جریان چرخشی و غیر چرخشی

[rohamavation]

جریان چرخشی زمانی است که ذرات سیالات علاوه بر حرکت دیگر خود حول محور خود می چرخند. جریان چرخشی زمانی است که تک تک ذرات حول محور خود نمی چرخند.
در محاسبات برداری، یک میدان برداری محافظه کارانه، یک میدان برداری است که گرادیان یک تابع است.یک میدان برداری محافظه کار این ویژگی را دارد که انتگرال خط آن مستقل از مسیر باشد. انتخاب هر مسیری بین دو نقطه، مقدار انتگرال خط را تغییر نمی دهد. استقلال مسیر انتگرال خط برابر با محافظه کار بودن میدان برداری زیر انتگرال خط است. یک میدان برداری محافظه کارانه نیز غیر چرخشی است. در سه بعدی، به این معنی است که دارای حلقه محو شده است. یک میدان برداری چرخشی لزوماً محافظه کار است به شرطی که دامنه به سادگی متصل باشد.
تفاوت بین سیال چرخشی و چرخشی در این است که اگر یک چرخ (بی نهایت) کوچک را در سیالات قرار دهید، چرخ در سیال چرخشی شروع به چرخش می کند، در حالی که در سیال چرخشی نمی چرخد. این بدان معنی است که در سیالات چرخشی، یک "فشار" خالص توسط سیال روی چرخ وجود دارد. بنابراین، حتی اگر سیالی دارید که در آن همه ذرات به صورت افقی به سمت راست جریان می‌یابند، ممکن است همچنان یک سیال چرخشی باشد، تا زمانی که هرچه بالاتر می‌روید، ذرات سریع‌تر جریان می‌یابند. دلیل آن این است که یک چرخ کوچک فشار بیشتری را در بالا نسبت به پایین احساس می کند، به این معنی که یک فشار خالص روی چرخ، باعث چرخش آن در جهت عقربه های ساعت می شود.
با استفاده از این ایده، مشاهده این که سیال در هر دو تصویر چرخشی است بسیار ساده است (هرچه از O جلوتر بروید، سیال سریع‌تر جریان می‌یابد و به همان دلیلی که در مثال بالا وجود دارد به یک فشار خالص روی چرخ منجر می‌شود).
از نظر فنی، یک سیال غیر چرخشی است اگر انحنای میدان برداری سرعت 0 باشد.
میدان های برداری محافظه کار به طور طبیعی در مکانیک ظاهر می شوند: آنها میدان های برداری هستند که نیروهای سیستم های فیزیکی را نشان می دهند که در آنها انرژی حفظ می شودبرای یک سیستم محافظه کار، کار انجام شده در حرکت در امتداد یک مسیر در فضای پیکربندی فقط به نقاط انتهایی مسیر بستگی دارد، بنابراین می توان انرژی پتانسیل را مستقل از مسیر واقعی طی شده تعریف کرد.
در یک فضای دو و سه بعدی، ابهام در گرفتن انتگرال بین دو نقطه وجود دارد، زیرا بین دو نقطه مسیرهای بی نهایت زیادی وجود دارد - به غیر از خط مستقیم تشکیل شده بین دو نقطه، می توان یک مسیر منحنی را انتخاب کرد. طول بیشتر همانطور که در شکل نشان داده شده است. بنابراین به طور کلی مقدار انتگرال به مسیر طی شده بستگی دارد. با این حال، در مورد خاص یک میدان برداری محافظه کارانه، مقدار انتگرال مستقل از مسیر طی شده است، که می توان آن را به عنوان یک لغو در مقیاس بزرگ از همه عناصر در نظر گرفت.
که در امتداد خط مستقیم بین دو نقطه جزء ندارند. برای تجسم این موضوع، دو نفر را در حال بالا رفتن از یک صخره تصور کنید. یکی تصمیم می گیرد تا صخره را با بالا رفتن عمودی از آن بالا برود و دومی تصمیم می گیرد در امتداد مسیری پرپیچ و خم قدم بزند که طول آن بیشتر از ارتفاع صخره است، اما فقط با زاویه کمی نسبت به افقی. اگرچه این دو کوهنورد مسیرهای مختلفی را برای رسیدن به بالای صخره طی کرده‌اند، اما در بالای آن، هر دو به یک اندازه انرژی پتانسیل گرانشی به دست آورده‌اند. این به این دلیل است که یک میدان گرانشی محافظه کار است.
سیال غیر چرخشی به سیالی اطلاق می شود که المان های آن در طی حرکتش هیچ چرخشی نداشته باشند. منظور از چرخش (Rotation) چرخیدن قطر جزء حجم سیال حول محور خودش باشد. این جریان ها را در اصطلاح جریان غیر چرخشی (Irrotational Flow) می گویند. به نظرتان چه جریان هایی را می توان به عنوان جریان غیر چرخشی در نظر گرفت؟
در سیالات بدون اصطکاک (سیالات ایده آل) در هر جزء حجم سیال هیچ تنش برشی (Shearing Stress) به وجود نخواهد آمد. حال اگر چگالی سیال نسبت به تغییرات فشار ثابت باشد (مانند سیالات تراکم ناپذیر) در این صورت عدم وجود نیروهای برشی موجب می شود تا فقط نیروهای ناشی از فشار بر جزء سیال اعمال شوند و به طوری که برآیند آن ها از مرکز جزء حجم عبور کرده و در نتیجه هیچ گشتاور چرخشی بر جزء حجم سیال وارد نگردد دراین صورت بستگی به مبدا حرکت جزء سیال دارد، اگر از ابتدا نچرخد، این مولفه همواره غیر چرخشی خواهد ماند. اما در سیالات واقعی هنگامی جریان غیر چرخشی در نظر گرفته می شود که شرایط مرزی اثر نیروهای لزج را بر اجزای حجم انتقال ندهد. معمولا تنش های لزج موجب بروز حرکت چرخشی در اجزای سیال می شود. اما برای هر سیالی که در جریان های با رینولدز زیاد در شرایط غیر چرخشی شروع شوند جریان ضرورتا غیر چرخشی باقی خواهد ماند.
نکته ای که باید مورد توجه قرار گیرد این است که چرخش سیال به معنی تغییر جهت جزء سیال است و یا تغییر شکل جزء سیال در مسیر حرکت اشتباه نشود. چرخشی بودن یک سیال می تواند تشبیه شود به چرخ قطار که در یک مسیر مستقیم در حال حرکت است در حالی که مدام به دور خود می چرخد. همچنین برای جریان غیر چرخشی یک جزء سیال می تواند به حرکت یک چرخ و فلک تشبیه شود به طوری که گر چه کابین آن ها در مسیر دایره ای می گردد اما حول خود نمی چرخد. جزء سیال در جریان های غیر چرخشی گرچه تغییر شکل می دهد اما لزوما امتداد قطر آن ها بدون تغییر خواهد بود. مطابق شکل زیر، علی رغم مسیر منحنی وار جهت قطرهای جزء سیال در موقعیت ثابت باقی می ماند و بنابراین جریان غیر چرخشی خواهد بود. در این مباحث ممکن است به ζ (زیتا) بر بخورید. زیتا به عنوان یک پارامتر مبین چرخش حول یک محور می باشد که تحت عنوان ورتیسیتی (Vorticity) و معادل 2ω می باشد. معمولا در روابط مربوط به گردابه ها زیتا استفاده می گردد.
پتانسیل سرعت در جریان غیر چرخشی
در اینجا Φ تحت عنوان پتانسیل سرعت (Velocity Potential) جریان می باشد. لازم به ذکر است که پتانسیل سرعت تنها در مورد جریان های غیر چرخشی تعریف می شود که به صورت زیر بدست می آید. در رابطه زیر Φ∇ گرادیان پتانسیل سرعت و V بردار سرعت برآیند می باشد.
پتانسیل سرعت در جریان غیر چرخشی
هر نقطه از میدان دارای Φ مشخصی است. نقاطی که دارای Φ یکسان می باشد تشکیل سطحی را می دهد که تحت عنوان سطح هم پتانسیل (Equipotential Surface) نامیده می شود. در جریان غیر دائمی یا ناپایدار (Unsteady) خطوط هم پتانسیل نسبت به زمان در حال تغییر می باشند ولی در جریان پایدار این خطوط بدون تغییر باقی خواهند ماند. در ضمن از خاطر نبرید که علامت منفی در این معادلات به این دلیل است که همواره جهت جریان در جهت کاهش Φ می باشد. تابع پتانسیل سرعت برای جریان های تراکم ناپذیر موجب ایجاد رابطه خطی می شود.
جریان یکنواخت و موازی در جریان غیر چرخشی
در جریان یکنواختی که دارای سیال غیر چرخشی می باشد، جریان با سرعت ثابت U و در جهت x در حرکت است. یعنی فقط U (سرعت ثابت) را در اختیار داریم و v و w برابر صفر هستند. این حالت در واقع توده ای از جریان است که حمله وار به سمت جلو حر کت می کند و خطوط Uniform را ایجاد می کند. همان طور که گفتیم Φ به y و z بستگی ندارد بنابراین نسبت به x انتگرال می گیریم. بر این اساس داریم:
جریان غیر چرخشی
که در آن c مقدار ثابت انتگرال است. توزیع سرعت به نرخ تغییر پتانسیل سرعت Φ رابطه دارد و نه به مقدار قدر مطلق آن. بنابراین می توان c را برابر صفر در نظر گرفت. شکل زیر خطوط جریان به همراه خطوط هم پتانسیل را ریم نموده است. به طوری که خطوط جریان ضمن عمود بودن بر خطوط هم پتانسیل، در جهت کاهش خطوط هم پتانسیل می باشند. توجه شود که توزیع سرعت به مقدار Φ بستگی ندارد بلکه به مشتق آن بستگی دارد. همچنین تغییرات Φ برای ما مهم است؛ از کجا شروع شدنش مهم نیست و این جریان غیر چرخشی است و فقط در جهت u سرعت داریم. Φ مقداری است کاهشی هرچه بر خلاف جریان سمت چپ نمودار حرکت می کنیم، زیاد می شود و به سمت راست، کم می شود. زیرا که به x بستگی دارد.
جریان چرخشی(به انگلیسی: Rotational flow)که جریان تاودار نیز ترجمه شده جریانی‌است که سرعت حرکت لایه‌های سیال با افزایش یا کاهش ارتفاع تغییر کند و برای آزمایش این نوع جریان ابتدا یک پره غوطه‌ور را در سیال رها می‌سازند و اگر پره فقط همراه با سیال حرکت کند جریان چرخشی نیست و اگر پره همراه با حرکت در مسیر مستقیم به دور خود نیز بچرخد جریان چرخشی نامید می‌شود و اگر جریان ساعت‌گرد بود با افزایش ارتفاع از سطح سیال سرعت حرکت لایه‌های سیال کم می‌شود و اگر پادساعت‌گرد بود با افزایش ارتفاع سرعت حرکت لایه‌های سیال زیاد می‌شود.
برای این‌گونه جریان‌ها دو معیار تعریف می‌شود:
سیرکولاسیون:
${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}Vdl}$
ورتیسیتی:
${\displaystyle \omega ={\frac {\Gamma }{A}}}$
که البته در دو بعد برابر است با
${\displaystyle \omega ={\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}}$
برای جریان‌های غیرچرخشی این مقدار برابر صفر است. این مقدار در سه بعد از فرمول زیر بدست می‌آید:
${\displaystyle \omega =curlV=({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}})i+({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}})j+({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}})k}$
که البته برای جریان‌های غیر چرخشی تمام سه طرفین برابر صفر است.منظور از گرداب و گردش چیست؟
در سینماتیک سیالات نمی توانم معنای این اصطلاحات را بفهمم: گردابه و گردش.
انواع اساسی حرکت (یا تغییر شکل) برای یک عنصر سیال وجود دارد: انتقال، چرخش، کرنش خطی و کرنش برشی. معمولاً همه این نوع حرکت ها به طور همزمان رخ می دهند که تجزیه و تحلیل دینامیک سیالات را به نوعی دشوار می کند.
می توان سرعت بردار انتقال را به صورت ریاضی با بردار سرعت $\vec{V}$ بیان کرد
$\vec{V} = u\vec{i} + v\vec{j} + w\vec{k}$
وقتی صحبت از بیان سرعت چرخش یک عنصر سیال می شود، بسیار چالش برانگیز می شود، چرا؟ از آنجایی که یک عنصر سیال در حین چرخش ترجمه می‌شود و تغییر شکل می‌دهد، یک عنصر سیال مستطیلی اولیه را تصور کنید که شروع به چرخش می‌کند در حالی که هر خط از مستطیل دارای سرعت زاویه‌ای متفاوت از دیگری است. شما می توانید کتاب وایت را برای مشتق کامل بررسی کنید، اما ما می توانیم بردار چرخش$\vec{\omega}$ را بیان کنیم.
فعلا به شرح زیر
$\vec{\omega} = \frac{1}{2} [(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z})\vec{i}
+ \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x})\vec{j}
+ \frac{1}{2} (\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y})\vec{k}]$
قرار دادن آن به سادگی به عنوان نیمی از بردار سرعت
$\vec{\omega} = \frac{1}{2}\vec{\nabla}\times \vec{V}$
حال، اجازه دهید بردار را تعریف کنیم که به آن بردار گردابی گفته می شود که دو برابر سرعت زاویه ای است
:$\vec{\xi} = \vec{\nabla}\times \vec{V}$
خوب، با ریاضی کافی است. چه مفهومی داره؟
برای یک نقطه دلخواه در یک میدان جریان:
هر عنصر سیال (ذره ای) که آن نقطه را با گردابی غیر صفر اشغال کند، آن نقطه چرخشی نامیده می شود.
برعکس، هر عنصر سیالی (ذره) که آن نقطه را اشغال کند و دارای گردابه صفر باشد، آن نقطه را غیر چرخشی می نامند که به این معنی است که ذره نمی چرخد.
جریان از A به B چرخشی است (دارای چرخش) در حالی که جریان از A به C غیر چرخشی است (دارای چرخش).
شما می‌توانید مثال‌های زیادی برای جریان‌های چرخشی پیدا کنید، مانند نواحی بیدار در پشت بدنه‌های بی‌نقص و جریان از میان توربوماشین‌ها.
• گردش و گردابه دو معیار اولیه چرخش در یک سیال هستند.
• گردش، که یک کمیت انتگرال اسکالر است، یک اندازه گیری ماکروسکوپی از چرخش برای یک منطقه محدود از سیال است.
• اما گرداب، یک میدان برداری است که اندازه گیری میکروسکوپی از چرخش در هر نقطه از سیال را نشان می دهد.
اگر جریان در یک لوله مستقیم باشد، می توانم تفاوت بین تعریف جریان چرخشی و غیر چرخشی را درک کنم. اما در صورت جریان دایره ای، این من را گیج می کند.
بیایید جریانی را در نظر بگیریم که حول نقطه مبدا O می چرخد
.
در هر دو شکل، ذره سیال با رنگ سبز با چند محور متصل به آن نشان داده شده است.
در سمت چپ، ذره با جریان حرکت می کند اما به نظر می رسد که حول محورهای خود نمی چرخد. در شکل سمت راست، ذره در حال چرخش است اما محورهای آن همیشه با محورهای قطبی (محورهای عادی و مماسی) همسو هستند.
آیا این درست است که می گویند جریان در شکل سمت چپ غیر چرخشی و جریان در سمت راست چرخشی است؟
تفاوت بین سیال چرخشی و چرخشی در این است که اگر یک چرخ (بی نهایت) کوچک را در سیالات قرار دهید، چرخ در سیال چرخشی شروع به چرخش می کند، در حالی که در سیال چرخشی نمی چرخد. این بدان معنی است که در سیالات چرخشی، یک "فشار" خالص توسط سیال روی چرخ وجود دارد. بنابراین، حتی اگر سیالی دارید که در آن همه ذرات به صورت افقی به سمت راست جریان می‌یابند، ممکن است همچنان یک سیال چرخشی باشد، تا زمانی که هرچه بالاتر می‌روید، ذرات سریع‌تر جریان می‌یابند. دلیل آن این است که یک چرخ کوچک فشار بیشتری را در بالا نسبت به پایین احساس می کند، به این معنی که یک فشار خالص روی چرخ، باعث چرخش آن در جهت عقربه های ساعت می شود.
با استفاده از این ایده، مشاهده این که سیال در هر دو تصویر چرخشی است بسیار ساده است (هرچه از O جلوتر بروید، سیال سریع‌تر جریان می‌یابد و به همان دلیلی که در مثال بالا وجود دارد به یک فشار خالص روی چرخ منجر می‌شود).
از نظر فنی، یک سیال غیر چرخشی است اگر انحنای میدان برداری سرعت 0 باشد.
اسیال غیر چرخشی به سیالی اطلاق می شود که المان های آن در طی حرکتش هیچ چرخشی نداشته باشند. منظور از چرخش (Rotation) چرخیدن قطر جزء حجم سیال حول محور خودش باشد. این جریان ها را در اصطلاح جریان غیر چرخشی (Irrotational Flow) می گویند. به نظرتان چه جریان هایی را می توان به عنوان جریان غیر چرخشی در نظر گرفت؟
در سیالات بدون اصطکاک (سیالات ایده آل) در هر جزء حجم سیال هیچ تنش برشی (Shearing Stress) به وجود نخواهد آمد. حال اگر چگالی سیال نسبت به تغییرات فشار ثابت باشد (مانند سیالات تراکم ناپذیر) در این صورت عدم وجود نیروهای برشی موجب می شود تا فقط نیروهای ناشی از فشار بر جزء سیال اعمال شوند و به طوری که برآیند آن ها از مرکز جزء حجم عبور کرده و در نتیجه هیچ گشتاور چرخشی بر جزء حجم سیال وارد نگردد دراین صورت بستگی به مبدا حرکت جزء سیال دارد، اگر از ابتدا نچرخد، این مولفه همواره غیر چرخشی خواهد ماند. اما در سیالات واقعی هنگامی جریان غیر چرخشی در نظر گرفته می شود که شرایط مرزی اثر نیروهای لزج را بر اجزای حجم انتقال ندهد. معمولا تنش های لزج موجب بروز حرکت چرخشی در اجزای سیال می شود. اما برای هر سیالی که در جریان های با رینولدز زیاد در شرایط غیر چرخشی شروع شوند جریان ضرورتا غیر چرخشی باقی خواهد ماند.شکل بالا دو نمونه از جریان را نشان می دهد که در آن اثر لزجت توسط مرزها موجب گسترش ناحیه جریان چرخشی شده اند. مطابق شکل فوق خطوط جریان قبل و اطراف جسم که یکنواخت می باشد عاری از لزجت و در نتیجه جریان غیر چرخشی است. اما در لایه مزری جسم و بعد از آن یعنی ناحیه جداشدگی که لزجت اثر خود را ایجاد نموده است جریان چرخشی بروز کرده است (شکل a). همچنین در شکل b جریان در لایه مرزی دارای لزجت و در خارج لایه مرزی (یعنی هسته مرکزی لوله) که جریان توسعه نیافته و عاری از لزجت است، جریان غیر چرخشی در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، هنگام حرکت جریان از دریاچه سد به طرف تاج سرریز اوجی، ناحیه ای از جریان که در بیرون لایه مرزی وجود دارد و مرز کف اوجی هنوز بر آن بی اثر است می تواند به عنوان نمونه ای از شرایط غیر چرخشی سیال قلمداد شود.

نکته ای که باید مورد توجه قرار گیرد این است که چرخش سیال به معنی تغییر جهت جزء سیال است و یا تغییر شکل جزء سیال در مسیر حرکت اشتباه نشود. چرخشی بودن یک سیال می تواند تشبیه شود به چرخ قطار که در یک مسیر مستقیم در حال حرکت است در حالی که مدام به دور خود می چرخد. همچنین برای جریان غیر چرخشی یک جزء سیال می تواند به حرکت یک چرخ و فلک تشبیه شود به طوری که گر چه کابین آن ها در مسیر دایره ای می گردد اما حول خود نمی چرخد. جزء سیال در جریان های غیر چرخشی گرچه تغییر شکل می دهد اما لزوما امتداد قطر آن ها بدون تغییر خواهد بود. مطابق شکل زیر، علی رغم مسیر منحنی وار جهت قطرهای جزء سیال در موقعیت ثابت باقی می ماند و بنابراین جریان غیر چرخشی خواهد بود. در این مباحث ممکن است به ζ (زیتا) بر بخورید. زیتا به عنوان یک پارامتر مبین چرخش حول یک محور می باشد که تحت عنوان ورتیسیتی (Vorticity) و معادل 2ω می باشد. معمولا در روابط مربوط به گردابه ها زیتا استفاده می گردد.
حرکت سیال در جریان غیر چرخشی
پتانسیل سرعت در جریان غیر چرخشی
در اینجا Φ تحت عنوان پتانسیل سرعت (Velocity Potential) جریان می باشد. لازم به ذکر است که پتانسیل سرعت تنها در مورد جریان های غیر چرخشی تعریف می شود که به صورت زیر بدست می آید. در رابطه زیر Φ∇ گرادیان پتانسیل سرعت و V بردار سرعت برآیند می باشد.
پتانسیل سرعت در جریان غیر چرخشی
هر نقطه از میدان دارای Φ مشخصی است. نقاطی که دارای Φ یکسان می باشد تشکیل سطحی را می دهد که تحت عنوان سطح هم پتانسیل (Equipotential Surface) نامیده می شود. در جریان غیر دائمی یا ناپایدار (Unsteady) خطوط هم پتانسیل نسبت به زمان در حال تغییر می باشند ولی در جریان پایدار این خطوط بدون تغییر باقی خواهند ماند. در ضمن از خاطر نبرید که علامت منفی در این معادلات به این دلیل است که همواره جهت جریان در جهت کاهش Φ می باشد. تابع پتانسیل سرعت برای جریان های تراکم ناپذیر موجب ایجاد رابطه خطی می شود.
جریان یکنواخت و موازی در جریان غیر چرخشی
در جریان یکنواختی که دارای سیال غیر چرخشی می باشد، جریان با سرعت ثابت U و در جهت x در حرکت است. یعنی فقط U (سرعت ثابت) را در اختیار داریم و v و w برابر صفر هستند. این حالت در واقع توده ای از جریان است که حمله وار به سمت جلو حر کت می کند و خطوط Uniform را ایجاد می کند. همان طور که گفتیم Φ به y و z بستگی ندارد بنابراین نسبت به x انتگرال می گیریم. بر این اساس داریم:
جریان غیر چرخشی
که در آن c مقدار ثابت انتگرال است. توزیع سرعت به نرخ تغییر پتانسیل سرعت Φ رابطه دارد و نه به مقدار قدر مطلق آن. بنابراین می توان c را برابر صفر در نظر گرفت. شکل زیر خطوط جریان به همراه خطوط هم پتانسیل را ریم نموده است. به طوری که خطوط جریان ضمن عمود بودن بر خطوط هم پتانسیل، در جهت کاهش خطوط هم پتانسیل می باشند. توجه شود که توزیع سرعت به مقدار Φ بستگی ندارد بلکه به مشتق آن بستگی دارد. همچنین تغییرات Φ برای ما مهم است؛ از کجا شروع شدنش مهم نیست و این جریان غیر چرخشی است و فقط در جهت u سرعت داریم. Φ مقداری است کاهشی هرچه بر خلاف جریان سمت چپ نمودار حرکت می کنیم، زیاد می شود و به سمت راست، کم می شود. زیرا که به x بستگی دارد.
جریان دائم و جریان غیر دائم (steady and unsteady)
جریان تراکم پذیر وتراکم ناپذیر (compressible and incompressible)
جریان یکنواخت وغیر یکنواخت (uniform and Non-uniform)
جریان لایه‌ای و درهم(آشفته) ((laminar and Turbulent(frenzied)
جریان ایده آل وحقیقی (Ideal and Real)
جریان یک بعدی و دوبعدی و سه بعدی (One-dimensional and Two-dimensional and Three-dimensional)
جریان داخلی و خارجی (Internal and external)
جریان توسعه یافته و در حال توسعه (developed and developing)
جریان چرخشی و غیر چرخشی (Rotational and Non-rotational)
جریان تک فاز و چند فاز (single phase and multi phase)
جریان دائم(پایا) و جریان غیر دائم(ناپایا) (steady-unsteady)

[rohamavation]

اگر خواص و شاخص‌های جریان مانند سرعت، فشار، دما و غیره در یک نقطه خاص نسبت به زمان ثابت باشند ( در هر نقطه با زمان تغییر نکند)، جریان در آن نقطه، دائم در غیر این صورت جریان غیر دائم است.
جریان دائم و غیر دائم را پایا و گذرا نیز می‌گویند.
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(v,p,\rho ,...)\neq 0\to unsteady}$
برای مثال در شکل روبرو شیر ستاره‌ای به تدریج باز می‌شود و بعد از مدتی فلکه ثابت می‌شود در هنگام باز شدن شیر، جریان در هر مقطع غیر دائم و پس از ان دائم است.
توجه به این نکته مهم است که در جریان دائم هر خاصیت‌ جریان می‌تواند از یک نقطه به نقطه دیگر متفاوت باشد ولی در هر نقطه با زمان تغییر نمی‌کند.
جریان یکنواخت وغیر یکنواخت (uniform flow-Non-uniform)
جریان یکنواخت در حالت کلی به جریانی گفته می‌شود که بردار سرعت در هر لحظه مشخص در تمام نقاط، در کلیه جهت‌ها، یکسان باشد. حال اگر بردار سرعت در لحظه‌ای معین از نقطه‌ای به نقطه دیگر در امتداد جهتی دلخواه تغییر کند، آن جریان غیر یکنواخت است. اگر سرعت در امتداد جریان افزایش یابد, جریان را تند شونده و اگر کاهش یابد آن را کندشونده می نامیم.
جریان پایدار و یکنواخت ( Steady uniform flow ) : حالت های سیال با زمان و مکان تغییر نمی کند. و در آن سرعت و سطح منطقه عبور جریان سیال در هر منطقه عبور ، مشابه می باشد.برای مثال جریان مایعی که در یک خط لوله یکنواخت ( دارای حفره یکنواخت ) که کاملاً پر می باشد، با سرعت ثابت حرکت می کند.
جریان پایدار و غیر یکنواخت ( Steady non-uniform flow ) : حالت ها از نقطه ای به نقطه دیگر تغییر می کند ولی با زمان نه. سرعت و سطح منطقه عبور جریان می تواند از یک منطقه عبور تا منطقه عبور دیگر تغییر کند ولی برای هر منطقه عبور مقادیر آن ها با زمان تغییر نمی کند. برای مثال جریان مایعی که با دبی ثابت از یک خط لوله ای که کاملآ پر می باشد و کم کم باریک می شود، می گذرد.
جریان ناپایدار و یکنواخت ( Unsteady uniform flow ) : در یک لحظه معین سرعت در همه ی نقاط یکسان می باشد ولی با زمان تغییر خواهد کرد. برای مثال جریان شتابداری از یک مایع که از یک لوله یکنواخت و کاملآ پر عبور می کند. مشابه حالتی که وقتی یک پمپ شروع به کار می کند اتفاق می افتد.
جریان ناپایدار و غیر یکنواخت ( Unsteady non-uniform flow ) : سرعت و منطقه عبور از نقطه ای به نقطه ی دیگر متفاوت می باشند و با زمان نیز تغییر می کنند. برای مثال امواجی که در یک کانال عبور می کنند.
جریان مایع دریک لوله خمیده، جریان آب در رودخانه ها و جریان در یک لوله با مقطع متغییر مثال‌هایی از جریان غیر یکنواخت هستند.
uniform flow
${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial {{s}^{}}}}=0\to {\text{uniform flow}}}$
Non-uniform
${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial {{s}^{}}}}\neq 0\to {\text{Non-uniform}}}$
S، (مسافتی در امتداد جهت دلخواه) از یک مبدا اختیاری است.
v سرعت در یک نقطه مشخص روی آن جهت است.
در آب انبار شکل بالا جریان در نقطه b در حین باز شدن و پس از ثابت شدن شیر فلکه به دلیل انحنای لوله غیر یکنواخت است و در نقطه a هنگام ثابت شدن شیر جریان دائم و یکنواخت است.
توجه به این نکته مهم است که در جریان غیر یکنواخت سرعت در هر امتداد دلخواهی متغییر است.
این تغییرات جدا از مقدار سرعت در اثر تغییر راستا و جهت ممکن است به وجود آید. بنا براین خطوط جریان دارای انحنا خواهند شد یااینکه به هم نزدیک می‌شوند
جریان تراکم پذیر وتراکم ناپذیر (compressible-incompressible)
جریانی تراکم پذیر است که چگالی آن تابع مختصات و زمان بوده و از نقطه‌ای به نقطه‌ای دیگر تغییر کند.
${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial (x,y,z,t)}}\neq 0\to compressible}$
جریانی تراکم نا پذیر است که چگالی آن تابع مختصات و زمان نباشد. وهمچنین اگر میدان سرعت را داشته باشیم، دیورژانس آن صفر شود.
${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial (x,y,z,t)}}=0\to incompressible}$ و
${\displaystyle \nabla .V={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial \upsilon }{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0}$
مایعات عملا تراکم ناپذیر و گازها تراکم پذیر هستند. با این حال اگر مایع تحت فشار بالایی قرار گیرد تراکم‌پذیری باید منظور گردد و اگر تغییرات فشار ناچیز باشد، می توان گاز را تراکم ناپذیر فرض کرد.
(باید توجه داشت که تعریف تراکم نا پذیر متفاوت است. متخصصان اقیانوس شناسی تغییرات ۰٫۱ درصد جرم مخصوص را قابل توجه می داننددر حالی که متخصصین هواپیمایی،معمولا تغییرات چگالی گاز هارا در جریان های خیلی فشرده، حتی در حرکت مافوق صوت نا چیز فرض می کنند و این به عهده شماست که وقتی جریانی را تراکم‌ناپذیر توصیف کردید آن را توجیه و تفسیر نمایید.)
ارنست ماخ این فرضیات را به صورت کمی بیان کرد:
${\displaystyle {\frac {\Delta \rho }{{\rho }_{0}}}}$
اگر مقدار این رابطه از ۰٫۰۱ بزرگتر یا مساوی باشد جریان تراکم پذیر است واگر مقدار این رابطه کوچکتر از ۰٫۰۱ باشد جریان تراکم ناپذیر است.
نکته : جریان های گازی که دارای عدد ماخ کوچکتر از ۰٫۳ هستند را می توان تراکم ناپذیر در نظر گرفت .
عدد ماخ:
نسبت سرعت سیال به سرعت صوت در همان سیال است. عدد ماخ یک پارامتر بی‌بعد است که در آیرودینامیک جریان‌های تراکم‌پذیر دارای اهمیت زیادی است.
0.5${\displaystyle M={\frac {V}{C}}={{\left({\frac {{V}^{2}}{{C}^{2}}}\right)}^{0.5}}={{\left({\frac {\rho {{V}^{2}}{{L}^{2}}}{\rho {{C}^{2}}{{L}^{2}}}}\right)}^{0.5}}}$
V سرعت سیال.
C سرعت صوت درسیال است.
رابطه سرعت انتشار صوت در یک سیال:
${\displaystyle C={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}}$
در این رابطه K مدول الاستیسیته حجمی یا ضریب بالک است و
${\displaystyle \rho }$ چگالی سیال است.
با حذف C از رابطه بالا صورت نهایی رابطه ماخ به صورت زیر در می‌آید:
Inertia forceThe elasticity
${\displaystyle M={{\left({\frac {\rho {{V}^{2}}{{L}^{2}}}{K{{L}^{2}}}}\right)}^{0.5}}={\frac {{F}_{I}}{{F}_{K}}}={{\left({\frac {\text{Inertia force}}{\text{The elasticity}}}\right)}^{0.5}}}$
اگر Ma<0.3
⇐${\displaystyle \Leftarrow }$
جریان تراکم ناپذیراگرMa>0.3
⇐${\displaystyle \Leftarrow }$
جریان تراکم پذیر
سرعت صوت ۳۰۰ متر بر ثانیه است و در ارتفاع بالا سرعت صوت کمتر می‌شود و در نتیجه خلبان‌های هوایما در آن ارتفاع سعی می‌کند سرعت هواپیما را کمتر از سرعت صوت کند.
اگر Ma<1 زیرصوتی (subsonic)
اگر Ma=1 گذرصوتی (Transonic)
اگر Ma>1 فراصوتی (supersonic)
جریان لایه‌ای و درهم (آشفته) Laminar-Turbulent (frenzied)
در جریان آرام یا لایه‌ای، ذرات سیال مسیرهایی منظم و هموار را طی می‌کنند به طوری که هر لایه به آرامی روی لایه مجاور خود می لغزد. این جریان از قانون لزجت نیوتن و یا تعمیم آن یعنی قانون استوکس پیروی می کند. در این جریان هر گونه گرایش به آشفتگی توسط نیروی اصطکاک مستهلک می‌شود.
در وضعیتی که ۱- لزجت کم ۲- سرعت جریان زیاد ۳- طول مشخصه زیاد (مثلا قطر لوله) باشد، جریان پایداری خودش را حفظ نکرده و به جریان آشفته تبدیل می‌شود. در این جریان ذرات سیال به علت انرژی جنبشی بالا مسیرهای نامنظمی را طی می‌کنند و با برخورد به یکدیگر سبب انتقال انرژی می‌شوند.
جریان لایه‌ای
جه کنید که حد لایه مرزی، خط جریان نیست.
تنش برشی در جریان لایه‌ای:
برای مثال اگر ما یک شیر آب را به آرامی باز کنیم اینطور به نظر می‌رسد که جریان آب به صورت لایه لایه حرکت می‌کند، این یک جریان لایه‌ای است. در صورتی که ما همین شیر را بیشتر باز کنیم جریان آشفته می‌شود.
جریان لایه‌ای (آشفته)
وجود گردابه در جریان درهم
ویژگی جریان‌های آشفته:
1- وجود گردابه در سیال‌ها نشان دهنده آشفته بودن جریان است.
2- در جریان‌های آشفته اتلاف شدید انرزی جنبشی وجود دارد.
3- از دیگر ویژگی‌های جریان‌های آشفته اختلاط شدید است؛ مثلا اگر ما جوهر در داخل جریان آشفته بریزیم سریع حل می‌شود در صورتی که اگر همین جوهر را داخل جریان لایه‌ای بریزیم خیلی آرام حل می‌گردد.
نمودار u-t برای جریان درهم:
${\displaystyle \operatorname {Re} ={\frac {\rho vl}{\mu }}={\frac {vl}{\nu }}}$
جریان آرام در حالت یک بعدی از قانون لزجت نیوتن پیروی می‌کند.
در جریان آشفته سرعت و شتاب و سایر مشخصات سیال بهش صورت نوسانی تصادفی و نامنظم تغییر می‌کنند و هر کمیت را می‌توان به صورت مجموع متوسط زمانی آن و یک مولفه نوسانی در نظر گرفت.
${\displaystyle U={\bar {U}}+{{{U}'}^{}}}$
در جریان آشفته تنش‌های برشی ظاهر می‌شوند که به صورت روبرو تنش بیان می‌شود:
${\displaystyle \tau =(\eta +\mu )({\frac {du}{dy}})}$
${\displaystyle \eta } $را لزجت گردابی گویند و بر خلاف
${\displaystyle \mu }$ فقط خاصیتی از سیال نمی‌باشد و پرانتل دانشمند آلمانی نظریه طول اختلاط را برای محاسبه بیان کرد:
${\displaystyle \eta =\rho {{L}^{2}}_{m}\left|{\frac {d{\overline {u}}}{dy}}\right|}$
که ${\displaystyle {{L}_{m}}} $طول اختلاط است و می‌توان آن را به عنوان متوسط فاصله‌ای که توده‌های سیال در فاصله دو برخورد متوالی از یکدیگر در اثر درهمی طی می‌کنند در نظر گرفت.
جریان ایده آل و حقیقی(Ideal-Real)
جریان ایده آل جریانی است که که غیر لزج بوده و سیال تراکم ناپذیر باشد و در غیر این صورت واقعی است. نکته مهم این است که دو شرط همزمان برقرار باشند.
باید به این نکته دقت کرد که سیال غیر لزج با جریان غیر لزج متفاوت است
سیال غیر لزج در ان
${\displaystyle \mu =0} $است (تنش برشی صفر نیست) در حالی که جریان غیر لزج در آن تنش برشی صفر است.
نکته : در حرکت شتابدار سیال به صورت جسم صلب، سیال لزج است ولی جریان غیر لزج است. چون گرادیان سرعت و در نتیجه تنش وجود ندارد. یعنی ممکن است جریان یک سیال لزج، غیر لزج باشد.
اگر یک صفحه تخت در نظر بگیریم که روی آن سیالی جریان دارد، دو ناحیه کلی را می توان در این جریان تشخیص داد یکی ناحیه مجاور به مرز است که در این ناحیه تنش برشی وجود داشته و آن را لایه مرزی می نامند. در بیرون از این ناحیه سرعت برابر سرعت توده سیال است و شیب آن صفر، در نتیجه تنش برشی صفر است ومی توان از نظریه سیالات غیر لزج بهره برد.
برای یک سرعت جریان مشخص اندازه لایه مرزی به خواص سیال دارد.
در جریان غیر لزج هیچ تنش برشی وجود ندارد.
در جریان غیر لزج افزایش سرعت باعث کاهش فشار وبالعکس می شود
جریان یک بعدی و دوبعدی و سه بعدی (One-dimensional and Two-dimensional and Three-dimensional)
مشخصات جریان مانند فشار و سرعت و... در حالت کلی تابعی از مختصات ذرات سیال و زمان هستند پس جریان در حالت کلی سه بعد است
اما در برخی مواقع مهندسین مکانیک برای ساده‌سازی در محاسبه از تغییرات ویژگی‌های جریان در یک یا دو راستا صرف نظر می‌کنند که اینساده‌سازی سبب تغییرات قابل لمسی در جواب نخواهد شد. در این حالت جریان را به ترتیب دو و یک بعدی می‌نامند.
در جریان یک بعدی تغییرات در طول خط جریان وجود دارد و در امتداد عمود بر جهت اصلی جریان از تغییرات صرف نظر می‌کنیم. در این حالت
مشخصات در هر مقطع به صورت مقادیر متوسط بیان خواهند شد. در جریان یک بعدی مسیر حرکت ذرات سیال در صفحات موازی یکسان است.
جریان دو بعدی جریانی است که در آن مسیر ذرات سیال در صفحات موازی یکسان است و میتوان از تغییرات سرعت و فشار و ...در امتداد عمود بر این صفحات صرفنظر کرد .
مثال:جریانی با تابع سرعت زیر چند بعدی است؟
→${\displaystyle {\vec {v}}=u(x){\vec {i}}+v(x){\vec {j}}}$
با توجه به صورت مسئله می‌فهمیم که جریان یک بعدی است زیرا که معیار تعداد متغیر های مستقل است نه وابسته که دراین مسئله تابعی از متغیر مستقل x است.
جریان داخلی و خارجی (Internal-external)
جریان لایه‌ای یا متلاطم ممکن است به صورت داخلی یا خارجی باشد.
جریان داخلی دارای دیواره محدود کننده است. در این جریان لایه های مرزی ویسکوز رشد می‌کنند و بعد از ترکیب با یکدیگر تمام ناحیه جریان رافرا می‌گیرند. مطابق شکل زیر پس از ورود جریان تقریباً ناویسکوز به داخل لوله رشد لایه های نازک ویسکوز شروع می‌شود در نتیجه سرعت محوری جریان در دیواره کاهش می‌یابد و در هسته مر کزی افزایش می‌یابد. در یک فاصله معین از ورودی ناحیه مرزی در هم می‌روند و جریان ویسکوز تمام لوله را فرا می‌گیرد. پس از ناحیه ورودی به طول Le منحنی سرعت جریان در امتداد لوله تغییر نمی‌کند در این حالت جریان کاملاً توسعه یافته است و منحنی سرعت فقط تابع امتداد شعاعی است. در فرادست x=Le، برای جریان لایه‌ای منحنی سرعت ثابت است و تنش برشی جداره ثابت است و فشار بر حسب x به صورت خطی تغییر می‌کند. طول فاصله در حال توسعه (Le) تابعی از عدد رینولدز است. برای جریان آرام لانگهار رابطه تجربی زیر را مطرح کرد:
${\displaystyle {\frac {L_{e}}{D}}}$=0.058Re
که این رابطه با مشاهدات تطابق دارد.
در جریان درهم لایه مرزی سریع تر گسترش می‌یابد و طول ناحیه در حال توسعه کوتاه تر از چیزی است که با معادله فوق بدست می‌آید.
جریان خارجی در نزدیک سطح جسم دارای ناحیه مرزی ویسکوز است. اما در فاصله‌ی دور از جسم به صورت ناویسکوز است. جریان خارجی بر خلاف جریان داخلی توسط هیچ سطحی محدود نمی‌شود و ضخامت لایه مرزی آن بدون محدودیت رشد می‌کند. در جریان بیرونی با شرایط وجود جسمی در مسیر سیال مسدود نشده اثرات اصطکاکی در لایه مرزی مجاور جسم مشاهده می‌شود. از‌ جمله مثال‌های از این نوع می توان به توپ گلف در حال پرتاب و یا یک ذره در حال رسوب کردن و یک قایق در مسیر جریان اشاره کرد. معمولا بر نیروی کشش وارد بر جسم یا مشخصه های نیروی برآ که بر جسم به واسطه الگوی جریان خاص وارد می‌شود‌ متمرکز می‌شوند.
جریان توسعه یافته و در حال توسعه (Developed - developing)
جریان توسعه یافته به جریانی اطلاق میشود که در آن در یک مقطع خاص از لوله یا کانال توزیع سرعت شکل خود را کاملا حفظ کند.
نکته : جریان توسعه یافته در مختصات استوانه ای یک بعدی و در مختصات کارتزین دو بعدی است .
فرض کنید اب از یک لوله آهنی وارد یک لوله سیمانی شود آب داخل لوله آهنی دارای پروفیل سهموی است که سرعت در منتهی الیه لایه مرزی آن
صفر است. حال این جریان می‌خواهد وارد یک شرایط مرزی جدید با زبری بیشتر شود در نتیجه بروفیل سرعت در مرزها دچار تغییر خواهد شد که بعد
از طی یک طول مشخص این جریان به ثبات می‌رسد و از این مقطع به بعد لوله سیمانی شکل پروفیل سرعت خود را حفظ می‌کند.
جریان توسعه یافته در مختصات استوانه ای یک بعدی و در مختصات کارتزین دو بعدی است.
جریان چرخشی و غیر چرخشی(Rotational and Non-rotational)
اگر ذرات سیال در قسمت‌هایی از جریان حول مراکز خود در امتداد خط جریان دوران نمایند و سرعت‌ها نیز زاویه داشته باشند به این جریان چرخشی گویند.
و اگر سرعت زاویه‌ای ذرات صفر باشد جریان غیر چرخشی است.(وچنانچه جریانی سرعت زاویه‌ای کمی نیز داشته باشدآن را نیز غیر چرخشی می‌نامند) وهمچنین اگر میدان سرعت را داشته باشیم، کرل آن صفر شود.
برای مثال جریان های با لزجت کم, مانند جریان هوا در نواحی که گرادیان سرعت کم باشد غیرچرخشی هستند. جریان در پشت ایرفویلها مثالی از جریان چرخشی است.
${\displaystyle \nabla \times V=\left({\frac {\partial i}{\partial x}}+{\frac {\partial j}{\partial y}}+{\frac {\partial k}{\partial z}}\right)\times \left(Ui+\upsilon j+Wk\right)=0}$
بردار سرعت زاویه‌ای برای میدان سرعت در مکان مشخصه به صورت روبرو قابل حساب است:
${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(curv)={\frac {1}{2}}\nabla \times v}$
سوال:
چرا وقتی جریان غیر چرخشی باشد در معادله برنولی لزومی ندارد دو نقطه روی یک خط جریان باشند
شرط غیر چرخشی بودن جریان آن است که CURL میدان سرعت صفر باشد.
جریان تک فاز و چند فاز (single phase - multi phase)
برای مثال آبی که درون لوله جریان دارد تک فاز است در صورتی که موجی از آب دریا که حرکت می‌کند یک جریان چند فاز است.
موج دریا جریانی چند فاز
چند نکته کاربردی
۱- تغییرات سرعت با تغییرات فشار رابطه دارد مثلا در پدیده کاویتاسیون اگر سرعت زیاد شود فشار کم می‌شود و جوشش اتفاق می‌افتد. اگر تغییرات سرعت باعث تغییر چگالی شود سیال تراکم پذیر است.
۲- تمام تحلیل‌های ما بستگی به شرایط دارد. مثلا می‌دانید که هوا تراکم‌پذیراست ولی وقتی در کلاس را باز کنیم و معادله تغییرات فشار را بنویسیم خواهیم دید که تغییرات چگالی ناچیز است پس در این فرآیند ما سیال تراکم‌ناپذیر داریم.
حالا به نظر شما در مساله حرکت ماشین، جریان سیال مساله تراکم پذیر است یا خیر؟
جریان سیال دائمی است یا غیر دائم؟
جواب قسمت دوم: برای ناظری که در خیابان ایستاده غیر دائم ولی برای راننده و سایر سرنشینان ماشین اگر شرایط جوی مساعد باشد جریان دائمی است.
۳- کلیه تحلیل‌های ما از حرکت سیال به میدان سرعت بر می‌گردد. در کل تحلیل سینماتیکی بر مبنای کمیت‌هایی که دارای بعد طول و زمان هستند صورت می‌گیرد. پس حتما راهی وجود دارد که از طریق تشخیص میدان سرعت به تراکم‌پذیری یا دائمی بودن و یا سایر تعاریف بالا رسید.
۴- در جریان دائم امتداد بردار سرعت در هر نقطه همیشه ثابت است و نسبت به زمان تغییر نمی‌کند بنابراین خطوط جریان بر خطوط مسیر منطبق هستند به همین دلیل در مساله معروف توریچلی (نگاه کنید به مثال ۱ قسمت برنولی همین درسنامه) که آب از روزنه مخزن تخلیه می‌شود.
اگر مخزن به اندازه کافی بزرگ باشد که سرعت پایین آمدن آب خیلی آرام باشد و جریان را دائم فرض کرده و می‌توان بین هر دونقطه بین سطح خروج آب و سطح بالای آب برنولی (معادله برنولی را باید بین دو نقطه روی یک لوله (خط) جریان نوشت) نوشت چرا که یک ذره باید از نقطه روی سطح بیرون آید در نتیجه خط مسیر داریم و از آنجا که جریان دائم است خط مسیر و جریان برهم منطبق هستند. به روشنی پیداست که در جریان غیر دائم خط مسیر و جریان متفاوت هستند.ا توجه به گفته‌های فوق، برای جریان در نواحی غیر لزج و غیرچرخشی، می‌توان تابعی تحت عنوان «تابع پتانسیل» (Potential Function) تعریف کرده و با استفاده از آن میدان سرعت و فشار را بدست آورد. هدف از این مطلب، توضیح نحوه بدست آوردن این تابع و نهایتا تحلیل جریان است. توجه داشته باشید که مفهوم تابع پتانسیل را تنها می‌توان برای جریان‌های غیرچرخشی و غیرلزج تعریف کرد.

[rohamavation]

چرخش یک میدان برداری، همچون سرعت برای یک سیال را می‌توان با استفاده از کرل میدان بدست آورد. از این رو چرخش میدان سرعت برابر است با:
$\large \omega = \nabla × V$
در نواحی‌ که جریان غیرلزج بوده و سرعت آن پایین باشد، می‌توان این فرض را داشت که جریان غیرچرخشی است. بنابراین در نواحی مذکور عبارت زیر قابل بیان است:
$\large 0 = \nabla × V$
در این حالت می‌توان تابعی اسکالر تحت عنوان «تابع پتانسیل» را به جریان نسبت داد. در حقیقت گرادیان این تابع برابر با میدان سرعت در نظر گرفته می‌شود. بنابراین برای یک جریان غیرچرخشی رابطه زیر را می‌توان در نظر گرفت:$\large V = \overrightarrow \nabla \phi$
طبق رابطه فوق، مولفه‌های سرعت نیز به شکل زیر بدست می‌آیند:$\large u = \frac { \partial \phi } { \partial x } \ \ , \ \ v = \frac { \partial \phi } { \partial y } \ \ , \ \ w = \frac { \partial \phi } { \partial z }$
در رابطه بالا، u,v,w نشان دهنده مولفه‌های سرعت هستند. بدیهی است که سرعت‌های فوق بایستی رابطه پیوستگی را ارضا کنند. بنابراین قانون پیوستگی را می‌توان در قالب تابع پتانسیل، به صورت زیر نوشت.
$\large \overrightarrow \nabla . \overrightarrow V = 0 \Rightarrow \overrightarrow \nabla .(\nabla . \phi) = \nabla ^2 \phi = 0$
در نتیجه معادله لاپلاس را می‌توان برای تابع پتانسیل، مطابق با رابطه زیر ارائه کرد.$\large \nabla ^ 2 \phi = 0 \Rightarrow \frac { \partial ^ 2 \phi } { \partial x ^ 2 } + \frac { \partial ^ 2 \phi } { \partial y ^ 2 } + \frac { \partial ^ 2 \phi } { \partial z ^ 2 } = 0$
بنابراین رابطه بین ψ و ϕ را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:$\large {\displaystyle { \frac { \partial \varphi } { \partial x } } = { \frac { \partial \psi } { \partial y } } \ \ \ \ \ \ \ , \qquad { \frac { \partial \varphi } { \partial y } } = - { \frac { \partial \psi } { \partial x } } \, }$
توجه داشته باشید که تابع جریان و تابع پتانسیل را می‌توان در مختصات قطبی به صورت زیر نیز بیان کرد:$\large v _ r = \frac { \partial \phi } { \partial r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta }$هم‌چنین سرعت در جهت θ نیز به شکل زیر است.$\large v _ { \theta } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \theta } = - \frac { \partial \psi } { \partial r }$
هم‌چنین معادله لاپلاس برای تابع ϕ به صورت زیر نوشته می‌شود.$\large \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } ( r \frac { \partial \phi } { \partial r } ) + \frac { 1 } { r ^ 2 } \frac { \partial ^ 2 \phi } { \partial \theta ^ 2 } = 0$دقیقا رابطه فوق را می‌توان برای ψ نیز نوشت.
جریانِ یکنواخت
جریانی را در نظر بگیرید که در راستای x با سرعت یکنواخت U در حال حرکت است.
بنابراین شکلِ برداری سرعت را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:$\overrightarrow u = U \widehat { i }$
با توجه به بیان شدن شکل برداری سرعت، روابط مربوط به ψ و ϕ را می‌توان به صورت زیر نوشت:$\large u = U = \frac { \partial \phi } { \partial x } = \frac { \partial \psi } { \partial y } \ , \ v = 0 = \frac { \partial \phi } { \partial y } =- \frac { \partial \psi } { \partial x }$
با انتگرال‌گیری از روابط فوق، توابع ϕ و ψ به شکل زیر بدست می‌آیند.$\large \psi = U y \ \ , \ \ \phi = U x$
توجه داشته باشید در تمامی جریان‌ها خطوط ψ و ϕ به یکدیگر عمود هستند.
چاه و چشمه
نقطه‌ای را در نظر بگیرید که جریان به صورت شعاعی مطابق با شکل زیر از آن خارج یا به آن وارد می‌شود. البته در شکل زیر جریان در حال خارج شدن از منبع است.
source-sink
به ترتیب به حالتی که جریان به نقطه وارد و از آن خارج می‌شود، چاه و چشمه گفته می‌شود. بنابراین شکل فوق یک چشمه را نشان می‌دهد. در این حالت بهتر است تا توابع جریان و پتانسیل در مختصات قطبی بیان شوند.
در ابتدا فرض کنید Q برابر با دبی جریان، r فاصله از مبدا و b طول در راستای عمود به صفحه باشد. در این صورت سرعت شعاعی را می‌توان با استفاده از تعریف دبی جریان به صورت زیر بدست آورد.
$\large v _ r = \frac { Q } { 2 \pi r b } = \frac { m } { r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } = \frac {\partial \phi } { \partial r }$
از طرفی با توجه به شکل واضح است که سرعتی در راستای زاویه‌ای وجود ندارد. با صفر قرار دادن این سرعت، دیگر مشتقات توابع جریان و پتانسیل به شکل زیر قابل محاسبه خواهند بود.
$\large v _ { \theta } = 0 = - \frac { \partial \psi } { \partial r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \partial \theta }$
با حل دو رابطه بالا، دو تابع ψ , ϕ به صورت زیر بدست می‌آیند.$\large \psi \ = m \theta \ \ , \ \ \phi = m \ln r$
در رابطه فوق m مقداری ثابت و برابر با $m = \frac { Q } { 2 \pi b }$
است. توجه داشته باشید که m برای چاه، منفی و برای چشمه، مثبت در نظر گرفته می‌شود. ، خطوط ψ به صورت شعاعی و خطوط ϕ به شکل دایره‌ای هستند.
ورتکس
«ورتکس» (Vortex) دو بعدی، به جریانی گفته می‌شود که خطوط جریان در آن به صورت دایره‌ای با مرکزی واحد هستند. در این جریان سرعت زاویه‌ای به صورت
$v_ \theta = f ( r )$
در نظر گرفته شده و سرعت جریان در راستای شعاع نیز برابر با صفر است $\large v_ \theta = \frac { K } { r }$
Rotational-vortex
برای جریان ورتکس، عددی ثابت تحت عنوان «گردش» (Circulation) تعریف می‌شود که آن را با K یا Γ نمایش می‌دهند. این عدد در حقیقت معیاری از میزان سرعت زاویه‌ای جریان است. بنابراین سرعت زاویه‌ای جریانی با گردش K برابر است با:$\large v_ \theta = \frac { K } { r }$
با توجه به صفر بودن سرعت شعاعی، روابط زیر را می‌توان برای توابع ψ و ϕ نوشت.$\large v _ r = 0 = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } = \frac { \partial \phi } { \partial r } \ , \ v _ { \theta } = \frac { K } { r } = - \frac { \partial \psi } { \partial r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \partial \theta }$
همچون جریان یکنواخت، تابع پتانسیلِ ورتکس نیز به صورت زیر بدست می‌آید.
$\large \psi = - K \ln r \ , \ \phi = K \theta$
جریان دوتایی
«جریان دوتایی» (Doublet) یا دوقطبی به جریانی گفته می‌شود که از برآیند دو جریان چاه و چشمه تشکیل شده است. مطابق با شکل زیر فرض کنید یک چشمه در مختصات
(−a,0) و یک چاه در (a,0) قرار گرفته‌اند.
جریان پتانسیل و تابع پتانسیل
معادله لاپلاس به شکلی خطی است؛ از این رو حاصل جمع آن‌ها نیز برابر با معادله لاپلاس است. در ابتدا معادله ۱ را در مختصات کارتزینی نوشته و آن‌ها را به صورت زیر با هم جمع می‌کنیم.
$\large \psi = \psi _ { so u r c e } + \psi _ { s i n k } = m \tan ^ { - 1 } \frac { y } { x + a } - m \tan ^ { - 1 } \frac { y } { x - a }$
به همین صورت، تابع پتانسیل جریان دوتایی نیز برابر است با:$\large \phi = \phi _ { so u r c e } + \phi _ { s i n k } = \frac { 1 } { 2 } m \ln [ ( x + a ) ^ 2+ y ^ 2 ] - \frac { 1 } { 2 } m \ln [ ( x - a ) ^ 2+ y ^ 2 ]$
به منظور ساده‌تر کردن توابع فوق، می‌توان از قوانین لگاریتمی و مثلثاتی استفاده کرد. می‌دانیم در ریاضیات، رابطه زیر برای تانژانت معکوس توابع وجود دارد.
$\large \phi = \frac { 1 } { 2 } m \ln { \frac { ( x + a ) ^ 2 + y ^ 2 } { ( x - a ) ^ 2 + y ^ 2 } }$
قضیه حمل و نقل رینولدز برای لوله دوار
من یک مشکل دارم که سعی می کنم آن را برای یک برنامه مهندسی حل کنم. شاید من فرضیات یا انتظارات اشتباهی از فیزیک اساسی داشته باشم. اما شاید یکی از شما بتواند به رفع آن کمک کند. مشکل اینجاست:
لوله در امتداد محور مشخص شده با سرعت زاویه ای معینی می چرخد. علاوه بر این، سطح مقطع A2 < A1. من سعی کردم فرمولی را استخراج کنم که رابطه بین سرعت جریان جرمی، سرعت زاویه ای و نیروی شعاعی اعمال شده بر لوله را نشان دهد، بی فایده بود. تمام نتایجی که من به دست آوردم نشان می دهد که هیچ رابطه ای بین نیروی شعاعی و سرعت زاویه ای وجود ندارد. من معتقدم که وجود دارد، من فقط متوجه نشده ام که چگونه آن را حل کنم.
امیدوار کننده ترین رویکردی که من اتخاذ کرده ام استفاده از نسخه حرکت زاویه ای RTT قضیه حمل و نقل رینولدز (RTT) •برای مشکل حالت پایدار بود:
$\sum Torques = \int \rho(\vec r \times \vec v)(\vec v \cdot n)dA$اما من به نیروی شعاعی که سیال به لوله وارد می کند علاقه مند هستم. اگر سرعت زاویه ای ثابت باشد، گشتاور باید صفر باشد، و این به من کمک نمی کند زیرا نمی توانم از تعریف گشتاور برای حل نیروهای وارده بر لوله استفاده کنم:
$T = \vec r \times \vec F$
و حتی اگر گشتاور غیر صفر بود، گشتاور وابسته به نیروی شعاعی نیست، بنابراین در آنجا نیز کمکی نمی کند.
من سعی می کنم نتایج CFD را با یک تقریب تحلیلی تأیید کنم،. مطمئن نیستم. من هرگز در طول دوره کارشناسی در دانشگاه جدیدم لستر روی چنین مشکلی کار نکردم، بنابراین برای این مشکل به کمک نیاز دارم! شاید من باید گرادیان فشار را که باید به سرعت زاویه ای بستگی داشته باشد، حل کنم و از آن برای تعیین سرعت جریان استفاده کنم - اما باز هم مطمئن نیستم!
اگر نیرو را در جهت شعاعی می خواهید، معادله موازنه نیرو را در جهت شعاعی بنویسید نه در جهت مماس. شار مومنتوم در جهت شعاعی$\int_{A_1}dA~\rho(\mathbf{v_1}\cdot\mathbf{n})\mathbf{v_1}$ است
که در خمشی که سیال 90 درجه می چرخد از بین می رود. نیرویی که لوله به سیال وارد می کند (برابر و برابر نیروی وارد شده به لوله توسط سیال) برابر است با شار حرکتی فوق الذکر $\approx\rho A_1v_1^2$
.

سوالاتی در مورد نیروی وارد شده توسط یک سیال به لوله ای که در آن جریان دارد
من از قبل راه حل این مشکل را می دانم،ی کند.
ما یک لوله با جریان ثابت سیال در آن داریم. در نقطه ای لوله خم می شود و جهت آن از $\hat{n}_a$به$\hat{n}_b$ تغییر می کند
و در همان زمان، تغییر منطقه بخش از Aa به$A_b$
.سیال قبل از خمش چگالی $\rho_a$ دارد، فشار $p_a$ و سرعت $\vec{v}_a$ (موازی با $\hat{n}_a$). پس از خمش، این مقادیر به $\rho_b$ و $p_b$تغییر می کنندو $\vec{v}_b$
(موازی با$\hat{n}_b$). سوال این است: نیرویی که آب در نتیجه تغییر جهت n^ به لوله وارد می کند چیست؟
و منطقه بخش A?استاد من به این نتیجه رسید:
$\vec{F} = (p_a A_a + \rho_a v_a^2 A_a) \hat{n}_a - (p_b A_b + \rho_b v_b^2 A_b) \hat{n}_b, \tag{1}$
که من اینجا سوال نمیکنم در عوض، من دو سوال در مورد عواقب این فرمول دارم.
اولین سوال
فرض کنید سیال ساکن است، به طوری که $\vec{v}_a = \vec{v}_b = 0$
، و $A_b = A_a$و$p_b = p_a$
. سپس سیال یک نیروی $\vec{F} = p_a A_a (\hat{n}_a - \hat{n}_b)$بر لوله وارد می کند.
، که صفر نیست. اما هیچ چیز حرکت نمی کند! چه طور ممکنه؟ آیا لوله حتی زمانی که سیال ساکن است باید نیرویی را تحمل کند؟ به عنوان مثال، لوله ای با زانویی پر از هوای ساکن در فشار اتمسفر باید نیرویی را تجربه کند، اما البته این با تجربه روزمره مطابقت ندارد.
سوال دوم
حال بیایید وضعیت متفاوتی را در نظر بگیریم. این بار سیال در حال حرکت است، اما جهت لوله تغییر نمی کند$\hat{n}_a = \hat{n}_b = \hat{n}$
، فقط بخش از Aa تغییر می کند به $A_b$
، و من فرض می کنم که لوله کوچکتر می شود، یعنی Ab<Aa. نیرو (1) سپس تبدیل می شود:$\vec{F} = (p_a A_a - p_b A_b + \rho_a v_a^2 A_a - \rho_b v_b^2 A_b) \hat{n} . \tag{2}$
برای ساده کردن مسئله، فرض می کنیم که سیال تراکم ناپذیر است $\rho_a = \rho_b = \rho$
). سپس بقای جرم نیاز به $v_a A_a = v_b A_b$دارد، به این معنا که:$v_b = v_a \frac{A_a}{A_b} . \tag{3}$
حالا می توانم $p_b$ را محاسبه کنم با استفاده از قضیه برنولی، به دست آوردن:
$p_b = p_a - \frac{1}{2} \rho (v_b^2 - v_a^2) = p_a - \frac{1}{2} \rho v_a^2 \left( \frac{A_a^2}{A_b^2} - 1 \right) . \tag{4}$
اکنون معادلات (3) را جایگزین می کنم و (4) در معادله (2) و بدست آورید (از جزئیات محاسبه صرف نظر می کنم):
$\vec{F} = (A_a - A_b) \left(p_a - \frac{1}{2} \rho v_a^2 \frac{A_a - A_b}{A_b} \right) \hat{n} . \tag{5}$
اما این من را به یک نتیجه عجیب می رساند: از آنجایی که اصطلاح بسته به سرعت منفی است در حالی که فشار یک مثبت است، این فرمول به این معنی است که وقتی سیال در حال حرکت است، نیرویی که به لوله باریک کننده وارد می کند کمتر از نیرو است. هنگامی که مایع ساکن است اعمال می شود. علاوه بر این، برای سرعت های به اندازه کافی بالا، نیرو حتی می تواند علامت را تغییر داده و به n^ پاد موازی شود
.این به نظر من کاملاً غیر منطقی است. آیا این می تواند درست باشد؟ یا شاید اشتباهی در استدلال من وجود دارد؟
ما لوله ای داریم که جریان ثابتی از سیال در آن جریان دارد. نکته جالبی است، اما من فرض می‌کنم منظور شما در اینجا "ایستا" نبوده است. جریان سیال ثابت کمی پارادوکس است. –
بعد از مدتی فکر کردن، خودم به این نتیجه رسیدم که فکر می کنم یک جواب است. من آن را در اینجا برای هر کسی که علاقه مند است ارسال می کنم.
اولین سوالاین موردی است که در آن لوله دارای بخش A ثابت است
و از $\hat{n}_a$ تغییر جهت می دهد
به$\hat{n}_b$. سیال داخل ثابت است و فشار p دارد
.در این وضعیت سیال نیرویی وارد می کند $\vec{F} = p A (\hat{n}_a - \hat{n}_b)$
که از فشار به تنهایی و بدون هیچ حرکتی سرچشمه می گیرد. دلیل اینکه وجود این نیرو ممکن است خلاف واقع باشد (حداقل برای من چنین بود) این است که در شرایط عملی واقعی، در خارج از لوله هوا در فشار اتمسفر وجود دارد.بنابراین این هوا نیروی دیگری به لوله وارد می کند، نیرویی که من در ابتدا به آن توجه نکردم.
مقدار این نیرو را می توان با در نظر گرفتن شرایطی که در آن سیال داخل لوله نیز هوا در فشار اتمسفر است، به سرعت استنباط کرد. در این صورت می دانیم که کل نیروی وارد بر لوله، البته، صفر است. اما فرمول ما
می گوید که هوای داخل نیرویی برابر با $\vec{F} = p_{atm} A (\hat{n}_a - \hat{n}_b)$ وارد می کند.
بنابراین نیرویی که هوای خارجی به لوله وارد می‌کند باید برعکس باشد:$\vec{F}_{ext} = -p_{atm} A (\hat{n}_a - \hat{n}_b)$
.در نتیجه، کل نیرویی که توسط لوله غوطه ور در اتمسفر، زمانی که یک سیال ساکن در فشار p وجود دارد، تجربه می کند
درون آن عبارت است از:$\vec{F}_{tot} = \vec{F} + \vec{F}_{ext} = p A (\hat{n}_a - \hat{n}_b) - p_{atm} (\hat{n}_a - \hat{n}_b) = (p - p_{atm}) A (\hat{n}_a - \hat{n}_b).$
سوال دوم
این بار سیال در حال جریان است و لوله جهت n^ را تغییر نمی دهد، اما فقط بخش را از$A_a$تغییر می دهد
به$A_b$
، کوچک شدن (Ab<Aa). در این حالت نیرویی که سیال بر لوله وارد می کند، در حالت ساده سیال تراکم ناپذیر، با رابطه (5) به دست می آید.
از سوال:
$\vec{F} = (A_a - A_b) \left(p_a - \frac{1}{2} \rho v_a^2 \frac{A_a - A_b}{A_b} \right) \hat{n} . \tag{Iroham}$
من را متحیر کرد که از آنجایی که عبارت فشار و عبارت سرعت دارای علائم متضاد هستند، سرعت بیشتر منجر به نیروی کمتری می شود. به هر حال، این چیزی نیست جز پیامد رفتار معمول فشار که با افزایش سرعت کاهش می یابد (پیامد قضیه برنولی).
در واقع، همانطور که در سوال در رابطه (4) اشاره شد.
، از قضیه برنولی می توانیم افت فشار حاصل از تغییر در بخش را محاسبه کنیم:
$p_a - p_b = \frac{1}{2} \rho v_a^2 \left( \frac{A_a^2}{A_b^2} - 1 \right) . \tag{IIroham}$
با کوچک شدن سطح مقطع، سرعت سیال افزایش می‌یابد و فشار کاهش می‌یابد و معادله (II)
می گوید که افت کل با افزایش سرعت اولیه va بیشتر است. بنابراین اگر va را افزایش دهیم
نگه داشتن p ثابت است، فشار داخل لوله کاهش می یابد و همچنین نیروی وارد شده به خود لوله کاهش می یابد.
چیز دیگری که من را متحیر کرد این بود که با سرعت کافی بالا، نیرو می تواند علامت را تغییر دهد. اگر اینطور بود، سیال به جای فشار دادن لوله، آن را "مکید" می کرد، حتی زمانی که در خارج از لوله خلاء وجود دارد. این امر برای یک سیال معمولی غیرممکن خواهد بود و در واقع می توانیم ثابت کنیم که این شرایط در واقعیت امکان پذیر نیست. بیایید دوباره معادله (I) را در نظر بگیریم
: برای نیروی تغییر علامت، نیاز داریم
$p_a < \frac{1}{2} \rho v_a^2 \frac{A_a - A_b}{A_b} . \tag{IIIroham}$
از آنجایی که Aa> Ab، ما میتوانیم بنویسیم
$\frac{1}{2} \rho v_a^2 \frac{A_a - A_b}{A_b} < \frac{1}{2} \rho v_a^2 \frac{A_a - A_b}{A_b} \cdot \frac{A_a + A_b}{A_b} = \frac{1}{2} \rho v_a^2 \frac{A_a^2 - A_b^2}{A_b^2} = \frac{1}{2} \rho v_a^2 \left( \frac{A_a^2}{A_b^2} - 1 \right) . \tag{IVroham}$
کنار هم قرار دادن نامساوی ها (rohamIII) و (rohamIV)، ما $p_a \lt \frac{1}{2} \rho v_a^2 \left( \frac{A_a^2}{A_b^2} - 1 \right) , \tag{V}$را دریافت می کنیم
یعنی$p_a - \frac{1}{2} \rho v_a^2 \left( \frac{A_a^2}{A_b^2} - 1 \right) \lt 0 . \tag{rohamVI}$
حالا معادله (4) را جمع می کنیم.
از سوال با نابرابری (rohamVI)
و بدست آورید: $p_b = p_a - \frac{1}{2} \rho v_a^2 \left( \frac{A_a^2}{A_b^2} - 1 \right) \lt 0 . \tag{VIIroham}$
در نتیجه، برای نیروی تغییر علامت، فشار pb باید منفی باشد، که در یک سیال واقعی معمولی غیرممکن است. بنابراین این وضعیت در واقعیت امکان پذیر نیست.