من نمیدونم منظورت این هست غلطکها در خلاف جهت هم میچرخند .اجازه دهید سرعت مرکز A = v
اجازه دهید سرعت زاویه ای چرخش A به دور مرکز خودش = ω
از آنجایی که A روی $v = \omega r$ میچرخد (با فرض اینکه B ثابت است شرط غلتش این است که نقطه تماس در حالت استراحت باشد).
بگذارید زمانی که مرکز A برای تکمیل یک چرخش صرف می کند t باشد.
سپس $2\pi (R+r) = vt$
$\implies t = \frac{2\pi (R+r)}{v}$
مجموع فاصله زاویه ای که A از اطراف مرکز خود طی می کند در مدت زمان یکسان: θ=ωt
با استفاده از نتایج فوق،$\theta = \frac{v}{r} \frac{2\pi (R+r)}{v} = \frac{2\pi (R+r)}{r}$ بدست می آوریم.
در این زمان t، A مثلاً N چرخش را به دور مرکز خود کامل می کند.
$\implies N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{(R+r)}{r}$
ببین من مثالی میزنم اگر دو دیسک دوار با سرعت زاویه ای متفاوت ω0 و ω1، مساحت و ماده متفاوت دارید، چگونه می توانید تکانه زاویه ای w.r.t را توصیف کنید. زمان که به نظر می رسد تابعی از مساحت، ضریب اصطکاک و غیره باشد.با
$\underbrace{I\,\frac{d\omega}{dt}}_{\dot L}=\tau\quad \Rightarrow\\
I\,\int_{\omega_i}^{\omega_f}\,d\omega=I\,(\omega_f-\omega_i)=\int \tau\,dt$
که در آن $\omega_f~$ سرعت زاویه ای نهایی،$~\omega_i~$ سرعت زاویه ای اولیه،$~\tau~$ گشتاور، I اینرسی در مورد محور چرخش و L اندازه حرکت زاویه ای است.معادلات بلافاصله پس از برخورد
$I_1\,(\omega_1-\Omega_1)=-\tau_\mu\,t\tag 1$
$I_2\,(\omega_2-\Omega_2)=+\tau_\mu\,t\tag 2$
$~\Omega_i~$دیسک سرعت زاویه ای اولیه i
$~\omega_i~$دیسک سرعت زاویه ای نهایی i
$~\tau_\mu~$ گشتاور اصطکاک بین دیسک یک و دو
گشتاور اصطکاک؟$d\tau_\mu=r\,dF\quad\text{and}\\
dF=\mu\,g\,dm=\mu\,g\,\rho\,dV=\mu\,g\,\rho\,z\,dA=
\mu\,g\,\rho\,z\,r\,d\phi\,dr\quad\Rightarrow\\
\tau_\mu=c\,\int r\,dF=c\,\int_0 ^{2\pi}d\phi\,\int_0^{R/2}r^2\,dr
=c\,\frac{\pi\,R^3}{12}\quad,c=\mu\,g\,\rho\,z\\$
ρ desity دیسک
z ضخامت دیسک
ضریب اصطکاک μ
یک منطقه دیسک
حجم دیسک V
شعاع دیسک R
از رابطه (1) و (2) که نوشتم بدست می آورید $\omega_1=\Omega_1-\frac{\tau_\mu}{I_1}\,t\quad\Rightarrow L_1=-{\tau_\mu}\\
\omega_2=\Omega_2+\frac{\tau_\mu}{I_2}\,t\quad\Rightarrow L_2={\tau_\mu}$
جایی که $I_1=\frac{m_1}{2}\,\left(\frac{R}{2}\right)^2\\
I_2=\frac{m_2}{2}\,R^2$
می توانید بپرسید "چند ثانیه پس از برخورد طول می کشد، تا زمانی که سرعت زاویه ای دیسک یک برابر با سرعت زاویه ای دیسک دو میشه بدین ترتیب $\omega_1=\omega_2\quad \Rightarrow\\
t_f=\frac{1}{\tau_\mu}\frac{I_1\,I_2}{I_1+I_2}|\Omega_1-\Omega_2|$
⇒
$\omega_f=\omega_1(t=t_f)=\frac{I_1\Omega_1+I_2\Omega_2}{I_1+I_2}$
خوب چون دقیق مشخص نکردی نمیدونم دقیق چطور بهت توضیح بدم
فکر می کنم منظور شما این است که آنها ضریب اصطکاک μ بین سطوحشان دارند. اگر اینطور است، برای مثال اجازه دهید دیسک پایینی را در نظر بگیریم، دیسک بالایی یک گشتاور روی آن اعمال می کند و سعی می کند سرعت آن را کاهش دهد زیرا حرکت نسبی بین دیسک ها وجود دارد.
یک حلقه عنصر dr روی دیسک در فاصله r از مرکز ایجاد کنیدبنابراین، جرم حلقه عنصری $dm =\sigma 2\pi r dr$ است که σ جرم در واحد سطح دیسک است. اکنون دیسک بالایی یک گشتاور$\mu dm g r$ اعمال می کند.
$d \tau = \mu \sigma g \cdot 2\pi r^2 dr$
با ادغام این یک گشتاور ثابت به دست می آوریم زیرا اصطکاک در این حالت مستقل از سرعت است.
$\tau=-\frac{dL}{dt}=\frac{2\mu \sigma \pi g}{3}R^3$
بنابراین تکانه زاویه ای دیسک پایینی خواهد بود:
$I_{lower}\omega_0-\frac{2\mu \sigma \pi g}{3}R^3t$
و دیسک بالایی خواهد بود$\frac{2\mu \sigma \pi g}{3}R^3t$
گشتاور زاویه ای اجسام تا زمانی که حرکت نسبی متوقف شود و سپس ثابت می مانند از این وابستگی خطی تبعیت می کنند. این یک سیستم ایزوله است، بنابراین گشتاور خالص صفر هست به این معنی که تکانه زاویه ای کل سیستم حفظ می شود. اگر زمان توقف حرکت نسبی را میخواهی، به این ترتیب عمل کن اصطکاک وجود خواهد داشت تا زمانی که هر دو سرعت زاویهای برابری داشته باشند، بنابراین نسبت گشتاور زاویهای آنها باید $I_{upper}/I_{lower}$ باشد.
بنابراین$\frac{I_{lower}\omega_0-\frac{2\mu \sigma \pi g}{3}R^3t_{stop}}{\frac{2\mu \sigma \pi g}{3}R^3t_{stop}}=\frac{I_{lower}}{I_{higher}}$hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا