ترمودینامیک: مجموعه فنر پیستونی

[rohamavation]

ما یک مجموعه پیستون (پر از گاز) داریم که به یک فنر متصل است. بالای پیستون به جو باز است. گاز به طور برگشت پذیر تا 100 درجه سانتیگراد گرم می شود.
این یک مسئله مثال در کتاب ترمودینامیک من است
فرآیند برگشت پذیر است و سپس کار انجام می شود
$W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV$
جابجایی فنر را می توان بر حسب تغییر حجم نوشت
$x = \frac{V-V_1}{A} = \frac{\Delta V}{A}$
تعادل نیرو بر روی پیستون تسلیم می شود
$P_{air}A = P_{ext}A + kx$.$P_{air} = P_{ext} + \frac{kx}{A^2}$
وصل کردن این معادله به معادله اول:
$W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV = -\int^{V_2}_{V_1}P_{ext}dV -\int^{\Delta V = V_2-V_1} _{0}\frac{k \Delta V}{A^2}d({\Delta V} )$,$W = -P_{ext}(\Delta V) - \frac{k \Delta V^2}{2A^2}$
استفاده از قانون گاز ایده آل$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} = \frac{V_2}{T_2}(P_{ext} + \frac{kx}{A^2})$
و با حل این معادله $V_2$ بدست می آید و کار پیدا می شود.
: تغییر انرژی درونی توسط
$\Delta u = \int^{T_2}_{T_1}C_pdT = R\int^{T_2}_{T_1}[(A-1) + BT + DT^{-2}]dT$
$\Delta u = R[(A-1)T+\frac{B}{2}T^2 - \frac {D}{T}] | [T_2 T_1]$
با پارامترهای مربوط به ظرفیت گرمایی هوا از جداول موجود در کتاب، تغییر انرژی داخلی را می توان یافت.
سپس انتقال حرارت کل $Q = \Delta u - W$ است
سوال من.
چگونه رفتار گذرا سیستم را مدل کنم؟ تغییر مکان فنر در طول زمان و همچنین تغییر فشار در طول زمان؟I hope I have helped you in understanding the question. Roham Hesami, seventh semester
aerospace engineering

[rohamavation]

چگونه رفتار گذرا سیستم را مدل کنم؟ تغییر مکان فنر در طول زمان و همچنین تغییر فشار در طول زمان؟
جابجایی پیستون
فرض کنید در t=0 حجم V_0$ $در فشار p_0$ $و موقعیت پیستون$ y=0 $باشد. فشار خارجی $p_a$، سطح مقطع پیستون A و وزن پیستون m است. ما همه اصطکاک ها را نادیده می گیریم. اکنون به یک معادله حرکت نیوتنی نیاز داریم.
نیروی خالص در جهت y، در هر زمان:$F_y=pA-p_aA-ky$قانون دوم نیوتن:$F_y=ma_y$
قانون گاز ایده آل همدما:$pV=p_0V_0$در حین گسترش:
$p=p_0\frac{V_0}{V}$$V=V_0+yA$$p=p_0\frac{V_0}{V_0+yA}$معادله حرکت:$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y$ممکن استقاعده زنجیره ای:$a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{dv_y}{dy}\frac{dy}{dt}=v_y\frac{dv_y}{dy}$
بنابراین ما داریم:$mv_ydv_y=\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$
ادغام بین مرزهای مربوطه:
$\int_0^{v_y}mv_ydv_y=\int_0^y\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$
$\frac12 mv_y^2=p_0V_0A\int_0^y\frac{dy}{V_0+Ay}-p_aAy-\frac12 ky^2$
$K(y)=\frac12 mv_y^2=p_0V_0\ln\frac{V_0+Ay}{V_0}-p_aAy-\frac12 ky^2$
این انرژی جنبشی K(y) پس از جابجایی y است و سرعت پیستون را می توان از آن محاسبه کرد:
$v_y=\sqrt{\frac{2K(y)}{m}}$
با $v_y=\frac{dy}{dt}$ می توان یک عبارت برای y(t) را امتحان کرد اما عبارت:
$t=\int_0^t\frac{dy}{v_y}$
... از نظر تحلیلی قابل ادغام نیست. بنابراین هیچ عبارتی برای p(t) نمی توان یافت، حداقل نه به صورت تحلیلی.
سوال را کمی به روز می کنم. من تصادفاً بخشی از سؤال را حذف کردم. از این بابت عذرخواهی می کنم. سوال کتاب راهنما بیان می کند که گاز به صورت برگشت پذیر تا 100 درجه سانتیگراد گرم می شود.
فشار اولیه را $p_0 $در V_0$ $و T_0$ $فرض کنید، بنابراین توسط IGL:
$p_0V_0=nRT_0$پس از حرارت دادن به T گاز منبسط شده و اکنون در فشار p است:
$p(V_0+yA)=nRT$بنابراین:
$\frac{p(V_0+yA)}{p_0V_0}=\frac{T}{T_1}$
و:$p=\frac{p_0V_0}{V_0+yA}\frac{T}{T_1}$
اکنون می‌توانیم این عبارت را در معادله حرکت وارد کنیم، اما متأسفانه عبارتی برای T(y) نداریم. دلیلش این است که نوع انبساط مشخص نشده است: به عنوان مثال آدیاباتیک یا پلی تروپیک. بدیهی است که برای حالت همدما به محلول بالا کاهش می یابد.
بنابراین تعریف مسئله برای قسمت اول سوال کافی است اما برای قسمت دوم کافی نیست.I hope I have helped you in understanding the question. Roham Hesami, seventh semester
aerospace engineering

[rohamavation]

معادله حرکت:
$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y$ممکن است
آیا می توانیم معادله گرت را به شکل زیر تغییر دهیم و برای y(t) راه حلی پیدا کنیم؟
$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=m\frac{d^2y}{dt^2}$
یا:$m\frac{d^2y}{dt^2} + ky - p_0\frac{AV_0}{V_0+yA} + p_aA =0$
اگر بتوانیم y(t) را از آن معادله دیفرانسیل پیدا کنیم، می توانیم p(t) را از این معادله پیدا کنیم:
$p(t)=p_0\frac{V_0}{V_0+y(t)A}$
I hope I have helped you in understanding the question. Roham Hesami, seventh semester
aerospace engineering

[rohamavation]

اگر پیستون نوسان کند، این فرآیند قابل برگشت نیست. انرژی جنبشی مطمئناً در طول زمان توسط تنش های چسبناک (یک اثر برگشت ناپذیر) از بین می رود تا زمانی که سیستم به یک حالت پایدار جدید برسد. و چه اتفاقی برای تغییرات انرژی داخلی U گاز در هنگام انبساط یا فشرده شدن آن افتاد. که قطعا از این تحلیل ها حذف شده است. هیچ چیزی در بیان مسئله وجود ندارد که بگوید انبساط برگشت پذیر به صورت همدما انجام می شود و اگر جرم پیستون ناچیز باشد چه؟
تعادل نیرو روی پیستون به صورت زیر است:
$PA=P_{atm}A+kx$که در آن x در زمان صفر صفر در نظر گرفته می شود. تغییر حجم گاز به صورت زیر بدست می آید:
$V-V_0=Ax$بنابراین با ترکیب این معادلات به دست می آید:$P=P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)$
سرعت انجام کار بر روی محیط اطراف به این ترتیب است
$\dot{W}=\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt}$
نرخ تغییر انرژی داخلی گاز به صورت زیر بدست می آید:
$\frac{dU}{dt}=nC_v\frac{dT}{dt}$
بنابراین، از قانون اول ترمودینامیک،
$nC_v\frac{dT}{dt}=\dot{Q}-\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt}$
اگر این را با توجه به زمان ادغام کنیم، دریافت می کنیم:
$nC_v(T-T_0)=\int_0^t{\dot{Q}dt}-P_{atm}(V-V_0)-\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\tag{1}$
جایی که$T=\frac{PV}{nR}=\frac{\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR}$
و$T_0=\frac{P_{atm}V_0}{nR}$
بنابراین،$T-T_0=\frac{P_{atm}(V-V_0)}{nR}+\frac{\left[\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR}$
اگر این نتیجه را با اختلاف دما به معادله جایگزین کنم. 1 برای به دست آوردن معادله ای برای حجم صرفاً بر حسب گرمای تجمعی اضافه شده، به دست می آید:
$\gamma \left[P_{atm}(V-V_0)+\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\right]+\frac{k}{A^2}\frac{V_2-V_0^2}{2}=(\gamma -1)Q$
که در آن Q مقدار تجمعی گرمای اضافه شده در زمان t است.
I hope I have helped you in understanding the question. Reham Hosami, seventh semester
aerospace engineering

[rohamavation]

کار انجام شده توسط پیستون در مقابل کار انجام شده توسط اطراف
فرض کنید یک مجموعه پیستون بدون جرم و اصطکاک در ابتدا فشار بیشتری نسبت به فشار خارجی (اتمسفر) دارد و به گونه ای پین شده است که پیستون حرکت نکند. پس از برداشتن پین، پیستون منبسط می شود تا زمانی که فشار داخل پیستون به فشار اتمسفر تبدیل شود. در طی فرآیند، کار انجام شده توسط گاز داخل پیستون است
$W_{\text{piston}}=\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{gas}}\cdot \mathrm{d}V$
و کار انجام شده توسط اطراف این است،
$W_{\text{ext}}=\int_{V_1}^{V_2}P_{\text{ext}}\cdot \mathrm{d}V = P_{\text{ext}} \left(V_2 - V_1 \right)
$ما می توانیم فشار خارجی را از انتگرال بیرون بکشیم زیرا به عنوان یک فشار اتمسفر ثابت است.
سوال من این است که کار انجام شده توسط پیستون با کاری که توسط اطراف انجام می شود یکسان نیست زیرا dV یکسان است ، اما ${P}_{\text{gas}}$ در طول فرآیند از $P_ext$ بزرگتر است ، بنابراین کار انجام شده توسط پیستون بزرگتر از کاری است که توسط پیستون انجام می شود. اطراف. آیا آنها نباید یکسان باشند؟تنها مشکل این است که شما در نظر می گیرید که فشار اتمسفر ثابت می ماند. در واقع افزایش می یابد. بگذار توضیح بدهم:
هنگامی که پیستون شما منبسط می شود، حجم اتمسفر را به طور کلی از $V_{0\mathrm{atm}}$ به کاهش می دهد
$V_{1\mathrm{atm}}=V_{0\mathrm{atm}}- \Delta V
\,.$این کاهش حجم منجر به افزایش فشار اتمسفر از$p_{0\text{ext}}$ به بالا می شود
$p_{1\text{ext}}= \frac{p_{0\mathrm{atm}}}{1- \frac{\Delta V}{V_{0\text{atm}}}}
$.حتی اگر تصور کنیم که افزایش فشار بسیار اندک است وقتی ΔV≪V0atm را در نظر بگیریم (همانطور که همیشه هست) تا جایی که بتوان $p_{0\text{ext}}$ را ثابت در نظر گرفت، انرژی از دست رفته به عنوان انرژی پتانسیل در سراسر سیاره پراکنده می شود، درست به همان اندازه که انرژی ذخیره می کنید. در یک بطری تحت فشار
در این مدل من فکر می کنم که جو در بالای آن بسته بود. با این حال، حتی اگر سناریوی سقف باز را در نظر بگیرید، به جای افزایش فشار اتمسفر، انبساط سیستم شما تا حد معینی به بالای جو می‌افزاید. به هر حال، افزایش ارتفاع اتمسفر منجر به افزایش انرژی پتانسیل گرانشی آن می شود و در نتیجه تعادل کار و انرژی برقرار می شود.
یه سوال خیلی جالب به نظر می رسد متناقض است. بخرید، در مشکل شما شرایطی برای اصطکاک و جرم پیستون داده شده است، اما هیچ محدودیتی برای انتقال حرارت به داخل و خارج یا تغییر دما وجود ندارد. پس این یک مشکل ناقص است. به لطف این نقص، به نظرم می رسد که می تواند یک راه فرار منطقی وجود داشته باشد. به راحتی، هیچ اشاره ای به "متفاوت بودن" فشار داخل و خارج سرنگ حتی پس از برداشتن پین وجود ندارد.
اگر اکنون فرض کنیم که گاز داخل سرنگ یک گاز ایده آل است، آنگاه سیر $P_{gas}$ به عنوان تابعی از V، $P_{gas}(V)V=nRT$ را برآورده می کند، بنابراین،$P_{gas}(V) = nRT/V$
، اما اصلاً فرضی مبنی بر عدم تغییر دما وجود ندارد.
بنابراین اگر حدی را فرض کنیم که در آن سیلندر اصلاً انرژی نمی گیرد، یعنی آنقدر کند که انرژی جنبشی به دست نمی آورد، $P_{gas}(V)$ چه خواهد بود؟ برای اینکه اینطور باشد، باید همیشه $P_{gas} dV = P_{ext} dV$باشد، بنابراین
$P_{gas}=P_{ext}$همیشه راضی خواهد بود تنها راه برای مجبور کردن آن به انجام این کار این است که دما را به راحتی تغییر دهید. اگر ما حتی مقدار کمی از انرژی را به انرژی جنبشی سرنگ به دلیل "گزاره برداشته شده" زیر حمل کنیم.
یعنی دمای گاز در سرنگ می تواند و باید به صورت تابعی از V به شکل زیر اعمال شود.
$P_{gas}(V)=P_{ext} = nRT_{gas}(V)/V$بنابراین،$T_{gas}(V)=P_{ext} V/nR$
این بدان معناست که اگر دمای سرنگ را بتوان به این ترتیب تغییر داد، می‌توان یک موقعیت فیزیکی ممکن را به طور مصنوعی ایجاد کرد.
فرض کنید S سطح مقطع پیستون باشد.
هنگامی که گاز داخل سرنگ منبسط می شود (یعنی $P_{gas}>P_{ext}$)، پیستون نیرویی معادل $F_1=P_{gas}S$ از گاز داخل سرنگ در جهت انبساط گاز دریافت می کند.
از طرف دیگر، در این حالت، سرنگ نیرویی معادل $F_2=-P_{ext}S$ از گاز خارج از سرنگ در جهت انبساط گاز دریافت می کند.
بنابراین، نیروی ترکیبی دریافت شده توسط سرنگ $F_{sir} = F_1 + F_2 = (P_{gas} - P_{ext})S$ در جهت انبساط گاز است.
بنابراین، هنگام حرکت در یک مسافت کوچک dl، سرنگ انرژی زیر را دریافت می کند.
$F_{sir}\ dl = (P_{gas} - P_{ext})S\ dl = (P_{gas} - P_{ext})\ dV$
بنابراین، در طول فرآیند شما، انرژی که سرنگ از گازها به دست می آورد، خواهد بود.
${W}_{sir}=\int_{V_1}^{V_2} (P_{gas} - P_{ext}) dV$
اگر هیچ اصطکاک یا نیرویی برای ترمز پیستون وجود نداشته باشد، به نظر می رسد که تفاوت بین$W_{ext}$ و ${W}_{piston}$ (یعنی ${W}_{sir}$ جایی جز انرژی جنبشی سیلندر ندارد.
در چنین شرایطی. اگر جرم استوانه بی نهایت صفر باشد، آیا سرعت سیلندر بی نهایت زیاد نخواهد بود؟ به نظر من این یک موقعیت فیزیکی غیرممکن خواهد بود.
کار انجام شده متفاوت است زیرا پیستون با سرعت بیشتری شتاب می گیرد. در صورت انبساط فشار ثابت (هر دو فشار داخلی و خارجی در همه موارد یکسان است) پیستون به آرامی حرکت می کند. زیرا نیرو برای حرکت پیستون کافی است. اما در مورد شما نیروی داخل به اندازه کافی بالاتر خواهد بود، بنابراین پیستون سریعتر حرکت می کند (یعنی شتاب گرفته). من هم همین شک را داشتم و هنوز در مورد آن شک دارم.I hope I have helped you in understanding the question. Roham Hesami rad, seventh semester
aerospace engineering

[rohamavation]

کارایی موتور 3 مرحله ای
یک چرخه گاز ایده آل ممکن به صورت زیر عمل می کند:
از حالت اولیه (p1, V1) گاز با فشار ثابت به (p1, V2) خنک می شود. اجازه دهید دمای شروع و پایان را T1 و T2 بنامیم
2. گاز با حجم ثابت به (p2, V2) گرم می شود؛ اجازه دهید دمای شروع و پایان را T2 و T3 نامیده شود.
3. گاز به صورت آدیاباتیک به (p1, V1) منبسط می شود. اجازه دهید دمای شروع و پایان را T3 و T1 بنامیم
با فرض ظرفیت حرارتی ثابت، نشان دهید که بازده حرارتی η است
$\eta=1-\gamma\frac{V_2/V_1 -1}{p_2/p_1-1}$
کارایی به صورت زیر تعریف می شود:
$\eta=\frac{W}{Q_h}$
کار انجام شده روی حرارت وارد شد. گرما در مرحله 2 وارد می شود (و برخی در مرحله 1 خارج می شوند اما این مهم نیست). بنابراین باید گرمای وارد شده در مرحله 2 و کار انجام شده را پیدا کنم.
مرحله ی 1:از معادله گاز ایده آل بدست می آوریم:
$p_1V_1=nRT_1, \ \ \ \ p_2V_2=nRT_2 \implies \frac{T_2}{T_1}=\frac{V_2}{V_1}$
کار انجام شده فقط فاصله نیرو ضربدری است که بار فشار در حجم تغییر می کند:
$\Delta W=-p_1\Delta V=-p_1(V_2-V_1)$
مرحله 2:
حجم آن تغییر نمی کند و بنابراین هیچ کاری انجام نمی شود. با این حال گرما به سیستم وارد می شود و فشار را افزایش می دهد. ما باید این گرما را پیدا کنیم.
$\Delta U= Q_h$برای یک گاز ایده آل داریم:$\Delta U= C_v\Delta T=C_v(T_3-T_2)$
جایی که Cv ظرفیت گرمایی در حجم ثابت است.
مرحله 3:
مرحله 3 آدیاباتیک است بنابراین $\Delta U=\Delta W=C_v(T_1-T_3)$
ما همچنین با استفاده از قانون گاز ایده آل داریم:
$T_3=\frac{p_2V_2}{p_1V_1}T_1$
اجازه دهید این را به کارآیی تقسیم کنیم:
$\eta=\frac{C_v(T_1-T_3)-p_1(V_2-V_1)}{C_v(T_3-T_2)}$
اگر T3 و T2 را بر حسب T_1 بدست آوریم و زیر اینها را به دست آوریم:
$\eta=-1-\frac{p_1(V_2-V_1)}{C_vT_1(\frac{p_2V_2}{p_1V_1}-\frac{V_2}{V_1})}$
و با قانون گاز ایده آل، با $n=1$ برای سادگی، $T_1=\frac{p_1V_1}{R}$ بدست می آوریم
$\implies\eta=-1-\frac{R(V_2/V_1-1)}{C_vT_1(\frac{p_2V_2}{p_1V_1}-\frac{V_2}{V_1})}$و$R=C_p-C_v$و$\gamma=C_p/C_v$
$\implies\eta=-1-\frac{(\gamma-1)(V_2/V_1-1)}{C_vT_1(\frac{p_2}{p_1}-1)\frac{V_2}{V_1}}$
من هیچ سرنخی واقعی ندارم واقعا درست است یا غلط.
از نظر گرما راحت ترین حل این مشکل است. برای مرحله 1،
$Q_1=\Delta H=nC_p(T_2-T_1)=nC_p\left(\frac{p_1V_2}{nR}-\frac{p_1V_1}{nR}\right)=\frac{C_p}{R}p_1(V_2-V_1)$
برای مرحله 2،$Q_2=nC_v(T_3-T_2)=nC_v\left(\frac{p_2V_2}{nR}-\frac{p_1V_2}{nR}\right)=\frac{C_v}{R}V_2(p_2-p_1)$
برای مرحله 3،$Q_3=0$
از آنجا که این یک چرخه است، کل تغییر در انرژی داخلی صفر است. بنابراین، کل کار برابر است با مجموع سه گرما:
$W=Q_1+Q_2+Q_3=Q_1+Q_2$
گرمای اضافه شده فقط Q2 است. بنابراین، بازده عبارت است از:
$\eta=\frac{W}{Q_2}=\frac{Q_1+Q_2}{Q_2}=1+\frac{Q_1}{Q_2}$
جایگزینی برای بازده Q1 و Q2:
$\eta=1+\frac{C_p}{C_v}\frac{p_1(V_2-V_1)}{V_2(p_2-p_1)}=1-\gamma\frac{V_1/V_2-1}{p_2/p_1-1}$
I hope I have helped you in understanding the question. Roham Hesami rad , seventh semester
aerospace engineering رهام حسامی راد ترم هفتم مهندسی هوافضا مهر 1401