معادلات لاگرانژ برای سه جرم

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3239

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

معادلات لاگرانژ برای سه جرم

پست توسط rohamavation »

معادلات لاگرانژ برای سه جرم دو تا از آنهایی که با استفاده از فنر آویزان می شوند و سومی در حالت استراحت در یک صفحه افقی
چگونه معادلات دینامیک سیستم را با استفاده از رویکرد لاگرانژ پیدا کنیم؟
من توانستم انرژی جنبشی را بنویسم و همچنین توانستم انرژی پتانسیل دو فنر را بنویسم اما چگونه انرژی پتانسیل سه جرم را بنویسم؟

مختصات جرم متحرک افقی m تصویر
ما داریم
$T = \frac 12\left(m\dot x_0^2+2m\dot x_1^2+m\dot x_2^2\right)$
$V = \frac k2\left(x_0^2+x_1^2+(x_2-x_1)^2\right)+g\left(2m x_1+m x_2\right)$
من محدودیت سینماتیکی بین x0 و x1را در نظر میگیرم
$\dot x_0 = 2\dot x_1\Rightarrow x_0 = 2x_1 + C$
حال با فرض C=0 و جایگزینی در نهایت دارم
$T = \frac 12\left(4m\dot x_1^2+2m\dot x_1^2+m\dot x_2^2\right) = \frac 12\left(6m\dot x_1^2+m\dot x_2^2\right)$
و$V = \frac k2\left(4x_1^2+x_1^2+(x_2-x_1)^2\right)+g\left(2m x_1+m x_2\right) = \frac k2\left(5x_1^2+(x_2-x_1)^2\right)+g\left(2m x_1+m x_2\right)$
راه دیگه من با فرض $x_1,x_2$ انحراف از موقعیت‌های بدون کشش هستن نخ امتداد ناپذیری که سقف را از طریق قرقره‌ها به جرم افقی متصل میکنه کشیده
در $x_1,x_2$، موقعیت جرم افقی $2x_1$ است
سمت چپ،$2m$ جرم آویز x1 است پایین و $x_1$ جرم x2 هستش
از حالت بدون کشش پایین.$\begin{align*}
T &=\frac12 m (2\dot x_1)^2 + \frac12 (2m)(\dot x_1)^2 + \frac12 m (\dot x_2)^2\\
U &=\frac12 k (2x_1)^2 + \frac12 k (x_2-x_1)^2 - 2mgx_1 - mgx_2.
\end{align*}$
تصویر

ارسال پست