چرا این میله در تعادل خنثی نیست؟
ارسال شده: پنجشنبه ۱۴۰۱/۷/۱۴ - ۱۲:۵۴
فرض کنید میله نشان داده شده در شکل (1) در زیر متعادل است. بنابراین گشتاور در مورد نقطه O $Mg.x-mg.y=0$ است.
سپس تصور کنید که M کمی به سمت بالا بلند شود و با صفحه افقی زاویه ای از θ ایجاد شود (شکل (2)).
سپس گشتاور نقطه O را محاسبه می کنیم.
گشتاور در مورد نقطه O
$= Mg.x cos\theta - mg.y cos\theta$
$=cos\theta(Mg.x-mg.y)$
از معادله اول:
$=cos\theta.(0)$
=0
همچنین میتوان یافت که گشتاورهای دو سر میله برابر با صفر است. پس آیا نباید در موقعیت جدید خود متعادل باشد؟
و وقتی در مورد انرژی پتانسیل هر جرم صحبت می کنیم، وقتی یک طرف P.E آن را بالا می بریم. و همچنین P.E دیگری افزایش می یابد. کاهش یافته است. میتوانیم تصور کنیم که هر دوی آنها یکدیگر را خنثی میکنند (این زمانی آشکار است که M=m و x=y).*
بنابراین آیا نباید در تعادل خنثی باشد؟
اما همانطور که در زندگی روزمره تجربه می کنیم، همیشه یک صفحه افقی برای متعادل شدن پیدا می کنیم. خب توضیح قبلی من چه اشکالی دارد؟
: مثال مقیاس میله ممکن است در اینجا بی ربط باشد. اما من سعی کردم چنین میله ای را متعادل کنم و نتوانستم آن را در تعادل خنثی نگه دارم. آیا این به این دلیل است که هر دو جرم تلاش می کنند انرژی پتانسیل گرانشی خود را در سطح پایین نگه دارند؟ اگرچه این تضاد دوباره با پاراگراف بالا با علامت * مشخص شده است. آیا به این معناست که این دو توده به عنوان یک سیستم عمل نمی کنند؟
نیوتنی-مکانیک کلاسیک
محاسبات شما درست است، میله بدون توجه به زاویه در تعادل خواهد بود. این فرض را بر این میگذارد که تمام اتصالات، اتصالات پین هستند، به طوری که اتصالات هیچ گشتاوری را منتقل نمیکند و میلههای عمودی عمودی میمانند.
یک صفحه افقی ممکن است از نظر زیبایی شناختی دلپذیرتر باشد، اما همانطور که هر کسی که سعی کرده تصویری را آویزان کند می تواند به شما بگوید، اشیاء می توانند بدون افقی بودن در تعادل باشند.
با ترازوی تیر تعادل، نقطه تکیه گاه کمی به سمت بالا جابه جا می شود. سپس افقی مؤثر به موقعیت تعادل پایدار تبدیل می شود (اگر بارها برابر باشند).
برای توضیح بیشتر در مورد پاسخ عالی و صحیح R.W. Bird: اگر توده ها دقیقاً در یک خط افقی با نقطه تعلیق میله معلق نباشند، موقعیت افقی یک پیکربندی تعادل پایدار است تا یک پیکربندی تعادل خنثی. برای مشاهده این، ابتدا یک میله "ضخیم" در تعادل افقی ترسیم می کنیم:
صلیب در اینجا نقطه محوری را مشخص می کند. همانطور که شما (به درستی) نشان دادید، شرطی که این یک پیکربندی تعادلی باشد، دلالت بر این دارد که Mgx=mgy.
حالا بیایید میله را کمی کج کنیم:
بازوی اهرمی برای نیروی سمت چپ $x \cos \theta + d \sin \theta$است، در حالی که بازوی اهرمی برای نیروی سمت راست $y \cos \theta - d \sin \theta$است. بنابراین، کل گشتاور اعمال شده در مورد نقطه محوری (با چرخش در جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر گرفته می شود)
$\tau = -M g (x \cos \theta + d \sin \theta) + m g (y \cos \theta - d \sin \theta) = -(M+m) g d \sin \theta$
بنابراین برای هر مقدار مثبت d، یک جابجایی مثبت در θ منجر به گشتاور منفی می شود که آن را به سمت θ=0 برمی گرداند. به طور مشابه، یک جابجایی منفی در θ منجر به گشتاور مثبت میشود که تعادل را نیز بازیابی میکند. بنابراین، پیکربندی افقی یک تعادل خنثی نیست، مگر اینکه d = 0، یعنی نقاط تعلیق جرم ها کاملاً به صورت افقی با نقطه محوری تراز باشند.
توجه داشته باشید که موارد فوق همچنین بیانگر این است که اگر d<0 باشد، پیکربندی افقی یک تعادل ناپایدار است. این با حالتی مطابقت دارد که نقاط تعلیق جرمی (به هر دلیلی) بالاتر از نقطه محوری باشند.
سپس تصور کنید که M کمی به سمت بالا بلند شود و با صفحه افقی زاویه ای از θ ایجاد شود (شکل (2)).
سپس گشتاور نقطه O را محاسبه می کنیم.
گشتاور در مورد نقطه O
$= Mg.x cos\theta - mg.y cos\theta$
$=cos\theta(Mg.x-mg.y)$
از معادله اول:
$=cos\theta.(0)$
=0
همچنین میتوان یافت که گشتاورهای دو سر میله برابر با صفر است. پس آیا نباید در موقعیت جدید خود متعادل باشد؟
و وقتی در مورد انرژی پتانسیل هر جرم صحبت می کنیم، وقتی یک طرف P.E آن را بالا می بریم. و همچنین P.E دیگری افزایش می یابد. کاهش یافته است. میتوانیم تصور کنیم که هر دوی آنها یکدیگر را خنثی میکنند (این زمانی آشکار است که M=m و x=y).*
بنابراین آیا نباید در تعادل خنثی باشد؟
اما همانطور که در زندگی روزمره تجربه می کنیم، همیشه یک صفحه افقی برای متعادل شدن پیدا می کنیم. خب توضیح قبلی من چه اشکالی دارد؟
: مثال مقیاس میله ممکن است در اینجا بی ربط باشد. اما من سعی کردم چنین میله ای را متعادل کنم و نتوانستم آن را در تعادل خنثی نگه دارم. آیا این به این دلیل است که هر دو جرم تلاش می کنند انرژی پتانسیل گرانشی خود را در سطح پایین نگه دارند؟ اگرچه این تضاد دوباره با پاراگراف بالا با علامت * مشخص شده است. آیا به این معناست که این دو توده به عنوان یک سیستم عمل نمی کنند؟
نیوتنی-مکانیک کلاسیک
محاسبات شما درست است، میله بدون توجه به زاویه در تعادل خواهد بود. این فرض را بر این میگذارد که تمام اتصالات، اتصالات پین هستند، به طوری که اتصالات هیچ گشتاوری را منتقل نمیکند و میلههای عمودی عمودی میمانند.
یک صفحه افقی ممکن است از نظر زیبایی شناختی دلپذیرتر باشد، اما همانطور که هر کسی که سعی کرده تصویری را آویزان کند می تواند به شما بگوید، اشیاء می توانند بدون افقی بودن در تعادل باشند.
با ترازوی تیر تعادل، نقطه تکیه گاه کمی به سمت بالا جابه جا می شود. سپس افقی مؤثر به موقعیت تعادل پایدار تبدیل می شود (اگر بارها برابر باشند).
برای توضیح بیشتر در مورد پاسخ عالی و صحیح R.W. Bird: اگر توده ها دقیقاً در یک خط افقی با نقطه تعلیق میله معلق نباشند، موقعیت افقی یک پیکربندی تعادل پایدار است تا یک پیکربندی تعادل خنثی. برای مشاهده این، ابتدا یک میله "ضخیم" در تعادل افقی ترسیم می کنیم:
صلیب در اینجا نقطه محوری را مشخص می کند. همانطور که شما (به درستی) نشان دادید، شرطی که این یک پیکربندی تعادلی باشد، دلالت بر این دارد که Mgx=mgy.
حالا بیایید میله را کمی کج کنیم:
بازوی اهرمی برای نیروی سمت چپ $x \cos \theta + d \sin \theta$است، در حالی که بازوی اهرمی برای نیروی سمت راست $y \cos \theta - d \sin \theta$است. بنابراین، کل گشتاور اعمال شده در مورد نقطه محوری (با چرخش در جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر گرفته می شود)
$\tau = -M g (x \cos \theta + d \sin \theta) + m g (y \cos \theta - d \sin \theta) = -(M+m) g d \sin \theta$
بنابراین برای هر مقدار مثبت d، یک جابجایی مثبت در θ منجر به گشتاور منفی می شود که آن را به سمت θ=0 برمی گرداند. به طور مشابه، یک جابجایی منفی در θ منجر به گشتاور مثبت میشود که تعادل را نیز بازیابی میکند. بنابراین، پیکربندی افقی یک تعادل خنثی نیست، مگر اینکه d = 0، یعنی نقاط تعلیق جرم ها کاملاً به صورت افقی با نقطه محوری تراز باشند.
توجه داشته باشید که موارد فوق همچنین بیانگر این است که اگر d<0 باشد، پیکربندی افقی یک تعادل ناپایدار است. این با حالتی مطابقت دارد که نقاط تعلیق جرمی (به هر دلیلی) بالاتر از نقطه محوری باشند.