تفاوت تانسور فشار و تنش

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1468

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

تفاوت تانسور فشار و تنش

پست توسط rohamjpl »

یک جسم پیوسته C و یک زیرمجموعه بسته V را با مرز$\partial V$ به طور کامل در C در نظر بگیرید (توجه کنید که $\partial V \subset V$. اگر $p \in \partial V$، قسمت خارجی C، یعنی C∖V با استفاده از یک نیروی سطحی روی p (در واقع روی همسایگی p در $\partial V$ عمل می کند.
$d\vec{f} = \vec{s}(p, \vec{n}) dS(p)\:,$
که در آن $\vec{n}$ بردار نرمال واحد خروجی در p و $dS(p)$ سطح بینهایت کوچک اطراف p است که در سطح بزرگتر ساخته شده از مرز $\partial V$ قرار دارد. بنابراین $dS(p)$ به $\vec{n}$ طبیعی است.
مجموع نیروی وارد بر V در اثر بخشی از C خارج از V برابر است با:
$\vec{F}_V = \int_{+\partial V} \vec{s}(p, \vec{n}) dS(p)\quad (1)$
$C \times \mathbb{S}^2 \ni (p, \vec{n}) \mapsto \vec{s}(p, \vec{n})$ تابع تنش نامیده می شود.
توجه کنید که یک نقطه p∈C چندین بردار تنش روی آن اعمال می‌شود، با توجه به انتخاب‌های مختلف $\vec{n}$.
علاوه بر این، $\vec{s}(p, \vec{n})$ لزوماً موازی با $\vec{n}$ نیست، می تواند دارای مولفه هایی نرمال با \vec{n} باشد (بنابراین موازی با $dS(p)$ که نیروهای اصطکاک را توصیف می کند.
یک قضیه اساسی ناشی از کوشی نشان می دهد که، تحت برخی فرضیه های کاملاً کلی در مورد جسم پیوسته، $\mathbb{S}^2 \ni \vec {n} \mapsto \vec{s}(p, \vec{n})$ محدودیت یک نقشه خطی است. در نتیجه این عمل یک میدان تانسوری است (من از قرارداد انیشتین در مورد شاخص های زیر استفاده می کنم)
$s^a(p, \vec{n}) = \sigma(p)^{ab} n_b$
که در آن $n_a$ مولفه های کوواریانت $\vec{n}$ و $s^a$ اجزای متضاد $\vec{s}$ هستند (در واقع با استفاده از فریم های متعارف هیچ تمایزی بین این دو نوع مولفه وجود ندارد).
تانسور تنش کوشی σ همیشه متقارن است: $\sigma(p)^{ab}= \sigma(p)^{ba}$ (این را می توان با تحمیل رابطه استاندارد بین گشتاور نیروها و تکانه زاویه ای ثابت کرد).
هویت (1) را می توان با استفاده از قضیه واگرایی دوباره نوشت:
$F^a_V = \int_{V} \sigma^{ab}, _b d^3x$
که در آن b مشتق را با توجه به $x^b$ نشان می دهد. این نقطه شروع برای نوشتن F=ma برای اجسام پیوسته است.
یک مورد بسیار خاص مورد یک σ همسانگرد است:
$\sigma(p)^{ab} = -P(p)\delta^{ab}\qquad (3)$
جایی که $P(p)\geq 0$ یک میدان اسکالر را تعریف می کند. در اینجا همه بردارهای تنش همیشه با مرز V نرمال هستند، مهم نیست که چگونه آن بخش از جسم پیوسته را ثابت کنید، و نیروی کل صرفاً فشاری است. اسکالر P فشار است. سیالات غیر چسبناک دارای تانسور تنش شکل (3) هستند. اگر سیال در حالت تعادل باشد، حتی سیالات چسبناک نیز چنین شکلی دارند.
وجود نیروهای ویسکوز برخی اصطلاحات غیر همسانگرد (یعنی غیر قطری) را به RHS (3) اضافه می کند.
تفاوت بین تنش و فشار مربوط به تفاوت بین نیروی همسانگرد و ناهمسانگرد است. در مورد تجزیه تنش کوشی σ به اجزای «هیدرواستاتیک» و «انحرافی» وجود دارد.$\boldsymbol{\sigma}=\mathbf{s}+p\mathbf{I}$
جایی که فشار p است
$p=\frac{1}{3}\text{tr}(\boldsymbol{\sigma})$
که در آن I ماتریس هویت 3×3 است، و جایی که s جزء بدون ردیابی σ است.
مقاله پیوند شده در واقع توضیح بصری خوبی از pI می دهد:
(از مقاله) تانسور تنش هیدرواستاتیک متوسط ​​pI که تمایل به تغییر حجم جسم تحت تنش دارد.
از آنجایی که نیروی سطحی که صفحه ای با بردار نرمال n تجربه می کند، به دست می آید
$\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}=\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}$
که برای یک تنش هیدرواستاتیکی خالص تبدیل می شود
$\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}=\mathbf{n}\cdot p\mathbf{I}=p\mathbf{n}$
که در همان جهت عادی به صفحه اشاره می کند. این اساساً به این معنی است که یک مکعب از مواد اگر p>0 باشد مانند یک توپ منبسط می شود و اگر p<0 منقبض می شود.
در همین حال، مولفه انحرافی به این معنی است که نیروهایی در حال بازی هستند که فقط تمایل به انبساط یا انقباض چیزها، مانند نیروهای برشی ندارند.
در مورد مثالی که فشار و استرس برابر نیستند چطور؟
در یک جامد، امواج برشی خالص می توانند وجود داشته باشند. برخلاف امواج فشار آکوستیک، امواج برشی دارای فشار ثابت هستند. نیروهایی که موج را منتشر می کنند ناشی از فشار نیستند، بلکه ناشی از کرنش برشی هستند.هرگاه نیروی خارجی به طور خودکار به جسم وارد شود، نیروی بازگرداننده در داخل جسم ایجاد می شود تا تغییر شکل جسم را محدود کند. نسبت نیروی بازگرداننده عمود بر سطح به ناحیه به عنوان تنش شناخته می شود. نسبت نیروی خارجی عمود بر جسم سطح به منطقه به عنوان فشار شناخته می شود.
برای مثال اگر توپی را فشار دهید و فشار وارد کنید و آنچه توپ به شما وارد می کند استرس است و اگر هر دو r مساوی نباشند یکی بر فشار دیگر مسلط باشد یک نیروی خارجی و استرس یک نیروی درونی است.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست