لاگرانژی برای آونگ

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3239

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

لاگرانژی برای آونگ

پست توسط rohamavation »

آونگی با جرم m روی بلوکی به جرم M با میله ای به طول l. بلوک جرمی M برای حرکت افقی آزاده اما به صورت عمودی ثابت است موقعیت جرم کوچک mتصویر
است $(x + l \sin\theta,-l\cos\theta)$
. با گرفتن مشتق زمان و سپس حل سرعت میتونم انرژی جنبشی کل سیستم را پیدا کنم. انرژی پتانسیل انرژی پتانسیل گرانشیه که از تغییرات ارتفاع جرم کوچک m حاصل میشه
.$L = \frac{1}{2}M\dot{x}^2+ \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 +l^2\dot{\theta}^2+2l\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta) + mgl\cos\theta$
این لاگراژین میگه که تکانه تعمیم یافته بلوک حفظ میشه چون تو معدله ببینینا $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial L}{\partial x} = 0$
.اما این هیچ معنای فیزیکی نداره نیروهای بین بلوک بزرگ و بلوک کوچک در نظر گرفته بشه
یک راه ممکن برای اصلاح لاگرانژ ممکنه اضافه کردن یک عبارت پتانسیل باشه که نیروی T را در نظر بگیره
که توسط آن میله بلوک (و آونگ) را میکشه. اما مشکل اینجاست که T با گذشت زمان تغییر خواهد میکنه بنابراین من مطمئن نیستم که چگونه ادامه دهم. مفهوم تکانه تعمیم یافته با مفهوم معمول تکانه یکسان نیست. به عبارت دیگر،$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$
برابر جرم بلوک بزرگ ضربدر سرعت آن نیستش. در واقع بببینید که لاگرانژی ام بازدهی دارد
$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = M \dot{x} + m(\dot{x} + l \dot{\theta} \cos{\theta}),$
یعنی شواهدم کاملا درسته. همانطور که آونگ نوسان میکنه، حرکت بلوک را به گونه ای تحت تاثیر قرار میده که این کمیت ثابت میمونه. توجه داشته باشین که این عبارت این واقعیت را در نظر میگیره که آونگ دارای سرعتی به دلیل سرعت کلی بلوک بزرگ به علاوه سهم دیگری از نوسان خودشه. این مولفه نوسان با نوسان آونگ تغییر میکنه و این تغییر در$\dot{x}$ نشون داده میشه
سرعت بر این اساس
یکی از مزایای بزرگ مکانیک لاگرانژی اینه که این نوع نیروهای داخلی را که معمولاً محدودیت نامیده میشن تقریباً به طور خودکار در نظر میگیره.
عنوان یک ترفند کلی اصطلاحاتی که شامل دو درجه آزادیند (مثلاً $ml\dot{x}\dot{\theta}\cos{\theta}$ نشان دهنده تعامل بین آن دو درجه آزادیه.
تصویر

ارسال پست