بررسی ممان اینرسی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
lbi

محل اقامت: Iran-Tehran

عضویت : چهارشنبه ۱۴۰۱/۱/۳۱ - ۱۰:۳۷


پست: 5



جنسیت:

تماس:

بررسی ممان اینرسی

پست توسط lbi »

سلام وقت بخیر
توضیحات والتر لویین در مورد ممان اینرسی رو دیدین؟
آزمایشی با یک سطح شیب دار و چند وزنه انجام میده.
یک قسمت هست که دو وزنه با ابعاد مختلف اما با جنس متفاوت رو امتحان می کنه و میگه تفاوتی نداره رسیدنشون به پایین سطح شیبدار.
1) طبق روابط تبدیل انرژی پتانسیل و کار انجام شده توسط نیروی گرانش به انرژی جنبشی، جرم تو روابط خط می خوره... جنس خط می خوره اما تو رابطه ممان اینرسی جرم و جنس مهمه... یعنی در نرم افزار هم دو میله یکی با جنس کربن استیل یکی با جنس آلومینیوم... ممان اینرسی کربن استیل سه برابر آلومینیوم هست... چرا جنس رو آقای والتر لویین میگه ربطی نداره؟
2) روبط فیزیکی برای دو استوانه در صورتی که ممان اینرسی هم دخیل بشه (برایند نیروهای غلتشی) چطور هستن؟
3) چرا دو استوانه با جنس های مختلف تقریبا با هم میرسن؟ این مثل آزمایش پر و سنگ گالیله ست.... اما ممان اینرسی چی میشه؟

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1471

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

Re: بررسی ممان اینرسی

پست توسط rohamjpl »

عزیزم منم با نظروالتر هنریک گوستاو لوین موافق هستم حتما مجموعه کلاسهای والتررا دیدین .شما مفهوم خوب درک نکردین ممان اینرسی یک جسم به عوامل زیر بستگی دارد: i جرم جسم. ii اندازه و شکل جسم . iii توزیع جرم حول محور چرخش. iv موقعیت و جهت محور چرخش نسبت به بدنه.ممان اینرسی،میدونی اینرسی چرخشی یک جسم - یعنی مخالفتی که جسم با تغییر سرعت چرخش حول یک محور با اعمال گشتاور (نیروی چرخش) از خود نشان می ده محور ممکن است داخلی یا خارجی باشه و ممکن است ثابت باشد یا نباشه ممان اینرسی. ممان اینرسی در مورد هر نقطه یا محور حاصل ضرب مساحت و فاصله عمود بین نقطه یا محور تا مرکز ثقل آن ناحیه است. این اولین ممان منطقه نامیده می شه
عواملی که ممان اینرسی جسم را تغییر می ده ببین جرم آن، نحوه توزیع آن جرم – که بر اساس شکل و شعاع آن تعیین می شود
چرا ممان اینرسی برای محورهای مختلف متفاوت است؟
گشتاور اینرسی یک جسم به جرم موقعیت جسم محور چرخش و توزیع جرم جسم حول محور چرخش آن بستگی داره. بنابراین ممان اینرسی یک جسم خاص ممکنه در مورد محورهای مختلف متفاوت باشدآیا دو جسم با جرم یکسان می توانند گشتاورهای اینرسی متفاوتی داشته باشند؟تصویر
اگر دو جسم دارای جرم و شعاع یکسان اما توزیع جرم متفاوت باشند گشتاورهای اینرسی آنها متفاوته برای مثال، گشتاور اینرسی جسم B در مقایسه با A بیشتر خواهد بود اگر هر دو جسم هم جرم باشند، زیرا جرم در مورد B در شعاع های بزرگتری قرار دارد.
چرا دو سیلندر با جرم یکسان اما گشتاورهای اینرسی متفاوت فواصل متفاوتی را می چرخانند؟یک راه آسان برای مشاهده این موضوع، با فرض اینکه هر دو بدون لغزش غلت می‌خورند و هیچ اصطکاک وجود نداره بقای در انرژی است . شرط عدم لغزش $v=\omega r$ است. انرژی کل یک سیلندر است
$E = \frac{1}{2}(I\omega^2+mv^2)$
وصل کردن شرط برای عدم لغزش و حل برای v، با $E=mgh$:
$v^2 = \sqrt{\frac{2gh}{\frac{I}{mR^2}+1}}$
برای یک استوانه توخالی،$I = mR^2$در حالی که برای یک استوانه پر، $I=\frac{mR^2}{2}$ است. همانطور که می بینیم، نسبت سرعت ها زمانی که تمام انرژی پتانسیل به جنبشی تبدیل می شود، خواهد بود
$\frac{v_{full}}{v_{hollow}} = \sqrt{4/3} \approx 1.15$
بنابراین سیلندر پر شده در واقع با توجه به ملاحظات انرژی سریعتره
برای پاسخ به سوال شما بدون توجه به اصطکاک زمان تعامل مهم نیست با این حال من فکر می کنم که حتی اگر اصطکاک را معرفی کنیم، نتیجه باید تقریباً یکسان باشه با فرض اینکه اصطکاک وابسته به سرعت نباشه (بنابراین مقاومت هوا نیست)، زیرا هر دو جرم و هندسه یکسان دارند. با این حال، این فقط یک حدس است، اما من فکر می کنم در یک آزمایش اثر اولیه به دلیل اصطکاک نیست بلکه به خاطر ممانهای مختلف بین است.
اگر اثر اصطکاک وابسته به سرعت را معرفی کنم ، آنگاه مشکل بی اهمیت می شه. من فکر می کنم با توجه به شرایط اولیه متفاوت، یک رول مشخص همیشه برنده نخواهد شد. به عبارت دیگر، با اصطکاک هوا، هر رول با توجه به شرایط مناسب می تواند از نظر مسافت
دو استوانه با جرم شعاع اندازه شکل و ویژگی زاویه‌ای یکسان هر دو در حال چرخش هستند. آیا این دو سیلندر یکسان با وجود جهت آنها اینرسی یکسان دارند؟به عنوان مثال، اگر محور چرخش موازی با محور تقارن باشه اما با محور تقارن منطبق نباشه توزیع جرم حول محور چرخش نامتقارن خواهد بود. به ویژه، مرکز جرم روی محور چرخش قرار نخواهد گرفت. هنگامی که محور چرخش افقی است، نیروی گرانشی بر مرکز جرم، گشتاوری را در امتداد محور اعمال می کنه که با چرخش استوانه تغییر می کنه. با چرخش سیلندر سرعت زاویه ای تغییر می کنه. سیلندر می تونه به جای چرخش نوسان کنه. هنگامی که محور چرخش عمودی است، گشتاور بر محور چرخش عمود است. بر حرکت استوانه ای که با سرعت زاویه ای ثابت می چرخد ​​و نوسان نمی کند در این جهت تأثیر نمی گذارد.جهت گیری فقط بر ممان جرمی 3×3 تانسور اینرسی تأثیر می گذارد که از یک قاب اینرسی مشترک مشاهده شود. تانسورهای اینرسی در قاب های بدنه آنها یکسان است.
به عنوان مثال، در سیستم مختصات جهانی تانسورهای زیر تعریف می شوند:
$\begin{align}
I_1 & = \begin{bmatrix} \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{m}{2} r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) \end{bmatrix} \\
I_2 & = \begin{bmatrix} \frac{m}{2} r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) \end{bmatrix} \end{align}$
حالا چون بردارهای چرخش متفاوت است
$\begin{align} \vec{\omega}_1 & = \pmatrix{0& \Omega & 0}^\top & \vec{\omega}_2 & = \pmatrix{\Omega &0 & 0}^\top \end{align}$
مقادیر تکانه زاویه ای یکسان است
$\| \vec{L}_1 \| = \| I_1 \vec{\omega}_1 \| = \| \pmatrix{ 0 & \frac{m}{2} \Omega r^2 & 0}^\top \| = \frac{m}{2} \Omega r^2$
$\| \vec{L}_2 \| = \| I_2 \vec{\omega}_2 \| = \| \pmatrix{ \frac{m}{2} \Omega r^2 & 0 & 0}^\top \| = \frac{m}{2} \Omega r^2$
چرا انرژی جنبشی همه اجسام دایره‌ای که از صفحه شیبدار با جرم یکسان می غلتند یکسان است؟در نورد خالص، کره جامد ابتدا با سرعت نهایی بیشتر به زمین می رسد و به همین ترتیب
$(KE)_{\text{SolidSphere}}= \frac{1}{2}mv^2$
از آنجایی که کره جامد سرعت نهایی بیشتری دارد، باید KE بیشتری داشته باشد، اما باز هم این با U=mgh تناقض دارد، همه اجرام جرم و ارتفاع یکسان دارند، بنابراین انرژی پتانسیل یکسانی دارند، و ما می دانیم که
از دست دادن انرژی پتانسیل = افزایش در انرژی جنبشی، یعنی $KE = \frac{1}{2}mv^2$ در اینجا بی فایده است یا نامعتبر؟
از آنجایی که این اجسام در حال غلتیدن هستند (به جز ذره)، انرژی پتانسیل اولیه خود را به انرژی جنبشی انتقالی و همچنین به انرژی جنبشی چرخشی تبدیل کرده‌اند. بنابراین معادله شما باید به صورت تصحیح شود
$KE=\frac 12mv^2+\frac 12I\omega ^2$
بنابراین، I، ممان اینرسی، نقش بزرگی ایفا می کنه. این یک واقعیت مهمه که تعیین می کنه چه جسمی سریعتر پایین میاد. اگرچه جرم هر جسم یکسان است، اما توزیع جرم حول محور چرخش آنها اهمیت دارد. این همان تعریف ساده من است.
اگرچه به صورت موازی، هر جسم دارای انرژی جنبشی خالص نهایی یکسانی است، زیرا اتلاف انرژی وجود ندارد. به این دلیل است که؛ اگرچه آنها I متفاوت دارند، اما v نهایی متفاوتی نیز دارند. این باعث می شود مقداری که از معادله بالا برای هر شی به دست می آورید یکسان باشد. بدون تناقض!هنگام بررسی چنین مسائلی، توجه داشته باشید که کل انرژی جنبشی برای هر جسم، مجموع انرژی جنبشی انتقالی و چرخشی آن است. به این معنا که،
$KE=\frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}I\omega^2$
هر جسم دارای گشتاور اینرسی I متفاوتی خواهد بود و بنابراین مقادیر متفاوتی برای انرژی جنبشی دورانی دریافت خواهید کرد. اما توجه داشته باشید که در همان زمان، انرژی جنبشی کل نهایی برای هر کدام یکسان خواهد بود.
اگر همه آنها با انرژی پتانسیل یکسانی شروع می شوند، به دلیل پایستگی انرژی، باید چنین باشد. به این معنا که$mgh=\frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}I\omega^2=KE_{\text{final}}$
نکته این است که همه آنها مقادیر متفاوتی برای سرعت انتقال v دارند، اما همه آنها باید انرژی جنبشی کل نهایی یکسانی داشته باشند.
نکته جانبی: ذره احتمالاً دارای اتلاف انرژی است زیرا صفحه برای ایجاد اصطکاک باید ناهموار باشد (اگر اصطکاک وجود نداشته باشد، اجسام دیگر غلت نمی‌خورند، فقط می‌لغزند)تصویرتصویر
آیا یک کره یا استوانه سریعتر از سطح شیب دار می غلتد؟
اجسام با جرم و شعاع مساوی اما شکل متفاوت یا توخالی یا توخالی با سرعت های مختلف از شیب پایین می روند. کره جامد سریعتر از استوانه جامد است زیرا کره دارای گشتاور اینرسی کمتر و انرژی جنبشی انتقالی بالاتری است.اجسام با جرم و شعاع مساوی اما شکل متفاوت یا توخالی یا توخالی با سرعت های مختلف از شیب می غلتند. کره جامد سریعتر از استوانه جامد است زیرا کره دارای گشتاور اینرسی کمتر و انرژی جنبشی انتقالی بالاتری است. جسم توخالی کندتر از جسم جامد معادل است.یک کره جامد و یک استوانه جامد که هر کدام جرم و شعاع یکسانی دارند، با هم در بالای صفحه شیبدار آزاد می شوند و بدون لغزش، بلکه با اصطکاک غلتشی ناچیز می غلتند.
توضیح دهید که چرا، علیرغم اینکه هر دو باید انرژی کل یکسانی داشته باشند، کره همیشه ابتدا به پایین می‌رسد.
انرژی کل هر جسم مجموع انرژی پتانسیل، انرژی جنبشی خطی و انرژی جنبشی دورانی است:$E=mgh+ \frac 12mv^2+\frac 12I\omega ^2$ممان اینرسی یک کره جامد یکنواخت $2mr^2/5$
2 . ممان اینرسی یک استوانه جامد یکنواخت به جرم m برابر $mr^2/2$
شرط عدم لغزش به این معنی است که v، مساوی است، امگا، r،v=ωr بنابراین کل انرژی به E ساده می شود،
برای کره و E، زیرنویس شروع، c، زیرنویس پایان، برابر است، $E=mgh+ \frac{7}{10}mr^2+$
برای سیلندر$E=mgh+ \frac{3}{4}mr^2+$این بدان معناست که چون انرژی کل آنها همیشه یکسان است، برای هر ارتفاع h،h سرعت کره باید بیشتر باشد. بنابراین، کره همیشه ابتدا به پایین می رسد.
اجسام با ابعاد یکسان اما جرم متفاوت به طور همزمان به پایین خواهند رسید.
دو جسم با جرم یکسان اما توزیع جرم متفاوت به طور متفاوتی می چرخند.
دو جسم با جرم متفاوت اما شکل بیرونی مشابه می توانند کاملاً متفاوت بغلتند. پوسته سبک‌تر از یک استوانه جامد سنگین‌تر کندتر می‌چرخد و نشان می‌دهد که R^2$ $بر گزینه جرم پیروز می‌شود.پاسخ به آن به این دلیل است که ممان اینرسی برای استوانه جامد با سیلندر توخالی یکسان نیست.
همانطور که فرمول ممان اینرسی را می نویسید،و میدونید به توزیع جرم بستگی داره هر چه جرم از محور چرخش دورتر باشد، بیشتر به ممان اینرسی کمک می کند (مانند فاصله مجذور r^2$.$
بنابراین، از آنجایی که استوانه توخالی تمام جرم خود را در مرزش داره در مقایسه با استوانه جامد که تمام جرم خود را از مرکز (با سهم بسیار کمی) به مرز توزیع می کند، گشتاور اینرسی بالاتر و در نتیجه انرژی چرخشی بیشتری دارد.هنگامی که یک جسم در حال غلتیدن از سطح شیب دار است، انرژی آن از سه جزء تشکیل شده است:
$𝑚𝑔ℎ=1/2𝑚𝑣^2+12𝐼𝜔^2$
اولین عبارت انرژی پتانسیل است. این انرژی است که برای بلند کردن جسم از سطح شیب دار صرف می شود. این برابر است با
اصطلاح دوم انرژی جنبشی انتقالی است. این انرژی است که برای حرکت جسم به سمت پایین سطح شیبدار لازم است.
عبارت سوم انرژی جنبشی دورانی است. این انرژی است که برای چرخش جسم لازم است. این برابر است با
$1/2𝐼𝜔^2$
، با 𝐼 بودن ممان اینرسی (مقاومت جسم در برابر چرخش) و 𝜔 سرعت زاویه ای است.
برای استوانه توخالی، جرم در دورترین فاصله از مرکز قرار می گیرد و بنابراین 𝑟 بزرگ، 𝐼 بزرگ و در نتیجه کند است. در مورد استوانه جامد، توزیع جرم نزدیک‌تر به مرکز اتفاق می‌افتد، بنابراین سرعت 𝐼 کمتر و بالاترین سرعت را دارد.
بنابراین، استوانه جامد ابتدا به پایین می رسه
دو جسم با جرم‌های مختلف و شکل‌های متفاوت می‌توانند به طور کاملاً مشابه (نه کاملاً) بچرخند.
دو جسم با توزیع جرم هندسی مشابه (2 استوانه جامد مختلف یا 2 استوانه توخالی متفاوت) مستقل از شعاع یا جرم غلت می‌زنند. زمان نزول فقط به "ضریب ضرب هندسی"$ k، $I=kmR^2 بستگی دارد.هر جسم از یک ارتفاع شروع می شود و در همان ارتفاع به پایان می رسد و انرژی پتانسیل گرانشی خود را به انرژی جنبشی تبدیل می کند. برای اجسام گسترده ای که می چرخند، انرژی جنبشی جسم مجموع انرژی جنبشی انتقالی (خط مستقیم) و انرژی جنبشی چرخشی است، زیرا انرژی لازم است تا یک جسم سرعت چرخش خود را افزایش دهد. توجه داشته باشید که برای دستیابی به افزایش برابر در سرعت چرخش جسمی با گشتاور اینرسی زیاد در مقابل جسمی با ممان اینرسی کوچک، انرژی بیشتری لازم است. با فرض جرم مساوی برای اجسام، به این معنی است که تمام اجسام با انرژی جنبشی کل دقیقاً یکسان به پایین سطح شیب دار می رسند، اما این انرژی جنبشی کل بین انرژی جنبشی انتقالی و انرژی جنبشی چرخشی تقسیم می شود. بنابراین، اجسامی با انرژی جنبشی چرخشی بالاتر (به عبارت دیگر، گشتاور اینرسی بالاتر) انرژی جنبشی انتقالی کمتری خواهند داشت و از این رو، سرعت پایین تری در پایین شیب دار خواهند داشت. توجه داشته باشید که این افکت حتی اگر اجسام در تصویر دارای جرم های متفاوت باشند نیز اعمال می شود.تجزیه و تحلیل شما باید شامل تغییر از انرژی پتانسیل گرانشی به انرژی جنبشی انتقالی مرکز جرم جسم $\frac12mv^2$و انرژی جنبشی چرخشی جسم$\frac 12 I_{\rm C}\omega^2$ باشد که در آن IC اینرسی گشتاور در مورد یک محور افقی از طریق مرکز جرم است.
همچنین باید فرض کنید که شرط عدم لغزش بین سرعت خطی و سرعت چرخشی v=rω برآورده شده است.فرض کنید من دو سیلندر دارم: یکی سبک و دیگری سنگین. حالا، من اجازه می‌دهم سیلندرها بدون لیز خوردن از یک سطح شیبدار پایین بیایند. سوال من این است که کدام یک ابتدا به پایین سطح شیب دار می رسد و چرا؟
بیایید نگاهی به نیروی خالص برای یک استوانه در یک صفحه شیب بیندازیم:
$\Sigma F_{\parallel} = mg\sin{\theta} - f\tag{1}$
که در آن f نیروی اصطکاک است.
اکنون گشتاور مربوط به COM (که نقطه ای است که در آن چرخش وجود دارد) این است:
$\Sigma \tau = Rf \tag{2}$
که در آن R شعاع سیلندر است. با قانون دوم نیوتن، معادله (1) و (2) تبدیل می شود:
$ma = mg\sin{\theta} - f\tag{3}$
$I\alpha = Rf \tag{4}$
از آنجایی که لغزیدن $a = R \alpha$ وجود ندارد. ما گرفتیم،
$I \dfrac{a}{R} = Rf \tag{5}$
حالا قسمت مهم اینجاست. فرض کنید DENSITY در هر دو سیلندر یکنواخته. این به معنای جرم یکسان نیست، بلکه در هر نقطه از استوانه یکسان است. در آن صورت، اینرسی (در مورد محوری که از COM و هر وجهی از سیلندر عبور می کند) است.
$I=\dfrac{1}{2}mR^2$
که در آن R شعاع و m جرم است.
بیایید آن را در (5) جایگزین کنیم و دریافت کنیم،
$\dfrac{1}{2}mR^2 \dfrac{a}{R} = Rf \quad \implies \quad \dfrac{1}{2}ma = f \tag{6}$
حالا اجازه دهید (6) و (3) را با هم ترکیب کنیم تا به دست آید
$ma = mg\sin{\theta} - \dfrac{1}{2}ma.\tag{7}$
توجه داشته باشید که توده‌ها همه لغو می‌کنند و ما باقی می‌مانیم
$a = \dfrac{2}{3} g\sin\theta.\tag{8}$
توجه کنید که (8) نه به جرم بستگی دارد و نه به شعاع. بنابراین هر دو سیلندر شتاب یکسانی را تجربه خواهند کرد. از آنجایی که شتاب هر سیلندر یکسان است (و هر دو از یک نقطه از حالت سکون شروع می‌شوند)، هر دو در یک زمان، مستقل از جرم یا شعاع (باز هم با فرض چگالی یکنواخت) خواهند رسید.
با فرض اینکه استوانه ها از نظر ظاهری یکسان هستند و فقط از موادی با چگالی های مختلف ساخته شده اند. سپس گشتاور در مورد COM نابرابر خواهد بود اما شتاب برابر خواهد بود. به جای معادله فقط آن را به عنوان درک کنید
$\tau(torque) \propto Mass$
زیرا گشتاور گرانشی و سایر پارامترها برابر هستند
$\tau(torque)=I\alpha$
$I \propto Mass$
بنابراین شما α مستقل از جرم بدست می آورید. حالا چون اینها برای هر دو سیلندر برابر هستند. بنابراین هر محاسبه حرکتی یا چرخشی که انجام می دهید باید برای هر دو برابر باشد.
تمایز بین کره های جامد و کره های توخالی (جرم برابر)
اگر دو کره (توخالی و جامد) با جرم و شعاع مساوی وجود داشته باشد و بخواهیم کره توخالی را بدون استفاده از هیچ وسیله ای پیدا کنیم.اجازه دهید هر دو در یک صفحه شیبدار به پایین بغلتند. کره توخالی کندتر از کره جامد شتاب می گیرد (به دلیل ممان های اینرسی متفاوت)پاسخ این است که جامد ابتدا به پایین می رسد. در آن مورد خاص، درست است که استوانه جامد گشتاور اینرسی کمتری نسبت به سیلندر توخالی دارد. (اگرچه جرم آنها یکسان است، اما تمام جرم استوانه توخالی در اطراف لبه بیرونی آن متمرکز شده است بنابراین ممان اینرسی آن بیشتر است.سیلندر توخالی در مقابل سیلندر جامدبه لطف تکانه زاویه‌ای، می‌دانیم که استوانه‌های توخالی در هنگام فرود آمدن در یک صفحه شیبدار کندتر از سیلندرهای جامد هستند - آیا این تفاوت در سرعت (یا زمان صرف شده برای رسیدن به انتهای شیب)
این اختلاف ممان جرمی اینرسی نامیده می شود. برای حالت کلی استوانه با دیواره داخلی و خارجی فرمول به شرح زیر است
$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} \left( r_O^2 + r_I^2 \right)$
سیلندر جامد - $r_O = R$، $r_I = 0$
$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} R^2$
سیلندر توخالی$r_O = R$,$r_I=R$
$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} 2 R^2 = m R^2$
حالا یک استوانه توخالی بردارید و یک گاز (بدون مایع) به داخل آن اضافه کنید که با سیلندر می چرخد ​​(محلول حالت پایدار) سپس گاز به گشتاور جرمی اینرسی اضافه می کند و در همان شرایط سیلندر را کاهش می دهد (شتاب کمتری دارد). .
کل MMOI عبارت است از:
$I_{\rm total} = I_{\rm cyl} + I_{\rm gas} = m_{\rm cyl} R^2 + \frac{m_{\rm gas}}{2} R^2$
بنابراین در تئوری بله، اما در واقعیت از mgas≪mcyl شما تفاوتی را متوجه نخواهید شد.
اگر مقدار اصطکاک به اندازه ای باشد که سیلندرها بدون لغزش غلت بخورند، تمام آنچه در بالا گفتم درست است، اما اگر اصطکاک کمتری داشته باشید، سیلندرها فقط از سطح شیب دار می لغزند و سرعت یکسانی دارند.
