چرا این میله در تعادل خنثی نیست؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2396

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

چرا این میله در تعادل خنثی نیست؟

پست توسط rohamavation »

فرض کنید میله نشان داده شده در شکل (1) در زیر متعادل است. بنابراین گشتاور در مورد نقطه O $Mg.x-mg.y=0$ است.
سپس تصور کنید که M کمی به سمت بالا بلند شود و با صفحه افقی زاویه ای از θ ایجاد شود (شکل (2)).
سپس گشتاور نقطه O را محاسبه می کنیم.
گشتاور در مورد نقطه O
$= Mg.x cos\theta - mg.y cos\theta$
$=cos\theta(Mg.x-mg.y)$
از معادله اول:
$=cos\theta.(0)$
=0
همچنین می‌توان یافت که گشتاورهای دو سر میله برابر با صفر است. پس آیا نباید در موقعیت جدید خود متعادل باشد؟
و وقتی در مورد انرژی پتانسیل هر جرم صحبت می کنیم، وقتی یک طرف P.E آن را بالا می بریم. و همچنین P.E دیگری افزایش می یابد. کاهش یافته است. می‌توانیم تصور کنیم که هر دوی آنها یکدیگر را خنثی می‌کنند (این زمانی آشکار است که M=m و x=y).*
بنابراین آیا نباید در تعادل خنثی باشد؟
اما همانطور که در زندگی روزمره تجربه می کنیم، همیشه یک صفحه افقی برای متعادل شدن پیدا می کنیم. خب توضیح قبلی من چه اشکالی دارد؟
: مثال مقیاس میله ممکن است در اینجا بی ربط باشد. اما من سعی کردم چنین میله ای را متعادل کنم و نتوانستم آن را در تعادل خنثی نگه دارم. آیا این به این دلیل است که هر دو جرم تلاش می کنند انرژی پتانسیل گرانشی خود را در سطح پایین نگه دارند؟ اگرچه این تضاد دوباره با پاراگراف بالا با علامت * مشخص شده است. آیا به این معناست که این دو توده به عنوان یک سیستم عمل نمی کنند؟
نیوتنی-مکانیک کلاسیک
محاسبات شما درست است، میله بدون توجه به زاویه در تعادل خواهد بود. این فرض را بر این می‌گذارد که تمام اتصالات، اتصالات پین هستند، به طوری که اتصالات هیچ گشتاوری را منتقل نمی‌کند و میله‌های عمودی عمودی می‌مانند.تصویر
یک صفحه افقی ممکن است از نظر زیبایی شناختی دلپذیرتر باشد، اما همانطور که هر کسی که سعی کرده تصویری را آویزان کند می تواند به شما بگوید، اشیاء می توانند بدون افقی بودن در تعادل باشند.
با ترازوی تیر تعادل، نقطه تکیه گاه کمی به سمت بالا جابه جا می شود. سپس افقی مؤثر به موقعیت تعادل پایدار تبدیل می شود (اگر بارها برابر باشند).
برای توضیح بیشتر در مورد پاسخ عالی و صحیح R.W. Bird: اگر توده ها دقیقاً در یک خط افقی با نقطه تعلیق میله معلق نباشند، موقعیت افقی یک پیکربندی تعادل پایدار است تا یک پیکربندی تعادل خنثی. برای مشاهده این، ابتدا یک میله "ضخیم" در تعادل افقی ترسیم می کنیم:
صلیب در اینجا نقطه محوری را مشخص می کند. همانطور که شما (به درستی) نشان دادید، شرطی که این یک پیکربندی تعادلی باشد، دلالت بر این دارد که Mgx=mgy.
حالا بیایید میله را کمی کج کنیم:تصویر
بازوی اهرمی برای نیروی سمت چپ $x \cos \theta + d \sin \theta$است، در حالی که بازوی اهرمی برای نیروی سمت راست $y \cos \theta - d \sin \theta$است. بنابراین، کل گشتاور اعمال شده در مورد نقطه محوری (با چرخش در جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر گرفته می شود)
$\tau = -M g (x \cos \theta + d \sin \theta) + m g (y \cos \theta - d \sin \theta) = -(M+m) g d \sin \theta$
بنابراین برای هر مقدار مثبت d، یک جابجایی مثبت در θ منجر به گشتاور منفی می شود که آن را به سمت θ=0 برمی گرداند. به طور مشابه، یک جابجایی منفی در θ منجر به گشتاور مثبت می‌شود که تعادل را نیز بازیابی می‌کند. بنابراین، پیکربندی افقی یک تعادل خنثی نیست، مگر اینکه d = 0، یعنی نقاط تعلیق جرم ها کاملاً به صورت افقی با نقطه محوری تراز باشند.

توجه داشته باشید که موارد فوق همچنین بیانگر این است که اگر d<0 باشد، پیکربندی افقی یک تعادل ناپایدار است. این با حالتی مطابقت دارد که نقاط تعلیق جرمی (به هر دلیلی) بالاتر از نقطه محوری باشند.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2396

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا این میله در تعادل خنثی نیست؟

پست توسط rohamavation »

گشتاور در یک چرخ دوار حول یک محور
گشتاور
در موقعیت داده شده، چرخ حول محور خود و همچنین حول محور PQ می چرخد. اکنون Query من این است که چه گشتاور نیرویی مسئول چرخش چرخ حول محور PQ است. من هیچ گشتاور خارجی روی سیستم میله به علاوه چرخ که در جهت عمودی رو به بالا است پیدا نکردم.
سوال جالبیه بنابراین قبل از هر چیز توجه کنید که بین لحظه ای که چرخ به طناب متصل می شود (با سرعت زاویه ای تقدم صفر) و لحظه ای که امتداد به سرعت زاویه ای ثابت$\omega_{pr}=\tau/L_s$ می رسد (حرکت دایره ای یکنواخت) یک وضعیت گذرا وجود دارد. مرکز جرم حول محور). ما نمی توانیم این را ببینیم زیرا فاصله زمانی بین این لحظه ها بسیار کم است.
در این وضعیت گذرا، مرکز جرم دارای یک حرکت دایره‌ای شتاب‌دار است که توسط یک نیروی مرکزگرا و یک نیروی مماسی ایجاد می‌شود. پس از آن، هنگامی که امتداد ثابت است، حرکت دایره ای مرکز جرم یکنواخت است و فقط یک نیروی مرکزگرا دارد. هر دوی این نیروها واکنش‌های ورقه‌ای هستند که توسط طناب ارائه می‌شوند و به نقطه P اعمال می‌شوند. اما این نیروها گشتاوری را نسبت به نقطه P ایجاد نمی‌کنند زیرا دقیقاً روی آن نقطه عمل می‌کنند.
اگرچه گشتاور ناپدید می شود، نیروها هنوز وجود دارند و آنها مسئول حرکت دایره ای مرکز جرم هستند.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2396

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا این میله در تعادل خنثی نیست؟

پست توسط rohamavation »

من می دانم که چگونه ابعاد را به یک پروفیل که تحت بارگذاری استاتیکی است اختصاص دهم - که تحت مکانیک مواد است، من روی یک مقطع تیر به توافق می رسم، حداکثر گشتاور را محاسبه می کنم و از شرایط ارتجاعی استفاده می کنم.
سوال من این است که چگونه این کار را روی یک میله چرخان انجام دهم. چگونه حداکثر لحظه و غیره را محاسبه کنم؟
در حالت ایده آل، من باید بتوانم توزیع نیرو/گشتاور را در کنار کل چرخش محاسبه کنم و حداکثر را شناسایی کنم - سپس از شرط کشش استفاده کنم؟
میله ای به طول L، جرم m، مقداری ماده خاص را در نظر بگیرید و بگویید یک مقطع مستطیل شکل، که در برابر محدودیت پین A تحت تأثیر مقداری گشتاور (الکتروموتور؟) می چرخد.
اگر میله شما آونگی است که در ابتدا توسط نیرویی در انتهای آزاد به صورت افقی نگه داشته می شد، قبل از رها کردن آن تیری بود که می دانید چگونه محاسبه کنید. کاملا صاف نبود، وسط می افتاد و استرس و فشار ایجاد می کرد. هنگامی که آن را رها می کنید، هر تکه کوچک میله تحت تأثیر گرانش و تنش های موجود در میله قرار می گیرد و تحت نیروهایی که احساس می کند شتاب می گیرد. یک تقریب خوب این است که CM حرکت پاندولی معمولی را انجام دهد و میله در فرکانس طبیعی خود در انحنای ارتعاش کند. در واقع، خمش استاتیک با شکل حالت اصلی مطابقت نخواهد داشت. می‌توانید خمیدگی استاتیک را به شکل‌های حالت مختلف حل کنید و هر کدام را در فرکانس طبیعی خود ارتعاش کنید.
اگر میله در یک صفحه افقی با سرعت ثابت بچرخد، هیچ گشتاوری توسط موتور تامین نمی شود. دارای افت معمولی از یک میله انتهای ثابت/ انتهای باز و مقداری تنش شعاعی ناشی از نیروی گریز از مرکز خواهد بود.
بنابراین یک میله متحرک را می توان همانند یک میله ایستا تحلیل کرد، اگر نیروهای اینرسی در آن لحاظ شود. به مثالی که زدید توجه کنید:
طرح
سینماتیک
مرکز جرم را با شروع از مختصات موقعیت دنبال کنید و از قانون زنجیره تمایز برای رسیدن به سرعت و شتاب استفاده کنید.
$\begin{aligned}
x &= \frac{\ell}{2} \cos \theta & y & = -\frac{\ell}{2} \sin \theta \\
\dot{x} & = -\frac{\ell}{2}\dot{\theta} \sin\theta & \dot{y} &= \frac{\ell}{2} \dot{\theta} \cos\theta \\
\ddot{x} &= -\frac{\ell}{2} (\ddot{\theta} \sin\theta + \dot{\theta}^2 \cos\theta) &
\ddot{y} &= \frac{\ell}{2} (\dot{\theta}^2 \sin \theta - \ddot{\theta} \cos \theta)
\end{aligned}$پویایی شناسی
روی محور A دو نیرو $(A_x,A_y)$ و در مرکز جرم $(0,-m g)$ وجود دارد.
مجموع نیروها برابر است با جرم ضربدر شتاب مرکز جرم.
$\begin{aligned} A_x & = m \ddot{x} & A_y - m g & = m \ddot{y} \end{aligned}$
مجموع گشتاورهای مرکز جرم برابر است با گشتاور جرمی اینرسی ضربدر شتاب دورانی
$A_y \frac{\ell}{2} \cos \theta + A_x \frac{\ell}{2} \sin \theta = I_z \ddot{\theta}$
به یاد داشته باشید که θ در محور z منفی قرار می گیرد و در نتیجه ممان مثبت در جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته می شود.
سه معادله بالا برای Ax، Ay و θ¨ حل شده است.
اکنون که بارگذاری تعریف شده است، مانند بارگذاری استاتیک ادامه دهید، اما با بارگذاری اینرسی در مرکز جرم قطعه در نظر گرفته شده است. در طول s=0…
$\begin{aligned}
N(s) & = m g \left(\frac{s}{\ell}-1\right) \sin \theta + \frac{\ell}{2} m \dot{\theta}^2 \left( \frac{s^2}{\ell^2}-1\right) \\
S(s) & = \dfrac{m g \left(1 - \frac{s}{\ell}\right) \left( I_z - \frac{s}{\ell} \left( \frac{\ell}{2} \right)^2\right) \cos \theta }{I_z + m \left( \frac{\ell}{2} \right)^2} \\
M(s) & = \dfrac{\frac{\ell}{2}mg\left(1-\frac{s}{\ell}\right)\left(I_{z}\left(\frac{s}{\ell}-1\right)-m\left(\frac{s}{2}\right)^{2}\right)\cos\theta}{I_{z}+m\left(\frac{\ell}{2}\right)^{2}}
\end{aligned}$
اکنون می توانید از فرمول تنش محوری + خمشی استفاده کنید
$\sigma_x = \frac{N(s)}{A} + \frac{M(s) h }{I_{xx}}$
نکته: دینامیک تیرها هم از گشتاور جرمی اینرسی $I_z =\int r^2 {\rm d}m$ و هم از گشتاور سطح مقطع اینرسی $I_{xx}=\int r^2 {\rm d}A$ استفاده می کند.
همانطور که می بینید به محض اینکه شروع به بررسی حرکت با پرتوها می کنید، بسیار سریع به یک مشکل بسیار پیچیده تبدیل می شود. همچنین توجه داشته باشید که نقطه خمشی اوج را نزدیک $s=\frac{2}{3} \ell$می‌بینید که به خودی خود جالب است.

اگر میله شما آونگی است که در ابتدا توسط نیرویی در انتهای آزاد به صورت افقی نگه داشته می شد، قبل از رها کردن آن تیری بود که می دانید چگونه محاسبه کنید. کاملا صاف نبود، وسط می افتاد و استرس و فشار ایجاد می کرد. هنگامی که آن را رها می کنید، هر تکه کوچک میله تحت تأثیر گرانش و تنش های موجود در میله قرار می گیرد و تحت نیروهایی که احساس می کند شتاب می گیرد. یک تقریب خوب این است که CM حرکت پاندولی معمولی را انجام دهد و میله در فرکانس طبیعی خود در انحنای ارتعاش کند. در واقع، خمش استاتیک با شکل حالت اصلی مطابقت نخواهد داشت. می‌توانید خمیدگی استاتیک را به شکل‌های حالت مختلف حل کنید و هر کدام را در فرکانس طبیعی خود ارتعاش کنید.
اگر میله در یک صفحه افقی با سرعت ثابت بچرخد، هیچ گشتاوری توسط موتور تامین نمی شود. دارای افت معمولی از یک میله انتهای ثابت/ انتهای باز و مقداری تنش شعاعی ناشی از نیروی گریز از مرکز خواهد بود.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2396

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا این میله در تعادل خنثی نیست؟

پست توسط rohamavation »

با توجه به میله ای با توزیع جرم یکنواخت با جرم کل M و طول L که روی یک میز افقی قرار دارد (با یک سر ثابت به میز که میله به دور آن می تواند در صفحه افقی بچرخد، و نیروی F عمود بر میله اعمال می شود. از طرف دیگر، چگونه حرکت میله (و نیروهای داخلی) را تنها با استفاده از قوانین نیوتن و این فرض که میله یک جسم صلب در حال چرخش است، حل می کنید؟ منظور من فقط استفاده از ابتدایی‌ترین تصور از قوانین نیوتن و محدودیت‌های سیستم است، بدون ایده‌های گشتاور و گشتاور اینرسی، انرژی و تکانه، و حتی بدون این ایده که نیروی خالص روی میله باعث شتاب مرکز می‌شود. جرم -- بنابراین فقط از قوانین نیوتن برای ذرات نقطه ای یا در این مورد بخش های بینهایت کوچک dm میله استفاده می شود.
من سعی کردم این مشکل را با شکستن میله به این اجزای کوچک dm و استفاده از ایده ای که دیده ام (حداقل فکر می کنم دیده ام) حل کنم که در آن $F(x+dx)-F(x)=dm(a)$ را تنظیم کردید. dm(a) و سپس قادر به یافتن F'(x) و ادغام و سپس استفاده از شرایط مرزی بر روی نیرو هستند. من این کار را برای هر دو مؤلفه مماسی و شعاعی، با شتاب شعاعی برابر با$x(\omega(t))^2$ و شتاب مماسی برابر با $\omega\ '(t)x$ انجام دادم، اما نتوانستم پاسخ درستی به دست بیاورم. من از نیروی یک انتهای میله به عنوان یک شرط مرزی استفاده کردم (آیا این درست است؟)، اما حتی نتوانستم نیروی موجود در محور را حل کنم، چه رسد به سرعت زاویه ای به عنوان تابعی از زمان، و نمی دانم که آیا این تکنیک حتی معتبر است. من احساس می‌کنم در نقطه‌ای معین ممکن است معادله نیروی من علامت را تغییر دهد - زیرا نیروی خالصی که جرم بینهایت کوچک را شتاب می‌دهد از سمت داخل به جای بیرون شروع می‌شود.
همچنین مایلم به طور کلی تر بدانم که چگونه می توان نیروهای داخلی و حرکت یک جسم صلب را تنها با استفاده از این فرضیات اساسی حل کرد، مانند مربع یکنواخت آزاد روی میز افقی با نیرویی که عمود بر یک طرف به یک طرف اعمال می شود. گوشه.
من نمی توانم کاملاً نمیفهمم کنم (مثلاً من نمی فهمم w(t) چیست) اما در اینجا چند نظر وجود دارد.
در رویکرد شما، هر dm باید نیرویی را بر dm مجاور خود اعمال کند. معمولاً شما میله را به عنوان یک ماده الاستیک پیوسته با پارامترهای الاستیک مناسب در نظر می گیرید، بنابراین نیروی یک dm بر دیگری نیروی الاستیک خواهد بود. من فکر می کنم شما می خواهید میکروسکوپی تر از آن بگیرید.
یک مدل ممکن: میله خود را یک سیستم بدون جرم بدون جرم با یک نیروی خمشی سفت بین جفت توپ های مجاور برای مدل سازی مدول خمش (اگر کلمه درست است) در یک میله واقعی در نظر بگیرید. باید مراقب باشید که با چرخش میله، آن نیروی خمشی درست شود. طول میله ها را برای سادگی ثابت کنید. نیروی خارجی خود را به اولین توپ وارد کنید، موقعیت توپ آخر را ثابت کنید، اما نیروی خمشی بازگرداننده را بردارید تا به آن اجازه دهید بچرخد. سپس مسئله به مجموعه بزرگی از معادلات جفت شده تبدیل می شود. به نظر کثیف و پیچیده است اما برای من قابل انجام است.
بعداً می توانید با حذف شرط ثابت بودن طول میله ها تعمیم دهید. یک نیروی بازیابی اضافی به مدول یانگ مدل کنید.
این مشکل راحت تر به شبیه سازی می رسد تا راه حل. در واقع، در اینجا دقیقاً مشکل شما شبیه سازی شده است، با این تفاوت که "انتهای دور" میله به جای ثابت شدن روی یک محور آزاد است. (در مک بوک من با استفاده از کروم اجرا نمی شود. با فایرفاکس اجرا می شود.) با GlowScript، بر اساس VPython، یک ابزار فوق العاده برای شبیه سازی های فیزیک، نوشته شده است.
یک سیستم مختصات با مبدا در انتهای پین شده، جایی که میله در امتداد محور افقی قرار دارد، در نظر بگیرید و وانمود کنید که نیروی F در انتهای دیگر x=ℓ اعمال می شود.
هر بخش از میله دارای تعادل نیرو است
${\rm d}S=\ddot y\;{\rm d}m \\ {\rm d}M = S\; {\rm d}x$
فقط اثرات جرم خطی را در نظر می گیرد. S نیروی برشی داخلی و M گشتاور داخلی، $\ddot y = x \ddot{\theta}$ شتاب خطی قطعه میله و m مجموع جرم میله است. توجه داشته باشید که ${\rm d}m = \frac{m}{\ell} {\rm d}x$
معادله دیفرانسیل فوق به صورت زیر است:
$\frac{{\rm d}S}{{\rm d}x} = \frac{m}{\ell} x \ddot{\theta}$
$\frac{{\rm d}M}{{\rm d}x} = S$
موارد فوق با شرایط مرزی $S(x=ℓ)=F$ و$ M(x=ℓ)=0 $حل می شود.
$S = F + m \left(\frac{\ell}{2} - \frac{x^2}{2 \ell}\right) \ddot\theta$
$M = F (\ell-x) + m \left( \frac{\ell^2}{3}-\frac{\ell x}{2} + \frac{x^3}{6 \ell}\right) \ddot\theta$
نیروی واکنشی که پین ​​با $S(x=0) = F + m \frac{\ell}{2} \ddot\theta$پیدا می‌شود و رابطه شتاب نیرو (آنچه به دنبال آن هستید) با توجه به اینکه گشتاور واکنشی روی پین وجود ندارد پیدا می‌شود:
$\left. M(x=0)=0 \right\} F = m \frac{\ell}{3} \ddot\theta$
معادله معمولاً بر حسب گشتاور اعمالی τ=Fℓ به عنوان بیان می شود
$\tau = I_{pin} \ddot\theta \\ \boxed{I_{pin} = m \frac{\ell^2}{3}}$
بنابراین ما گشتاور جرمی اینرسی یک میله را که در یک سر آن فقط با استفاده از جرم خطی گرفته شده است، در رابطه موازنه نیرو ${\rm d}S={\rm d}m \; \ddot y$ استخراج کردیم.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2396

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا این میله در تعادل خنثی نیست؟

پست توسط rohamavation »

در یک θ کلی،
به راحتی قابل مشاهده است زیرا میله تغییر شکل نمی دهد، سرعت ذرات باید متناسب با فاصله آنها از مرکز باشد.
اجازه دهید ω(t) ثابت درگیر در اینجا باشد.
$p(t)=\sum m_i v_i=\sum m_i\omega r_i$
توجه داشته باشید که همه ذرات در یک جهت حرکت می کنند.
$p(t)=\int_0^l\omega r dm=\int_0^l\omega r mdr/l=\omega ml/2$
در زمان dt یک ذره فاصله$\omega r dt$ را پوشش می دهد. و از این رو $d\theta=\omega dt$
شما می توانید قانون نیوتن را برای هر دو محور اعمال کنید و فراموش نکنید که نیروی ارائه شده توسط پیوت را در نظر بگیرید.
شما سه مجهول دارید: $N_x,N_y,\theta(t)$
توجه داشته باشید که برای یک نیروی خاص روی یک ذره،
$F=ma=mv\dfrac{dv}{dx}\implies\vec F\cdot d\vec{x}=mvdv$
این را برای همه ذرات ترکیب کنید و حاصل ضرب نقطه ای نیروهای N صفر است زیرا آن نقطه در حال سکون است. این d(KE) را هنگام اضافه کردن به دست می دهد.
از این رو،$Fld\theta=d(KE)$ را با استفاده از روش ادغام محاسبه کنید.
شما سه مجهول و سه معادله دارید.
تصویر

ارسال پست