برنولی و بالا آمدن آب با نی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1471

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

برنولی و بالا آمدن آب با نی

پست توسط rohamjpl »

آزمایش زیر را در نظر بگیرید: بالا آمدن آب در نی.
تصویر
A: یک نقطه در انتهای بالای نی.
ب: نقطه ای در مرز بین هوا و آب.
ج: نقطه ای در سطح آب
استفاده از معادله برنولی برای هوای ستون AB:
$\begin{align}
P_A +\tfrac{1}{2}\rho_a v_a^2 &= P_B \tag{1}\\
\end{align}$
من فرض می کنم که فشار هیدرواستاتیک ناشی از ستون هوا و سرعت هوا در B بسیار کوچک و نادیده گرفتم
استفاده از معادله برنولی برای هوا در ستون BC:
$\begin{align}
P_B + \rho_w g h &= P_C \tag{2}\\
\end{align}$
من فرض می کنم که سرعت آب در هر دو B و C بسیار کوچک و نادیده گرفتم
حذف PB داریم
$\begin{align}
P_A +\tfrac{1}{2}\rho_a v_a^2 + \rho_w g h &= P_C \tag{3}\\
\end{align}$
و چون PA=PC (فشار اتمسفر) معادله نهایی می شه
$\begin{align}
\tfrac{1}{2}\rho_a v_a^2 + \rho_w g h &= 0 \tag{4}\\
\end{align}$
در سوال من . 2، PC با قانون پاسکال به عنوان Pa شناخته می شود. بنابراین PC همیشه ثابته یعنی $\forall$ مقادیر h یا va.
همچنین، در سوال من هنگامی که می خواهید تعیین کنیدpc باید چه باشد، موارد زیر را انجام دادید:
$v_a$ و بنابراین h را روی صفر قرار میدم
سپس PA=PC.
بنابراین وقتی va و h صفر هستند، تساوی برقرار ه اما نه در غیر این صورت. بنابراین هنگامی که در نهایت h را برای یک va غیر صفر حل کنم نمی تونم از برابری که به دست آوردم استفاده کنم - PA باید به عنوان یک مجهول در نظر گرفته شود. معادله 4 بنابراین هرگز دنبال نمی شود.
بنابراین فرض کنید PC=Pa را تنظیم کرده اید. چگونه eqn خود را حل می کنم. 3 PA چیست؟ باید به eqn خود نگاه کنم. 1.با توجه به شرایط اولیه، RHS eqn من ، می توان تعیین کرد که Pa است.
اما این همیشه PB است درست است؟ بنابراین PB همیشه در فشار اتمسفر است؟ این هیچ معنایی ندارد
مدتی طول کشید تا بفهمم، اما این یک اشتباه عمیق تر است. یک مفهومی به نظر من معادله برنولی را نمی توان برای نقاط A و B اعمال کرد.
$P_A+\rho_a v_{a,A}^2+\rho_a g h_A \ne P_B+\rho_a v_{a,B}^2+\rho_a g h_B \tag {0}$
به طوری که va،A سرعت هوایی است که در A با آن می وزد.
از نظر ریاضی این در این واقعیت منعکس می شود که در حالی که LHS از eqn. 0 به دلیل شرایط اولیه همیشه Pa است، RHS تقریبی به PB بدیهی است که اینطور نیست - قطعا افت فشار وجود دارد.
از نظر فیزیکی به دلیل LHS و RHS eqn است. 0 نشان دهنده جریان های مختلف است - ابر افقی هوای دمیده شده که روی نی حرکت می کند و هوای درون نی، مانند. یکی به وضوح در حال دمیدن است، در حالی که دیگری راکد است (در حالت تعادل). این جریان ها دارای A به عنوان نقطه مشترک هستند. معادله برنولی با فرض اینکه یک عنصر جریان انرژی خود را در حین حرکت در جریان جریان حفظ می کند، به دست می آید. این فرض زمانی که دو جریان مختلف با هم ادغام می شوند برقرار نیست.
بنابراین در اینجا یکاستخراج صحیح وجود دارد
در A،$P_A+\rho_a g h_{A}+\rho_a v_{a,A}^2/2=const.=c \tag{1}$
این معادله A را به عنوان بخشی از "جریان ضربه" می گیرد. همانطور که هوای دمیده شده روی سطح مقطع نی حرکت می کنه به سختی تغییری در ارتفاع آن ایجاد می شود. از این رو eqn. 1 به کاهش می یابد
$P_A+\rho_a v_{a,A}^2/2=const.=c' \tag{2}$
و همانطور که قبلا گفته شد، با شرط اولیه $v_{a,A}= 0,P_A=P_a$ تبدیل می شه
$P_A+\rho_a v_{a,A}^2/2=P_a \tag{3}$
در A، موارد زیر نیز برآورده می شود
$P_A+\rho_a g h_A+\rho_a v_{a,A}^2/2 =P_B+\rho_a g h_{B}+\rho_a v_{a,B}^2/2 \tag {4}$
این معادله A و B را به عنوان بخشی از "جریان راکد"، ستون هوا در داخل نی، در نظر می گیرد. به این ترتیب، با رد در eqn مطابقت دارد.
از آنجایی که ستون هوا راکد است$v_{a,A},v_{a,B}=0$. همچنین از آنجایی که ρa برای ایجاد فشار گیج در B بسیار کوچک است، می‌تونم آن را نادیده بگیرم اما به هر حال اجازه می‌دهیم آن را حفظ کنیم. معادله 4 سپس به کاهش می یابد
$P_A =P_B+\rho_a g (h-H) \tag {5}$
جایی که من $h_A=H, h_B=h$ را گرفته ام.
از قانون پاسکال، PC=Pa بنابراین$P_C=P_B+\rho_w g h=P_a\tag{6}$
جایگزینی PA از eqn. 3 و PB از eqn. 6 به معادله 5 و حل h می دهد
$\begin{align}
h&=\frac{\rho_a}{\rho_w-\rho_a}\left(\frac{v_{a,A}^2}{2g} -H\right)\tag{7}\\
&\approx\frac{\rho_a}{\rho_w}\frac{ v_{a,A}^2}{2g}\tag{8}\\
&\approx \frac{v_a^2}{20000} m \tag{in SI
units}
\end{align}$
این عبارت خیلی کوچک به نظر می رسد که نمی تواند مکش را با دمیدن روی نی ایجاد کند. من مطمئن نیستم که مشکل چیست. به عنوان مثال، دمیدن در 10ms-1 فقط 5 میلی متر بالابر ایجاد می کند. شاید استفاده از نی دیگری برای دمیدن به جای دمیدن مستقیم باعث افزایش سرعت شود.
فشار در فوران آب و معادله برنولی
آب چقدر به هوا شلیک می کنه
بنابراین واضح است که جزئیاتی برای مشکل دقیق وجود دارد (مانند زاویه شلنگ، فشار یا سرعت و غیره) اما من به طور خاص به کاربرد معادله برنولی برای آبی که از شیلنگ خارج شده است علاقه مند هستم. به نظر می رسد که پس از خروج آب از شیلنگ، دیگر شرایط معادله برنولی را برآورده نمی کند. من نمی توانم به طور کامل انگشت خود را در این مورد بگذارم. من نمی توانم دقیقاً ببینم که جریان آرام نیست، اما از آنجایی که فشار خارج از جریان (هوا) مطمئناً با فشار آب برابر نیست، مطمئناً به نظر نمی رسد که ثابت باشد.
در درک من، من آب در نازل را با معادله برنولی (یا تداوم، بسته به شرایط دقیق) رفتار می‌کنم و سپس آب را به‌عنوان قطراتی در نظر می‌گیرم که گرانش روی آن‌ها اثر می‌گذاره. اگر این درست است، آیا کسی می تواند توضیح دهد که دقیقاً چه شرایطی از معادله برنولی نقض می شود؟
از طرف دیگر، اگر اشتباه می‌کنم، آیا می‌توانید مرا متقاعد کنید که برای استفاده از معادله برنولی، آب همچنان می‌تواند یک «سیال» در نظر گرفته شود؟
یک مثال خاص در پاسخ به یک نظر. این نشان می دهد که فرض برنولی همچنان اعمال می شود، معادل با فرض یکسان بودن فشار جریان با فشار اتمسفر است. لوله عمودی روغن با ارتفاع h1، فشار روغن (گیج) در پایه آن P و سرعت سیال v. چقدر در هوا به سمت پایین شلیک می شود؟
راه حل 1) برنولی با خروج سیال از لوله از کار می افتد. فشار هنگام خروج سیال برابر با 0 است (گیج) بنابراین معادله برنولی را در بالای لوله داریم.$P+\frac{1}{2}\rho v^2=\frac{1}{2}\rho v'^2+\rho g h_1\longrightarrow v'^2=v^2+\frac{2P}{\rho}-2gh_1$
سپس با استفاده از صرفه جویی در انرژی داریم
$mgh_1+\frac{1}{2}mv'^2=mgh_2\longrightarrow h_2=h_1+\frac{v'^2}{2g}$
$h_2=h_1+\frac{1}{2g}\left( v^2+\frac{2P}{\rho}-2gh_1 \right)=\frac{v^2}{2g}+\frac{P}{g\rho}$
.راه حل 2) برنولی در تمام حرکت پابرجاست. فشار (گیج) در بالا (و در کل دهانه) صفر است، بنابراین برنولی به ما می دهد
$P+\frac{1}{2}\rho v^2=\rho g h_2\longrightarrow h_2=\frac{P}{g\rho}+\frac{v^2}{2g}$
فشار در جریان باید تقریباً اتمسفر باشد که باعث می شود دو محلول یکسان باشند.
سیال به طور طبیعی می خواهد یک گرادیان فشار را شتاب دهد. در یک طرف نیروی بیشتری نسبت به طرف دیگر وجود دارد، بنابراین یک نیروی خالص وجود دارد و بنابراین سیال شتاب می گیرد.
ویسکوزیته می تواند با ایجاد نیروی متقابل از این شتاب جلوگیری کند، اما فقط در جهت جریان می تواند این کار را انجام دهد و تنها در صورتی که دیواری برای انتقال تکانه وجود داشته باشد.
بنابراین اگر فشار را در مرکز جریان آزاد مشاهده کنید، و سپس فشار را با نزدیک‌تر شدن به هوا دنبال کنم فشار باید ثابت باشه زیرا هیچ شتاب یا افت فشار چسبناکی وجود ندارد.
سپس در فصل مشترک آب/هوا، اختلاف فشار با کشش سطحی تعیین می‌شود، اما این تفاوت آنقدر کوچک است که احتمالاً می‌توان آن را نادیده گرفت. هر اختلاف فشار دیگری توسط یک نیروی مخالف متعادل نمی شود، بنابراین باعث شتاب می شود، اما ما شتاب عرضی جریان را نمی بینیم، بنابراین می دانیم که باید اختلاف فشار ناچیزی وجود داشته باشد.
لوله متصل به مخزن پر شده
من مشکل زیر را دارم که در آن باید معادله برنولی را برای یافتن سرعت انتهای لوله ای که به سوراخ مخزن (پر از آب) متصل است، اعمال کنم. نقطه B 10 متر زیر سطح و نقطه C 30 متر زیر سطح است. تصویر تنها سوال من این است: می دانم که معادله برنولی در هر نقطه ثابت است، بنابراین:
$\frac{1}{2}\rho v_A^2+\rho g.0 + p_{A}=\frac{1}{2}\rho v_B^2+\rho g.(-y_B) + p_{B}=\frac{1}{2}\rho v_C^2+\rho g.(-y_C) + p_{C}$
من می دانم که pA=pC=patm. من در راه حل ها متوجه شدم که pB=patm نیز وجود دارد. چرا اینطور است؟ آیا نباید $p_B=p_A+\rho g(-y_B)?$باشد؟ یا این فرض اشتباه است؟فشار در B کمی مشکل است. درست در نقطه B، سرعت سیال برابر با سرعت داخل لوله خروجی است که از B به C می گذرد. ​​اما در داخل مخزن، چند قطر لوله در بالادست خروجی B، جریان به سرعت به سمت سوراخ خروجی همگرا می شود. و همراه با همگرایی جریان، سرعت سیال از یک سرعت اصولاً صفر چند قطر بالادست، به سرعت بسیار بالاتر vBC در خروجی افزایش می‌یابد. بنابراین درست در نقطه B، فشار برابر است با
$p_A=p_B+\rho g (-y_b)+\frac{1}{2}\rho v_{BC}^2\tag{roham}$
شرط در نقطه C است
$p_A=p_C=p_C+\rho g (-y_C)+\frac{1}{2}\rho v_{BC}^2\tag{2}$
یا به طور معادل:
$\rho g (-y_C)+\frac{1}{2}\rho v_{BC}^2=0\tag{3}$
جالب است که اگر Eqns را ترکیب کنیم. 1 و 3 به دست می آوریم:
$p_B=p_A-\rho g(y_c-y_b)$
بنابراین، در نتیجه تخلیه لوله خروجی در عمق کمتری نسبت به خروجی مخزن، فشار در نقطه B در واقع کمتر از اتمسفر (یعنی مکش) است. این مشابه چیزی است که با سیفون اتفاق می افتد..hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا

تصویر
تصویر

ارسال پست