اشکال قانون اول ترمودینامیک

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1651

سپاس: 3161

جنسیت:

تماس:

اشکال قانون اول ترمودینامیک

پست توسط rohamjpl »

خوب ما میدونیم قانون اول ترمودینامیک بیان می کنه که تغییر در انرژی داخلی یک سیستم برابر است با انتقال حرارت خالص به سیستم منهای کار خالص انجام شده توسط سیستم. در شکل معادله، قانون اول ترمودینامیک ΔU = Q - W است.
1. قانون اول ترمودینامیک صرفاً نشان می‌دهد که در هر فرآیندی بین اشکال مختلف انرژی درگیر در فرآیند تبدیل وجود داره اما هیچ اطلاعاتی در مورد امکان‌پذیری چنین تبدیلی ارائه نمییده. 2. قانون اول هیچ اطلاعاتی در مورد جهت هم ارائه نمیده
قانون اول ترمودینامیک بیان می کنه که$\frac{D}{Dt}(K+U)=W+H,$
که در آن K انرژی جنبشی، U انرژی داخلی، W قدرت نیروهای خارجی و H شار گرما است. من (در کتاب درسی خود) دیده ام
$\rho\frac{De}{Dt}=\sigma:D-\nabla\cdot q+\rho\mathbb E,$
که ρ چگالی است، e انرژی در واحد جرم، σ تانسور تنش، D نرخ تانسور تغییر شکل، q بردار شار گرما، E تولید گرمای داخلی در واحد جرم است.من می خواهم نشان دهم که موارد فوق معادل موارد زیر است:
$\rho\frac{D}{Dt}(e+\frac{v^2}{2})=\nabla\cdot(\sigma\cdot v)+\rho f\cdot v+\rho\mathbb E-\nabla\cdot q$
در اینجا، v سرعت و f نیروی خالص جسم در واحد جرم است.
فقط تفاوت بین معادله اول و دومی را که می خواهید نشان دهید معادل است محاسبه کنید. اگر معادل هستند، تفاوت باید 0=0 باشد. شما در واقع دریافت می کنید
$-\rho \frac{D}{Dt}(\frac{v^2}{2}) =\sigma:D-\nabla\cdot (\sigma\cdot v)-\rho f\cdot v$
همه شرایط دیگر موافق هستند.
معادله بالا واقعاً 0=0 می گوید زیرا ممکن است عبارت ها یک به یک مطابقت داشته باشند. اولین،
$-\rho \frac{D}{Dt}(\frac{v^2}{2}) =-\rho v\cdot \frac{D}{Dt}v = -\rho v\cdot f$
زیرا نیروی خالص جسم در واحد جرم f ممکن است به صورت a نوشته شود که فقط F=ma در واحد جرم محاسبه می شود. و $Dv/Dt =a$بنابراین سمت چپ برابر با آخرین جمله سمت راست است.
به همین ترتیب،
$\sigma:D = \nabla\cdot (\sigma\cdot v)$
بنابراین دو عبارت اول سمت راست نیز لغو می شوند. این هویت کمی ظریف تر است، اما حداقل از نظر شماتیک، نرخ تانسور تغییر شکل D نیز به برخی از مشتقات فضایی سرعت،$\nabla v\sim \nabla (D/Dt)x\sim (D/Dt)\nabla x\sim D$ مربوط می شود. ، با برخی انقباضات مناسب. هر دو عبارت در σ خطی هستند. در دنباله مشتقات، توجه داشته باشید که تغییر شکل از مولفه‌های تانسور ∇x اندازه‌گیری می‌شود (میزان نابجایی بر حسب متر به موقعیت بر حسب متر بستگی دارد: این تغییر شکل را به این ترتیب دریافت می‌کنید؛ و متمایز می‌شود زیرا میزان آن است. ).
این کمی گیج کننده است که σ از یک طرف ∇ متمایز است اما از طرف دیگر نه، اما برخی از معادله های پیوستگی برای تانسور تنش با آن سروکار دارد(اصطلاح اضافی که ممکن است در این معادله پیوستگی برای تانسور تنش ظاهر شود، احتمالاً همان چیزی است که تبدیل می کند. یک مشتق جزئی از مشتق زمان کل، چیزی که در بالا نیز از آن غافل شدم.)اما من معتقدم که کتاب درسی مکانیک باید شرح مفصلی از تمام مراحل که در بالا ترسیم شده است، داشته باشد.
بیایید از شروع کنیم
$\rho\frac{De}{Dt}=\sigma:\mathbf{D}-\nabla\cdot \mathbf{q}+\rho\mathbb E$
D نرخ تانسور تغییر شکل است و قبلاً (در همان کتاب) به این صورت تعریف شده بود
$\mathbf{D}=\frac{1}{2}[\nabla \mathbf{v}+(\nabla \mathbf{v})^T]$
سپس
$\mathbf{\sigma}:\mathbf{D}=\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}:\nabla \mathbf{v}+\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}:\nabla \mathbf{v}^T=\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}:\nabla \mathbf{v}+\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}^T:\nabla \mathbf{v}=\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}:\nabla \mathbf{v}+\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}:\nabla \mathbf{v}=\mathbf{\sigma}:\nabla \mathbf{v}$
جایی که عبور دوم با این هویت حاصلضرب نقطه ای ممکن می شود و عبور سوم با حفظ تکانه زاویه ای که دلالت بر $\sigma=\sigma^T$ دارد.
در عوض حفظ تکانه خطی می دهد
$(\nabla\cdot\sigma)+\rho\mathbf{f}=\rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}$
هر ضلع را به صورت اسکالر در v ضرب می کنیم
$(\nabla\cdot\sigma)\cdot\mathbf{v}+\rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}=\rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}\cdot\mathbf{v}=\rho\frac{1}{2}\frac{D(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})}{Dt}=\frac{1}{2}\rho\frac{Dv^2}{Dt}$
با اضافه کردن این به معادله شروع و جایگزینی آنچه که ما پیدا کرده ایم با عبارت $σ:D$، دریافت می کنیم
$\rho\frac{D}{Dt}(e+\frac{v^2}{2})=\mathbf{\sigma}:\nabla \mathbf{v}+(\nabla\cdot\sigma)\cdot\mathbf{v}+\rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}-\nabla\cdot \mathbf{q}+\rho\mathbb E$
با توجه به اینکه$\nabla\cdot(\sigma\cdot\mathbf{v})=(\nabla\cdot\sigma)\cdot\mathbf{v}+\sigma:\nabla\mathbf{v}$
ما بدست می آوریم$\rho\frac{D}{Dt}(e+\frac{v^2}{2})=\nabla\cdot(\sigma\cdot\mathbf{v})+\rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}-\nabla\cdot \mathbf{q}+\rho\mathbb E$
فرمولی که ما قصد داشتیم به آن برسیمhope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست