کشیدگی در میله با نیروهای اعمالی نابرابر
ارسال شده: پنج‌شنبه ۱۴۰۱/۵/۲۷ - ۰۶:۵۷
ازدیاد طول در یک میله یکنواخت با نیروهای نابرابر که در طرفین مخالف اعمال می شود چگونه محاسبه می شود؟ اگر نیروهای اعمال شده برابر و مخالف باشند، ازدیاد طول با فرمول$\delta = \frac{FL}{AE}$تعریف می شود. راه حل برای حالتی که نیروها نابرابر هستند چگونه تغییر می کند؟
همانطور که به درستی توجه کردید، زمانی که نیروهای اعمال شده برابر نباشند، راه حل متفاوت است. میله در تعادل ایستا نیست: هر دو نیروی ایستا و دینامیکی میله را در حرکت تغییر شکل می دهند. این مفاهیم با برهم نهی نشان داده می شوند. برهم نهی
$\delta = \delta_\text{static} + \delta_\text{dynamic} \qquad = \frac {F_\text{less}L}{EA} + \frac{(F_\text{more} - F_\text{less})L}{2AE}$
در طول تغییرات شتاب (وقتی$\frac{\mathrm{d\;a(t)}}{\mathrm{dt}} \neq 0$ نیروها و شتاب‌های درون جسم جامد میرا شده گذرا هستند، جایی که a(x,t)، تا زمانی که به حالت پایدار برسند، جایی که$\frac{\partial{\;a(x,t)}}{\partial{x}} = 0$
سیستم پویا تغییر شکل‌های گذرا در اجسام جامد توسط یک سیستم جرم/چشمه نشان داده شده‌اند، که در آن هر عنصر جرمی می‌تواند نمایانگر عنصر جرمی تفاضلی باشد.قانون دوم نیوتن ایجاب می کند که میله (با جرم M) در جهت$F_{net}$شتاب بگیرد.
$\sum F \;\text{on bar:} \qquad F_\text{more}-F_\text{less} = Ma \qquad \Rightarrow \;\therefore a = \frac{F_\text{more} - F_\text{less}}{M}$
مشتق تغییر شکل زمانی نشان داده می شود که یک نیروی منفرد روی میله وارد شود.
تغییر شکل دینامیکی:
نمودار بدنه آزاد در یک مقطع دلخواه از میله گرفته می شود، جایی که جرم جسم شکاف $m = (\frac{M}{L})x$ است. مجموع نیروهای وارد بر m برای$ T(x)$ حل می شود.
جمع نیرو
$\sum F \;\text{on split body:} \qquad F_{o} - T = ma$
$F_{o} - T = \overbrace{\left(\frac{M}{L}x\right)}^\text{m} \overbrace{\left(\frac{F_{o}}{M}\right)}^\text{a} = \frac{F_{o}}{L}x \qquad \Rightarrow \qquad T = F_{o} - \frac{F_{o}x}{L}$
$\therefore T = F_{o}\left(1-\frac{x}{L}\right)$
تغییر شکل محوری استاتیکی ($\delta = \frac{FL}{AE}$ که به شکل دیفرانسیل نوشته شده است:
$\mathrm{d \delta} = \frac{T \mathrm{dx}}{AE} = \frac{[F_{o}(1-\frac{x}{L})]\mathrm{dx}}{AE}$
ادغام تغییر شکل دیفرانسیل در طول میله برای تعیین تغییر شکل کل:
$\delta = \int_0^L \mathrm{d \delta} \; = \frac{F_{o}}{AE} \int_0^L 1-\frac{x}{L} \mathrm{dx} \implies \; \delta = \frac{F_{o}L}{2AE}$
استخراج را می توان تعمیم داد تا هر دو نیرو را شامل شود، که در آن ادغام $T(x) = F_\text{more} - \dfrac{F_\text{more}-F_\text{less}}{L}x$منجر به حل یکسانی می شود که توسط برهم نهی ارائه می شود.
$\therefore \delta = \; \overbrace{\frac{F_\text{more}L}{2AE} + \frac{F_\text{less}L}{2AE}}^\text{Integration} \;=\; \overbrace{\frac{F_\text{less}L}{AE} + \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})L}{2AE}}^\text{Superposition}$
و روش دیگه
$T= F_\text{more} - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})x}{L}$
که در آن T کشش سیم است، x فاصله از $F_\text{more}$ است
همین قسمت را در نظر بگیرید،اکنون،استرس $\frac{T}{A} = Y\frac{dn}{dx}\;,$
که در آن n ازدیاد طول در سیم است.
$\frac{T}{A}= F_\text{more} - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{LA}\;x= Y\frac{dn}{dx}\\\implies \frac{(F_\text{more} - F_\text{less})}{L}\; xdx= YdnA$در مورد ادغام هر دو طرف
$F_\text{more}\;x - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{L}\;\frac{x^2}{2} = YNA$
قرار دادن محدودیت ها
$F_\text{more}\;L - (F_\text{more}-F_\text{less})\;\frac{L}{2}= YNA\\ \implies \frac{F_\text{more}- \dfrac{(F_\text{more}- F_\text{less})}{2}}{A} = \frac{YN}{L}= \text{stress in wire}\;.$تنش در سیم.
