g} \right)\cdot \overrightarrow{{{e}_{y}}}=0$ , و$\left( -\overrightarrow{\nabla }p+\mu \overrightarrow{g} \right)\cdot \overrightarrow{{{e}_{x}}}=0$است
: فشار در صفحه عمود بر جریان به صورت ایستا تغییر می کند. این بسیار دور از نقطه برخورد، با خطوط جریان تقریباً موازی اتفاق می افتد.فشار دینامیکی تفاوت بین فشار کل - یعنی فشاری است که در واقع در نقطه داده شده در سیال متحرک با ابزار مناسب اندازه گیری می کنید - و فشار استاتیکی. فشار دینامیکی بخشی از فشار است که با حرکت سیال مرتبط است.
معادله برنولی را می توان با ادغام قانون دوم نیوتن در امتداد یک خط جریان با نیروهای گرانشی و فشار به عنوان تنها نیروهایی که بر یک عنصر سیال وارد می شود، به دست آورد .معادله برنولی را می توان به عنوان پایستگی قانون انرژی برای یک سیال در حال جریان در نظر گرفت. من متوجه شدم که معادله برنولی نتیجه استفاده از این واقعیت است که هر انرژی جنبشی یا پتانسیل اضافی که توسط یک سیستم سیال به دست می‌آید ناشی از کار خارجی انجام شده روی سیستم توسط سیال غیر چسبناک دیگری است.ببینید اصل برنولی را می توان مستقیماً از قانون دوم حرکت نیوتن نیز بدست اورد. اگر حجم کمی از سیال به صورت افقی از ناحیه ای با فشار بالا به ناحیه ای با فشار کم جریان داشته باشد، در آن صورت فشار پشت آن بیشتر از جلو است. این یک نیروی خالص به حجم می دهد و آن را در طول خط جریان شتاب می دهد.در حقیقت ذرات سیال فقط تحت فشار و وزن خود هستند.
چگونه معادله برنولی بیانگر بقای انرژی است؟$W_{nc} = (P_1 - P_2)V$
$W_{nc} = \Delta KE + \Delta PE$
$(P_1 - P_2)V = 1/2mv_2^2 - 1/2mv_1^2 + mgh_2 - mgh_1$و$P_1V + 1/2mv_1^2 + mgh_1 = P_2V + 1/2mv_2^2 + mgh_2$نهایتا $P_1 + 1/2\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + 1/2\rho v_2^2 + \rho gh_2$
من خوانده ام که این صرفاً صرفه جویی در انرژی است، اما چگونه انرژی حفظ می شود حتی اگر یک نیروی غیر محافظه کار ((P1-P2)V) روی سیستم اعمال شود؟ آیا فقط وجود کار غیر محافظه کارانه باعث حفظ انرژی سیستم نمی شود؟ معادله برنولی قطعاً از نظر ریاضی درست است (و بسیار مفید است)، اما برای من سخت است که بپذیرم «انرژی حفظ شده است».
خوب در مفهوم "مکانیک مقدماتی" درست می گویید، انرژی زمانی حفظ می شود که ΔE=ΔK+ΔU=0 برای یک سیستم.
با این حال، در این مورد، کار توسط نیروی(های) مرتبط با فشار انجام می شود. بنابراین می توان این را در تغییر در کل "انرژی" سیستم گنجاند. سپس یک کمیت حفظ شده داریم:
$\Delta E=\Delta K+\Delta U-(P_1-P_2)V=0$
این کمیت حفظ می شود زیرا فشار سیال باعث تغییر انرژی جنبشی و پتانسیل آن می شود.
البته این به این معنی است که این ادعا که اصل برنولی معادل حفظ انرژی است، کاملاً درست نیست،معادله برنولی یک معادله مفید است که از قضیه موسوم به کار-انرژی (نه دقیقاً بقای انرژی) ناشی می شود. این قضیه می گوید: کار نیروهای خارجی وارد بر یک عنصر مایع برابر است با افزایش انرژی جنبشی آن عنصر.
در تنظیم معمول برای معادله برنولی، دو نیرو وجود دارد که می توانند روی عنصر کار کنند: نیروی گرانش و نیروی فشار. اینها با هم انرژی جنبشی مایع را تغییر می دهند.
اجازه دهید عنصر فشار P1 در بالادست و P2 در پایین دست داشته باشد، و اجازه دهید P1>P2 به طوری که نیروهای فشار در بالادست عنصر مایع را با فشار دادن به یک طرف آن از ناحیه S شتاب دهند. مجموع کار توسط این نیروها زمانی که عنصر در امتداد یک طول آن ΔL حرکت می کند. و با Δh به سمت بالا است
