Barycenter و مرکز جرم و مرکز ثقل

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1651

سپاس: 3161

جنسیت:

تماس:

Barycenter و مرکز جرم و مرکز ثقل

پست توسط rohamjpl »

مرکز سنگینی سراسری: Barycenter مرکز جرم دو یا چند جسم آسمانی در حال چرخش به دور یکدیگر و نقطه‌ای‌است که این اجرام به دور آن می‌گردند. این مفهوم در اخترشناسی و اخترفیزیک اهمیت زیادی دارد. فاصلهٔ مرکز جرم یک جسم آسمانی تا مرکز سنگینی سراسری را می‌توان مسئله دو جسم می‌نامند.تصویرتصویر
هرگاه یکی از دو جسم آسمانی به‌طور قابل توجهی سنگین تر از دیگری و فاصله بین آن دو نسبتاً نزدیک باشد، مرکز سنگینی سراسری معمولاً درون جسم سنگین تر قرار می‌گیرد. در این صورت به نظر خواهد رسید جسم کوچک‌تر به دور جسم بزرگ‌تر می‌چرخد و جسم بزرگتر صرفاً کمی تلو تلو دیده می‌خورد. در سامانهٔ زمین و ماه که مصداقی از این حالت است، مرکز سنگینی سراسری داخل زمین و به‌طور متوسط در ۴۶۷۰ کیلومتری (معادل ۷۵ درصد شعاع) از مرکز آن قرار گرفته‌است.باریسنتر منظومه شمسی می تواند از نزدیک به مرکز خورشید تا خارج از سطح خورشید متغیر باشد. همانطور که خورشید به دور این مرکز متحرک می چرخد، به اطراف می چرخد.
اگر r1 فاصله جسم اول با مرکز سنگینی سراسری، a فاصله مرکز دو جسم و m1 و m2 جرم دو جسم باشد${\displaystyle r_{1}=a\cdot {\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {a}{1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}}}}$ جسمی که جرم و کشش گرانشی کمتری دارد با جرم و کشش گرانشی بیشتر به دور نزدیکترین جسم می چرخه .مرکز جرم باری سنتر. به طور کلی اجسام کوچک به دور اجسام بزرگ نمی گردند. در عوض، اجسام بزرگ و کوچک با هم به دور مرکز جرم ترکیبی خود می چرخند پس کلا هر دو جسم سنگین‌تر و سبک‌تر به دور مرکز جرم مشترک خود می‌چرخند. فقط جسم سنگین‌تر حرکت زیادی نمی‌کند (دارای مدار کوچکی است)، در حالی که جسم سبک‌تر حرکت زیادی دارد (دارای مدار گسترده‌ای).تصویر
به عنوان مثال. خورشید ما در واقع به دور مرکز جرم کل منظومه شمسی می چرخد، اما این حرکت بسیار کوچک است و به سختی تکان می خورi$r_1 = ( "a" * m_2 )/( m_1 + m_2 )$ که a فاصله مرکز دو جرم هستش باریسنتر فقط مرکز جرم است. در این حالت، این یک نقطه غیر مادی در فضا، بین دو ستاره است که به دور آن می چرخند. موقعیت آن به جرم ستارگان بستگی دارد.تصویر
اگر ستارگان از نظر جرم برابر باشند، در نیمه راه بین آنها قرار دارد. اگر جرم یکی دو برابر دیگری باشد، یک سوم مسیر از خط سنگین تا سبک را طی می کند.فرمول کلی مرکز جرم برای دو جرم نقطه، m1 در r1 و m2 در r2 است
$\mathbf{r}_{CM}=\frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2}{m_1+m_2}.$من به این مساله رسیدم دو جسم هستم و در حین فکر کردن به مدار ماه و زمین به این ایده رسیدم: اگر زمین ناپدید شود و جسم دیگری با جرم M ثابت در مرکز ماه و زمین ظاهر شود چه؟ مقدار M چقدر باید باشد تا مدار ماه دقیقاً ثابت بماند؟من نتیجه گرفتم که $M=\frac{m_E}{{m_M}^2}\mu^2$
M=mEmM2μ2
جایی که mE جرم زمین، mM جرم ماه و μ جرم کاهش یافته زمین و ماه است.تصویر
