دمپر اسپرینگspring-damper

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1468

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

دمپر اسپرینگspring-damper

پست توسط rohamjpl »

دمپر اسپرینگspring-damper
سیستم میراگر جرمی فنری یک ابهام زایی بسیار رایج است که در مهندسی هوافضا تدریس میشه مخصوصا بخش ارتعاشات نمونه های عملی این سیستم بیشتر در سیستم تعلیق خودرو دیده می شود. این سیستم از سه عنصر تشکیل شده است: فنر، دمپر و جرم. از این سیستم می توان برای مطالعه پاسخ اکثر سیستم های پویا استفاده کرد.سیستم تعلیق هم بر کنترل خودرو توسط راننده و هم بر راحتی سرنشینان تأثیر می گذارد. فنرها به چرخ‌ها اجازه می‌دهند تا به سمت بالا حرکت کنند تا ضربه‌های موجود در جاده را جذب کنند و لرزش را کاهش دهند، در حالی که دمپرها از بالا و پایین پریدن جلوگیری می‌کنند. پیوندهای مکانیکی مختلف چرخ ها را در یک راستا نگه می دارند.هنگامی که انرژی فنر آزاد می شود، فنر در موقعیت تعادل خود حرکت می کند تا زمانی که به حالت سکون برسد. دمپر در این سیستم برای استهلاک بخشی از انرژی آزاد شده توسط فنر استفاده می شود به طوری که تعداد و دامنه نوسانات ناشی از فنر کاهش می یابد.فرض کنید جسمی به جرم m به فنری با ضریب سختی k متصل است ، جسم به صورت متناوب حول نقطه A0 به عنوان دامنه ابتدایی حرکت بالا و پایین می‌رود و اطراف نقطه‌ تعادل حرکت نوسانی انجام می‌دهد. به دلیل ویسکوزیته‌ مایعی که جسم در آن قرار گرفته است، دامنه‌ نوسانات میرا به مرور زمان کوچک می‌شود. با این حال، اگر نیرویی که باعث میرایی حرکت است، کوچک باشد دوره تناوب و فرکانس حرکت تقریبا ثابت باقی خواهد ماند و جسم در یک بازه‌ زمانی، حرکتی نزدیک به حرکت نوسانی ساده را تجربه خواهد کرد. با این حال، به دلیل عدم پایستگی نیروی میرایی، انرژی در سیستم فنر به گرما تبدیل شده و باعث کاهش دامنه‌ حرکت می‌شود.نیروی خالص وارد بر جسم نیروی کشسانی فنر و نیروی میرایی است. «چرا از نیروی وزن صحبتی نشده است؟» باید بیان کرد که نیروی وزن تنها برای شروع حرکت از حالت سکون بر جسم اثر می‌گذارد و در معادلات حرکت نوسانی تاثیری ندارد. بااعمال قانون دوم نیوتن داریم:$\large ma = -bv – kx\quad\quad (1)$نیروی میرایی ($\large -bv$ ) وابسته به سرعت جسم است و خلاف جهت نیروی کشسانی فنر به سیستم نیرو وارد می‌کند. b را ثابت میرایی می‌نامیم. با استفاده از رابطه‌ میان مکان، سرعت و شتاب رابطه‌ (۱) به شکل زیر در می‌آید:$\large m \frac{d^{2} x}{dt^{2}} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0\quad\quad (2)$
برای حل این معادله، نمودار تغییرات مکان بر حسب زمان را با استفاده از نرم‌افزار‌های رسم منحنی (برای مثال متلب) می‌توان رسم کرد. نمایشگر حرکت یک تابع کسینوسی با دامنه‌ نمایی به صورت $\large A_0e^{−\alpha t}$A است که در آن $\large \alpha = \frac{b}{2m}$ است. بدین ترتیب جواب معادله‌ (۲) برابر است با:$\large x(t) = A_{0} e^{- \frac{b}{2m} t} \cos (\omega t + \phi_{0}) \quad\quad (3)$می‌توان نشان داد که معادله‌ (۳)، پیش‌بینی درستی از جواب معادله‌ (۲) است. برای اثبات این موضوع از رابطه‌ (۳) بر حسب زمان مشتق می‌گیریم و در معادله‌ (۲) قرار می‌دهیم. با انجام محاسبات، مشخص می‌شود که معادله‌ (۳) در صورتی جواب معادله (۲) است که $\large \omega = \sqrt{\frac{k}{m} – \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}}$ باشد.
تغییرات مکان بر حسب زمان برای یک نوسانگر میرا تفسیر جواب‌های معادلات حرکت
در حرکت نوسانی ساده که نیروی میرایی وجود ندارد، سرعت زاویه‌ای یا فرکانس زاویه‌ای حرکت برابر است با:$\large \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$در حالی که فرکانس زاویه‌ای برای حرکت نوسانی میرا به صورت زیر است:$\large \omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} – \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}} \quad (4)$
معادله‌ (۴) نشان می‌ده که با افزایش b، فرکانس کوچک و کوچکتر و در $\large b=\sqrt{4mk}$ صفر می‌شود. در نهایت با ادامه‌ روند افزایش b فرکانس موهومی ‌خواهد شد.فرکانس حرکت نوسانی میرا تغییرات مکان بر حسب زمان به ازای مقادیر مختلف
b را نشان می‌دهد.
حالت‌های مختلف فرکانس میرایی
تغییرات مکان بر حسب زمان برای سه حالت مختلف ضریب میرایی در یک جسم که به فنری متصل شده است و در یک سیال حرکت نوسانی انجام می‌دهد: الف) اگر ضریب میرایی کوچک باشد، جسم حرکت نوسانی انجام می‌دهد و دامنه‌ نوسان به مرور زمان کوچک می‌شود. ب) حالت حدی ضریب نوسانی میرا که در آن فرکانس به سرعت برابر با صفر شده و جسم متوقف می‌شود. ج) حالت فوق میرایی که در آن ضریب میرایی و در نتیجه نیروی میرایی بزرگ است. در این حالت جسم حرکت نوسانی انجام نمی‌دهد، ولی تمایل دارد تا در صورت جابه‌جایی از حالت تعادل یا سکون به حالت تعادل اولیه بازگردد.
برای حرکت نوسانی میرا می‌توان سه حالت را معرفی کرد:اگر ضریب میرایی یا b کوچک باشد $\large b<\sqrt{4mk}$
): در این حالت جسم حرکت نوسانی انجام می‌دهد و دامنه‌ حرکت به صورت نمایی کاهش می‌یابد. این حالت را «زیرمیرایی» (Underdamped) می‌گوییم که در با . در این حالت با کاهش دامنه‌ حرکت، جسم در نهایت به سکون می‌رسد.اگر ثابت میرایی برابر با مقدار بحرانی باشد ($\large b=\sqrt{4mk}$
): سیستم در حالت «میرایی بحرانی» (Critically Damped) است یکی از کاربردهای سودمند میرایی بحرانی در کمک فنرهای یک خودرو است. در این حالت خودرو نوسان نمی‌کند و خیلی سریع به حالت تعادل می‌رسد.
اگر ثابت میرایی برابر با مقدار بحرانی باشد ($\large b>\sqrt{4mk}$
): این حالت که در را «فوق میرایی» (Overdamped) می‌نامیم. در این حالت سیستم بعد از مدت زمان طولانی به تعادل می‌رسد.
فنرها به چرخ‌ها اجازه می‌دهند تا به سمت بالا حرکت کنند تا ضربه‌های موجود در جاده را جذب کنند و لرزش را کاهش دهند، در حالی که دمپرها از بالا و پایین پریدن جلوگیری می‌کنند. پیوندهای مکانیکی مختلف چرخ ها را در یک راستا نگه می دارند.
میراگر انحرافی (گاهی اوقات به عنوان سیستم تقویت پایداری نیز شناخته می‌شود) سیستمی است که برای کاهش (یا مرطوب کردن) تمایلات نامطلوب یک هواپیما به نوسان در یک حرکت غلتشی و انحرافی مکرر استفاده می‌شود، پدیده‌ای که به نام هلندی رول شناخته می‌شود.شما به راحتی سرنشینان خودرو در دست اندازها نگاه کنید یا در یک هواپیما موقع لندینگ و لحظه تاج داون ببینید چقدر نرم فرود میاد وقتی لندینگ گیر با باند تماس میگیره همه به لطف همین میراکننده یا دمپر هست خوب در لمس پایین سه حالت ممکن وجود دارد:تصویر
تصویر
ارابه فرود اصلی ابتدا زمین را لمس می کنه سپس هواپیما با سرعت زاویه ای $\omega_L$ به سمت پایین می چرخد. بنابراین، سرعت ضربه گیر دنده فرود دماغه شما است
$V_{Impact} = \omega_L \cdot d$: dفاصله بین ارابه فرود اصلی و دماغه ای.
ارابه فرود دماغه ابتدا زمین را لمس می کند. (فعلا خالیه، اگه وقت کنم بعدا در موردش مینویسم)
هر دو ارابه فرود به طور همزمان زمین را لمس می کنند. برای زاویه لغزش γ سرعت ضربه به صورت زیر خواهد بود:
$V_{Impact} = V\cdot \sin(\gamma)$
V: سرعت هواپیماسفتی (k) و ویژگی میرایی (c) ارابه فرود عمدتاً به سیستم تعلیق و تایرهای مورد استفاده بستگی دارد. لاستیک هایی که با فشار نامناسب باد می شوند می توانند واقعا خطرناک باشند زیرا می توانند بار روی ارابه فرود را افزایش دهند.
قرار دادن این داده ها در یک مدل دمپر فنری جرمی مانند تصویر
معادله ای برای حرکت دنده فرود دماغه به شما می دهد:
$m\cdot \ddot{x}+c\cdot \dot{x}+k\cdot x = -m\cdot g$
برای جرم کاهش یافته m در مدل از جرم حمل شده توسط ارابه فرود دماغه استفاده کنید.
$m = LM \cdot \frac{d-d_{CG}}{d}$
$d_{CG}$: فاصله از ارابه فرود دماغه تا مرکز ثقل LM: جرم فرود هواپیما g: ثابت گرانش شرط اولیه برای معادله دیفرانسیل:
$\dot{x}(t=0) = -V_{Impact}$ضربه در t=0 رخ می دهد.
برای محاسبه نیروی وارد بر دنده فرود دماغه فقط باید حداکثر شتاب را بیابید و بارهای استاتیکی و دینامیکی را اضافه کنید:
$F_{max}=-m\cdot g -m\cdot \ddot{x}_{max}$
میرایی بحرانی به عنوان آستانه بین میرایی بیش از حد و میرایی کم تعریف می شود. در حالت میرایی بحرانی، اسیلاتور در سریع ترین زمان ممکن و بدون نوسان به حالت تعادل باز می گردد و حداکثر یک بار از آن عبور می کندتصویر
تصویر
یک جعبه بزرگ با جرم m و فنر k در داخل آن قرار دارد. این جعبه توسط دمپر c به دیوار سمت چپ اتاق میرا می شود. من یک نیروی F(t) به کنار جعبه وارد می کنم، که باعث می شود هم جعبه و هم شاید جرم داخل آن حرکت کنند. x از سمت چپ اتاق تا مرکز جرم اندازه گیری می شود، بنابراین x هم زمانی که جعبه حرکت می کند و هم زمانی که جرم داخل جعبه حرکت می کند افزایش می یابد.
آنچه من تصور می کنم اتفاق می افتد این است که برای توابع اجباری فرکانس پایین، فنر اساسا وجود ندارد و معادله حرکت به نظر می رسد:$F(t) = m\ddot{x} + c\dot{x}$
هنگامی که فرکانس تابع اجباری به فرکانس رزونانس سیستم نزدیک می شود، نه تنها جعبه به سمت راست حرکت می کند، بلکه جرم به شدت در داخل جعبه حرکت می کند. من کاملاً مطمئن نیستم که معادله حرکت برای این مورد چگونه است.
