پتانسیل ، سطح رسانا و سطح گوسی

[baby_1]

سلام
چند نمونه سوال در ذهنم پدید آمده که متشکر می شوم در حل این ابهامات راهنمایی بفرمایین.

در قسمت اول می بینیم که با استفاده از قانون گوس میدان ناشی از بار q که در پوسته رسانایی قرار گرفته است را در بیرون به دست آوردیم حالا
1-در قسمت دوم نیز با توجه به قانون گوس استفاده و بهره گیری از آن درست هست یا خیر؟(عبارت یک درست هست یا دو؟)(چون می دانیم در بیرون از کره شدت میدان صفر هست) اگر خیر پس سوال اصلی که عکس آن در ادامه پیوست شده است را ببینید)
2-در قسمت سوم اگر مرکز پوسته رسانا را در مبدا در نظر بگیریم و بخواهیم ولتاژ را در فاصله R/2 از مبدا به دست آوریم کدام جواب صحیح است A یا B?
در صورت صحیح بودن A بفرمایید نقش زمین در صفر کردن شدت میدان الکتریکی در بیرون بی اثر هست یا خیر؟
در صورت صحیح بودن B بفرمایید نقش کره زمین چیست؟هیچ نقشی ایفا نمی کند؟

پتانسیل:
در فرمول

جهت dl چگونه تعیین می شود همراستا با جهت میدان هست یا خیر؟اگر خیر همراستا با چی هست؟اگر همراستا از سمت نقطه مرجع به نقطعه مشاهده هست سوال پایین را ببینید

1-در قسمتی که عبارت A را مشاهده می کنید چرا ضریب q بار فرضی بر روی کره a منفی شده است؟
2-اگر dl همراستا با میدان هست چرا در قسمت (II) علامت منفی حذف شده است(طبق توضیحات) و اگر در راستای E نیست چرا در قسمت سوال اول ضریب q منفی شده است؟

از توضیحاتتون پیشاپیش سپاسگزارم

[Cartouche]

1-در قسمتی که عبارت A را مشاهده می کنید چرا ضریب q بار فرضی بر روی کره a منفی شده است؟
2-اگر dl همراستا با میدان هست چرا در قسمت (II) علامت منفی حذف شده است(طبق توضیحات) و اگر در راستای E نیست چرا در قسمت سوال اول ضریب q منفی شده است؟

حل کننده سوال فرض کرده، dl و dr در دو راستای ِ مخالف هستند.( dl=-dr) ضریب ِ منفی برای ِ q در قسمت ِ (I) برای ِ همین موضوع هست.( موقع ِ جابه جایی ِ dl و dr پدید اومده)
در قسمت ِ (II) هم همین موضوع برقرار هست، و dr=-dl . اما دقت کنید که در قسمت ِ دوم V(b)-V(c) , d حساب شده، نه V(c)-V(b) , d .


در مورد ِ سوال هایی هم که روی ِ پیوست ِ نخست کردید، من نمیتونم نظر بدم، چون نفهمیدم که در پیوست ِ نخست پوسته ِ کروی ِ دور ِ بار، آزاد هست( به عبارتی ِ دیگر دارای ِ مجموع ِ بار ِ صفر هست) یا با سیم به پتانسیل ِ صفر ( زمین) یا هر پتانسیل ِ دیگری ِ وصل شده.( که در صورت ِ دوم، بدیهیست برای ی ایجاد ِ شرط ِ صفر بودن ( یا هر عدد ِ دیگری) ِ پتانسیل، باری پیدا میکنه که میتونیم از روش ِ تصاویر اون رو پیدا کنیم.) و اون جواب هایی که شما با 1 و 2 برچسب زدید، هم به این موضوع بستگی داره. در برخی شرایط ِ ( که در دو خط بالا گفتم) 1 درست هست و در برخی دیگر 2.

[baby_1]

سلام و متشکرم از پاسختون
شرمنده اما من هنوز متوجه جواب سوالم نشدم

حل کننده سوال فرض کرده، dl و dr در دو راستای ِ مخالف هستند.( dl=-dr) ضریب ِ منفی برای ِ q در قسمت ِ (I) برای ِ همین موضوع هست.( موقع ِ جابه جایی ِ dl و dr پدید اومده)
در قسمت ِ (II) هم همین موضوع برقرار هست، و dr=-dl . اما دقت کنید که در قسمت ِ دوم V(b)-V(c) , d حساب شده، نه V(c)-V(b) , d .

1-راستای dl چگونه مشخص می شود؟جهت آن بر چه اساس به دست می آید که در اینجا در خلاف میدان در نظر گرفته شده است؟

در سوالات پیوست اولی یک پوسته رسانای کروی بدون بار در نظر گرفته شده است که در مرکز آن بار نقطه ای q قرار دارد.که در حالت 2 و 3 به زمین متصل شده است

پیشاپیش از پاسختون تشکر می کنم

[Cartouche]

1-راستای dl چگونه مشخص می شود؟جهت آن بر چه اساس به دست می آید که در اینجا در خلاف میدان در نظر گرفته شده است؟

راستای ِ dl ، در خلاف ِ جهت ِ r هست. در رابطه ِ پتانسیل، dl دلخواه هست. اما نکته ِ مهم این هست که باید در بردار ِ میدان ضرب ِ داخلی بشه، برای ِ راحتی، حل کننده اون رو در خلاف ِ r هت گرفته.

در سوالات پیوست اولی یک پوسته رسانای کروی بدون بار در نظر گرفته شده است که در مرکز آن بار نقطه ای q قرار دارد.که در حالت 2 و 3 به زمین متصل شده است

وقتی که کره، به زمین وصل هست، برای ِ ایجاد ِ پتانسیل ِ صفر، دارای ِ بار میشه که این رو شما باید در قانون ِ گاوس محسوب کنید. یعنی برای ِ میدان ِ بیرون فقط بار ِ نقطه ای q نیست و باری هم روی ِ سطح هست.
روش ِ دیگه ای که برای ِ محاسبه ِ پتانسیل در بیرون میشه استفاده کرد روش ِ تصویر هست.

[baby_1]

سلام و متشکرم از پاسختون
جناب Cartouche همانطور هم که در درس مدارهای الکتریکی در حل مدارات باید یک قرار داد را برای حل یک سوال در کل سوال اعمال کنیم در مغناطیس پس جهت dl همواره در خلاف جهت افزایش r هست؟
حالا با این فرض اگر مجددا سوال رو ببنیم
جهت میدان
q و Q مثبت r هستن یعنی میدان بین a , b برابر

و بین b و c

هر دو به سمت بیرون و در حهت افزایش هستن

حالا رابطه ولتاژ را برای قسمت بین a , b می نویسیم(با فرض dl=+ar)

و برای بین c , b هم خواهیم داشت


حالا اگر دو رابطه را با در نظر گرفتن V(a)=0 , V(b)=0 حل کنیم جواب درست حاصل نمی شود.

[Cartouche]

حالا با این فرض اگر مجددا سوال رو ببنیم
جهت میدان
q و Q مثبت r هستن یعنی میدان بین a , b برابر
[ تصویر ]
و بین b و c
[ تصویر ]
هر دو به سمت بیرون و در حهت افزایش هستن

حالا رابطه ولتاژ را برای قسمت بین a , b می نویسیم(با فرض dl=+ar)
[ تصویر ]
و برای بین c , b هم خواهیم داشت
[ تصویر ]

حالا اگر دو رابطه را با در نظر گرفتن V(a)=0 , V(b)=0 حل کنیم جواب درست حاصل نمی شود.

چرا با فرض ِ v(b)=0 ؟
سوال گفته v(c)=0
لطفن دوباره سوال رو به دقت بخونید.

جناب Cartouche همانطور هم که در درس مدارهای الکتریکی در حل مدارات باید یک قرار داد را برای حل یک سوال در کل سوال اعمال کنیم در مغناطیس پس جهت dl همواره در خلاف جهت افزایش r هست؟

بله. ما باید در تمام ِ یک سوال، تنها یک قرارداد کنیم که حل کننده سوال اینجا به درستی در تمام ِ سوال dl رو در خلاف جهت ِ dr گرفته.

[dusty]

1-در قسمت دوم نیز با توجه به قانون گوس استفاده و بهره گیری از آن درست هست یا خیر؟(عبارت یک درست هست یا دو؟)(چون می دانیم در بیرون از کره شدت میدان صفر هست) اگر خیر پس سوال اصلی که عکس آن در ادامه پیوست شده است را ببینید)

استفاده از قانون گوس صحیحه.
نبود میدان اکتریکی، در بیرون از کره به معنی نبود بار روی کره است.
یعنی اگر E=0 نتیجه میدهد q=0

2-در قسمت سوم اگر مرکز پوسته رسانا را در مبدا در نظر بگیریم و بخواهیم ولتاژ را در فاصله R/2 از مبدا به دست آوریم کدام جواب صحیح است A یا B?

هیچ کدام.
در داخل یک پوسته رسانای باردار، میدان اکتریکی ثابت و نیروی الکتریکی صفر است [قضیه پوسته]، در نتیجه اختلاف انرژی پتانسیل و پتانسیل صفره.
اما انتگرال هایی که شما گرفته اید:
A: از دو انتگرالی که شما جمع کردید، اولی مربوط به پتانسل کره نسبت به مبدا بینهایت و دومی نیز صفر است چون q صفر است.
B: به دلیل بالا باز هم درست نیست.

... نقش کره زمین چیست؟هیچ نقشی ایفا نمی کند؟

ساده ترین فرض برای راحت تر شدن فهم مسله ها:
(همان طور که کارتوش گفت) صفر کردن پتانسیل به واسطه تغییر در q

جهت dl چگونه تعیین می شود همراستا با جهت میدان هست یا خیر؟

در جهتی که انتگرال گرفته می شود. بدون توجه به راستای میدان

1-در قسمتی که عبارت A را مشاهده می کنید چرا ضریب q بار فرضی بر روی کره a منفی شده است؟

دقیقا نمیدونم!
ولی فک کنم به این خاطر باشه که بار روی کره دوم (Q) و بار روی کره اول (q) باید دارای بارهای نا همنام باشن.

2-اگر dl همراستا با میدان هست چرا در قسمت (II) علامت منفی حذف شده است(طبق توضیحات) و اگر در راستای E نیست چرا در قسمت سوال اول ضریب q منفی شده است؟

در دومی dl در خلاف جهت میدانه،پس با dr- جایگزین شده.

[baby_1]

سلام و متشکرم از اینکه همراهی می کنید
جناب Cartouche اشتباه در تایپ بود منظورم همان V(c)=0 هست که جواب دیگری می گیرم

جناب Yellow Rose از پاسخ هاتون ممنونم
1-شما که فرمودین جواب صحیح هست پس چرا خروجی جواب گوس با چیزی که در واقعیت می دونیم متفاوت شده است؟(یعنی به جای میدان صفر میدان ناشی از بار q در بیرون کره صفر نیست؟ یا من جایی را اشتباه نوشته ام؟)
2-از پاسخهای شما و Cartouche در رابطه با میدان رسانا سپاسگزارم برای اینکه در این زمینه مثال و تمرین بیشتر و بهتری برای فهم مطلب حل کنم و ببینیم چه کتابی در زمینه رساناها و بار معرفی می کنید
3-در مورد جهت dl که فرمودین "در جهتی که انتگرال گرفته می شود. بدون توجه به راستای میدان" یعنی اگر بازه ابتدایی انتگرال(بازه پایین) از بی نهایت تا یک شعاع کره واقع در مبدا باشد جهت مثبت ar فرض می شود یا -ar و اگر از مبدا به سمت پوسته ی یک کره که مبدا آن در مبدا مختصات فرض شده است به سمت شعاع برویم در اینجا جهت dl به چه صورت هست مثبت ar یا منفی ar؟)(شرمنده به این صورت ساده و پیش پا افتاده مطرح می کنم تا دقیقا خاطر جمع بشم درست متوجه منظورتون شدم)
4-"ولی فک کنم به این خاطر باشه که بار روی کره دوم (Q) و بار روی کره اول (q) باید دارای بارهای نا همنام باشن. " منم ابتدا با همین دیدگاه به سوال نگاه کردم اما متوجه شدم که در انتها علامت صحیح با فرض مثبت بودن بار q به درستی محاسبه می شود ولی در صورت فرض کردن بار -q جواب مثبت بار Q به دست می آید که با مشاهده رویت می شود جواب در یک منفی اشتباه هست

[dusty]

1-شما که فرمودین جواب صحیح هست پس چرا خروجی جواب گوس با چیزی که در واقعیت می دونیم متفاوت شده است؟(یعنی به جای میدان صفر میدان ناشی از بار q در بیرون کره صفر نیست؟ یا من جایی را اشتباه نوشته ام؟)

گفتم به کار بردن قانون گوس صحیحه و در مورد جواب حرفی نزدم.
اگر در رابطه گاوس، q رو مساوی صفر قرار بدی، مشکل حل میشه.

2-از پاسخهای شما و Cartouche در رابطه با میدان رسانا سپاسگزارم برای اینکه در این زمینه مثال و تمرین بیشتر و بهتری برای فهم مطلب حل کنم و ببینیم چه کتابی در زمینه رساناها و بار معرفی می کنید

هالیدی کفایت می کنه.(نظر شخصی)

3-در مورد جهت dl که فرمودین "در جهتی که انتگرال گرفته می شود. بدون توجه به راستای میدان" یعنی اگر بازه ابتدایی انتگرال(بازه پایین) از بی نهایت تا یک شعاع کره واقع در مبدا باشد جهت مثبت ar فرض می شود یا -ar و اگر از مبدا به سمت پوسته ی یک کره که مبدا آن در مبدا مختصات فرض شده است به سمت شعاع برویم در اینجا جهت dl به چه صورت هست مثبت ar یا منفی ar؟)(شرمنده به این صورت ساده و پیش پا افتاده مطرح می کنم تا دقیقا خاطر جمع بشم درست متوجه منظورتون شدم)

چیزی که گفتم، از روی رابطه بود.
----
سعی می کنم ساده بگم.

فرض کن میخوایم از فاصله بی نهایت حرکت کنیم و به نزدیکی یک بار الکتریکی برسیم. و در این بازه مقدار انتگرال پتانسل رو حساب کنیم.

جهت حرکت ما از کجا به کجاست: از بی نهایت به سمت صفر، (بر روی محور r)، پس جهت dl از بی نهایت به سمت صفر در راستای محور r است، پس dl=-dr

جهت میدان الکتریکی به چه سمتی است: بستگی به بار داره، اگه بار منفی باشه، جهت میدان به سوی بار(dr-) و اگر مثبت باشه به سمت خارج از (dr+).

حالا با یک ضرب نقطه ای ساده، بین این دو بردار یکه، مقدار انتگرال رو حساب می کنیم.

4-"ولی فک کنم به این خاطر باشه که بار روی کره دوم (Q) و بار روی کره اول (q) باید دارای بارهای نا همنام باشن. " منم ابتدا با همین دیدگاه به سوال نگاه کردم اما متوجه شدم که در انتها علامت صحیح با فرض مثبت بودن بار q به درستی محاسبه می شود ولی در صورت فرض کردن بار -q جواب مثبت بار Q به دست می آید که با مشاهده رویت می شود جواب در یک منفی اشتباه هست

از این جهت گفتم که، در تمام گزینه ها، بار Q و q نا هم نام هستند.
میشه بگید این سوال رو از کجا گیر آوردید؟
---
بهتره مسله این جوری حل بشه:
میدونیم که کره a و کره c هم پتانسیل هستند،
بنابر این مقدار کاری که ما برای بردن یک بار آزمان از کره a به کره c انجام میدیم، باید برابر با صفر باشه.
پس داریم:

[Cartouche]

سلام و متشکرم از اینکه همراهی می کنید
جناب Cartouche اشتباه در تایپ بود منظورم همان V(c)=0 هست که جواب دیگری می گیرم

خب یک اشتباه ِ دیگه هم در محاسبات داشتید در اینجا:



ببینید در بالا، تساوی ِ دوم رو شما اشتباه نتیجه گرفتید و یک علامت ِ منفی باید در انتهای ِ جواب ِ آخرتون باشه.
یک منفی که پشت ِ انتگرال هست،
یک منفی به خاطر ِ r.dl بوجود میاد.( dl و راستای ِ میدان مخالفن و در صورت ِ ضرب ِ داخلی در هم یک cos 180 دارند که ...)
یک منفی هم به خاطر ِ انتگرال بوجود میاد. ( int(1/r^2)dr=-1/r )
پس در مجموع سه منفی داریم، که حاصل میشه منفی. اما شما در انتها مثبت در نظر گرفتید. حالا من نمیدونم کدام یک از سه منفی ِ بالا رو در نظر نگرفتید.

[electro gravity]

1-در قسمتی که عبارت A را مشاهده می کنید چرا ضریب q بار فرضی بر روی کره a منفی شده است؟
2-اگر dl همراستا با میدان هست چرا در قسمت (II) علامت منفی حذف شده است(طبق توضیحات) و اگر در راستای E نیست چرا در قسمت سوال اول ضریب q منفی شده است؟

علت اون مخالف بودن جهت میدان الکتریکی هست به این صورت که اگه جهت میدان ها رو به درون کره باشه q منفی میشه و اگه رو به بیرون باشه q مثبت میشه و همونطور که میبینید جهت میدان در کره داخلی رو به درون کره است و به همین دلیل q منفی میشه
و در II چون در هر دو هم جهته یعنی outward هست پس مثبت میشه

[baby_1]

سلام دوستان
از لطف تک به تکتون بسیار سپاسگزارم و شرمنده ام که به خاطر علم اندکم در این فروم باعث می شم وقت و عمر شما برای جواب به سوالات من هدر بشه.
در مورد سوال سه که شکلش رو به صورت پیوست در ابتدای پست قرار دادم این به فکرم رسید ببنید درست هست یا خیر؟
در ابتدا چون پوسته کروی رسانا هست باعث القای بار بر روی سطح داخلی به اندازه -q می شود که با اعمال قانون گوس عملا بار داخل صفر و میدان صفر می شود که اگر بخوایم نتیجه گیری کنیم در رسانا و بار در درون برای گوس نوشتن ابتدا باید بارهای القایی هم مشخص و سپس مراحل بعدی را انجام بدهیم؟این دیدگاه درست هست؟
"میشه بگید این سوال رو از کجا گیر آوردید؟" این سوال رو از کتاب الکترومغناطیس دکتر شفیعی پیدا کردم که جزو درسنامه کتاب بوده است.

[baby_1]

سلام
من مراحل پتانسیل رو یکبار دیگه مرور و حل می کنم
1-برای کره داخلی میدان ناشی از بار q فرضی بر روی کره a به سمت بیرون کره برابر است با

و چون جهت dl از سمت بیرون کره به داخل کره مثبت هست بردار آن را به صورت زیر تعریف می کنیم

حالا رابطه پتانسیل را می نویسیم و مقدارها را جایگزین می کنیم

حالا اگر بازه ها را جایگزین کنیم مقدار برابر خواهد بود با

که تا اینجا با جواب کتاب متفاوت هست
حالا برای کره C معادله را حل می کنیم
2-میدان در بین دو کره b و c ناشی از دو بار Q و q برابر خواهد در جهت افزایش r و به صورت زیر خواهد بود

و چون جهت dl از سمت بیرون کره به داخل کره مثبت هست بردار آن را به صورت زیر تعریف می کنیم

که حالا انتگرال را محاسبه کنیم جواب می شود

که با جواب کتاب یکی هست

ببنید اگر dl را همیشه در یک جهت حل کنیم یکی از جواب ها متفاوت خواهد بود و اگر بر خلاف بالا dl را در جهت افزایش r انتخاب کنیم جواب حالت اول مطابق کتاب و حالت دوم متفاوت با کتاب هست.

که به صورت کلی نگاه کنیم نمی شود جهت dl را تنها با انتگرال کلی و ثابت در نظر گرفت و اگر دلخواه باشد از کجا معلوم باید در کجا باید در چه جهتی را به کار برد که صحیح باشد؟این گونه به نظر می رسد و گویا مرتبط با نقطه مرجع یا قرار گیری بار جهت dl مشخص می شود.

[dusty]

در مورد سوال سه که شکلش رو به صورت پیوست در ابتدای پست قرار دادم این به فکرم رسید ببنید درست هست یا خیر؟
در ابتدا چون پوسته کروی رسانا هست باعث القای بار بر روی سطح داخلی به اندازه -q می شود که با اعمال قانون گوس عملا بار داخل صفر و میدان صفر می شود که اگر بخوایم نتیجه گیری کنیم در رسانا و بار در درون برای گوس نوشتن ابتدا باید بارهای القایی هم مشخص و سپس مراحل بعدی را انجام بدهیم؟این دیدگاه درست هست؟

راستش درست متوجه حرف هاتون نشدم. اگه میشه بیشتر توضیح بدید
----
اگر درست متوجه شده باشم سوال مورد نظر شما قسمت سوم از فایل ضمیمه اول در پست اول شماست(!)
و سوال اصلی اینه:(اگر اشتباه می کنم شما درستش کنید)

یک پوسته رسانا داریم که در ابتدا دارای بار اولیه q بوده و بعد به زمین متصل شده، و حال ما می خواهیم اختلاف پتانسیل بین دو نقطه مرکز و نقطه ای در r/2 در داخل کره را حساب کنیم.
---
از قضیه پوسته میدونیم که بار روی یک کره هر مقداری که باشد، این بار هیچ میدانی در داخل کره ایجاد نمی کند.(میدان برایند برابر با صفر است)
پس در داخل کره، بین هر دو نقطه دلخواه، اختلاف پتانسیل صفره.

-----
در انتگرال دومی که گرفتی یعنی vb-vc باید انتگرال رو در یک منفی ضرب کنید، چون اینجا جهت انتگرال معکوسه ( dl=-dr )، و گر این منفی رو لحاظ کنی اونوقت راه رو درست رفتی.

----
این کلیپ حتما کمکت میکنه!

http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02 ... aday-cage/

[baby_1]

سلام و ممنونم از همراهیتون
در این حالت

که پوسته تو خالی کروی رسانای بدون بار را به زمین متصل کرده و بارq را در مبدا آن قرار می دهیم حالا به دلیل القای بار بین سطح رسانای کره بار منفی دقیقا به اندازه -q بر روی سطح داخلی کره می شیند و به این دلیل اگر سطح گوسی را در خارج در نظر بگریم بار منفی q بار مثبت q را خنثی می کند و جمع بار صفر می شود که با اعمال قانون گوس میدان در بیرون صفر می شود؟
که اگر بخوایم نتیجه گیری کنیم در رسانا و بار در درون برای گوس نوشتن ابتدا باید بارهای القایی هم مشخص و سپس مراحل بعدی را انجام بدهیم؟این دیدگاه درست هست؟