سردرگمی در مورد چرخش اویلر و قفل گیمبال

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

سردرگمی در مورد چرخش اویلر و قفل گیمبال

پست توسط rohamavation »

من درک مسئله قفل گیمبال را مشکل دارم، یعنی اینکه چرا نمودارهای زیادی نشان می‌دهند که هواپیما در قفل گیمبال ظاهری قادر به چرخش در اطراف یک محور به طور معمول با استفاده از انحراف/پیچ/رول نیست. به عنوان مثال، در زیر چند نمودار وجود دارد که صحنه رایج قفل گیمبال را نشان می دهد.
در مورد اول، اجازه دهید آن را فریم A بنامیم و از موقعیتی شروع می کنیم که زوایای اویلر همه 0 هستند و هواپیما در سطح پرواز است:
تصویر
به تصویر کشیده شده اند قلاب هایی که با محور مربوطه خود در قاب بدنه با رنگ زرد مشخص شده اند. اکنون، در تصویر دوم، ما 90 درجه بالا رفته‌ایم، و در آن چیزی هستیم که تمام منابعی که من پیدا کردم، قفل گیمبال نامیده می‌شود:
تصویر
اگر به گرافیک دوم، به نام فریم B، توجه کنید، فریم بدنه دنبال می‌شود و می‌توانیم فریم میانی را بعد از گام ببینیم. با این حال، y-gimble و z-gimble اکنون در یک راستا قرار دارند، و تنظیم انحراف به همان پاسخی مانند تنظیم رول منجر می شود:
تصویر
اما این جایی است که برای من معنی ندارد. اگر به کادر B رجوع کنیم و به کادر بدن خود نگاه کنیم، رنگ زرد، نشان می‌دهد که یک رول همان کاری را که در دو تصویر بالا می‌بینیم انجام می‌دهد، زیرا محور x یا محور رول از طریق بینی امتداد می‌یابد، اما z محور، یا محور انحراف، عمود است. بنابراین، هواپیما باید بتواند به طور مناسب انحراف داشته باشد (سطوح کنترل سکان و رانش را بدهد).
پس چرا در اینجا طوری به تصویر کشیده شده است که گویی قاب بدنه بعد از قاب A اینگونه است:
تصویر
با این محور که منطقی است، اما این نیست که من چگونه مکانیک هواپیما را درک کنم.
رهام حسامی
مهندسی هوافضا ترم هفتم درس طراحی هواپیما
بنابراین، هواپیما باید بتواند به طور مناسب انحراف داشته باشد (سطوح کنترل سکان و رانش را بدهد).
عبارت فوق برای هواپیمایی که آزادانه در هوا پرواز می کند صحیح است. در واقع، برای چنین هواپیمایی هیچ قفل گیمبال وجود ندارد زیرا مکانیزم گیمبال وجود ندارد.
برای یک هواپیمای اسباب‌بازی که روی سه گیمبال ثابت است، حرکت انحراف با پیکربندی نشان‌داده‌شده در تصویر دوم امکان‌پذیر نیست، زیرا دو محور گیمبال با محور رول هواپیمای اسباب‌بازی و سومی با محور زمین هواپیمای اسباب‌بازی تراز شده است. هیچ محور / مفصل گیمبال وجود ندارد که با انحراف هواپیمای اسباب‌بازی (یا حتی داشتن یک جزء در امتداد انحراف) تراز باشد.
قفل گیمبال معمولاً در دو زمینه مورد اشاره قرار می گیرد:
مکانیزم واقعی، فیزیکی و گیمبال. به عنوان مثال، یک ابزار ژیروسکوپ معلق در مکانیزم گیمبال سه محوره. یا یک هواپیمای اسباب بازی که در مکانیزم گیمبال نصب شده است.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: سردرگمی در مورد چرخش اویلر و قفل گیمبال

پست توسط rohamavation »

در پاسخ به سوالم
برای شماره 2، آیا این بدان معناست که نرم افزارهایی که از این زوایا برای مانور دادن مدل استفاده می کنند، محورهای آنها با آنها نمی چرخد؟ اگر به اینجا نگاه کنید، نمودار مرحله ای را می بینید که نشان می دهد پس از انحراف، محورهای Y و X می چرخند. سپس یک گام و محورهای Z و X دوباره می چرخند. چیزی که من را در مورد قفل گیمبال گیج می‌کند این است که به نظر می‌رسد وقتی روی نرم‌افزار اعمال می‌شود، این اتفاق نمی‌افتد و در عوض، فرزندان یک ترتیب چرخش در هر چرخش انجام می‌شوند. تقریباً مثل این است که چرخش ها از فریم های میانی برای اعمال چرخش ها مانند پیوندی که من دارم استفاده نمی کنند.
عملیات نرم افزار را در نظر بگیرید. در یک لحظه معین، اجازه دهید هواپیما در جهتی باشد که در فریم دوم نشان داده شده است (یعنی زاویه شیب 90 درجه). اکنون، برای لحظه بعدی (تصور کنید که نرم افزار یک بازی ویدیویی است)، کاربر ورودی سکان را اعمال کرده است و نرم افزار باید هواپیما را کمی حول محور انحراف بچرخاند. اما، از آنجایی که هیچ یک از سه محور گیمبال (در این مورد سه متغیر (θ، ψ، ϕ) ذخیره شده در حافظه بازی ویدیویی) با محور انحراف هم تراز نیستند، نرم افزار قادر به محاسبه تغییر کوچکی در متغیر (θ، ψ، φ) برای نشان دادن حرکت خمیازه کوچک مورد نیاز. حتما همانطور که گفتی
وقتی روی نرم افزار اعمال می شود، این اتفاق نمی افتد و در عوض، فرزندان یک ترتیب چرخش در هر چرخش انجام می شوند. تقریباً مانند چرخش ها از فریم های میانی برای اعمال چرخش استفاده نمی کنند
مشکل این است که، برای یک چرخش افزایشی کوچک (در این مثال، انحراف)، افزایش در (θ، ψ، φ) کوچک نخواهد بود. این اغلب باعث می شود که بازی ویدیویی حرکات غیر نرمی بدن داشته باشد و نرم افزار نویس باید منطق نرم افزاری اضافی بنویسد تا انیمیشن روان شود.
من در این مورد در cg.se بحثی داشتم و آن را به صورت زیر خلاصه می کنم:
شما نمی توانید قفل گیمبال داشته باشید مگر اینکه گیمبال فیزیکی داشته باشید یا در حال مدل سازی باشید.
دینامیک را می توان با معادله اویلر (که با زوایای اویلر اشتباه گرفته نشود)، دینامیک لارنگ یا هامیلتونی مدل سازی کرد.
در عمل استخراج معادلات به صورت سه بعدی دشوار است. اما به ویژه فرمول لارنگی به سیستم مختصات اصلی اهمیت نمی دهد، بنابراین مستعد هیچ یک از مشکلات مختصات استفاده شده نیست.
از آنجایی که اشتقاق دست و پا گیر است، معمولاً اشتقاق را از ادبیات کپی می کنیم. اکنون این اشتقاق به احتمال زیاد تنها با چند روش مختلف ساخته شده است. معمولاً به شکل زاویه* اویلر، زیرا تنظیم نیروهای خارجی را آسان می کند، و فرمول لارنگی چون مشکلات مختصات را نادیده می گیرد.
مزایای چرخش اویلر این است که تفسیر و برقراری ارتباط (برای ناوبری و غیره) آسان است، به خصوص اگر نزدیک به شرایط قفل نباشد. که یک هواپیمای خوش رفتار باید باشد. برای پویایی، مزایای داشتن مقدار مناسب متغیرهای حالت را دارد، بنابراین برای فرمول‌بندی برای حل‌کننده نیازی به تشنج‌های بزرگ نیست.
اکنون همه اینها می‌گویند که کمی فراتر از کاری است که من به راحتی روزانه انجام می‌دهم. من دقیقاً یک بار اشتقاق در زوایای اویلر را به عنوان تمرین انجام داده ام. خاطره مبهمی دارم که آن را به شکلی دیده‌ام که از اعداد خیالی برای چرخش و به‌عنوان یک ربع الحاقی استفاده می‌کند. اما در آن زمان من آن را نادیده گرفتم**.
* چگونه یک تکانه زاویه ای را در یک تعریف غیرزاویه ای مانند ماتریس مثلا ذخیره می کند؟
اگرچه اویلر فرمول xyz را با فرمول zxz پیشنهاد نکرد. شاید باید آنها را زوایای tait-brimyant نامید؟
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: سردرگمی در مورد چرخش اویلر و قفل گیمبال

پست توسط rohamavation »

توضیحات تکمیلی من قفل گیمبال به این دلیل رخ می دهد که نقشه از زوایای اویلر تا چرخش ها (از نظر توپولوژیکی، از T3 3-torus تا فضای پرتابی واقعی RP3 که همان فضای چرخش های 3 بعدی SO3 است) یک همومورفیسم محلی در هر نقطه نیست. ، و بنابراین در برخی از نقاط رتبه (درجات آزادی) باید کاهش یابد
آیا ماتریس های چرخشی دارای قفل گیمبال هستند؟
مسئله ای که می تواند در طول تشکیل یک ماتریس چرخشی ایجاد شود، قفل گیمبال (مرجع 1) نامیده می شود که به از دست دادن یک درجه آزادی در یک گیمبال سه محوره در هنگام چرخش دو گیمبال حول یک محور اشاره دارد.
ماتریس چرخش به زوایای اویلر با قفل گیمبال
چگونه می توانم تعیین کنم که در هنگام وقوع قفل گیمبال، کدام زاویه را می توانم نفی کنم.
همانطور که با قفل گیمبال فهمیدم که یک درجه آزادی را حذف می کند، اما چگونه می توانم تعیین کنم که وقتی یک مقدار R[1][3] از یک ماتریس چرخشی (اندازه 3x3) دارای مقدار 1 باشد، کدام درجه را می توان حذف کرد. آیا Roll، Pitch یا Yaw که می تواند از معادله خارج شود؟من فکر می کنم ممکن است ماهیت قفل گیمبال را اشتباه متوجه شده باشید. به نظر می رسد ممکن است سعی کنید یک عبارت واقعی را در محاسبه ماتریس چرخش حذف کنید، اما این نادرست است زیرا هر محور همچنان می تواند بچرخد. اتفاقی که با قفل گیمبال می افتد این است که یکی از درجات آزادی چرخشی جسمی که در حال چرخش هستید حذف می شود. این زمانی اتفاق می افتد که دو محور چرخشی در یک راستا قرار گیرند.تصویر
قفل گیمبال
، پین‌هایی که به حلقه‌های آبی و نارنجی اجازه چرخش می‌دهند، تراز شده‌اند. این به این معنی است که حلقه آبی ممکن است بچرخد تا به زمین اجازه دهد، حلقه سبز ممکن است بچرخد تا اجازه انحراف را بدهد، اما حلقه نارنجی اجازه چرخش را نمی‌دهد. حلقه نارنجی با حلقه آبی تراز است، به این معنی که فقط می تواند حرکت زیر و بم را مجاز کند.
اصطلاحات محوری
راه رسیدن به رول جدا کردن حلقه های آبی و نارنجی است، همانطور که در تصویر سمت راست بالا نشان داده شده است. برای بالا بردن حلقه نارنجی حرکت می کند، و سپس انحراف و رول، حرکات حلقه های آبی و سبز با هم هستند.
دوباره توجه کنید که حتی در قفل گیمبال، هر حلقه (هر محور) همچنان می تواند حرکت کند - هیچ عبارتی از معادله ماتریس چرخشی حذف نمی شود. در عوض، جسم روی محور رول "قفل" می شود زیرا آرایش فیزیکی به گونه ای است که راهی برای غلتیدن وجود ندارد.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: سردرگمی در مورد چرخش اویلر و قفل گیمبال

پست توسط rohamavation »

آشنایی با زوایای اویلر و قفل گیمبال
1) فرض کنید من می خواهم یک هواپیما از جهت فعلی خود به جهت هدف بچرخد. با نمایش اویلر، معمولاً توضیح داده می شود که این چرخش حول هر محور محلی، یکی پس از دیگری رخ می دهد. برای مثال، ابتدا حول محور X محلی، سپس حول محور Y محلی و سپس حول محور Z محلی بچرخید. و سپس قفل گیمبال زمانی رخ می دهد که دو تا از این محورها در طول این چرخش ها در یک راستا قرار گیرند. اما وقتی یک هواپیما از جهتی به جهت دیگر می چرخد، این کار را در سه حرکت متعامد انجام نمی دهد. کمی حول یک محور و سپس کمی حول محور دیگر و سپس کمی حول محور دیگر حرکت نمی کند. فقط به آرامی بین دو جهت حرکت می کند (بیشتر شبیه یک نمایش محور-زاویه)، همه در یک حرکت. بنابراین، نمی‌دانم چرا هر دو محور ممکن است هم‌تراز شوند. اگر هواپیما واقعاً حول هر محور، یکی پس از دیگری حرکت کند، آنگاه می توانم ببینم که حرکت در اطراف یک محور 90 درجه چگونه باعث همسویی محورهای دیگر می شود. اما در عمل این اتفاق نمی افتد، ربات حول هر سه محور به طور همزمان حرکت می کند. چه چیزی را از دست داده ام؟
2) علاوه بر چرخش حول محورهای محلی، من همچنین خوانده ام که چرخش را می توان با چرخش در اطراف فریم جهانی ثابت توصیف کرد. این اغلب به عنوان چرخش R-P-Y توصیف می شود. در این حالت، از آنجایی که محورهایی که در اطراف آنها چرخش رخ می دهد ثابت هستند، این محورها هرگز نمی توانند هم تراز شوند. بنابراین، داشتن قفل گیمبال غیرممکن خواهد بود. بنابراین، چرا قفل گیمبال یک مشکل است؟ چرا همه فقط چرخش را در مورد قاب جهانی انجام نمی دهند، بنابراین از قفل گیمبال به طور کامل اجتناب می کنند؟
ممنونم بچه های هوپا رهام حسامی راد
حتی در سیستم‌های پیوسته، قفل گیمبال مشکلات عجیبی ایجاد می‌کند مسئله قفل گیمبل در چرخش های سه بعدی ذاتی نیست، بلکه نحوه انجام آنهاست. اگر سیستم‌هایی دارید که می‌توانند چرخش‌هایی را در امتداد سه محور مستقل ایجاد کنند، و نحوه چرخش شما از طریق اعمال ترکیبات (نه لزوماً گسسته، به طور مداوم خوب است) از این چرخش‌ها است، می‌توانید با مشکلاتی مواجه شوید.

اگر سابقه ای در زمینه توپولوژی دارید، پس مشکل به وجود می آید زیرا درمان چرخش با 3 زاویه، چرخش ها را با $S^1 \times S^1 \times S^1 \cong T^3$ پارامتر می کند، اما فضای چرخش ها $\mathbb{R}P^3$ (یا $SO(3)$ است اگر می خواهید به خطی فکر کنید. جبر). متأسفانه رو$T^3$ $\mathbb{R}P^3$ را پوشش نمی دهد، بنابراین شما در یک نقطه دچار انحطاط هستید. توجه داشته باشید که تبدیل‌های کواترنیونی (که از$S^3$ می‌آیند) $\mathbb{R}P^3$را پوشش می‌دهند تا با قفل گیمبال مواجه نشوید. اما بسیاری از چرخش های سیستم های فیزیکی ما با چرخش (مستمر) حدود 3 محور کار می کنند.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: سردرگمی در مورد چرخش اویلر و قفل گیمبال

پست توسط rohamavation »

من واقعا نمی توانم بفهمم که چگونه و چرا قفل گیمبال با استفاده از زوایای اویلر رخ می دهد. اول از همه اجازه دهید این را روشن کنم "من می دانم که قفل گیمبال زمانی رخ می دهد که 2 گیمبال/محور بر هم منطبق باشند و در نتیجه 1 درجه آزادی را از دست بدهند"
با این حال، من به این موضوع علاقه دارم که چرا محورها در وهله اول بر هم منطبق هستند، وقتی قرار است وقتی کسی را حرکت می دهیم عمود بمانند.
مشکل کلی تجزیه یک چرخش به سه حرکت ترکیبی در مورد محورهای ذاتی توسط پی داونپورت با نام "زوایای اویلر تعمیم یافته" مورد مطالعه قرار گرفت، اما بعداً این زوایا توسط M. Shuster و L. Markley "زوایای داونپورت" نامگذاری شدند.
داونپورت ثابت کرد که هر جهتی را می توان با ترکیب سه چرخش عنصری با استفاده از محورهای غیر متعامد به دست آورد.
این چیزی است که من می خواهم بیشتر در مورد آن بشنوم. چرا "غیر متعامد"؟ من هیچ مشکلی در متعامد کردن محورها نمی بینم؟ غیر متعامد کردن محورها چه چیزی به ما می دهد؟
2) پس از پاسخ به موارد فوق. چگونه این همه به ماتریس های چرخشی گره خورده است؟ چگونه می‌توانیم قفل گیمبال را از طریق ماتریس‌ها به دست آوریم، زمانی که آنها فقط یک نقطه/بردار معین را حول محور جهانی می‌چرخانند. به عنوان مثال، اگر یک بردار ستونی را با یک ماتریس چرخش حول محور X Rx و سپس با Ry ضرب کنم، ابتدا حول محور X سراسری و سپس محور Y جهانی می‌چرخد. بنابراین چگونه می توانم با استفاده از ماتریس ها به وضعیت قفل دست پیدا کنم؟
- برای روشن تر شدن موضوع، در مورد ترتیب چرخش نیز شنیده ام، مانند ترتیب Y-Z-X زمانی که محور Y می چرخد، سپس Z و X با آن می چرخند، اما زمانی که Z می چرخد ​​فقط X با آن می چرخد. بنابراین محورها غیر متعامد می شوند. من فرض می کنم که منظور از غیر متعامد ذکر شده در مقاله ویکی همین است.
همانطور که در ترتیب Y-Z-X مشاهده می کنید، محور Y در آنجا باقی می ماند و باعث می شود که محورها بر هم منطبق شوند...
جواب من
خوب فکر می کنم می دانم مشکل شما چیست، قفل گیمبال واقعاً هیچ چیزی را از نظر ریاضی قفل نمی کند، فقط برای عملیات خاص. ببینید اویلر پیشنهاد کرد که زوایای اویلر می توانند تمام زوایای فضا را تعریف کنند. و این درست است. فقط اویلر نمی گوید که فضا یکنواخت است. افراد بسیار ریاضی نیز می گویند که فضای اویلر راه حل های غیرممکنی دارد زیرا برخی از موقعیت ها با هم تداخل دارند، اما در عمل این واقعاً یک مشکل نیست.
حالا از آنجایی که می توانید به هر زاویه ای برسید و همیشه می توانید زاویه خود را باز کنید، می توانید به هر زاویه ای در جسم برسید. به شرطی که آماده باشید تا وضعیت را حل کنید و برای یک برنامه کامپیوتری که انیمیشن انجام می دهد
با این حال، این کاری نیست که اکثر مردم انجام می دهند. در عوض اگر سعی کنید کارهای فیزیکی مانند محاسبه فاصله بین 2 موقعیت، انرژی لازم برای چرخش، استفاده از نیروی خارجی برای حرکت سیستم یا ایجاد حرکت دلتا در فضای گیمبال انجام دهید، این عدم یکنواختی شروع می شود. یکنواخت نیست، همانطور که یک فضای واقعی در قطب ها قرار دارد، فاصله تا موقعیتی که در کنار شما در فضای واقعی است می تواند به طرز شگفت انگیزی در فضای چرخش اویلر بسیار دور باشد.
بنابراین وقتی کسی اویلر قفل است به این معنی نیست که نمی تواند به جایی حرکت کند و نمی تواند در جهتی که می خواهد در آن جهت خاص گیمبال و نزدیک به آن حرکت کند. کمی شبیه زندگی در حومه شهر است و می خواهید به خانه همسایگان خود برسید (یعنی 100 متر دورتر است) اما مجبور هستید از مرکز شهر (15 کیلومتر دورتر) بروید. از نظر انرژی یا زمان بسیار بیهوده است.
اکنون می توان گیمبال را طوری ساخت که قطب واقعاً اتفاق نیفتد، فقط با محورهای متعامد فضا هنوز یکنواخت نیست اما حالت شدید را تجربه نمی کند. با این حال ممکن است استفاده از فرمولاسیون دیگری مانند کواترنیونیون ها یا زاویه محور به جای آن ساده تر باشد. (اگر مکانیزم واقعی بسازید، کواترنیون ها واقعاً کاربردی نیستند، ممکن است اما بسیار پیچیده است)
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: سردرگمی در مورد چرخش اویلر و قفل گیمبال

پست توسط rohamavation »

از آنجایی که ماتریس چرخش نهایی به ترتیب ضرب بستگی دارد، گاهی اوقات این مورد پیش می‌آید که چرخش در یک محور بر روی محور چرخش دیگری نگاشت می‌شود. حتی بدتر از آن، ممکن است چرخش یک جسم در یک محور مورد نظر غیرممکن شود. به این قفل گیمبال می گویند. به عنوان مثال، فرض کنید یک جسم به ترتیب Z،Y،X در حال چرخش است و چرخش در محور Y 90 درجه است. در این حالت چرخش در محور Z ابتدا و در نتیجه به درستی انجام می شود. محور Y نیز به درستی چرخانده شده است. با این حال، پس از چرخش در محور Y، محور X بر روی محور Z می چرخد. بنابراین، هر چرخشی در محور X در واقع جسم را در محور Z می چرخاند. حتی بدتر از آن، چرخش جسم در محور X می شود.
تصویر

نمایه کاربر
ghm

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۲/۵/۹ - ۲۱:۰۸


پست: 185

سپاس: 138

جنسیت:

Re: سردرگمی در مورد چرخش اویلر و قفل گیمبال

پست توسط ghm »

فکر میکنم برای توصیف کامل هواپیما در فضای 3 بعدی نیاز به داشتن 3+1 متغیر هستیم.

ایراد زوایای اویلر این است که میخواهد وضعیت هواپیما را در فضای 3 بعدی با 3 متغیر بگنجاند و در برخی نقاط دچار ابهام میشود.

بهتر این است که وضعیت هواپیما در فضای 3 بعدی با یک بردار 4 متغیره توصیف شود.
˙ ·٠•♥ السلام علی بقیه الله فی ارضه ♥•٠·˙

ارسال پست