از این رو طویل شدن $N =\frac{L\left(F_\text{more} - \dfrac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{2}\right)}{AY}\;.$
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
همانطور که به درستی توجه کردید، زمانی که نیروهای اعمال شده برابر نباشند، راه حل متفاوت است. میله در تعادل ایستا نیست: هر دو نیروی ایستا و دینامیکی میله را در حرکت تغییر شکل می دهند. این مفاهیم با برهم نهی نشان داده می شوند. برهم نهی
$\delta = \delta_\text{static} + \delta_\text{dynamic} \qquad = \frac {F_\text{less}L}{EA} + \frac{(F_\text{more} - F_\text{less})L}{2AE}$
در طول تغییرات شتاب (وقتی$\frac{\mathrm{d\;a(t)}}{\mathrm{dt}} \neq 0$ نیروها و شتاب‌های درون جسم جامد میرا شده گذرا هستند، جایی که a(x,t)، تا زمانی که به حالت پایدار برسند، جایی که$\frac{\partial{\;a(x,t)}}{\partial{x}} = 0$
سیستم پویا تغییر شکل‌های گذرا در اجسام جامد توسط یک سیستم جرم/چشمه نشان داده شده‌اند، که در آن هر عنصر جرمی می‌تواند نمایانگر عنصر جرمی تفاضلی باشد.قانون دوم نیوتن ایجاب می کند که میله (با جرم M) در جهت$F_{net}$شتاب بگیرد.
$\sum F \;\text{on bar:} \qquad F_\text{more}-F_\text{less} = Ma \qquad \Rightarrow \;\therefore a = \frac{F_\text{more} - F_\text{less}}{M}$
مشتق تغییر شکل زمانی نشان داده می شود که یک نیروی منفرد روی میله وارد شود.
تغییر شکل دینامیکی:
نمودار بدنه آزاد در یک مقطع دلخواه از میله گرفته می شود، جایی که جرم جسم شکاف $m = (\frac{M}{L})x$ است. مجموع نیروهای وارد بر m برای$ T(x)$ حل می شود.
جمع نیرو
$\sum F \;\text{on split body:} \qquad F_{o} - T = ma$
$F_{o} - T = \overbrace{\left(\frac{M}{L}x\right)}^\text{m} \overbrace{\left(\frac{F_{o}}{M}\right)}^\text{a} = \frac{F_{o}}{L}x \qquad \Rightarrow \qquad T = F_{o} - \frac{F_{o}x}{L}$
$\therefore T = F_{o}\left(1-\frac{x}{L}\right)$
تغییر شکل محوری استاتیکی ($\delta = \frac{FL}{AE}$ که به شکل دیفرانسیل نوشته شده است:
$\mathrm{d \delta} = \frac{T \mathrm{dx}}{AE} = \frac{[F_{o}(1-\frac{x}{L})]\mathrm{dx}}{AE}$
ادغام تغییر شکل دیفرانسیل در طول میله برای تعیین تغییر شکل کل:
$\delta = \int_0^L \mathrm{d \delta} \; = \frac{F_{o}}{AE} \int_0^L 1-\frac{x}{L} \mathrm{dx} \implies \; \delta = \frac{F_{o}L}{2AE}$
استخراج را می توان تعمیم داد تا هر دو نیرو را شامل شود، که در آن ادغام $T(x) = F_\text{more} - \dfrac{F_\text{more}-F_\text{less}}{L}x$منجر به حل یکسانی می شود که توسط برهم نهی ارائه می شود.
$\therefore \delta = \; \overbrace{\frac{F_\text{more}L}{2AE} + \frac{F_\text{less}L}{2AE}}^\text{Integration} \;=\; \overbrace{\frac{F_\text{less}L}{AE} + \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})L}{2AE}}^\text{Superposition}$
و روش دیگه
$T= F_\text{more} - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})x}{L}$
که در آن T کشش سیم است، x فاصله از $F_\text{more}$ است
همین قسمت را در نظر بگیرید،اکنون،استرس $\frac{T}{A} = Y\frac{dn}{dx}\;,$
که در آن n ازدیاد طول در سیم است.
$\frac{T}{A}= F_\text{more} - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{LA}\;x= Y\frac{dn}{dx}\\\implies \frac{(F_\text{more} - F_\text{less})}{L}\; xdx= YdnA$در مورد ادغام هر دو طرف
$F_\text{more}\;x - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{L}\;\frac{x^2}{2} = YNA$
قرار دادن محدودیت ها
$F_\text{more}\;L - (F_\text{more}-F_\text{less})\;\frac{L}{2}= YNA\\ \implies \frac{F_\text{more}- \dfrac{(F_\text{more}- F_\text{less})}{2}}{A} = \frac{YN}{L}= \text{stress in wire}\;.$تنش در سیم.
از این رو طویل شدن $N =\frac{L\left(F_\text{more} - \dfrac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{2}\right)}{AY}\;.$
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا