ابتدا باید بدانیم که معادلات درجه‌دو چه هستند؟
معادلات درجه‌دو ابتدا از حل مثلت قائم‌الزاویه به دست آمدند. یعنی:
با حل این معادله به دو ریشه مثبت و منفی می‌رسیم. ولی ریشه یا جواب منفی به دلیل غیرقابل‌درک بودن اغلب رها می‌شوند. چون چنین به نظر می‌رسد که ما طول منفی نداریم. ولی ما این طول یا بعد منفی را در یک دستگاه مختصات دکارتی به‌وضوح مشاهده می‌کنیم.
بعد از شکست آزمون مایکلسون-مورلی، لورنتس خیلی سریع دست‌به‌کار شد و با مقایسه دو دستگاه مختصات دکارتی، یکی ساکن و دیگری متحرک، عامل اتساع زمان خود را فرمول‌بندی کرد و به دنبال او جرالد نیز انقباض طول را فرمول‌بندی کرد. بعدها انیشتین با استفاده از یک مثلث قائم‌الزاویه این عامل را در ایستگاه قطار بازنویسی کرد.
ولی فیزیک‌دانان به‌راحتی از قسمت منفی (ریشه‌های منفی) به دلیل غیرفیزیکی یا غیرقابل‌درک بودن صرف‌نظر کرده‌اند. الا دیراک و طرف‌دارانش که به نتایج جالب‌توجهی هم نائل نشدند.
یعنی چنین به نظر می‌رسد که ما یک دوجین کامل از میادین مثبت و منفی و ... داریم که همگی زیرمجموعه‌ای از میدان واحد کوانتومی است و جالب از همه اینکه اینها همگی با هم، با زوایا و نسبت‌های مثلثاتی ۰، ۳۰، ۶۰، ۴۵، ۹۰ و ۱۸۰ درجه نسبت و رابطه دارند.
تونل‌زنی کوانتومی چیست؟
تونل‌زنی کوانتومی (به انگلیسی: Quantum tunneling) به فرایند کوانتومی تونل زدن یک ذره بنیادی در یک سد پتانسیل - که از نظر کلاسیک، ذره قادر به عبور از آن نیست - اشاره دارد. این پدیده مهم در چندین پدیده فیزیکی - برای مثال، در واکنش‌های هسته‌ای که در ستارگان رشته اصلی (به انگلیسی: main sequence stars) مثل خورشید اتفاق می‌افتد، به چشم می‌خورد. به طور مثال طبق الگوی فوق با بالارفتن شدت میدان گرانش، میدان الکتریکی تضعیف شده و پروتون‌ها، نوترون‌ها، الکترون و ذرات آلفا خیلی راحت و سریع می‌توانند از میدان الکتریکی خارج و به میدان هسته‌ای قوی مهاجرت کنند و انرژی بسیار زیادی را آزاد کنند. و بر عکس آن در واپاشی ذرات آلفا، دو پروتون و دو نوترون یعنی هسته گاز هلیم یا واپاشی بتا مثبت و منفی ذرات می‌توانند از میدان هسته‌ای ضعیف و قوی خارج و به میدان الکتریکی منتقل و از هسته بگریزند یا رانده شوند.
تونل‌زنی کوانتومی شامل حوزه مکانیک کوانتومی است. آنچه که در مقیاس کوانتومی اتفاق می‌افتد به طور مشخص قابل‌مشاهده نیست، اما برای درک بیشتر، در اندازه‌های ماکروسکوپیک مجسم شده است که مکانیک کلاسیک به‌اندازه کافی قادر به توضیح آن است. برای درک این پدیده می‌توان ذره‌هایی را که سعی در عبور بین دو چاه پتانسیل دارند را با توپی که دور یک تپه می‌چرخد مقایسه کرد. مکانیک کوانتومی و مکانیک کلاسیک در این زمینه رفتارهای متفاوتی دارند. مکانیک کلاسیک پیش‌بینی می‌کند که ذره‌ای که انرژی کافی برای عبور کلاسیکی از چاه ندارند قادر به رسیدن به سمت دیگر نیست، پس یک توپ بدون انرژی کافی برای عبور از تپه، پس‌زده شده (بازتاب) یا در بهترین حالت داخل تپه نفوذ خواهد کرد (جذب). در مکانیک کوانتومی این ذره‌ها می‌توانند با احتمال خیلی کم به آن طرف تونل برسند پس می‌توانند از سد عبور کنند. در این مثال توپ نمی‌تواند از اطراف خود انرژی بگیرد پس برای تونل زدن در طول دیوار یا گذر از تپه با پس‌دادن انرژی، الکترون‌های بازتابی تولید کرده و در نتیجه انرژی بیشتری نسبت به آنچه در سمت دیگر خواهد داشت، دارد. این تناقض به دلیل رفتار ذره، هم به‌عنوان ذره و هم به‌عنوان موج در مکانیک کوانتومی است.
تونل‌زنی در سدهایی با ضخامت حدود ۳–۱ نانومتر و کمتر اتفاق می‌افتد و دلیل بسیاری از پدیده‌های فیزیکی ماکروسکوپی است. واپاشی رادیواکتیو عبارت است از انتشار ذرات و انرژی از هسته ناپایدار یک اتم برای تشکیل یک حالت پایدار. این پدیده در اثر تونل‌زنی کوانتومی ذره خارج از هسته انجام می‌شود (تونل‌زنی ذره درون هسته جاذبه الکترون است) که اولین کاربرد تونل‌زنی کوانتومی بود و به اولین تقریب سوق داد. یک سد ساده را می‌توان با استفاده از دو رسانا و یک عایق نازک ایجاد کرد که اتصال تونل هستند و مطالعه آن نیازمند تونل‌زنی کوانتومی است و بیشتر شبیه یک خازن ساده است؛ ولی در صنایع برق و الکترونیک موضوع پیچیده‌تر است؛ چون سد از اتصال دو لایه نگاتیو و پوزیتیو ایجاد می‌شود و حفره‌های خالی و پر، ولتاژ سد دائمی نسبتاً بالایی ایجاد می‌کنند.
به‌هرحال توجیه کلاسیک این پدید شکست‌خورده است. اگر انرژی الکترون‌های تابش شده یا جریان یافته کمتر از پتانسیل سد باشد، تمامی ذرات تابش شده منعکس و تمامی الکترون‌های جریان یافته متوقف می‌شوند. ولی در عمل این‌گونه نیست؛ بلکه مقدار بسیار کم و اندک الکترون‌های تابش شده، تحت شرایطی موفق به نفوذ و گذر از سد می‌شوند و بهترین نیمه‌هادی‌های ساخته شده، نشت جریان بسیار جزئی و کم از خود نشان می‌دهند که با افزایش فرکانس، جریان نشتی بیشتر هم می‌شود. این پدیدها در آزمایشگاه فیزیک مشاهده و شناخته شده بودند؛ ولی برای اولین‌بار شرودینگر سعی نمود که آن را توجیه و فرمول‌بندی کند.
به طور خیلی خلاصه او به این نتیجه رسید که:
اگر انرژی ذره کمتر از ارتفاع (پتانسیل یا انرژی) سد باشد، جواب معادله خودش تابع‌نمایی حقیقی است.
اگر انرژی ذره بیشتر از ارتفاع (پتانسیل یا انرژی) سد باشد، جواب معادله خودش تابع‌نمایی مختلط است.
این یعنی اینکه الکترون در بیرون سد پتانسیل، حرکت موجی و نوسانی دارد؛ ولی به‌محض تماس با سد، دچار افت انرژی می‌شود و اگر موفق به رسیدن به انتهای سد شود و انرژی برایش باقی‌مانده باشد، در هنگام خروج از سد، می‌تواند مجدداً به حرکت نوسانی خود ادامه دهد.
معادلات او انرژی الکترون قبل از تماس با سد، افت انرژی داخل سد و انرژی الکترون بعد از خروج از سد را به‌خوبی توضیح می‌داد؛ ولی بلافاصله مشکل دیگری حادث شد و اینکه اگر این توضیح و توجیهات درست بوده باشد، پس چرا تمامی الکترون‌ها موفق به گذر از سد نمی‌شوند؛ بلکه مقدار بسیار زیادی از آنها از جریان ایستاده و یا منعکس می‌شوند. تنها چاره او توسل به نظریه اصل عدم قطعیت هایزنبرگ بود.
به‌اصطلاح عامیانه تا چنین استنباط کند که حضور الکترون در آن طرف سد، صرفاً تصادفی و شانسی است و الکترون‌های بسیار اندکی از این شانس برخوردار می‌شوند؛ ولی قدر مسلم این الکترون‌های خوش‌شانس می‌بایست با سد برهم‌کنشی داشته باشند تا دچار افت انرژی شده باشند و جواب نهایی این بود که این الکترون‌های خوش‌شانس با تمام انرژی خود از سد گذشته‌اند؛ ولی از پشت سر با سد کنش داشته و دچار افت انرژی شده‌اند. یعنی الکترون‌های بدشانس شاخ‌به‌شاخ و از روبرو با سد کنش داشته، یا از جریان ایستاده و یا منعکس و رو به عقب حرکت کرده‌اند؛ ولی الکترون‌های خوش‌شانس، این امکان و مجال را داشته‌اند که اولاً از سد گذر کرده و بعد از سپری‌شدن زمانی از پشت سر و عقب با سد کنش داشته باشند و دچار افت انرژی شوند. پس معادلات شرودینگر در این قضیه صرفاً تابع موج – ذره الکترون، بیرون و داخل سد پتانسیل را حل می‌کند و تابع احتمال حضور الکترون جلو و یا پشت سد به عهده هایزنبرگ است. اما این اصل عدم قطعیت و احتمال حضور ذرات او در فضا – زمان چیست؟
به بیان ساده ما با امواج ماکروویو (رادار) می‌توانیم هم زمان سرعت، مکان و مسیر حرکت اشیا پرنده در آسمان را رصد کرده و اندازه‌گیری کنیم. حتی ابعاد خود شی پرنده را. ولی در مورد مولکول‌های آب شکست می‌خوریم. چون این امواج مولکول‌های آب را مرتعش و سپس باعث جوش و تبخیر آب می‌شود و آزمون شکست می‌خورد. ولی او مدعی بود اصل او ریشه علمی دیگری دارد به نام تبدیل فوریه که سری فوریه، روشی برای بیان یک تابع به‌صورت چندین موج سینوسی و کسینوسی است. تبدیل فوریه یک ابزار ریاضی است که شکل موج معلوم را به شکل‌های دلخواه تبدیل می‌کند. در واقع تبدیل فوریه، یک تابع یا سیگنال در حوزه زمان را به حوزه فرکانس انتقال می‌دهد.
یعنی حاصل‌ضرب عدم قطعیت ما در مورد مکان ذره در تغییرات تکانه ذره، بزرگ‌تر و مساوی حاصل تقسیم ثابت پلانک در چهار پی است. یعنی هرقدر سرعت و جرم ذرات و اجسام بزرگ‌تر شود، اندازه عدم قطعیت ما در مورد اندازه‌گیری مکان آنها کمتر می‌شود. ولی درک این رابطه و مفهوم در یک اتم راحت‌تر است.
اگر محیط کوانتومی یک مدار اتمی را مستقل از شعاع اتمی و دو پی فرض کنیم، پس محیط یک اوربیتال یعنی زوج مدار چهار پی می‌شود و ثابت پلانک انرژی یک سیکل الکترومغناطیس را روی محیط توزیع می‌کنیم. در نگرش کلاسیک با نزدیک‌شدن به مرکز اتم، سرعت زاویه‌ای الکترون‌ها یعنی تعداد چرخش آنها در واحد زمان بیشتر می‌شود. پس احتمال حضور آنها در یک مکان مشخص و موردنظر بیشتر می‌شود و برعکس. با نزدیک‌شدن به مرکز اتم، دفعات ردشدن الکترون از روی محور دلتا ایکس بیشتر می‌شود و برعکس. در نگرش کوانتومی چگالی انرژی با نزدیک‌شدن به مرکز اتم بیشتر می‌شود و چگالی بیشتر به معنی احتمال حضور بیشتر الکترون است. اندازه احتمال حضور با دوایر کوچک نشان‌داده‌شده است. ولی هرکسی از این قضیه تعبیر خواصی برای خود دارد که مربوط به مشاهدات خود در دنیای میکروسکوپی کوانتوم می‌شود. ولی از بعد ریاضی ما می‌بایست این نامعادله را حل و سپس تحلیل کنیم:
که نتیجه حل نامعادله یک سری از جواب‌های شرطی است. به طور خلاصه اولاً ما در دنیای کوانتوم نمی‌توانیم ثابت پلانک را یک ثابت فیزیکی مطلق فرض کنیم؛ یعنی همانطور که ثابت سرعت نور و ... دستخوش تغییراتی می‌شوند و ثانیاً ما با ثابت پلانک، تکانه، جرم، سرعت، بار الکتریکی، انرژی و ... صفر حتی منفی سروکار داریم. ازاین‌رو به باور ما شرودینگر در توجیه و توضیح پدیده کوانتومی تونل‌زنی دچار خطا و اشتباه فاحشی شده است. او معادلات میدان خود را نسبتاً خوب طرح و حل‌وفصل نموده است؛ ولی از نامعادله هایزنبرگ به‌صورت عجولانه و بدون حل استفاده نموده است.
اولین خطای جبری:
نادیده‌گرفتن قانون جمع و تفریق اعداد مثبت و منفی در محاسبات است. یعنی او همیشه و هر زمان انرژی الکترون جریان یافته یا تابش شده و همچنین پتانسیل سد را مثبت و مطلق فرض کرده است.
V پتانسیل سد و E انرژی جنبشی الکترون است. یعنی ما در دنیای کوانتوم کمیت مطلق مثبت و یا منفی نداریم و علامت‌ها هر لحظه قابل تغییر بود و احتمال آن نیز وجود دارد.
دومین خطای هندسی:
شرایط آزمون یعنی ضخامت سد را چنان اختیار می‌کنیم که مقادیر با اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه متناسب باشند.
V پتانسیل سد و E1 انرژی الکترون تابش شده است که در حالت کلاسیک، این مثلث ضلع سوم یا الکترون رد شده از سد نخواهد داشت. ولی اگر پتانسیل سد منفی یا تغییر علامت دهد و یا E1 انرژی جنبشی الکترون دچار تغییر علامت شود، ضلع سوم مقدار پیدا کرده و تابش رد شده آشکار می‌شود. یعنی یک مثلث کلاسیک اصولاً می‌بایست سه ضلع، سه زاویه و سه رأس داشته باشد؛ ولی مثلث‌های کوانتومی این‌گونه نیستند؛ یعنی اضلاع آنها در هرجایی ممکن است که بوده باشند. مهم اندازه و تناسبات موجود مابین آنهاست.
اما مفهوم واقعی سد پتانسیل چیست؟
یک ذره با انرژی پتانسیل بیشتر که در مقابل یک ذره با انرژی کمتر قرار می‌گیرد، یک سد محسوب می‌شود. در فیزیک کلاسیک این سد پایدار بوده و ذره با انرژی کمتر را به عقب می‌راند و مانع گذر آن می‌شود. ولی در مکانیک کوانتوم این‌گونه نیست. یعنی سد بی سد، کدام سد. چون شاید ما فکر می‌کنیم که سدی ساخته و برقرار کرده‌ایم؛ ولی از نظر ذره با انرژی کمتر، سدی در جلوی راه آن وجود نداشته باشد. بلکه آن سد صرفاً می‌تواند تغییراتی در انرژی جنبشی ذره به وجود آورد همین و بس. بزرگ‌ترین مشکل شرودینگر این بود که تصور می‌نمود که الکترون‌های چیده شده در صف سد، بی‌حرکت بوده در نتیجه بدون تکانه و طول موج و نوسان و فاقد تابع موج - ذره هستند. ولی به باور ما الکترون‌های چیده شده داخل سد، نوسان داشته، در نتیجه تابع موج و ذره هم برای آنها برقرار است چیزی مثل امواج ایستا (تار گیتار). یعنی همانطور که به باور هایزنبرگ، الکترون‌های تابش شده یا جاری شده، می‌توانند در هرجایی باشند، الکترون‌های سد نیز می‌توانند با میادین متعدد حتی با میدان واحد کوانتومی در کنش باشند؛ یعنی ممکن است در مقابل الکترون‌ها تابشی قرار بگیرند و یا از مقابل آنها کنار روند؛ یعنی داخل میدان باشند یا بیرون میدان روند. به بیان ساده همانطور که تار گیتار (امواج ایستا) می‌تواند مولکول‌های هوا را مرتعش کند (صوت، امواج متحرک)، مولکول‌های هوا نیز می‌توانند تارهای گیتار را مرتعش کنند. در مکانیک کوانتومی، اتم یک گیتار با هفت سیم اصلی و چندین سیم فرعی لابه‌لای آنها فرض می‌شوند که امواج آنها ایستا ولی امواج کوانتوم‌های گسیل شده، انرژی یا فوتون در حال حرکت فرض می‌شود.
اما واقعیت چیست؟
برای درک واقعیت می‌بایست واقعیت‌گرا بوده و از انتزاع دوری کرد؛ چون جایگاه انتزاع در هنر است و نه فیزیک. ما در هنر به دنبال خلق تصاویر و آثار بدیع و جدید هستیم که نیاز به انتزاع دارد؛ ولی ما در فیزیک به دنبال خلق واقعیت نیستیم؛ بلکه به دنبال درک و کشف واقعیت هستیم. در صده‌های گذشته با ظهور دوربین عکاسی و صنعت فیلم و سینما، هنرمندان مجبور شدند که به‌طرف انتزاع حرکت کنند تا میدان را به دیگران واگذار نکنند؛ ولی متأسفانه بعضی فیزیک‌دانان به دنبال خلق دنیاها و پدیده‌های مجازی و انتزاعی و عجیب و قریب رفته‌اند که با عقل و حقیقت محیط پیرامون سازگاری ندارد. به باور ما معادلات میدان شرودینگر بر خلاف معادلات میدان انیشتین، درست و صحیح هستند؛ ولی شرودینگر در حل و تحلیل آنها در مورد توجیه این پدیده تونل‌زنی دچار اشتباه و خطا شده است. چون امروزه این عملیات بدون اشتباه و توسط ماشین‌های دیجیتال انجام می‌شود و آن خطای انسانی را مرتکب نمی‌شوند و در بعضی موارد باید نقص‌های ماشینی را برطرف و به حل معادلات توسط ماشین کمک و راهنمایی کرد تا به‌منظور اصلی و هدف واقعی دست‌یافت. دراین‌رابطه سعی می‌کنیم که پله‌پله معادلات او را حل و تجزیه‌وتحلیل کنیم:
ابتدا یک الکترون آزاد در فضا را در نظر می‌گیریم که انرژی جنبشی داشته و فاقد انرژی پتانسیل الکتریکی است.
حل ماشینی جواب تابع مثلثاتی دارد که در مختصات دکارتی قابل رسم است؛ ولی حل دستی یک تابع‌نمایی مختلط است که مقدار موهومی آن همیشه صفر است و به‌اشتباه در مختصات دکارتی رسم شده است، زیرا ترسیم درست آن در مختصات اعداد مختلط است.
اینک الکترون را درون سد پتانسیل در نظر می‌گیریم که انرژی جنبشی داشته و تحت‌تأثیر انرژی پتانسیل الکتریکی سد یا همان محیط است.
دقت کنید که اگر انرژی الکترون بیشتر از پتانسیل سد باشد، معادلات فوق صحیح است و الکترون با حرکت نوسانی خود از سد گذر می‌کند. ولی اگر انرژی الکترون کمتر از پتانسیل سد باشد معادله نیاز به دست‌کاری و اصلاح دارد.
اولاً صورت معادله را اصلاح نمودیم، ثانیاً بعد از حل به یک تابع هذلولی مختلط درون سد پتانسیل رسیدیم، ثالثاً این تابع در مختصات دکارتی قابلیت رسم را ندارد و آن را باید به عدد حقیقی تبدیل کنیم؛ یعنی حذف ضریب i عدد موهومی. اما توابع هذلولی چه هستند؟
توابع هُذلولوی، هُذلولی، یا توابع هیپربولیک (به فرانسوی: hyperbolique)، از توابع پرکاربرد در ریاضیات هستند که روابط حاکم بر آنها شبیه مثلثات است، با این تفاوت که خطوط مثلثاتی باتوجه‌به دایره‌ای که شعاع آن واحد می‌باشد تعریف می‌شوند، ولی توابع هذلولوی (هذلولی) باتوجه‌به هذلولی متساوی‌الساقین تعریف می‌گردند. از تابع‌های پایه‌ای آن sinh (خوانده می‌شود: سینوس هذلولوی یا هیپربولیک) و cosh (کسینوس هذلولوی) هستند که دیگر توابع را مانند tanh (تانژانت هذلولوی) می‌سازند. این توابع در انتگرال‌ها، معادلات دیفرانسیل خطی و همچنین معادله لاپلاس بسیار ظاهر می‌شوند. همانند توابع مثلثاتی که دارای معکوس‌اند، این توابع نیز دارای معکوس‌اند و با پیشوندهای arc نمایش داده می‌شوند. مانند: arcsinh تابع‌های هیپربولیک برای توصیف حرکت موج در اجسام کشسان، شکل خطوط انتقال نیروی برق، توزیع دما در پره‌های فلزی که لوله‌های داغ را سرد می‌کنند، خم‌های تعقیب به کار می‌روند.
در حقیقت هذلولی عکس یا وارون یا مزدوج وتر مثلث قائم‌الزاویه است؛ چون در یک دایره مثلثاتی، مجموع مربع دو ضلع مثلث برابر مربع وتر است؛ ولی در هذلولی حاصل تفاضل مربع دو ضلع مثلث برقرار است. یعنی هذلولی وتر خمیده یک مثلث قائم‌الزاویه محسوب می‌شود.
همانطور که در مبحث اصلاح خطای فیزیکی در رابطه هم ارزی جرم و انرژی گفته شد، ما مفهومی داریم به نام ضربه. ضربه (نماد I یا J)، در مکانیک کلاسیک به‌صورت انتگرال نیرو نسبت به زمان تعریف می‌شود.
ما می‌بایست صرفاً نظاره‌گر و شاهد آزمون‌های واقعی آزمایشگاهی باشیم و به‌جای انتگرال معین در باز زمان‌های خیالی، از انتگرال نامعین استفاده کنیم و بقیه کار را به خود سیستم واگذاریم یعنی:
و داریم:
که بیان می‌کند در سامانه‌های فیزیکی، ما نمی‌توانیم مدت‌زمان انتقال نیرو یا تکانه را معین کنیم، بلکه این خود سامانه است که مشخص می‌کند که چه مدت زمانی طول می‌کشد تا نیرو یا تکانه منتقل شود. ما صرفاً می‌توانیم این فاصله زمانی را اندازه‌گیری و تحلیل کنیم و از همه مهم‌تر اینکه، انتقال نیرو یا تکانه تابعی نمایی از خود زمان است. یعنی همان لگاریتم طبیعی:
که بیان می‌کند انتقال نیرو یا تکانه در سامانه‌های فیزیکی و کوانتومی پیوسته نیست. بلکه وابسته به تابع‌نمایی یا همان لگاریتم طبیعی است. علت بر اینکه انرژی یک جسم در حال حرکت، محدود است و با ساکن شدن آن به صفر می‌رسد و هرقدر انرژی جنبشی کمتر شود، مقدار انتقال نیز کاهش پیدا می‌کند و به‌صورت منحنی فوق است. پس جواب به‌دست‌آمده اخیر از حل معادله شرودینگر، مربوط به تابع موج الکترون داخل سد نیست، بلکه مربوط به ضربات وارده توسط الکترون‌ها به سد پتانسیل و انتقال تکانه و یا انرژی جنبشی درون سد پتانسیل است.
در حقیقت به باور ما اصلاً و ابداً، الکترون داخل سد پتانسیل موجی شکل نیست تا تابع موج - ذره داشته باشد؛ بلکه الکترون بعد از نفوذ به سد با تابع‌نمایی مختلط فوق صرفاً و فقط دچار افت انرژی و تکانه می‌شود. برای درک موضوع می‌بایست به دستگاه مختصات اعداد مختلط مراجعه کنیم یعنی:
در واقع اگر ضریب زاویه x بزرگ‌تر از یک باشد، الکترون‌ها می‌توانند به‌جای انعکاس یعنی انحراف ۱۸۰ درجه‌ای دچار انحراف ۴۵ درجه‌ای روبه‌بالا یا پایین شوند و این مقدار عبارت است از:
تقریباً معادل نیم الکترون‌ولت. یعنی اگر مجذور تفاضل پتانسیل سد و انرژی الکترون‌ها به مقدار فوق رسید، ما شاهد پدیده تونل‌زنی الکترون‌ها از سد خواهیم بود. اینک اگر تابع هذلولی به‌دست‌آمده را در مختصات دکارتی به تابع‌نمایی تبدیل کنیم خواهیم داشت:
که یک تابع‌نمایی ساده و ابتدایی است که بیانگر منحنی تغییر یا کاهش تکانه و از دست‌دادن انرژی نسبت به زمان است. اما اگر در مختصات اعداد مختلط این کار را انجام دهیم:
که اشاره به میادین الکتریکی، مغناطیسی و انرژی جنبشی داخل و بیرون میدان واحد کوانتومی دارد. اتفاقی که روی می‌دهد اینکه:
خطوط مشکی ضخیم دو دیواره سد پتانسیل است. قرمز روشن میدان الکتریکی، آبی میدان مغناطیسی عمود یا همان میدان موهومی الکتریکی، قرمز تیره منحنی افت تکانه و یا انرژی در زمان تصادم با سد و خطوط سبزرنگ مسیر شکست و انحراف پرتو و یا تابش و مسیر حرکت الکترون‌ها در میدان واحد کوانتومی می‌باشد. درست همان پدیده‌ای که در هنگام شکست نور در منشور و یا اجسام شفاف روی می‌دهد. چون انرژی و تکانه فوتون‌ها زیاد است، اکثر آنها موفق به گذر از سد می‌شوند و مقدار بسیار کمی منعکس می‌شوند و چون در هنگام ورود به جسم شفاف، دچار کاهش سرعت و افزایش چگالی انرژی در واحد سطح می‌شوند، پدیده شکست روی می‌دهد و برعکس آن در زمان خروج مشاهده می‌شود.
در حالت اخیر زمانی که الکترون‌ها با سد تصادم می‌کنند، اکثر آنها دچار انعکاس می‌شوند؛ یعنی انحراف ۱۸۰ درجه‌ای. ولی تعداد بسیار اندکی از آنها، افت انرژی و تکانه داده و دچار انحراف پی چهارم و منفی پی چهارم می‌شوند. در این زاویه، الکترون‌ها وارد میدان کوانتومی واحد می‌شوند و بهتر است بگوییم که به‌نوعی برایند نیروی الکتریکی و مغناطیسی بر آنها خنثی و صفر می‌شود. ولی در هنگام خروج از سد، دچار انحراف سه پی چهارم و منفی سه پی چهارم شده و در امتداد مسیر وارد شده؛ ولی با اندکی جابه‌جایی موازی، به مسیر خود ادامه می‌دهند؛ یعنی پدیده‌ای که در شکست نور مشاهد و رویت و جای تعجبی هم ندارد.
کل مشکل از جایی شروع شد که شرودینگر جواب معادله حل شده خودش را به دو مؤلفه موج مثبت با توان مثبت و موج منفی با توان منفی تجزیه کرد. یعنی موج مثبت از چپ به راست و موج منفی از راست به چپ در حال حرکت است.
که نه‌تنها تحلیل و منطق ریاضی درستی ندارد؛ بلکه توجیه فیزیکی هم ندارد. چون تحت این شرایط، این دو موج بر هم اثر کرده یا همدیگر را خنثی می‌کنند و یا نتیجه، یک موج واحد با اختلاف فاز است. یعنی پدیده‌ای که در جریان اکتیو و راکتیو در برق قدرت مشاهده شده و با نصب خازن برطرف می‌شود. به باور ما زمانی که موج الکترون توسط سد پتانسیل منعکس می‌شود، معادله موج مجموع هر دو قسمت معادله به‌دست‌آمده است و هر سه میدان الکتریکی، مغناطیسی و واحد کوانتومی به‌صورت توأم مورد برسی و تحلیل قرار گیرد.
محمدرضا طباطبايي ۱۴۰۱/۱۰/۰۹