نظریه رابطه بین جرم یک استوانه و زمان صرف شده برای غلتیدن آن از یک شیب - مقاومت هوا؟
من معادله حرکت استوانه ای را پیدا کردم که از یک سطح شیب دار غلت می خورد و اصطکاک غلتشی را نادیده می گرفتم. درگ درجه دوم به این معنی است که نیروی DRAG متناسب با $v^2$ است. معادله حرکت به شرح زیر است، که در آن x کل مسافت طی شده از سطح شیب دار را نشان می دهد:$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}-\frac{\rho A C_d}{m}\dot{x}$
اولین ترم را توسط مکانیک لاگرانژی پیدا کردم، نوشتن$T=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega ^2$
$V=-mgx\sin{\theta}$برای یک استوانه، $I=\frac{1}{2}mr^2$ و $\omega = \frac{v}{r}$
حل معادله لاگرانژ$\frac{d}{dt} ( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}})= \frac{\partial L}{\partial x}$
می دهد$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}.$
در مرحله بعد، من فقط عبارت درگ درجه دوم $F_d=\frac{1}{2}\rho v^2 C_d A$را وارد کردم و بر جرم از طریق F=ma تقسیم کردم.
از آنجایی که $v^2=\dot{x}^2$، می توانیم آن را در معادلات جایگزین کنیم. بقیه عبارات به جرم بستگی ندارند (A مربوط به جرم از طریق ρسیلندر است، اما ρ در معادله ρ هوا است)
با حل این معادله دیفرانسیل، $a=\frac{2}{3}g\sin{\theta}$ و$b=\rho A C_d$ را تنظیم می کنیم
$x=\frac{a}{b}mt+\frac{c_1 m}{b}e^{\frac{-bt}{m}}+c_2.$
با استفاده از این معادله و تنظیم x(0)=x˙(0)=0 (از آنجایی که x مسافتی است که از سطح شیب دار پایین آمده است)، می توانیم به دست آوریم$c_1=\frac{a}{b}m$و$c_2=-\frac{am^2}{b^2}$
که معادله نهایی را به ما می دهد$x=\frac{a}{b}mt+\frac{a m^2}{b^2}e^{\frac{-bt}{m}}-\frac{am^2}{b^2}.$
حل این معادله غیرممکن، بسیار دشوار است،
.تصویر
برای یک کره جامد، ممان اینرسی است
$I = \frac{2}{5}mr^2$ با جرم m و شعاع r.برای یک کره توخالی است
$I = \frac{2}{3}mr^2$
بنابراین، کره توخالی گشتاور اینرسی بیشتری دارد و تحت همان گشتاور، شتاب کمتری خواهد داشت:
$M = I \frac{d\omega}{dt}$با سرعت زاویه ای ω و گشتاور M.
یک استوانه توپر و یک استوانه جامد دیگر با جرم یکسان اما دو برابر شعاع در یک صفحه شیب دار با ارتفاع h از همان ارتفاع شروع می شوند و بدون لغزش می غلتند. سیلندرها را به صورت دیسک هایی با ممان اینرسی $(1/2)mr^2$ در نظر بگیرید. کدام یک ابتدا به پایین صفحه شیب می رسد؟$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\left(\frac{v^2}{R^2}\right)\tag{1}$
اما ممان اینرسی یک سیلندر به صورت زیر بدست می آید:
$I=M\frac{R^2}{2}\tag{2}$بنابراین، ترکیب Eqns. 1 و 2 می دهد:
$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{4}Mv^2\tag{3}$
با محاسبه M از هر دو طرف معادله به دست می آید:
$gh=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{4}v^2\tag{4}$بنابراین، با حل v، داریم:
$v=\sqrt{\frac{4gh}{3}}$
توجه داشته باشید که این مستقل از شعاع سیلندره. بنابراین، هر دو سیلندر در زمان یکسانی از سطح شیب دار پایین می روند.
پایستگی انرژی به ما می گوید که انرژی پتانسیل با سقوط دیسک ها تبدیل به انرژی جنبشی می شود. اگر بدون لغزش غلت بخورند، مقداری انرژی به انرژی جنبشی انتقالی و مقداری به انرژی جنبشی چرخشی می رود.
شرایط غلتش بدون لغزش مستلزم آن است که سرعت دیسک برابر با سرعت چرخشی ضربدر شعاع $v=\omega R$باشد.
انرژی جنبشی کل $\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2$
بنابراین:
$Mgh=\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}I_1(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}I_2\frac{v_2^2}{4R^2}$
$I_1=\frac{1}{2}MR^2$
$I_2=\frac{1}{2}4MR^2=2MR^2$می‌توانیم نسبت سرعت‌های مجذور را بگیریم:
$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}(2MR^2)\frac{v_2^2}{4R^2}$
$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{4}(M)(v_1^2)=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{4}(M)v_2^2$
$\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{1+\frac{I_2}{4MR^2}}{1+\frac{I_1}{MR^2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1$
بنابراین من درست محاسبه کردم با استفاده مداوم از شعاع های مناسب، سرعت ها یکسان می شوند.
جواب دومی
از آنجایی که اصطکاک مسئول حرکت چرخشی است
این یک فرض است. حرکت چرخشی می تواند ناشی از چیز دیگری باشد (مانند شفت محرک یا موتور الکتریکی).
برای یک جسم غلتان، کاری که اصطکاک انجام می دهد این است که حرکت چرخشی و حرکت جانبی را به هم متصل می کند.
مورد دوم آسان تر برای تجزیه و تحلیل است. سیلندر روی شیب قرار دارد. جاذبه آن را از سطح شیب دار پایین می کشد (حرکت خطی). اصطکاک یک گشتاور ایجاد می کند تا حرکت چرخشی ایجاد کند.
مورد اول کمی آشکارتر است. به جای اینکه چیزی سیلندر را مجبور به حرکت خطی کند، فرض می‌کنم که چیزی سیلندر را می‌چرخاند (گشتاور در جهت چرخش اعمال می‌شود). این شتاب چرخشی با اصطکاک مخالف است که سیلندر را به جلو می راند.
بنابراین دلیل مخالف جهت اصطکاک این است که در یک مورد حرکت خطی باعث حرکت چرخش می شود و در حالت دیگر چرخش باعث حرکت خطی می شود.
اولین موردی که من فرض می‌کنم در حال چرخش است یا از قبل در حال چرخش است، بنابراین اصطکاک و گشتاور متعاقب آن از لغزش آن بر روی سطح جلوگیری می‌کند و به جای اینکه فقط بچرخد، حرکت می‌کند.
برای دوم، اگر اصطکاک وجود نداشت، جسم به دلیل گرانش بدون غلتش به پایین سطح می لغزد، اما اصطکاک با نحوه حرکت آن مخالف است و باعث چرخش آن می شود.
غلتیدن بدون لیز خوردن نقطه تماس را به عنوان محور
معادله حرکت
$\text{torque about stationary geometrical point O} = \text{moment of inertia w.r.t. O} \times \text{angular acceleration w.r.t. O}$
تنها در صورتی معتبر است که حرکت جسم چرخش مسطح حول محوری باشد که از O می گذرد. این در صورتی است که نقطه O به عنوان نقطه تماس جسم در هنگام غلتش بدون لغزش در نظر گرفته شود، اما در هنگام غلتیدن با لغزش نه. به طور کلی نسخه معتبر قضیه گشتاور - تکانه زاویه ای است
$\text{torque about stationary geometrical point O} = \ = \frac{d}{dt}\left(\text{angular momentum w.r.t. stationary geometrical point O}\right).$
اگر جسم با لغزش در حال غلتیدن باشد، هیچ نقطه هندسی ثابتی روی زمین وجود ندارد که تکانه زاویه ای آن را بتوان به صورت $I_O\omega_O$با $I_O$ ثابت در زمان نوشت و معادله دوم به حالت اول کاهش نمی یابد.به عنوان یک نیروی نامتعادل، f برای شتاب دادن به دیسک عمل می کند. از آنجایی که در پایین دیسک قرار دارد، O نیز باید شتاب بگیرد و بنابراین در یک چارچوب مرجع غیر اینرسی قرار دارد.تصویر
آن قاب غیر اینرسی دارای نیروهای ساختگی خواهد بود که مخالف شتاب هستند. می‌توانیم نیروی f′ را رسم کنیم که از مرکز جرم در جهت مخالف f وارد می‌شود.
از آنجایی که از طریق مرکز جرم عمل می کند، گشتاوری نسبت به O ایجاد می کند و می تواند سرعت زاویه ای را کاهش دهد.تصویر
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست