آیا یک جسم همیشه به دور مرکز جرمش میچرخه

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3077

سپاس: 5322

جنسیت:

تماس:

آیا یک جسم همیشه به دور مرکز جرمش میچرخه

پست توسط rohamavation »

یک میله در حالت عمودی روی یک زمین صاف افقی ثابت نگه داشته میشه و سپس رهاش میکنم. اکنون مرکز جرم دارای سرعت و شتابه و هر نقطه از میله دارای شتاب و سرعتیه که با مرکز جرم متفاوته چگونه میونم ثابت کنم که میله صرفاً حول مرکز جرم میچرخه؟
جسمی که در حرکت آزاد است لزوماً حول مرکز جرم نمیچرخه. مرکز جرم علاوه بر هر چرخشی ممکنه حرکت خطی مستقیم داشته باشه حرکت کلی یک حرکت پیچی با چرخش حول محورهای آنی و همزمان انتقال موازیه جسمی دلخواه را در نظر میگیرم که با $\vec{\omega}$ میچرخه و در یک لحظه مرکز جرم (نقطه C) دارای سرعت خطی $\vec{v}_C$ است
.من می تونم ثابت کنم که همیشه یک نقطه A وجود داره که در آن سرعت خطی جسم صلب گسترش یافته فقط موازی با محور چرخشیه که با $\vec{\omega}$ تعریف شده
. حرکت ترکیبی یک چرخش حول A با ترجمه موازی $\vec{v}_A = h \vec{\omega}$ است.
. اسکالر h زمین نامیده میشه اگر جسم صرفاً بدون انتقال در حال چرخش باشه h=0 و اگر جسم صرفاً منتقل میشود آنگاه $h=\infty$
و ∥$\|\vec{\omega}\|=0$.حرکت یک حرکت صلب دلخواه به صورت زیر تجزیه میشه سرعت چرخش $\omega = \| \vec{\omega} \|$
جهت چرخش $\hat{e} = \frac{\vec{\omega}}{\omega}$
محل محور چرخش$\vec{r}_A = \vec{r}_C + \frac{\vec{\omega}\times \vec{v}_C}{\omega^2}$
Screw pitch گام پیچ $h = \frac{\vec{\omega}\cdot\vec{v}_C}{\omega^2}$ حاصلضرب درونی برداری است و × حاصل ضرب برداره
اثباتم
سرعت خطی در A با قانون تبدیل فریم پیدا میشه $\vec{v}_A = \vec{v}_C + \vec{\omega} \times (\vec{r}_A-\vec{r}_C)$
و
$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \frac{\vec{\omega} \times(\vec{\omega}\times \vec{v}_C)}{\omega^2}$ با استفاده از محصول سه گانه برداری $\vec{v}_A = \vec{v}_C + \frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{v}_C)-\vec{v}_C (\vec{\omega}\cdot\vec{\omega})}{\omega^2}$
با این ساده سازی که $(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}) = \omega^2$ و تعریف گام پیچ $\vec{\omega}\cdot\vec{v}_C = h \omega^2$ فوق است
$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \frac{\vec{\omega}(h \omega^2)-\vec{v}_C (\omega^2)}{\omega^2} = h \vec{\omega}$
بنابراین سرعت در A موازی با چرخش $\vec{\omega}$است اثبات معکوس میتونم از یک حرکت پیچ عمومی در نقطه A شناخته شده با جهت e^ شروع کنم
سرعت ω و زمین h (دو پارامتر برای نقطه به عنوان مکان در امتداد خط به حساب نمیاد، دو پارامتر برای جهت به عنوان مقدار مهم نیست یکی برای سرعت و یکی برای گام برابر با شش پارامتر مستقله که حرکت را توصیف میکنه این پارامترها تبدیل میشوند. به شش پارامتر حرکت آشناتر $\vec{\omega}$ و $\vec{v}_C$
زیر:بردار چرخشی
$\vec{\omega} = \omega \hat{e}$ بردار خطی $\begin{align}
\vec{v}_C &= \vec{v}_A - \vec{\omega} \times (\vec{r}_A-\vec{r}_C) \\
& = h \vec{\omega} + (\vec{r}_A-\vec{r}_C) \times \vec{\omega}
\end{align}$تمام شش پارامتر حرکت اکنون در مرکز جرم تعریف شده اند. گاهی اوقات موارد فوق در یک عبارت ترکیب می شوند
$\begin{bmatrix} \vec{v}_C \\ \vec{\omega} \end{bmatrix} = \omega \begin{bmatrix} h \hat{e} + \vec{r}\times \hat{e} \\ \hat{e} \end{bmatrix}$
که به وضوح حرکت را در قسمت اول به مقدار (سرعت) و در قسمت دوم به محور پیچ (هندسه) تجزیه میکنه. دو بردار تعیین کننده محور پیچ مختصات خط پلوکر نامیده میشه
مثال
یک جسم استوانه ای شکل حول محور خود میچرخه و عمود بر محور (بردارهای قرمز) منتقل میشه. این حرکت با یک چرخش خالص حول محور پیچ (بردارهای بنفش) توصیف میشود.تصویر
خوب این بستگی دارد. اولین فرضی که نیاز دارم این است که جسم من سفت و محکم است. این فرض را نقض میکنم و همه شرط‌ها از جدول خارج میشوند زیرا من حتی نمیتونم لزوماً همه حرکات را به عنوان "چرخش" طبقه‌بندی کنم: برای مثال اگر یک تخته نازک طولانی شروع به چرخش سینوسی به داخل یا خارج از یک شکل مارپیچ، جلو و عقب بکنه اینه که حالت ارتعاش یک اسپین حول یک محور؟ مثبت یا منفی؟ و چه محوری؟
روش رسمی برای صلب کردن یک جسم ثابت کردن تمام فواصله که به این معنیه که هر حرکت جسم از نظر فنی ایزومتریه. ایزومتریک ها در سه نوع ظاهر میشن: ایزومتری ترکیبی از بازتاب هاو انتقال ها و چرخش ها است. بازتاب ها برای حرکت معتبر نیستند زیرا ایزومتریک های پیوسته نیستند. هر حرکت دیگری در واقع میتونه به عنوان انتقال یک نقطه و چرخش حول آن نقطه برای هر نقطه روی جسم دیده شود. بنابراین نقطه را به عنوان مرکز جرم انتخاب کرده سپس هر حرکتی باید انتقال مرکز جرم به اضافه یک چرخش حول آن مرکز جرم باشه
تصویر

ارسال پست