کار گرانش + کار نیروهای فشار = افزایش انرژی جنبشی
$- \Delta mg\Delta h + P_1 S \Delta L - P_2 S \Delta L = \frac{1}{2}\Delta m\Delta (v^2)$با تقسیم هر دو طرف بر حجم عنصر $S\Delta L$ و معرفی چگالی $\rho = \Delta m/\Delta V$ بدست می آوریم.
$-\rho g \Delta h + (P_1 - P_2)= \frac{1}{2}\rho \Delta(v^2)$
این هنوز شکل "کار برابر است با افزایش انرژی جنبشی" دارد، اما مرسوم تر است که همه چیز را در یک طرف معادله قرار دهیم:
$\rho g \Delta h + (P_2 - P_1) + \frac{1}{2}\rho \Delta(v^2) = 0.$
عبارت P2-P1 افزایش فشار ΔP است (اگرچه در مورد ما فشار کاهش می یابد، بنابراین ΔP<0. می توانیم نتیجه را بنویسیم.
$\rho g \Delta h + \Delta P + \frac{1}{2}\rho \Delta(v^2) = 0$یا
$\rho g h + P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const.}$
جمله اول انرژی پتانسیل واحد حجم در میدان گرانش، جمله آخر انرژی جنبشی واحد حجم و جمله میانی هم اصلا انرژی نیست. فشار هیچ انرژی پتانسیل مرتبطی با آن ندارد. دلیل این امر این است که اصطلاح فشار فقط به فشار موضعی مایع بستگی دارد، اما مایع تراکم ناپذیر است، یعنی مایع به دلیل فشرده شدن انرژی اضافی ندارد. برای افزایش فشار در مایع تراکم ناپذیر انرژی صفر نیاز است. بنابراین معادله برنولی ("نسخه const") یک معادله بقای انرژی نیست. این یک معادله "قضیه کار-انرژی" است که در "نسخه const" کمی مبهم است اما از "نسخه دلتا" کاملاً آشکار است. اصطلاح فشار به دلیل کار نیروهای فشار خارجی وجود دارد. این نیروها انرژی پتانسیل مرتبط با آنها ندارند.
.استخراج از معادله اویلر فقط به دیدن تمایز بسیار آسان کمک می کند.
.من در حال انجام پروژه ای در رابطه با معادلات ناویر-استوکس، اویلر و برنولی هستم.$\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} + u(u \cdot\nabla)\right)=-\nabla p + \rho g$, و برنولی $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 +\rho g h_2.$از اویلر شروع کنید
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+ (u\cdot \nabla) u\right)= -\nabla (p+\rho g z)$و استفاده کنید
$[(u\cdot \nabla) u]_j=(u_i\partial_i) u_j= u_i \partial_j u_i + u_i(\partial_i u_j-\partial_j u_i)$در قالب هویت برداری
$(u\cdot \nabla) u=- u\times (\nabla\times u)+\nabla \left(\frac 12 |u|^2\right)$برای نوشتن آن به عنوان
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}- u\times (\nabla\times u)\right)= -\nabla \left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)$حال جریان ثابتی را در نظر بگیرید که در آن $\partial u/\partial t=0$ است و یک ضرب نقطه ای با u در هر دو طرف بگیرید. شما دریافت می کنید
$(v\cdot \nabla)\left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)=0$که برنولی است یعنی کمیت داخل پرانتز در طول یک خط جریان ثابت است.
برای جریان تراکم پذیر باید بنویسید
$\frac 1 \rho \nabla p= \nabla h$که در آن h آنتالپی خاص است (H=E+PV در واحد جرم) و سپس برنولی تبدیل می شود
$h+ g z+\frac 12|v^2|= constant.$
توجه معادله برنولی فقط برای جریان در امتداد یک خط جریان که در حالت چسبناک، تراکم ناپذیر، ثابت و غیر چرخشی است، کاربرد دارد؟جواب ساده معادله برنولی واقعاً شبیه یک معادله بقای انرژی است: اگر هر دو طرف را در جریان جرم m˙ ضرب کنید (همچنین ثابت فرض می شود) به دست می آید:$\frac12 \dot{m}v^2+\dot{m}gh+\dot{m}\frac{p}{d}=C$این معادله فقط در مورد سیالات غیر لزج کاربرد دارد زیرا سیالات با ویسکوزیته قابل توجه تلفات انرژی ویسکوزیته را تجربه می کنند، که حفظ نمی شوند: انرژی از دست رفته به دلیل اصطکاک چسبناک باید تامین شود،همچنین می‌توان آن را از معادله حرکت اویلر یک عنصر سیال dm که در حال حرکت (منتقل میکند اما نمی‌چرخد) در امتداد یک خط جریان از طریق یک مجرا استخراج کرد:
ذره اویلر:این معادله (توازن نیروهای وارد بر عنصر سیال) به صورت زیر است:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh+\frac{d\sigma_w}{\rho g}=0$جمله چهارم عبارت تنش برشی برای یک سیال چسبناک است. برای یک سیال غیر لزج این جمله صفر می شود، بنابراین:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh=0$با ادغام بین دو نقطه در امتداد یک خط جریان و با فرض تراکم ناپذیری (ρ=ثابت)، به دست می آوریم:$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho g}+\int_{v_1}^{v_2}\frac{vdv}{g}+\int_{h_1}^{h_2}dh=0$و $\implies \frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2g}+(h_2-h_1)=0$
نهایتا
$\frac{p_2}{\rho}+\frac12 v_2^2+gh_2=\frac{p_1}{\rho}+\frac12 v_1^2+gh_1$
استخراج واقعی معادله برنولی از شکل گردابی معادله تراکم ناپذیر ناویر-استوکس می آید. از نظر گردابی، معادله ناویر-استوکس به شکل زیر است:
$\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{V} = -\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right) + \nu \cdot \left(\nabla \times \vec{\omega}\right)$حال اگر جریان ثابت داشته باشیم، $\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = 0$ و اگر جریان را غیر لزج فرض کنیم، معادله کاهش می یابد،
$\vec{\omega} \times \vec{V} = -\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right)$بدیهی است که اگر جریان غیر چرخشی باشد، یعنی$\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$ در این صورت باقی می‌مانیم،
$\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right) = 0$یا معادل آن،
$\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k = \textrm{constant}$این معروف ترین شکل معادله برنولی است که به جریان ثابت، تراکم ناپذیر، نامرغوب و غیر چرخشی نیاز دارد. همچنین یک نکته مهم در مورد این رابطه، چون جریان غیر چرخشی است، می توان معادله برنولی را در سراسر خطوط جریان اعمال کرد. حالا برای موردی که شما مشخص کردید، مثلاً، اگر جریان چرخشی باشد چطور؟ خوب، شما باید جهت کمیت برداری $\vec{\omega} \times \vec{V}$ را در نظر بگیرید. بردار حاصل از$\vec{\omega} \times \vec{V}$ به بردار سرعت و گرداب متعامد است. بنابراین، در امتداد یک خط ساده مقدار $\vec{\omega} \times \vec{V} = 0$بنابراین، معادله حاصل تبدیل به
$\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k = \mathrm{constant\big|_{streamline}}$بنابراین، نتیجه این است که اگر جریان ثابت، تراکم‌ناپذیر، نامرغوب و غیر چرخشی $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$ داشته باشیم، می‌توان معادله برنولی را در سراسر خطوط جریان اعمال کرد. با این حال، اگر جریان چرخشی باشد $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} \neq 0$، ما فقط می توانیم معادله برنولی را در امتداد یک خط جریان اعمال کنیم.I hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
آخرین ویرایش توسط rohamjpl شنبه ۱۴۰۰/۱۱/۱۶ - ۱۵:۴۰, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 62

سپاس: 25

Re: تعارض بین معادله برنولی و بقای حرکت؟

پست توسط Player »

صرفا اسم کتاب، یا وب سایتی که در آن رابطه بقای حرکت را دیده اید نقل کنید. نیازی به توضیح نیست؛ صرفا می خواهم رابطه را در مکانی دیگر مشاهده کنم؛ چون به نظرم چیزی که نوشته اید منطقی نیست. اگر قرار بر بقای حرکت باشد؛ (مثلا لوله افقی است و جریان در راستای حرکت گرانش تجربه نمی کند)، آنگاه توان اول سرعت در معادله باید ظاهر شود نه توان دوم. آنچه که از کتاب وایت به خاطر دارم هم همین است، برابر قرار دادن دیبای خروجی و دیبای ورودی منجر به توان اول سرعت در رابطه می شد.

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1467

سپاس: 3151

جنسیت:

تماس:

Re: تعارض بین معادله برنولی و بقای حرکت؟

پست توسط rohamjpl »

ببین داوود جان اونچه من دارم میخونم همین هست البته من بد متوجه شدم یا نتونستم منظور خودم را بیان کنم خوب در مورد حالت تراکم ناپذیر حرف من درسته اما در حالت کلی و تراکمپزیر یعنی باروتروپیک قاعدتا حرف شما درست هست و من قبل هم ذکر کردم اما به بیان فرمول ریاضی و توضیح ندادم .در دینامیک سیالات، اصل برنولی بیان می‌کند که افزایش سرعت سیال همزمان با کاهش فشار ساکن یا کاهش انرژی پتانسیل سیال اتفاق می‌افتد.اصل برنولی را می توان از اصل بقای انرژی استخراج کرد. این بیان می کند که در یک جریان ثابت، مجموع تمام اشکال انرژی در یک سیال در امتداد یک جریان در تمام نقاط آن جریان یکسان است. این مستلزم آن است که مجموع انرژی جنبشی، انرژی پتانسیل و انرژی داخلی ثابت بماند جریان باید ثابت باشد، به عنوان مثال، پارامترهای جریان (سرعت، چگالی، و غیره...) در هر نقطه نمی توانند با زمان تغییر کنند،
جریان باید تراکم ناپذیر باشد - حتی اگر فشار متفاوت باشد، چگالی باید در طول یک خط جریان ثابت بماند.
اصطکاک توسط نیروهای ویسکوز باید ناچیز باشد.کاربرد معادله جریان تراکم ناپذیر برای جریان گازها
معادله برنولی برای سیال‌های ایده‌آل معتبر است پس برای جریان تراکم ناپذیر زیباترین چیز در رابطه با معادله برنولی این است که می توان آن را از معادله تکانه به دست آورد اما نشان دهنده بقای انرژی است و از این رو می توان از معادله انرژی نیز استخراج کرد.معادله برنولی اساساً یک تعادل انرژی است. در سمت چپ و راست معادله، شما می توانید سه عبارت نشان دهنده فشار استاتیک موضعی، انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی را ببینید. این موازنه انرژی برای جریان ثابت (بدون تغییر زمانی در خواص جریان) معتبر است و جریان را تراکم ناپذیر فرض می کند (چگالی ثابت بنابراین در شرایط انرژی جنبشی در هر دو طرف rho یکسان است) و غیر لزج (بنابراین بدون کاهش سرعت انرژی جنبشی ناشی از ویسکوزیته).
همچنین هیچ ارزشی ندارد که اگر اختلاف ارتفاع دو نقطه جریان مورد تجزیه و تحلیل کم باشد، می توان از عبارت انرژی پتانسیل گرانشی صرف نظر کرد و فقط فشار استاتیک و شرایط انرژی جنبشی را باقی گذاشت.پس نتیجه فرض برنولی جریان تراکم ناپذیر است. معادله حاصل از بقای تکانه همیشه برقرار است. هنگامی که سرعت کم است (تراکم ناپذیری برقرار است)، دو معادله نتایج مشابهی به دست می دهند.
اصل برنولی را می توان از اصل بقای انرژی استخراج کرد. این بیان می کند که در یک جریان ثابت، مجموع تمام اشکال انرژی در یک سیال در امتداد یک جریان در تمام نقاط آن جریان یکسان است.فرض برنولی جریان تراکم ناپذیر است. معادله حاصل از بقای تکانه همیشه برقرار است. هنگامی که سرعت کم است (تراکم ناپذیری برقرار است)، دو معادله نتایج مشابهی به دست می دهند.
داوود جان تو ویکی پدیا اومده برای یک جریان بی چرخشی، سرعت جریان را می توان به عنوان گرادیان ∇φ پتانسیل سرعت φ توصیف کرد. در آن صورت، و برای یک چگالی ρ ثابت، معادلات تکانه معادلات اویلر را می توان به صورت زیر ادغام کردبرای چگالی ρ ثابت، معادلات تکانه معادلات اویلر را می توان به صورت زیر ادغام کرد:
${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),}$
که معادله برنولی برای جریان های ناپایدار یا وابسته به زمان نیز معتبر است.اینجا $∂φ / ∂t$
نشان دهنده مشتق جزئی پتانسیل سرعت φ با توجه به زمان t، و v = |∇φ| سرعت جریان است. تابع f(t) فقط به زمان و نه به موقعیت در سیال بستگی دارد. در نتیجه، معادله برنولی در لحظه‌ای t نه تنها در طول یک خط جریان خاص، بلکه در کل حوزه سیال اعمال می‌شود. این همچنین برای حالت خاص یک جریان چرخشی ثابت صادق است، که در آن حالت f و ∂φ/∂t ثابت هستند، بنابراین معادله را می توان در هر نقطه از حوزه سیال اعمال کرد.
برای یک سیال تراکم پذیر، با یک معادله حالت باروتروپیک،(جریانی است که در آن فشار فقط تابعی از چگالی است و بالعکس. به عبارت دیگر جریانی است که در آن سطوح ایزوباریک سطوح ایزوپیکنیک هستند و بالعکس.) معادله بقای تکانه ناپایدار میشود .${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}}$با فرض چرخشی، یعنی سرعت جریان را می توان به عنوان گرادیان ∇φ پتانسیل سرعت φ توصیف کرد. معادله بقای تکانه ناپایدار می شود${\displaystyle {\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}\right)=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}}$تجزیه جریان ایزنتروپیک با ورود گردابه به جریان همراه است. بنابراین جریان چرخشی می شود و بخشی از انرژی مکانیکی سیال به انرژی گرمایی تبدیل می شود. همه این عوامل باعث افزایش آنتروپی سیال و در نهایت افزایش کشش می شوند.در دینامیک سیالات، جریان ایزنتروپیک جریان سیالی است که هم آدیاباتیک و هم برگشت پذیر است. یعنی هیچ گرمایی به جریان اضافه نمی شود و هیچ تغییر انرژی به دلیل اصطکاک یا اثرات اتلاف کننده رخ نمی دهد.لذا این اصل فقط برای جریان های ایزنتروپیک قابل اجرا است: زمانی که اثرات فرآیندهای برگشت ناپذیر (مانند تلاطم) و فرآیندهای غیر آدیاباتیک (مانند تابش گرما) اندک هستند و می توان آنها را نادیده گرفت. اصل برنولی را می توان برای انواع مختلفی از جریان سیال اعمال کرد که در نتیجه اشکال مختلف معادله برنولی ایجاد می شود. در جریان باروتروپیک $\nabla \int_0^p \frac{\textrm{d}p}{\rho} = \frac{1}{\rho} \nabla p + \int_0^p \nabla \left(\frac{1}{\rho}\right) \textrm{d}p.$
I hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
آخرین ویرایش توسط rohamjpl شنبه ۱۴۰۰/۱۱/۱۶ - ۱۵:۴۲, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 62

سپاس: 25

Re: تعارض بین معادله برنولی و بقای حرکت؟

پست توسط Player »

گفتم من توضیح نمی خواهم. صرفا جایی که در آن، معادله بقای حرکت $P_1+\rho_1 V_1^2=P_2+\rho_2 V_2^2$ را دیده اید نقل کنید. توی ویکی پدیا چنین رابطه ای را مشاهده نکردم.

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1467

سپاس: 3151

جنسیت:

تماس:

Re: تعارض بین معادله برنولی و بقای حرکت؟

پست توسط rohamjpl »

من در برداشتم اشتباه کردم اون تفاوت مربوط به مطلب زیر هست
تفاوت بین برنولی تراکم پذیر و معادله تکانه تراکم پذیر منبع منبع من
می خواهم بدانم چرا معادله برنولی تراکم پذیر و معادله تکانه متفاوت است؟
معادله برنولی تراکم پذیر است
$\frac{1}{2} u_1^2 + \frac{k}{(k-1)} \frac{p_1}{\rho_1} = \frac{1}{2} u_2^2 + \frac{k}{(k-1)} \frac{p_2}{\rho_2}$
در حالی که معادله تکانه تراکم پذیر است
$p_1 + u_1^2 \rho_1 = p_2 + u_2^2 \rho_2$
جریان یک سیال قابل تراکم را از طریق لوله ای با منطقه A(x) به آرامی در حال تغییر در نظر بگیرید. در اینجا تغییر آهسته به این معنی است که ما می توانیم تمام سرعت های عرضی را نادیده بگیریم. نرخ زمانی تغییر مولفه x تکانه سیال بین دو سطح در x1(t) و x2(t) که حجم متحرک سیال را محدود می کند.
$\dot P=\frac{d}{dt}\int_{x_1(t)}^{x_2(t)} \rho v A dx.$
مولفه x نیروی کل وارد بر همان جسم سیال است
$F=\left.pA\right|_{x_1} - \left. pA\right|_{x_2} + \int_{x_1}^{x_2} p \frac{dA}{dx}dx,$
که در آن انتگرال نیرویی است که به دلیل مولفه طولی گرادیان فشار p(x) توسط دیوار به سیال وارد می شود. (به دلیل عریض شدن لوله، واحد معمولی به دیوار دارای یک جزء غیر صفر در جهت x است.) می‌توان نیروی کل را به صورت بازنویسی کرد.
$F=\int_{x_1}^{x_2} \left(- \frac{\partial}{\partial x}(pA) + p \frac{dA}{dx}\right)dx=
\int_{x_1}^{x_2} \left(-A \frac{\partial p}{\partial x} \right)dx.$
به طور مشابه می توانیم تغییر حرکت را به صورت بنویسیم
$\dot P = \left. \rho v^2 A\right|_{x_2}- \left. \rho v^2 A\right|_{x_1}+ \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial}{\partial t}(\rho v A) dx\nonumber\\
= \int_{x_1}^{x_2} \left(A \frac{\partial \rho v}{\partial t}+ \frac{\partial} {\partial x}(\rho v^2 A)\right)dx.\nonumber$
از آنجایی که P˙=F و x1 و x2 دلخواه هستند، می‌توانیم قانون بقای تکانه محلی را اجرا کنیم
$A\frac{\partial \rho v}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho v^2 A)=- A \frac{\partial p}{\partial x}.$
اکنون ما همچنین بقای جرم داریم، بنابراین
$0=\frac{d}{dt}\int_{x_1(t)}^{x_2(t)} \rho A dx= \left. \rho v A\right|_{x_2} - \left. \rho v A\right|_{x_1} + \int_{x_1}^{x_2} A \frac{\partial \rho}{\partial t}dx\\
=\int_{x_1(t)}^{x_2(t)} \left(A\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \frac{\partial }{\partial x}(\rho v A)\right) dx.$
باز هم، از آنجایی که x1 و x2 دلخواه هستند، ما آن را استنباط می کنیم
A∂ρ∂t+∂∂x(ρvA)=0.
هنگامی که v برابر معادله بقای جرم را از معادله بقای حرکت کم می کنیم، مشتقات A و ρ لغو می شوند و یک نسخه لوله ای از معادله اویلر به دست می آید.
$A\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \frac{\partial }{\partial x}(\rho v A)=0.$.
اگر $v= \partial_x \phi(x,t)$را بنویسیم و آن را مشاهده کنیم
$A(x)\left\{\rho\left( \frac{\partial v}{\partial t}+ v \frac{\partial v}{\partial x} \right)+\frac{\partial p}{\partial x}\right\}=0.$
در جایی که h آنتالپی خاص است، یعنی U+PV در واحد جرم، می‌توانیم بازنویسی کنیم
$\frac{\partial v}{\partial t}+ v \frac{\partial v}{\partial x}= -\frac 1\rho \frac{\partial p}{\partial x}$
مانند
$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \phi}{\partial t} +\frac 12 v^2 +h \right)=0$
این بیانیه که
$\frac{\partial \phi}{\partial t} +\frac 12 v^2 +h$
مستقل از x قضیه برنول برای جریان تراکم پذیر است. این یک تعمیم از این جمله است که آنتالپی برای فرآیندهای دریچه گاز حفظ می شود تا انرژی جنبشی سیال را شامل شود.
ذره که می توانیم از این معادلات استخراج کنیم برای جریان ثابتی است که در آن $\partial_t v$ و $\partial_t \rho$ هر دو صفر هستند. سپس معادله بقای جرم $\partial_x(\rho vA)=0$ یا معادل آن می شود
$\frac 1 \rho \frac{\partial \rho}{\partial x}+ \frac 1 v \frac{\partial v}{\partial x}+\frac 1 A \frac{\partial A}{\partial x}=0.\quad (\star)$
مربع سرعت صوت است
$c^2 =\frac{\partial p}{\partial \rho}$
بنابراین می توان معادله اویلر مستقل از زمان را به صورت بازنویسی کرد
$\rho v \frac{\partial v}{\partial x}=- \frac{\partial p}{\partial x}=- c^2 \frac{\partial \rho}{\partial x}\quad \Rightarrow \quad \frac 1 \rho \frac{\partial \rho}{\partial x}=- \frac{v}{c^2}\frac{\partial v}{\partial x}.$.
در نتیجه (⋆) می شود
$\left( 1- \frac{v^2}{c^2}\right) \frac 1 v \frac{\partial v}{\partial x}= - \frac 1 A \frac{\partial A}{\partial x}.$
این معادله د لاوال است که می گوید برای جریان مادون صوت، باریک شدن لوله باعث افزایش سرعت سیال می شود، در حالی که برای جریان مافوق صوت، یک لوله بازکننده باعث افزایش سرعت جریان می شود. به همین دلیل است که نازل موتور موشک ابتدا به گلویی باریک می‌شود که در آن جریان به ۱ ماخ می‌رسد و سپس منبسط می‌شود و اجازه می‌دهد گاز خروجی مافوق صوت شود.
معادله برنولی برای جریان های باروتروپیک
$\frac{1}{\rho} \nabla p = \nabla \int \frac{\textrm{d}p}{\rho}.$
باید بگویم که این برای یک جریان باروتروپیک است بنابراین p=p(ρ). همچنین از یک نظر سریع در مورد اینکه چگونه دیدن سیالات ایزنتروپیک جریان های باروتروپیک هستند
من سعی کردم با انجام تمایز در زیر انتگرال نشان دهم LHS برابر است، اما از علامت گذاری و ریاضیات گم شده ام. حدس من این است که کرانها از 0 تا p باشند. ، اما اکنون با یک انتگرالی گیر کرده ام که می خواهم بگویم صفر بود، اما نمی دانم چگونه.$\nabla \int_0^p \frac{\textrm{d}p}{\rho} = \frac{1}{\rho} \nabla p + \int_0^p \nabla \left(\frac{1}{\rho}\right) \textrm{d}p.$ثابت برنولی چنین است
$H = \frac{1}{2}u^2 + \Psi + \int \frac{dp}{\rho}$
اولین عبارت انرژی جنبشی خاص است. دوم انرژی پتانسیل گرانشی ویژه است. سومین چیزی است که برخی افراد آن را پتانسیل فشار می نامند.
می‌توانید پتانسیل فشار را به‌عنوان یک اصطلاح انرژی درونی عنصر سیال به‌طور هوشمندانه در نظر بگیرید: در گازهای ایده‌آل (تک اتمی)، انرژی داخلی به حرکت حرارتی ذرات اشاره دارد. برای گازهای واندروالس، انرژی داخلی همچنین شامل انرژی برهمکنش دافعه برد بلند و برهمکنش دافعه برد کوتاه است. در سیالات MHD، انرژی داخلی حتی ممکن است شامل چگالی انرژی مغناطیسی نیز باشد.
این انرژی های داخلی منشأ میکروسکوپی بسیار متفاوتی دارند، اما همه آنها یک ویژگی مشترک دارند: آنها در فشار سیال نقش دارند. به روش دیگر، اگر یک عنصر سیال را جدا کرده و تمام سیال بیرونی اطراف آن را حذف کنیم، این انرژی های داخلی نیروهای کمی دارند که عنصر سیال را به انبساط سوق می دهد.
اما چگونه انرژی داخلی ناشی از فشار را کمی کنیم؟ اکنون به مفهوم پیچیده آنتالپی در مقابل انرژی داخلی می پردازیم. من فکر می کنم ما نمی توانیم انرژی داخلی (متغیرهای طبیعی اشتباه) را کمی کنیم. اما ما می‌توانیم آنتالپی را کمی کنیم
به طور خلاصه، آنتالپی به صورت تعریف می شود
$d\tilde{H} = TdS + VdP$
.آنتالپی اختصاصی:
$d\tilde{h} = \frac{dH}{m} = T\frac{dS}{m} + \frac{V}{m}dP = Tds + \frac{dP}{\rho}$
برای یک سیال ایزوآنتروپیک، هیچ حرارتی بین عناصر سیال منتقل نمی شود، بنابراین آنتروپی خاص تغییر نمی کند
$d\tilde{h} = \frac{dP}{\rho}$
حال، با نگاهی به این موضوع، اگر سیال باروتروپیک باشد، می توانیم h~ را به تنهایی به عنوان یک پتانسیل تفسیر کنیم.
$\tilde{h} = \int \frac{dP}{\rho}$
و اگر این کار را انجام دهیم، پتانسیل فشار h~ به تنهایی میدانی مانند پتانسیل گرانشی Ψ است. به طور ضمنی از طریق میدان چگالی (یا فشار) به موقعیت بستگی دارد. اکنون معادله سوال را به صورت زیر تفسیر می کنیم:
$\begin{align*}
d\tilde{h} &= \frac{dP}{\rho} \\
(\mathbf{\nabla }\tilde{h}) \cdot d\mathbf{r} &= \frac{(\mathbf{\nabla }P) \cdot d\mathbf{r}}{\rho} \\
\mathbf{\nabla }\tilde{h} &= \frac{\mathbf{\nabla }P }{\rho}
\end{align*}$
چرا می توان معادله برنولی را در امتداد دو خط جریان مختلف برای یک جریان غیر چرخشی اعمال کرد؟مطالب زیر در Physics توسط Halliday, Resnick and Krane (ویرایش پنجم) نوشته شده است.
$p + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g y = \mathrm{constant}$
به بیان دقیق، نقاطی که معادله برنولی را روی آنها اعمال می کنیم باید در امتداد یک خط جریان باشند. با این حال، اگر جریان غیر چرخشی باشد، مقدار ثابت برای تمام خطوط جریان در لوله جریان یکسان است، بنابراین معادله برنولی را می توان برای هر دو نقطه در جریان اعمال کرد.
در اینجا p فشار سیال در یک نقطه، ρ چگالی (ثابت فرض شده)، v سرعت عنصر سیال، و y فاصله عمودی عنصر از یک نقطه مرجع ثابت است. از نقطه به نقطه، p، v و y تغییر خواهند کرد.
چگونه می توان ثابت کرد که ثابت در معادله برنولی در امتداد دو خط جریان برای جریان بی چرخشی تغییر نمی کند؟
سیال را می توان غیر چسبناک، تراکم ناپذیر و جریان ثابت فرض کرد.این پاسخ از The Feynman Lectures on Physics, Vol. II، چ. 40: جریان آب خشک، بخش 40-3: جریان ثابت - قضیه برنولی.
دسته‌ای از خطوط جریان مجاور را تصور کنید که یک لوله جریان را همانطور که در شکل نشان داده شده است، تشکیل می‌دهند.
از معادله پیوستگی می توانیم بنویسیم که$A_1 v_1 = A_2 v_2$. چگالی سیال ثابت است. اکنون کار انجام شده توسط فشار سیال را محاسبه می کنیم. کار انجام شده بر روی سیال ورودی در A1 $p_1 A_1 v_1 \Delta t$ است و کار انجام شده در A2 $p_1 A_1 v_1 \Delta t$ است. بنابراین، کار خالص روی سیال بین A1 و A2 است
$p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t \tag1$
که باید برابر با افزایش انرژی جرم ΔM سیال در رفتن از A1 به A2 باشد. به عبارت دیگر،
$p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t = \Delta M (E_2 - E_1) \tag2$
که در آن E1 انرژی در واحد جرم سیال در A1 است و E2 انرژی در واحد جرم در A2 است. انرژی در واحد جرم سیال را می توان به صورت زیر نوشت
$E = \frac{1}{2}v^2 + \phi + U,$
که در آن$\frac{1}{2}v^2$ انرژی جنبشی در واحد جرم است، φ انرژی پتانسیل در واحد جرم است، و U یک عبارت اضافی است که نشان دهنده انرژی داخلی در واحد جرم سیال است. انرژی داخلی ممکن است به عنوان مثال با انرژی حرارتی یک سیال تراکم پذیر یا انرژی شیمیایی مطابقت داشته باشد. همه این مقادیر می توانند از نقطه ای به نقطه دیگر متفاوت باشند.
حالا من فکر می کنم که این انرژی درونی می تواند انرژی چرخشی خالص تک تک مولکول ها را نیز شامل شود. بنابراین، اگر سیال غیر چرخشی باشد، سهم حرکت چرخشی تک تک ذرات صفر خواهد شد. اگر جریان چرخشی باشد، نمی‌توانیم تضمین کنیم که انرژی دورانی مولکول‌ها در واحد جرم در همه جا یکسان است.
با استفاده از این فرم برای انرژی های موجود در (2) داریم$\frac{p_1 v_1 A_1 \Delta t}{\Delta M} - \frac{p_2 v_2 A_2 \Delta t}{\Delta M} = \frac{1}{2}v_2^2 + \phi_2 + U_2 - \frac{1}{2}v_1^2 + \phi_1 + U_1$
4اما $\Delta M = \rho A v \Delta t$، پس می گیریم
$\frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2}v_1^2 + \phi_1 + U_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}v_2^2 + \phi_1 + U_2,$
که نتیجه برنولی با یک عبارت اضافی برای انرژی داخلی است. اگر سیال تراکم ناپذیر و غیرقابل چرخش باشد، اصطلاح انرژی داخلی در هر دو طرف یکسان است و دوباره دریافت می کنیم که
$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g y$
در امتداد هر خط جریانی نگه می دارد.I hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
تصویر

ارسال پست