پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

مدیران انجمن: parse, javad123javad

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 574

پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط امید سیدیان »

سلام و درود به همه؛ smile137

یک جستاری هست در جهان:
پخش بار الکتریکی روی سطح یک ظرف رسانا

از اونجایی که در اون جستار بحث فرسایشی (!) شد، من یک سوال کلی می خوام مطرح کنم:
یک رویه ی ایزوله ی رسانای ایدئال داریم،[tex]C[/tex] ، با معادله ی زیر:

[tex]f(x,y,z)~=~0[/tex]


بار [tex]q[/tex] رو می دیم بهش.
حالا چند تا سوال:

1. آیا توضیع بار یکتایی خواهیم داشت؟ (این شهودیه ولی اصلاً بدیهی نیست! :-| )
2. اگر یکتاست، چیست؟
3. بد نیست میدان الکتریکی روی سطح (بلافاصله پس از سطح*) رو در بیاریم.




------------------------------------------------------------------
* اون کلمه ی بلافاصله پس از سطح آدم رو بد جوری می بره توی فکر!
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

dusty3

عضویت : جمعه ۱۳۹۴/۴/۲۶ - ۱۱:۱۰


پست: 39

سپاس: 15

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط dusty3 »

درود

1-بله یکتاست، از آنجا که توضیع q باید چنان باشد که به کمترین پتانسیل برسد، پس یکتاست.

2- این یکتایی در قضیه یکتایی ثابت میشه

3- خب احتمالا رابطه ای در نظر داری که این سوال رو پرسیدی؛ ولی بنظر من میشه الکترون رو یک گاز فرمی دو بعدی در نظر گرفت.
این تقریب با توجه بزرگ بودن نیروی بین ذرات q نسبت به نیروی جاذبه بین هسته ها و ذره های q خیلی خوبه.
البته در شرایط غیر تعادلی جواب واحدی ندارن و آشوبناک هستن

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 574

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط امید سیدیان »

dusty3 نوشته شده:درود

1-بله یکتاست، از آنجا که توضیع q باید چنان باشد که به کمترین پتانسیل برسد، پس یکتاست.

سپاس از این که شرکت کردید. smile072
این درسته که انرژی پتانسیل کل باید مینیموم شه.
اما از کجا معلوم که برای رسیدن به این حالت، یک راه وجود داره؟
در واقع از کجا معلوم که تنها با یک آرایش معین از الکترون ها است که انرژی پتانسیل مینیموم بشه؟
شاید چند مینیموم نسبی برای انرژی وجود داشته باشه؟!

dusty3 نوشته شده:2- این یکتایی در قضیه یکتایی ثابت میشه

به نکته ی خوبی اشاره کردید. ببینید مایک معادله داریم:

[tex]\nabla^2V~=~-\frac{\rho}{\epsilon_0}[/tex]


[tex]\rho[/tex] چگالی بار هست و [tex]V[/tex] هم پتانسیل.
قضیه می گه که،اگر یکی از [tex]V[/tex] ها رو پیدا کنیم، کلشون رو پیدا کردیم چون که جواب یکتا است و همشون یکی اند.
البته در اینجا فرض کردیم که چگالی یکتا است، چون اصلاً گذاشتیمش توی معادله! :wink:

خب ...
یعنی از اینکه چگالی یکتا است می خوایم برسیم به این که چگالی یکتا است؟!
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

dusty3

عضویت : جمعه ۱۳۹۴/۴/۲۶ - ۱۱:۱۰


پست: 39

سپاس: 15

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط dusty3 »

تنها عاملی که پتانسل رو مینیمم میکنه هندسه رویه ی مورد نظره.
و از انجا که هندسه رویه چندگانه نیست پس چند مینیمم مخطلف نخواهیم داشت.

نمایه کاربر
Cartouche

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۹/۷/۲۹ - ۱۹:۳۶


پست: 1204

سپاس: 991

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط Cartouche »

ببخشید من اندکی مباحث مربوطه در این تاپیک و تاپیک دیگر که فرمودید رو قاطی کردم! به هر حال برای دور شدن از این وضعیتم، فعلن سوالات این جستار را جواب میدهم، فقط ببخشید ترتیبش را اندکی بهم میریزم!

1-
بله، یکتاست!
چنانچه ما یک مجموعه رسانا داشته باشیم که روی هرکدام یک بار (بار کل) و یا پتانسیل مشخص باشد، در نواحی دیگر میدان و پتانسیل به صورت یکتا تعیین میشود.

در واقع ما برای این قضیه ی یکتایی دو حالت داریم (در واقع سه حالت که حالت سوم، ترکیبی از حالت نخست و دوم است)

دقت کنید که بی نهایت هم میتواند یک مرز باشد.

الف) روی مرز ها که رسانا (یا غیر رسانا فرقی ندارد) اند، پتانسیل ها مشخص اند. در این صورت احتمالن اثبات را میدانید که چه طور پتانسیلِ سایر نواحی یکتا تعیین می شوند و من توضیح نمیدهم.

ب) روی مرزها که لزومن رسانا باید باشند، بار کل مشخص است. (یعنی مسئله شما)، در این صورت هم پتانسیل ها و میدان ها به طور یکتا تعیین میشوند. اثبات این هم سخت نیست، ولی من نمینویسم، ولی به شما اطمینان میدهم که این قضیه به این شکل وجود دارد! اگر اثبات را دوست دارید بروید در کتاب نایفه آن را بخوانید! من خودم هم از آنجا یاد گرفتم! تقریبن تنها کتاب الکترومغناطیس است که قضیه یکتایی را نپیچونده است. اثبات این حالتش اندکی فنی است! شاید لازم باشد چندین بار خوانده شود، به همین دلیل است که ننوشتم و ارجاعتان دادم به خود کتاب!


3-
چنانچه جواب 2 را بدانید، به راحتی میدان تعیین میشود، نمیدانم چرا این سوال را پرسیدید! میدان میشود چگالی بار سطحی تقسیم بر اپسیلون! داخل هم که میدان صفر است!

2-
قبل از هرچیزی بگویم که احتمالن میدانید که توزیع باری که ازآن حرف میزنید، ماکروسکوپی است که طبیعت برای ما میانگین گیری کرده! این را به دلیل صحبت های عجیبی که در جستار دیگر بود، یادآوری کردم، یکبار در این مورد که واقعن چه بلایی سر الکترون ها میاید، در جستاری در هوپا حسابی صحبت کردم!
اما راجع به توزیع بار، چنانچه سطح را بدانید، کار مشخص است، مثلن برای یک بیضی میتوانید با تعریف مختصات بیضوی مسئله را حل کنید، یا به کمک یک نگاشت مختلط همدیس، آن را تبدیل به مورد راحت تری کنید که این هم برای بیضی گون شدنیست (به کمک نگاشت یوکافسکی)، یا حتا برای اشکال پیچیده تر هم من این را زیاد دیدم، مثلن یک سطح با مقطع ِ مجموعه ی مندلبرا رو با یک نگاشت به یک دایره تبدیل میکنند و در فضای آن نگاشت هم چون معادله لاپلاس حفظ شده است (چون همدیس است)، توزیع بار متقارن میشود و عکس ِ آن نگاشت را روی آن توزیع بار متقارن اعمال می کنند.
یا در بدترین حالت، چنانچه رویه بیش از حد پیچیده باشد، به کمک روش های محاسباتی مثلن FEM میایند، رویه را شبکه بندی می کنند و با تبدیل معادلات برداری به معادلات جبری، مسئله را حل میکنند.
اما در مورد مسئله ی اصلی، راستش را بخواهید، سال ها پیش، من خودم هم این سوال برایم پیش آمد که چطور برای یک رویه دلخواه که معادله اش را داریم، توزیع بار را مشخص کنیم، نه برای یک رویه خاص، یعنی توزیع بار را بر اساس پارامتر هایی که آن رویه را مشخص میکنند، مشخص کنیم. خیلی در کتاب ها و پیپر ها دنبالش گشتم، ولی چیزی نیافتم، خودم هم نتوانستم حل کنم! در نهایت نیمه کار و بدون جواب رهایش کردم؛ نکته ای که هست این هست که این مسئله برخلاف ظاهر ساده اش، بسیار بسیار سخت است! اینبار شما دنبالش بگردید و سعی کنید خودتان حل کنید، اگر موردی بود خواهش میکنم به من هم بگویید.
دوای درد عاشق را کسی کو سهل پندارد

ز فکر آنان که در تدبیر درمانند در مانند

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 574

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط امید سیدیان »

درود بر همه؛

صورت سوال این بود:
آقای سیدیان نوشته شده:یک رویه ی ایزوله ی رسانای ایدئال داریم،[tex]C[/tex] ، با معادله ی زیر:

[tex]f(x,y,z)~=~0[/tex]


بار [tex]q[/tex] رو می دیم بهش.
حالا چند تا سوال:

1. آیا توضیع بار یکتایی خواهیم داشت؟ (این شهودیه ولی اصلاً بدیهی نیست! :-| )
2. اگر یکتاست، چیست؟
3. بد نیست میدان الکتریکی روی سطح (بلافاصله پس از سطح) رو در بیاریم.


اما پاسخی که من می دهم:

ما بار [tex]q[/tex] را روی رویه ی [tex]C[/tex] نهاده ایم. این بار دست کم یک آرایش [tex]\rho[/tex] می گیرد.
ما الآن نمی دونیم که این چگالی بار [tex]\rho[/tex] یکتا است یا نه.
به هر حال ما الآن هیچ کاری باهاش نداریم و فرض می کنیم اصلاً نیست!
اما می توانیم یک چیز را بفهمیم.
ما به کمک یک ولتمتر، پتانسیل الکتریکی روی سطح -که یکسان است- را بدست می آوریم [tex]V_0[/tex].
همچنین می دانیم که در فاصله های بسیار دور (بی نهایت) پتانسیل صفر است.
پس ما دو شرط مرزی داریم:

[tex]V(\vec{r})|_{C}~=~V_0~~~~~~~~~~V(\vec{r})|_{\infty}~=~0[/tex]


در واقع کل هندسه ی شکل در همین دو شرط مرزی نهفته است.
حالا با کمک این دو شرط مرزی، پتانسیل الکتریکی در کلِ فضایِ میانِ آن رویه و بی نهایت را بدست می آوریم.
توجه داشته باشید که در این بین، هیچ باری نیست.

[tex]\nabla^2V~=~0[/tex]


توجه کنید که این پتانسیل یکتا است. وجودش هم که با اون سری فوریر ها تضمین شده است!
از پتانسیل الکتریکی گرادیان می گیریم، پس با این حساب میدان الکتریکی در کلِ فضایِ میانِ آن رویه و بی نهایت را داریم.

[tex]\vec{E}~=~-\nabla{V}[/tex]


به ویژه، میدان الکتریکی روی سطح را هم که داریم؛ چون در همه جا داشتیم!
میدان الکترکی روی سطح که بدست آمد از طریق قانون گوس، چگالی بار سطحی در دست است.

[tex]{\epsilon_{0}}\vec{E}(\vec{r})~{=}~\rho(\vec{r})}[/tex]


از یکتایی پتانسیل، یکتایی میدان و در نتیجه یکتایی چگالی بار بدست می آد.
البته اون چگالی ای رو که گذاشتم، چگالی حجمی است. اما ما با یک رویه کار داریم،
پس اون چگالی یک تابع دلتای کرونکر هم توی خودش قطعاً باید داشته باشه.
در واقع، اگر [tex]\sigma[/tex] چگالی بار سطحیِ روی رویه باشه، [tex]\rho[/tex] هست:

[tex]\rho~=~\sigma~\delta(f(x,y,z))[/tex]


+ smile051
آیا از این حرف های بالایی نمی شه گفت که چرا توی نقاط نوک تیز بار بیش تری می ره!؟
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

jhvh

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۰/۱۰/۲۶ - ۱۷:۰۲


پست: 1644

سپاس: 288

جنسیت:

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط jhvh »

اقای سیدیان از ریاضیات بسیار زیبایی بهره میبرید و من همیشه ارزو داشتم همچین ادبیاتی در اختیارم بود

اما فکر می کنم باز یکتایی اثبات نشد برای این موضوع یک نکته دارم
چگالی بار روی سطح کره با توان دو شعاع کاهش پیدا می کنه ولی پتانسیل با توان یک شعاع
مثلا اگر کره ای رو در نظر بگیرید اصولا نباید بارها روی سطح به پایداری برسن اما چیزی که باعث قرار گیری بارها روی سطح میشه ترکیبیه که در کنار هم اتخاذ می کنن
این نوع قرار گیری بارها در سطوح به صورت واضحی میگه که چیزی به عنوان حالت یکتا در چینش بارها در دنیای سه بعدی نداریم نداریم و ریاضیات پیچیده تر و فضای جدیدی رو می طلبه

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 574

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط امید سیدیان »

jhvh نوشته شده:اما فکر می کنم باز یکتایی اثبات نشد

یکتایی پتانسیل الکتریکی از قضیه ای معروف نتیجه می شود.
پتانسیل الکتریکی یکتا است پس میدان الکتریکی هم یکتا خواهد بود.
با بهره از میدان الکتریکی و قضیه ی گوس، چگالی بار الکتریکی را بدست می آوریم.
پس چگالی بار الکتریکی یکتا است.

:idea: و اینک گوش کنید:

چگالی بار الکتریکی در نقاط نوک تیز همواره بیش تر از جاهای دیگر نیست!


یک پوسته ی کروی را سوراخ کنید و پوسته را از درون بکشید (مانند فرتوری که آورده ام)
روشن است که درون آن قله ی نوک تیز بار الکتریکی کمتری انباشته می شود، تا روی پوسته!



Hup.png
Hup.png (6.65 کیلو بایت) مشاهده 3223 مرتبه
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

jhvh

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۰/۱۰/۲۶ - ۱۷:۰۲


پست: 1644

سپاس: 288

جنسیت:

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط jhvh »

ببینید نکته اینه که اگه ماکروسکوپیک به ماجرا نگاه کنیم یکتاست
ولی اگه ریز بشیم این یکتایی معنی و مفهوم مشخصی نداره
و عرض شد که چرا رفتار الکترون در سطح و اجسام هندسی متفاوته

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 574

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط امید سیدیان »

درود بر همگان،

خب؛ کسی سخنی نداره؟
من گفتم که انباشته شدن بار در نوک تیز نادرست است!
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

نمایه کاربر
M_J1364@yahoo.com

نام: محمّد جوانشیری

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹


پست: 1252

سپاس: 457


تماس:

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط M_J1364@yahoo.com »

سلام
می شه بیشتر شکلتون رو توضیح بدین. چرا روی قله ی نوک تیز داخلی چگال بار الکتریکی کمتره؟
smile072
ز عشقِ ((فرنیا)) کُشتم خودم را...........که آخر خون.. به پا.. کرد او.. خدایا
شدم نابود و.. جز.. یادی نماندش...........از آن چشمانِ گریان، وان فغان ها

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 574

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط امید سیدیان »

M_J1364@yahoo.com نوشته شده:سلام
می شه بیشتر شکلتون رو توضیح بدین. چرا روی قله ی نوک تیز داخلی چگال بار الکتریکی کمتره؟
smile072

سلام smile028
چشم ...

اساسش قانون گوس هست.

ما می دونیم که بار همیشه در سطح های بیرونی قرار می گیره و درون مرز های درونی، هیچ باری انباشته نمی شه.
در شکل همانطور که می بینید، اون قله درون کره قرار گرفته و سوراخ بالای کره، نسبت به کره بسیار کوچک هست.

اون سوراخ رو می شه کوچک و کوچک تر کرد و همراه اون بار هم در روی قله درونی کمتر و کمتر می شه.
در واقع، چون سوراخ ریز است، آن قله یک مرز درونی به شمار می آد و بار کمتری روش قرار می گیره.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

نمایه کاربر
M_J1364@yahoo.com

نام: محمّد جوانشیری

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹


پست: 1252

سپاس: 457


تماس:

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط M_J1364@yahoo.com »

اِ..اِ..اِ.. smile029
من اصلاً این موضوع رو نمی دونستم. فکر می کردم اگه فقط یه سوراخ با هر اندازه ای روی یه رسانا مثل شکل شما داشته باشیم، شکل، باز تلقی میشه. آیا پیوستگی قانون گوس این رو پیشگویی می کنه که:
اون سوراخ رو می شه کوچک و کوچک تر کرد و همراه اون بار هم در روی قله درونی کمتر و کمتر می شه.
در واقع، چون سوراخ ریز است، آن قله یک مرز درونی به شمار می آد و بار کمتری روش قرار می گیره.
ز عشقِ ((فرنیا)) کُشتم خودم را...........که آخر خون.. به پا.. کرد او.. خدایا
شدم نابود و.. جز.. یادی نماندش...........از آن چشمانِ گریان، وان فغان ها

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 574

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط امید سیدیان »

M_J1364@yahoo.com نوشته شده:اِ..اِ..اِ.. smile029
من اصلاً این موضوع رو نمی دونستم. فکر می کردم اگه فقط یه سوراخ با هر اندازه ای روی یه رسانا مثل شکل شما داشته باشیم، شکل، باز تلقی میشه. آیا پیوستگی قانون گوس این رو پیشگویی می کنه که:
اون سوراخ رو می شه کوچک و کوچک تر کرد و همراه اون بار هم در روی قله درونی کمتر و کمتر می شه.
در واقع، چون سوراخ ریز است، آن قله یک مرز درونی به شمار می آد و بار کمتری روش قرار می گیره.

البته تا هنگامی که سوراخ هست، رویه همچنان بازه ...
اما سوراخ اونقدر کوچیکه که می شه گفت رویه بسته است!

تلاش کنید شعاع سوراخ به صفر میل بدید.
بار باید کمتر و کمتر بشه؛ چرا که هنگامی که شعاع صفر بشه،
باری روی قله ی درونی نخواهد بود. علت این هست که پیوستگی باید برآورده بشه ...
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

jhvh

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۰/۱۰/۲۶ - ۱۷:۰۲


پست: 1644

سپاس: 288

جنسیت:

Re: پخش بار روی رسانا (حالت کلی)

پست توسط jhvh »

اولا سطحی که مساحت بیشتری داره سطح بیرونی تلقی میشه حتی اگه خلافش صادق باشه یعنی همون شکلی که جناب سیدیان قرار دادند
دوم اینکه نقاط نوک تیز در شرایط برابر مثل ارتفاع یکسان....... باز بار بیشتری میگیره در واقع چند بار هم اشاره کردم که ما شرایط خاصی که بار لزوما در سطح پخش شه تعیین کردیم پیامد اینه که در شرایط خاص قوانین دچار تغییر میشن

ارسال پست