می خواستم بدانم آیا درست است یا خیر.این درست است. اگر با معادله حرکت ماه شروع کنم
$m_M\ddot{\boldsymbol{r}}_M = - \frac{Gm_Mm_E}{|\boldsymbol{r}_M - \boldsymbol{r}_E|^3}\left(\boldsymbol{r}_M - \boldsymbol{r}_E\right),$
و مرکز جرم را به عنوان مبدا انتخاب می کنم
$m_M\boldsymbol{r}_M + m_E\boldsymbol{r}_E = \boldsymbol{0},$
سپس$\boldsymbol{r}_M - \boldsymbol{r}_E = \frac{m_M+m_E}{m_E}\boldsymbol{r}_M,$
به طوری که $m_M\ddot{\boldsymbol{r}}_M = -Gm_Mm_E\left(\frac{m_E^3}{(m_M+m_E)^3r^3_M}\right)\left(\frac{m_M+m_E}{m_E}\boldsymbol{r}_M\right),$
که کاهش می یابد به $\ddot{\boldsymbol{r}}_M = -\frac{GM}{r^3_M}\boldsymbol{r}_M,$
با$M = \frac{m_E^3}{(m_M+m_E)^2} = \frac{m_E}{m_M^2}\mu^2.$
با شروع با دو سیستم جرم دو معادله دارم
$r_{{{\it cm}}}={\frac {m_{{1}}r_{{1}}+m_{{2}}r_{{2}}}{m_{{1}}+m_{{2}}}
}=0
\\
r=r_{{2}}-r_{{1}}$از اینجا به دست می آورم
$r_1=-{\frac {m_{{2}}}{m_{{1}}+m_{{2}}}}\,r\\
r_2={\frac {m_{{1}}}{m_{{1}}+m_{{2}}}}\,r$
Ansatz من: (شکل II) جرم M را در مرکز جرم قرار می دهید و جرم m1 را در موقعیت r1 نادیده می گیرم
معادله حرکات:$m_2\,\ddot r_2=-\frac{M\,m_2}{r_2^2}=-{\frac {m_{{2}}M \left( m_{{1}}+m_{{2}} \right) ^{2}}{{m_{{1}}}^{2}{r
}^{2}}}$باید برابر با باشد$m_2\,\ddot r_2=-\frac{m_1\,m_2}{r^2}$
حل کردن برای M
$M=\frac{m_1^3}{(m_1+m_2)^2}=\frac{m_1}{m_2^2}\,\mu^2$
که در آن $~\mu=\frac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}$
بنابراین نتیجه من درست است
در مورد سه جرم $\mathbf{r_{B,123}} = \frac{m_1 \mathbf{r_1} + m_2 \mathbf{r_2} + m_3 \mathbf{r_3}}{m_1+m_2+m_3}$
نکته تفاوت اساسی بین مرکز جرم و مرکز ثقل این است که مرکز جرم نقطه ای از جسم است که در آن نیروی خالص باعث می شودجسم بدون چرخش حرکت کند، در حالی که مرکز ثقل نقطه ای است که کل وزن جسم به صورت عمودی به سمت پایین عمل می کند. .مرکز جرم نقش مهمی در نجوم و اخترفیزیک ایفا می کند، جایی که معمولاً از آن به عنوان مرکز باریس یاد می شود. باری سنتر نقطه بین دو جسم است که در آن بین یکدیگر تعادل برقرار می کنند. مرکز جرمی است که دو یا چند جرم آسمانی به دور یکدیگر می چرخند.
ببینید مرکز جرم نقطه ای، نزدیک یا درون جسمی که بتوان جرم جسم را در آن متمرکز فرض کرد. برای جسمی با چگالی یکنواخت با مرکز و در یک میدان گرانشی یکنواخت با مرکز ثقل منطبق است.مرکز جرم یک نقطه مرجع مفید برای محاسبات در مکانیک است که شامل جرم های توزیع شده در فضا می شود، مانند تکانه خطی و زاویه ای اجسام سیاره ای و دینامیک جسم صلب. در مکانیک مداری، معادلات حرکت سیارات به صورت جرم های نقطه ای که در مراکز جرم قرار دارند، فرموله می شوند. قاب مرکز جرم یک قاب اینرسی است که در آن مرکز جرم یک سیستم نسبت به مبدأ سیستم مختصات در حالت سکون است. یا اینطور بگم مرکز جرم نقطه منحصر به فردی در مرکز توزیع جرم در فضا است که دارای این ویژگی است که بردارهای موقعیت وزنی نسبت به این نقطه مجموع صفر می کنند.
هر دو مقدار به عنوان میانگین وزنی موقعیت محاسبه می شوند. برای مرکز جرم، جرم را به این ترتیب میانگین می‌گیریم، در حالی که برای مرکز ثقل، تأثیر گرانش روی بدن (یعنی وزن) را میانگین می‌گیریم.
$\begin{align}
x_\text{com} &= \dfrac{\int x \, \rho(x) \,\mathrm{d}x}{\int \rho(x) \, \mathrm{d}x} \\
\\
x_\text{cog} &= \frac{\int x \, \rho(x)\, g(x) \,\mathrm{d}x}{\int \rho(x) \,g(x) \,\mathrm{d}x}
\end{align}$
چیزی که به طور کلی می‌دانیم توزیع چگالی جرم $\rho(\vec{x})$ است، و شما می‌توانید آن تفاضل جرم را بر حسب ρ و دیفرانسیل حجمی $dm=\rho(\vec{x})dV$ بنویسید، بنابراین مرکز جرم برابر است با
$\vec{x}_{com}=\frac{1}{M}\int_V\vec{x}\rho(\vec{x})dV,$
که در آن M جرم کل است، یعنی $\vec{x}_{com}=\frac{1}{M}\int_V\vec{x}\rho(\vec{x})dV,$
مرکز جرم نقطه منحصر به فردی است در مرکز توزیع جرم در فضا که دارای این ویژگی است که بردارهای موقعیت وزنی نسبت به این نقطه مجموع صفر می کنند. در قیاس با آمار، مرکز جرم، مکان میانگین توزیع جرم در فضا است.
سیستمی از ذرات در مورد سیستمی از ذرات Pi، i = 1، ...، n ، هر کدام با جرم mi که در فضا با مختصات ri، i = 1، ...، n ، مختصات R مرکز قرار دارند. انبوه شرایط را برآورده می کند
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .}$
با حل این معادله برای R فرمول بدست می آید
${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}،}$
که در آن ${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{n}m_{i}}$ مجموع جرم است همه ذرات
اگر توزیع جرم با چگالی ρ(r) در یک جامد Q پیوسته باشد، آنگاه انتگرال مختصات موقعیت وزنی نقاط در این حجم نسبت به مرکز جرم R بر روی حجم V صفر است، یعنی
${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.}$به معنای گشتاور حاصل T = 0 است. از آنجایی که گشتاور حاصل صفر است، جسم به گونه ای حرکت می کند که گویی یک ذره است که جرم آن در مرکز جرم متمرکز شده است.با انتخاب مرکز ثقل به عنوان نقطه مرجع برای یک جسم صلب، نیروهای گرانش باعث چرخش جسم نمی شوند، به این معنی که وزن بدن را می توان در مرکز جرم متمرکز کرد.${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,}$
بنابراین این دو معادل هستند. با این حال، اگر جسم به اندازه‌ای بزرگ باشد که ما نیاز به تغییر قدرت یا تغییر جهت گرانش داشته باشیم، آن‌ها دیگر همان چیز نیستند.مرکز ثقل جسم نقطه‌ای است که گشتاور حاصل از نیروهای گرانش در اطراف آن ناپدید می‌شود. در جایی که میدان گرانشی را می توان یکنواخت در نظر گرفت، مرکز جرم و مرکز ثقل یکسان خواهند بودکه مرکز جرم یک ویژگی ثابت برای یک جسم صلب معین است (مثلاً بدون شیب یا مفصل)، در حالی که مرکز ثقل ممکن است به جهت گیری آن در یک گرانشی غیریکنواخت بستگی داشته باشد. رشته. در حالت دوم، مرکز ثقل همیشه در مقایسه با مرکز جرم تا حدودی به جسم جذاب اصلی نزدیک‌تر خواهد بود و بنابراین با تغییر جهت، موقعیت خود را در جسم مورد نظر تغییر می‌دهد.
در مطالعه دینامیک هواپیماها، وسایل نقلیه و شناورها، نیروها و گشتاورها باید نسبت به مرکز جرم حل شوند..hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست