فرمول جایگزین انرژی جنبشی برای لاگرانژ

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3239

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

فرمول جایگزین انرژی جنبشی برای لاگرانژ

پست توسط rohamavation »

فرمول جایگزین انرژی جنبشی برای لاگرانژ
فرض بر این است که یک مدل ساده از یک هواپیما با بدنه آن به عنوان جرم متمرکز $M_0$ ایده ال هست
و بال‌ها به‌عنوان میله‌های صلب مدل‌سازی شده‌اند که وزن‌هایی را در انتهای جرم M حمل می‌کنندتصویر
. انعطاف پذیری بال ها با فنرهایی با سختی پیچشی $k_t$ مدل شده .بدنه برای انتقال در x آزاد است
جهت در حالی که جرم کوچک حول جرم بزرگتر در θ می چرخه جهت. میتونیم معادلات حرکت سیستم را با معادله لاگرانژ با x استخراج کردش و θ به عنوان مختصات تعمیم یافته یکی از راه های استخراج انرژی جنبشی جرم کوچک $K_m$) برای به دست آوردن سرعت آن است $\dot{x}_m$
) به عنوان تابعی از سرعت جرم بزرگتر ($\dot{x}$) و سرعت زاویه ای ($\dot{\theta}$
).$\dot{x}_m = \dot{x} + l\dot{\theta}\\
K_m = \frac{1}{2}M\dot{x}_m^2 = \frac{1}{2}M(\dot{x}^2 + 2l\dot{x}\dot{\theta} + l^2\dot{\theta}^2)$
اگر من بخواهیم از تعریف انرژی جنبشی یک جسم صلب استفاده کنم
چرخش حول یک نقطه متحرک C در فریم اینرسی F که عبارت است از:
$K_B = \frac{1}{2}m_B\dot{x}_C^2 + \frac{1}{2}I_B\dot{\theta}_B^2$در مورد این سوالانرژی جنبشی جرم کوچک برابره با
$K_m = \frac{1}{2}M\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I_m\dot{\theta}^2 = \frac{1}{2}M\dot{x}^2 + \frac{1}{2}(Ml^2)\dot{\theta}^2 = \frac{1}{2}M(\dot{x}^2 + l^2\dot{\theta}^2)$
به نظر میاد انرژی جنبشی به دست آمده توسط 2 روش منجر به 2 عبارت مختلف میشه. پاسخ صحیح ارائه شده توسط استادم پاسخ قبلیه اما چه چیزی درروش دوم که منجر به تفاوت میشه چیه
این ناسازگاری به این دلیل است که هنجار بردار سرعت اشتباه محاسبه شده است.ببینید هنجار روشی برای اندازه گیری اندازه یک بردار، یک ماتریس یا یک تانسوره. هنجارها دسته‌ای از توابع هستند تا اندازه یک بردار را کمی کنیم. به عنوان مثال، هنجار بردار X ترسیم شده در زیر، اندازه گیری طول آن از مبدأ است.
فرمول انرژی جنبشی $T=\frac{1}{2}m\cdot \overrightarrow{{v}}^2$است
.حال برای مقادیر کوچک θ حرکت جرم M هم خط با جهت محور x است. در آن صورت$\overrightarrow{v}=[v_x, v_y, v_z] = [\dot{x}+l\dot{\theta}, 0, 0]$
یک تقریب خوب و اولین فرمول OP برای $K_m$ است در آن تقریب صحیحه
برای شکل دوم $K_m$ OP فرمول$\dot{x}$ و$l\dot{\theta}$را اضافه می کنند
به صورت درجه دوم، که تنها در صورتی صحیح است که دو بردار مربوطه با یکدیگر متعامد باشند. برای مثال در $\theta\approx \pi/2$ تقریباً درسته
.برای مشکل هم اولین $K_m$ فرمول صحیحه
تصویر

ارسال پست