من به دنبال یک معادله دیفرانسیل هستم که هر دوی اینها را شامل شود - توابع اجباری فرکانس پایین و فرکانس بالا.
$\frac{w_n^2}{s^2 + 2{w_n}{\zeta}s + {w_n^2}} $
به نظر نمی‌رسد این تابع انتقال آن چیزی را که من می‌خواهم مدل کند، حتی اگر این تابع انتقال سیستم مرتبه دوم عمومی است.جابجایی جعبه (جایی که به دمپر و فنر متصل است) را y(t) بنامید.نیروی دمپر است $-c\cdot \dot{y}$
نیروی فنر است$k\cdot(x - y)$y(t) نقطه ای است که در آن سه نیروی وارد بر آن به صفر متعادل می شوند:
$F - c\cdot \dot{y} + k\cdot(x - y) = 0$x(t) فقط به نیروی فنر و جرم بستگی دارد:
$k\cdot(x - y) + m\cdot \ddot{x} = 0$
ترکیب کنید و حل کنید اولین گام، میراگر ویسکوز (Viscous Damper) را مورد بررسی قرار میدمVib رایگان Damped. ارتعاش آزاد (بدون نیروی خارجی) یک سیستم با درجه آزادی منفرد با میرایی چسبناک را می توان به این صورت نشان داد، میرایی که نیروی میرایی متناسب با سرعت جرم ایجاد می کند معمولاً به عنوان "میرایی چسبناک" نامیده می شودمیرایی ویسکوز نیز به دستگاه های میرایی اشاره دارد. اغلب آنها با ایجاد نیرو یا گشتاور مخالف حرکت متناسب با سرعت، حرکت را میرا می کنند. این ممکن است تحت تأثیر جریان سیال یا حرکت ساختارهای مغناطیسی قرار گیرد. اثر مورد نظر بهبود نسبت میرایی است ارتعاشات بدون میرایی چسبناک
میرایی ویسکوز میرایی است که متناسب با سرعت سیستم است. یعنی هرچه جرم سریعتر حرکت کند، نیروی میرایی بیشتری در برابر آن حرکت مقاومت می کند. سیالاتی مانند هوا یا آب نیروهای کششی چسبناک تولید می کنند.
نیروی میراگر ویسکوز (لزجی) F با سرعت ˙x یا v متناسب است و می‌توانیم آن را به صورت زیرتعریف میکنم $\large F\: =\:- c\dot{x}$در رابطه بالا، c ثابت میرایی یا ضریب میراگر ویسکوز نام دارد و علامت منفی نیز نشان دهنده این است که نیروی میرایی در خلاف جهت سرعت وارد می‌شود. سیستم یک درجه آزادی با میراگر ویسکوز اگر x نسبت به موقعیت تعادل جرم m
اندازه گرفته شود،ما فقط میراگرهای چسبناک خطی را در نظر می گیریم، جایی که نیروی میرایی به طور خطی با سرعت متناسب است. معادله نیرو یا گشتاور تولید شده توسط دمپر، در x یا θ، به صورت زیر است:\vec{F{_c}} =c \vec{\dot{x}}$$و$\vec{M{_c}} =c \vec{\dot{\theta}}$
جایی که c ثابت میرایی است که یک ویژگی فیزیکی دمپر است (بر اساس نوع سیال، اندازه پیستون و غیره). توجه داشته باشید که واحدهای c بسته به خطی بودن آن (N-s/m) یا حرکت چرخشی (N-m s/rad) تغییر می کند.
سیستم جرم- فنر-دمپر خطی 1DOF
دیاگرام جسم آزاد سیستم در وضعیت تعادل. فنر در وضعیت تعادل خود قرار دارد، اما کشیده شده است و نیرویی تولید می کند.
هنگامی که سیستم در وضعیت تعادل در حالت سکون است، دمپر هیچ نیرویی بر روی سیستم ایجاد نمی کند (بدون سرعت)، در حالی که فنر می تواند نیرویی را روی سیستم ایجاد کند، مانند جرم آویزان که در بالا نشان داده شده است. به یاد بیاورید که این موقعیت تعادل است، اما فنر در طول کشش نشده خود نیست، زیرا جرم ساکن باعث ایجاد انبساط فنر می شود.تصویراگر سیستم را مختل کنیم (با اعمال یک جابجایی اولیه، یا سرعت اولیه یا هر دو)، سیستم تمایل دارد به موقعیت تعادل خود برگردد. اینکه این حرکت چگونه به نظر می رسد به پارامترهای سیستم (m، c و k) بستگی دارد.
سیستم جرم- فنر-دمپر خطی 1DOF در موقعیت آشفته
دیاگرام جسم آزاد سیستم در موقعیت آشفته. از آنجایی که فنر در وضعیت تعادل خود است (نه کشیده یا بدون کشش)، نیرویی تولید نمی کند.
برای تعیین معادله حرکت سیستم، چارت جسم آزاد سیستم را با اغتشاش رسم می کنیم و قانون دوم نیوتن را اعمال می کنیم.
فرآیند یافتن معادله حرکت سیستم دوباره به صورت زیر است:
سیستم را با یک اغتشاش مثبت کوچک (x یا θ) ترسیم کنید.
دیاگرام جسم آزاد سیستم آشفته را رسم کنید. اطمینان حاصل کنید که نیروی فنر و نیروی دمپر دارای جهت مخالف اغتشاش هستند.
با استفاده از قانون دوم نیوتن، یک معادله حرکتی سیستم را در مختصات آشفته پیدا کنید. همان جهت مثبت را برای موقعیت نگه دارید و شتاب مثبت را در همان جهت تعیین کنید.
همه عبارت های معادله را به یک سمت ببرید و بررسی کنید که همه عبارت ها مثبت باشند. اگر همه عبارت ها مثبت نباشند، در جهت جابجایی، شتاب و/یا نیروی فنر یا دمپر خطا وجود دارد.
برای سیستم مثال بالا، با جرم m، ثابت فنر k و ثابت میرایی c، موارد زیر را به دست می‌آوریم:$\sum F_x = m a_x = m {\ddot{x}}$
$-F_k - F_c = m {\ddot{x}}$
$-k x - c \dot(x) = m {\ddot{x}}$
$m {\ddot{x}} + c \dot(x) + k x = 0$این یک معادله دیفرانسیل به ما می دهد که حرکت سیستم را توصیف می کند. ما می توانیم آن را به شکل عادی بازنویسی کنیم:$m {\ddot{x}} + c \dot{x} + k {x} = 0$
$\Rightarrow \, {\ddot{x}} + \frac{c}{m} \dot{x} + \frac{k}{m} {x} = 0$
$\Rightarrow \, {\ddot{x}} + 2 \zeta \omega_n \dot{x} + \omega_n^2 {x} = 0$مانند قبل، اصطلاح ωn فرکانس طبیعی زاویه ای سیستم نامیده می شود و دارای واحدهای راد بر ثانیه است.$\omega_n^2 = \frac{k}{m}$,$\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$ζ (زتا)ζ نسبت میرایی نامیده می شود. این یک اصطلاح بدون بعد است که سطح میرایی و در نتیجه نوع حرکت سیستم میرا شده را نشان می دهد.$\zeta = \frac{c}{c_c}$,$\zeta = \frac{\text{actual damping}}{\text{critical damping}}$عبارت میرایی بحرانی از حل معادله دیفرانسیل می آید. حل معادله دیفرانسیل سیستم به شکل زیر است:$x(t) = ae^{rt}$در جایی که a یک ثابت است و مقدار(های) r را می توان با تفکیک این شکل کلی حل و جایگزینی در معادله حرکت به دست آورد.$m r^2 e^{rt} + c r e^{rt} + k e^{rt} = 0$,$\Rightarrow (m r^2 + c r + k ) e^{rt} = 0$از آنجایی که جمله نمایی هرگز صفر نمی شود، می توانیم هر دو طرف را بر آن جمله تقسیم کنیم و به دست آوریم:$m r^2 + c r + k = 0$با استفاده از فرمول درجه دوم، می توانیم ریشه های معادله را پیدا کنیم:$r_{1,2} = (\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m})$میرایی بحرانی زمانی اتفاق می افتد که عبارت زیر علامت ریشه مربع برابر با صفر باشد:$c_c^2 = 4 m k$,$c_c = 2 \sqrt{m k} = 2m \omega_n$چهار مورد میرایی چسبناک
چهار حالت اساسی برای نسبت میرایی وجود دارد. برای راه حل هایی که در هر مورد دنبال می شود، فرض می کنیم که جابجایی اغتشاش اولیه سیستم x0 و سرعت اغتشاش اولیه سیستم v0 است. ζ = 0: میرا نشده.$c =0$
این موردی است که در بخش قبل توضیح داده شد. سیستم های بدون میرا به طور مداوم در مورد موقعیت تعادل نوسان می کنند، مگر اینکه نیروی دیگری اعمال شود.پاسخ سیستم بدون تعدیل پاسخ یک سیستم بدون میراگر
ζ > 1: بیش از حد میرایی.$c^2 > 4mk$
ریشه ها هم واقعی و هم منفی هستند، اما با هم برابر نیستند. سیستم های بیش از حد میرایی به آرامی بدون نوسان به سمت تعادل حرکت می کنند.$x(t) = a_1 e^{(\frac{-c + \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m} ) t} + a_2 e^{(\frac{-c - \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m} ) t}$,.,$a_1 = \frac{-v_0 + r_2 x_0}{r_2 - r_1}$,$a_2 = \frac{v_0 + r_1 x_0}{r_2 - r_1}$ζ = 1: بحرانی میرایی.$c^2 = 4mk \, (=c_c^2)$ریشه ها واقعی هستند و هر دو برابر با -ωn هستند. سیستم‌های با میرایی بحرانی امکان بازگشت سریع‌ترین بازگشت به تعادل را بدون نوسان می‌دهند.راه حل برای یک سیستم با میرایی بحرانی این است:$x(t) = (A + Bt) e^{-\omega_n t}$اینجا$A = x_0$و$B = v_0 + x_0 \omega_n$اگرζ < 1: کم میراشد.$c^2 < 4mk$ریشه ها اعداد مختلط هستند. سیستم های کم میرا حول نقطه تعادل در نوسان هستند. برخلاف سیستم‌های بدون میرا، دامنه نوسانات کاهش می‌یابد تا زمانی که سیستم در نهایت در موقعیت تعادل متوقف شود.
پاسخ یک سیستم کم میرایی
راه حل برای سیستم کم میرایی:$x(t) = \lbrack C_1 \sin (\omega_d t) + C_2 \cos(\omega_d t) \rbrack e^{-\omega_n \zeta t}$و$C_1 = \frac{v_0 + \omega_n \zeta x_0}{\omega_d}$و$C_2 = x_0$و$\zeta = \frac{c}{2m \omega_n}$این به طور متناوب می تواند به صورت زیر بیان شود:$x(t) = A \sin (\omega_d t + \phi) e^{-\omega_n \zeta t}$و$A = \sqrt{\frac{(v_0 + \omega_n \zeta x_0)^2 +(x_0 \omega_d)^2}{\omega_d^2}}$و$\phi = \tan^-1 \left( \frac{x_0 \omega_d}{v_0 + \omega_n \zeta x_0}\right)$و$\zeta = \frac{c}{2m \omega_n}$کهωd فرکانس طبیعی میرا شده سیستم نامیده می شود. همیشه کمتر از ω است:$\omega_d = \sqrt{1-\zeta^2} \omega_n$دوره پاسخ کم میرایی با پاسخ میرایی نشده نیز متفاوت است.$\text{Undamped: } \tau_n = \frac{2 \pi}{\omega_n}$و$\text{Underdamped: } \tau_d = \frac{2 \pi}{\omega_d}$در شکل بالا، می بینیم که پاسخ میرایی بحرانی منجر به بازگشت سریع سیستم به حالت تعادل می شود. همچنین، می بینیم که دامنه سیستم کم میرا در مقایسه با مورد بدون میرا بسیار ضعیف شده است.اغلب، سیستم‌های مکانیکی تحت ارتعاش آزاد قرار نمی‌گیرند، اما تحت تأثیر نیروی اعمالی قرار می‌گیرند که باعث ارتعاش سیستم می‌شود. در این بخش فقط نیروهای هارمونیک (یعنی سینوسی و کسینوس) را در نظر می گیریم، اما هر نیروی متغیری می تواند ارتعاش ایجاد کند.
هنگامی که چارت جسم آزاد سیستم را در نظر می گیریم، اکنون یک نیروی اضافی برای اضافه کردن داریم، یعنی تحریک هارمونیک خارجی.سیستم بدون میراگر با عملکرد اجباری
یک سیستم چشمه جرم با نیروی خارجی، F، که یک تحریک هارمونیک را اعمال می کند.معادله حرکت سیستم فوق به صورت زیر خواهد بود:$F = F_0 \sin \omega_0 t$جایی که F نیرویی از شکل:$F = F_0 \sin \omega_0 t$
این معادله حرکت برای سیستم را می توان به شکل استاندارد بازنویسی کرد:${\ddot{x}} + \frac{k}{m} {x} = \frac{F_0}{m} \sin \omega_0 t$
راه حل این سیستم از برهم نهی دو راه حل تشکیل شده است: یک راه حل خاص، xp (مربوط به تابع اجباری)، و یک راه حل مکمل، xc (که راه حل سیستم بدون اجبار است).
راه حل تکمیلی راه حلی برای سیستم آزاد بدون میرایی است:
ما می توانیم راه حل خاص را با فرض حل شکل به دست آوریم:$x_p = D \sin (\omega_0 t)$
جایی که ω0 فرکانس تابع اجباری هارمونیک است. ما این شکل از راه حل را متمایز می کنیم، و سپس در معادله حرکت فوق زیر قرار می دهیم:$\ddot{x_p} = - \omega_0^2 D \sin (\omega_0 t)$
با حل D، D و راه حل خاص، xp را پیدا می کنیم:$-m \omega_0^2 D \sin (\omega_0 t) + k D \sin (\omega_0 t) = F_0 \sin ( \omega_0 t)$
بنابراین، راه حل کلی برای یک سیستم اجباری و بدون میرا به صورت زیر است:$D = \frac{\displaystyle \frac{F_0}{k}}{1- \left( \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_n} \right)^2}$و$x_p = \frac{\displaystyle \frac{F_0}{k}}{1- \left( \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_n} \right)^2} \sin ( \omega_0 t)$
راه حل مکمل
حل مکمل معادله حرکت. این نشان دهنده پاسخ طبیعی سیستم است و در فرکانس طبیعی زاویه ای نوسان می کند. این پاسخ گذرا است.
حل خاص معادله حرکت. این نشان دهنده پاسخ اجباری سیستم است و در فرکانس اجباری زاویه ای نوسان می کند. این پاسخ حالت ثابت است.
حل کلی معادله حرکت. این پاسخ ترکیبی سیستم و مجموع پاسخ های مکمل (یا طبیعی) و خاص (یا اجباری) را نشان می دهد.
شکل های بالا دو پاسخ را در فرکانس های مختلف نشان می دهند. به یاد بیاورید که مقدار ωn از ویژگی های فیزیکی سیستم (m, k) و ω0 از نیروی اعمال شده به سیستم می آید. این پاسخ ها برای دستیابی به پاسخ آبی (راه حل عمومی) در شکل سوم جمع بندی شده اند.
پاسخ حالت پایدار$x_G(t) = \frac{ \displaystyle \frac{F_0}{k}}{1- \left( \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_n} \right)^2} \sin ( \omega_0 t) + C \sin (\omega_n t + \phi)$
در واقع، این پاسخ بر روی هم دوام چندانی ندارد. هر سیستم واقعی مقداری میرایی دارد و پاسخ طبیعی سیستم از بین خواهد رفت. با این حال، تا زمانی که نیروی هارمونیک خارجی اعمال شود، پاسخ به آن باقی خواهد ماند. هنگام ارزیابی پاسخ سیستم به یک تابع اجباری هارمونیک، معمولاً پاسخ حالت پایدار را در نظر می گیریم، زمانی که پاسخ طبیعی میرا شده و پاسخ به تابع اجباری باقی می ماند.
دامنه ارتعاش اجباری
دامنه ارتعاش اجباری حالت پایدار به نسبت فرکانس اجباری به فرکانس طبیعی بستگی دارد. با نزدیک شدن ω0 به ωn (نسبت به 1 نزدیک می شود)، قدر D بسیار بزرگ می شود. ما می توانیم ضریب بزرگنمایی را تعریف کنیم:
$MF = \displaystyle \frac{ \frac{\displaystyle \frac{F_0}{k}}{1- \left( \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_n} \right)^2}}{\displaystyle \frac{F_0}{k}} = \frac{1}{1- \left( \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_n} \right)^2}$
ضریب بزرگنمایی
ضریب بزرگنمایی، MF، به عنوان نسبت دامنه ارتعاش حالت پایدار به جابجایی که با انحراف استاتیک به دست می آید، تعریف می شود.
ω0 = ωn: رزونانس رخ می دهد. این باعث ایجاد ارتعاشات دامنه بسیار زیاد می شود و با استرس و خرابی زیاد سیستم همراه است.
ω0 ~ 0، MF ~ 1: تابع اجباری تقریباً ایستا است و اساساً انحراف استاتیک و ارتعاش طبیعی محدود را ترک می کند.
ω0 < ωn: بزرگنمایی مثبت و بزرگتر از 1 است، یعنی ارتعاشات در فاز هستند (زمانی که نیرو به سمت چپ وارد می شود، سیستم به سمت چپ جابجا می شود) و دامنه ارتعاش بزرگتر از انحراف استاتیک است.
ω0 > ωn: بزرگنمایی منفی است و مقدار مطلق آن معمولاً کوچکتر از 1 است، به این معنی که ارتعاش با حرکت تابع اجباری (زمانی که نیرو به سمت چپ وارد می شود، سیستم به سمت راست جابجا می شود) و دامنه آن خارج از فاز است. ارتعاش کوچکتر از انحراف استاتیک است.
ω0 >> ωn: نیرو خیلی سریع در حال تغییر جهت است که حرکت بلوک جواب نمی دهد.
عدم تعادل چرخشی
یکی از علل رایج ارتعاش اجباری هارمونیک در سیستم های مکانیکی عدم تعادل چرخشی است. این زمانی اتفاق می افتد که محور چرخش از مرکز جرم عبور نمی کند. در این وضعیت به جای اینکه مرکز جرم ثابت بماند، مقداری شتاب را تجربه می کند. این باعث ایجاد نیرویی روی محور می شود که با چرخش مرکز جرم تغییر جهت می دهد. می‌توانیم این جرم را به‌عنوان یک جرم کوچک، m نشان دهیم که در فاصله‌ای حول محور چرخش می‌چرخد، به نام خروج از مرکز، e. فرکانس زاویه ای اجباری، ω0، در این مورد فرکانس زاویه ای سیستم دوار است.$ \underbrace{-\nabla p - \rho\nabla \varphi = 0}_\textrm{equation of hydrostatics}\,.\tag{I}$
$ \underbrace{-\nabla p - \rho\nabla \varphi = 0}_\textrm{equation of hydrostatics}\,.\tag{I}$hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست