انرژی جنبشی لاگرانژ چرخشی و غیر چرخش

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3266

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

انرژی جنبشی لاگرانژ چرخشی و غیر چرخش

پست توسط rohamavation »

به عبارتی در انرژی جنبشی لاگرانژ برخوردم که هم یک جمله سرعت و هم یک جمله چرخشی داشت. بنابراین من آن را جستجو کردم و این دو لینک را پیدا کردم
برای یک جسم صلب، در معادلات خواهیم یافت که حرکت را می توان به حرکت مرکز جرم و چرخش حول مرکز جرم تفکیک کرد.
برای اهداف محاسبه، فرض می کنیم که بدن از مجموعه ای از جرم های مجزا تشکیل شده است که با یک شاخص$alpha$برچسب گذاری شده اند.
. در هر قاب اینرسی، سرعت یکی از آن جرم ها است
$\vec{v}_\alpha = \vec{V} + \vec{\omega} \times \vec{r}_\alpha$
در این معادله، $\vec{v}_\alpha$
در قاب اینرسی، $\vec{V}$ داده شده است
سرعت مرکز جرم جسم $\vec{r}_\alpha$ است
موقعیت جرم در قاب جسمه که در آن در حال استراحت است.
از دینامیک لاگرانژی، می دانیم که اگر انرژی جنبشی و پتانسیل را بدانیم، می توانیم فیزیک را استخراج کنیم.
و شما. در حال حاضر ما از هیچ پتانسیلی استفاده نخواهیم کرد، بنابراین فقط انرژی جنبشی داریم.
$\begin{align}
T&=\sum\limits_\alpha T_\alpha = {1\over 2}\sum_\alpha m_\alpha v_\alpha^2 = {1\over 2}\sum_\alpha m_\alpha \left(\vec{V} + \vec{\omega}\times\vec{r}_\alpha\right)^2\\
T &= {1\over 2}\sum\limits_\alpha m_\alpha \left(V^2 + 2\vec{V}\cdot(\vec{\omega}\times\vec{r}_\alpha)+(\vec{\omega}\times\vec{r}_\alpha)^2\right)\\
T &= V^2{1\over 2}\sum\limits_\alpha m_\alpha + \vec{V}\cdot\left(\vec{\omega}\times\sum_\alpha m_\alpha \vec{r}_\alpha\right)+{1\over 2}\sum\limits_\alpha m_\alpha(\vec{\omega}\times\vec{r}_\alpha)^2
\end{align}$
[توجه داشته باشید که$\sum_\alpha m_\alpha \vec{r}_\alpha = 0$[بنابراین]
$\begin{align}
T &= {1\over 2}M V^2 + {1\over 2}\sum\limits_\alpha m_\alpha(\vec{\omega}\times\vec{r}_\alpha)^2\\
T& = T_{CM} + T_{rot}\\
\end{align}$
من گیج شده ام که چرا انرژی جنبشی باید به این شکل تجزیه شود. به عنوان مثال، مثال را با آونگ در نظر بگیرید.
تصویر
به طور شهودی به آن نگاه می‌کنم، می‌توانم بگویم که یک گشتاور ناشی از گرانش روی آونگ وجود دارد که باعث حرکت آن می‌شود. بنابراین نیرو را باید در این بخش «چرخشی» انرژی جنبشی به حساب آورد. با این حال، من می‌دانم که مشتق استاندارد آونگ به صورت زیر است:
تنها نیرویی که بر آونگ اثر می گذارد، جاذبه است. بنابراین انرژی بالقوه است
$V = mgr_y = -mg\ell\cos(\theta)$
انرژی جنبشی است$\begin{align}
T &= \frac{1}{2} m \lVert \mathbf{v}\rVert^2\\
&= \frac{1}{2} m (v_x^2 +v_y^2)\\
\end{align}$
توجه داشته باشید،$\begin{align}
v_x &= \frac{\partial r_x}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial t}\\
&= \frac{\partial}{\partial \theta}(\ell\sin(\theta)) \dot{\theta}\\
&= \ell\cos(\theta) \dot{\theta}\\
v_x^2&= \ell^2\cos^2(\theta) \dot{\theta}^2
\end{align}$و
$\begin{align}
v_y &= \frac{\partial r_y}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial t}\\
&= \frac{\partial}{\partial \theta}(-\ell\cos(\theta)) \dot{\theta}\\
&= \ell\sin(\theta) \dot{\theta}\\
v_y^2&= \ell^2\sin^2(\theta) \dot{\theta}^2
\end{align}$
بدین ترتیب،$\begin{align}
v_x^2+v_y^2&= \ell^2\cos^2(\theta) \dot{\theta}^2+ \ell^2\sin^2(\theta) \dot{\theta}^2\\
&= \ell^2 \dot{\theta}^2 (\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))\\
&= \ell^2 \dot{\theta}^2\\
\end{align}$بنابراین، انرژی جنبشی است$T =\frac{1}{2} m (v_x^2 +v_y^2) = \frac{1}{2} m \ell^2 \dot{\theta}^2$
پس لاگرانژی توسط داده می شود
$\begin{align}
L & = T - V\\
&= \frac{1}{2} m \ell^2 \dot{\theta}^2 - (-mg\ell\cos(\theta)) \\
&= \frac{1}{2} m \ell^2 \dot{\theta}^2 + mg\ell\cos(\theta) \\
\end{align}$
که بازده
$\ell\ddot{\theta}+g\sin(\theta)=0$
توجه داشته باشید من، عبارت انرژی جنبشی برای آونگ با استفاده از $(v_x^2 +v_y^2)$
اصطلاح از $T_{CM}$ونه $T_{rot}$
سوال من
چرا سرعت به$\vec{v}_\alpha = \vec{V} + \vec{\omega} \times \vec{r}_\alpha$ تقسیم می شود
? چرا در ااقتباس آونگ از$\vec{\omega} \times \vec{r}_\alpha$ استفاده نمی شود
با توجه به اینکه جرم حول یک نقطه می چرخد؟
با فرض اینکه ریسمان کشیده باقی بماند، فکر می‌کنم همچنان می‌توانید آونگ ساده را مانند یک جسم صلب، متشکل از یک جرم نقطه در نظر بگیرید. مرکز جرم چنین جسمی در جرم نقطه ای (مثلاً باب در این مورد) خود قرار دارد بنابراین r=0 زیرا این باید از مرکز جرم جسم صلب اندازه گیری شود.
بنابراین، ما قبلاً می بینیم که$\mathbf{v}_{\alpha} = \mathbf{V} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}$
به v=V کاهش می یابد - یعنی فقط باید سرعت باب (مرکز جرم) را پیدا کنیم.
چرا در آونگ از $\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}$ استفاده نمی شود
با توجه به اینکه جرم حول یک نقطه می چرخد؟
من معتقدم که این اکنون از زمان $\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}$پاسخ داده شده است
اصطلاح در واقع ناپدید می شود با این حال، اگر مکان باب را از نقطه محوری خود اندازه گیری کنیم، r'
، می توانیم V را استنباط کنیم با استفاده از حاصل ضرب یکسان (زیرا از همان ریاضیات می آید). با استفاده از مختصات قطبی استوانه ای:
$\mathbf{r'} = l \mathbf{\hat{r}'}$
و$\boldsymbol{\omega} = \dot{\theta} \mathbf{\hat{z}}$
.از این رو،
$\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r'} = l \dot{\theta} (\mathbf{\hat{z}} \times \mathbf{\hat{r}'}) = l \dot{\theta} \boldsymbol{\hat{\theta}}$
سپس می بینیم که$v^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = l^2 \dot{\theta}^2$
که با بیان شما همخوانی دارد.
تجزیه حرکت یک ذره بر روی یک قاب دوار (جسم صلب) به سرعت انتقال مرکز جرم، به علاوه یک چرخش حول مرکز جرم، راحت است. دلیل مهم بودن مرکز جرم این است که تکانه یک جسم با حرکت مرکز جرم مرتبط است و از این رو نیروها (مشتق زمانی تکانه) با حرکت مرکز جرم نیز ارتباط دارند.
علاوه بر این، انرژی جنبشی یک جسم صلب متحرک یک مقدار اسکالر ثابت (ثابت) است که به مکانی که در آن حل می شود بستگی ندارد.
می توانید به همان انرژی جنبشی T برسید
ارزش، صرف نظر از نحوه تجزیه حرکت، و انتخاب مرکز جرم صرفاً برای راحتی است.
جسمی را در نظر بگیرید که در نقطه Aمتصل شده است
تصویر
انرژی جنبشی بسته به تعریف گشتاور جرمی اینرسی در نقاط مختلف محاسبه می شود.
$\require{cancel} \begin{aligned}
T & =\vec{\omega} \cdot I_A \vec{\omega} + m \cancel{(\vec{v}_A \cdot \vec{v}_A)} \\
& = \vec{\omega} \cdot I_B \vec{\omega} + m( \vec{v}_B \cdot \vec{v}_B)\\
& = \vec{\omega} \cdot I_C \vec{\omega} + m( \vec{v}_C \cdot \vec{v}_C)\\
& = \vec{\omega} \cdot I_G \vec{\omega} + m( \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G) \\
\end{aligned}$
همه موارد بالا همان مقدار را برمی گرداند.
تصویر

ارسال پست