معادله برنولی برای جریان بین سیلندرها

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1468

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

معادله برنولی برای جریان بین سیلندرها

پست توسط rohamjpl »

بیایید وضعیت زیر را در نظر بگیریم و توجه داشته باشیم که سیلندرهای آب برابر نیستند و آب به سمت راست جریان خواهد داشت
تصویر
توجه داشته باشید که $v_1=v_2$
زیرا آب تراکم ناپذیر است و می توان گفت که این دو ناحیه مساوی هستند.$P_1+\frac{\rho v^2}{2}=P_2+\frac{\rho v^2}{2}$
اما ما قبلاً می دانیم که این دو فشار برابر نیستند زیرا سطح آب برابر نیست و به قول پاسکال آنها متفاوت هستند!
تنها راه حلی که می بینم این است که بگویم معادله برنولی در مواردی که آب شتاب می گیرد
به نظر من این عمدتا یک مشکل "مانومتر نوسانی" است. سیال در مخزن A نوسان می کند و به سمت بالا و پایین حرکت می کند، خارج از فاز با سیال در مخزن B، که همچنین به سمت بالا و پایین نوسان می کند. سیال به طور دوره ای بین مخازن A و B از طریق کانال اتصال جریان می یابد.
در این موضوع تا کنون، به نظر می‌رسد که تحلیل‌های این مشکل بر فشارهای موجود در مکان‌های A و B در همان ورودی لوله اتصال دهنده متمرکز شده است. چیزی که این تحلیل ها در نظر نگرفتند این بود که، در داخل مخزن A، جریان نزدیک به سوراخ خروجی همگرا می شود (یعنی شتاب می گیرد) و در نتیجه، فشار داخل مخزن A در منطقه بلافاصله مجاور سوراخ خروجی در حال کاهش است. . این کاهش فشار نیروی خالص برای جریان شتاب دهنده را فراهم می کند. بنابراین فشار در سوراخ خروجی کمتر از تمام قسمت های پایه مخزن است. به طور مشابه، در مخزن B، جریان خروجی از سوراخ ورودی به مخزن B واگرا و کاهش می یابد، بنابراین فشار در مخزن فراتر از سوراخ ورودی بیشتر از سوراخ است. همه این تغییرات فشار در دو مخزن فقط در چند قطر لوله از سوراخ ها رخ می دهد، بنابراین آنها بسیار موضعی هستند. علاوه بر این، در این شرایط، چون جریان ورودی به لوله همگرا و جریان خروجی از لوله واگرا می شود، دو تغییر فشار عملاً یکدیگر را خنثی می کنند.
اکنون، در اینجا تجزیه و تحلیل من از این مشکل به عنوان یک مانومتر نوسانی است، که معتقدم هدف اصلی مشکل بود:
اگه $h_A(t)$نشان دهنده عمق سیال در مخزن A در زمان t است
ومن همچنین $h_B(t)$نشان دهنده عمق سیال در مخزن B در زمان t قرار بدم
و همچنین $A_A$سطح مقطع مخزن A را نشون بده و اجازه دهید $A_B$سطح مقطع مخزن B را نمایش بده
وρنشان دهنده چگالی سیال باشه من در این تحلیل، انرژی جنبشی سیال در کانال اتصال (در مقایسه با مخازن) که نادیده گرفته می‌شود.با استفاده از پایه مخازن به عنوان مبنا برای انرژی پتانسیل، کل انرژی پتانسیل سیال در هر دو مخزن در هر زمان t برابر است با:
$PE=\rho g A_A\frac{h_A^2}{2}+ \rho g A_B\frac{h_B^2}{2}$
انرژی جنبشی کل سیال در هر دو مخزن در هر زمان t برابر است با:
$KE=\frac{\rho A_Ah_A}{2}\left(\frac{dh_A}{dt}\right)^2+\frac{\rho A_Bh_B}{2}\left(\frac{dh_B}{dt}\right)^2$
بنابراین کل انرژی پتانسیل به اضافه انرژی جنبشی سیال در هر دو مخزن در هر زمان t به صورت زیر بدست می آید:
$PE+KE=\rho g A_A\frac{h_A^2}{2}+ \rho g A_B\frac{h_B^2}{2}+\frac{\rho A_Ah_A}{2}\left(\frac{dh_A}{dt}\right)^2+\frac{\rho A_Bh_B}{2}\left(\frac{dh_B}{dt}\right)^2\tag{1}$
حفظ جرم مستلزم آن است که جرم کل مایع با گذشت زمان تغییر نکند. این مستلزم آن است که:
$h_AA_A+h_BA_B=\bar{h}(A_A+A_B)\tag{2}$جایی که h
ارتفاعی است که مایع موجود در دو مخزن در حالت تعادل خواهد داشت.
از آنجایی که سیال غیر لزج فرض می شود، مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیال باید ثابت باشد. بنابراین، مشتق زمانی مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل باید صفر باشد. اگر از این شرط در رابطه با Eqn استفاده کنیم. 2، پس از یکسری عملیات ریاضی معادله تغییر زمانی عمق مایع در مخزن A را به صورت زیر بدست می آورم
$gH_A+\bar{h}\frac{d^2H_A}{dt^2}+\left[\frac{(A_B-A_A)}{A_B}\right]\left[\frac{1}{2}\left(\frac{dH_A}{dt}\right)^2+H_A\frac{d^2H_A}{dt^2}\right]=0\tag{3}$
که در آن $H_A=h_A-\bar{h}$¯. نمی توان گفت که دو جمله اول در سمت چپ این معادله در HA خطی هستند، اما عبارت داخل پرانتز درجه دوم است. بنابراین، اگر خودمان را به مقادیر کوچک اولیه HA محدود میکنم، عبارت‌های غیرخطی ناچیز می‌شوند و فقط عبارت‌های خطی مهم هستند. راه حل این معادله برای وضعیت خطی شده به صورت زیر است:
$H_A=H_{A0}\cos{\left(\sqrt{\frac{g}{\bar{h}}}t\right)}\tag{4}$که در آن $H_{A0}$ مقدار اولیه HA است
این نتایج کلی با تجزیه و تحلیل مانومترهای نوسانی (با نسبت های خاص مساحت مخزن) ارائه شده مطابق هستشI hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
تصویر

ارسال پست