این یک تناقض است یا یک سو تفاهم؟؟!!!...

[amir_srd]

فرض کنید دستگاه زیر بی نهایت جواب دارد:
Ax + by + cz =0
Qx + ty + lz =0
تعداد جواب های دستگاه اول= k
حال دستگاه زیر را در نظر بگیرید که از جمع دو معادله ی دستگاه اول به دست امده:
a+q)x + (b+t)y + (c+l)z =0
هر جواب دستگاه اول جواب دومی هم هست اما هر جواب دومی لزوما جواب اولی نیست.پس تعدا جواب های دومی در حالت کلی بزرگتر از اولی است.
پس تعداد جواب های دستگاه دوم بیش تر است.
تعداد جواب های دستگاه دوم = p
حال مشکلی پیش می اید:
از یک طرف تعداد جواب های هر دو دستگاه بی نهایت است.
از طرف دیگر داریم:p>k
یعنی:بینهایت<بی نهایت
ایا این تناقض است؟؟؟
یا اینکه نوعی ابهام است که قابل رفع است؟؟

[fargol]

به نظر من تناقض نیست..

[محمد مهدي غلامي]

سلام
مشكل اينجاست:

فرض کنید دستگاه زیر بی نهایت جواب دارد:

تعداد جواب های دستگاه اول= k

نميتونيد بي نهايت رو برابر K قرار بديد.
اصلا بي نهايت يك عدد نيست. اين خيلي مهمه و معمولا دانش آموزان در اين مورد اشتباه ميكنن.
بي نهايت عدد نيست يك مفهومه.

حال جواب هردو دستگاه بي نهايت است. شما نميتونيد بگيد بي نهايت اولي از دومي كوچكتره
مقايسه ي بين اين دو اشتباهه.

[AliHagigat]

2x>x, x>0--> lim 2x> lim x, x-->infinity--> infinity>infinity
بی نهایت > بی نهایت درست است. اینو میگن جبر بی نهایت.

[amir_srd]

2x>x, x>0--> lim 2x> lim x, x-->infinity--> infinity>infinity
بی نهایت > بی نهایت درست است. اینو میگن جبر بی نهایت.

با تشکر از اقای غلامی و شما
چگونه می توان گفت:
بی نهایت>بی نهایت؟؟؟
بیشتر توضیح بدهید

[AliHagigat]

در مورد بی نهایت اشکالی نداره. مثلاً عدد تقسیم بر خودش میشه ۱ همیشه اما بی نهایت/ بی نهایت جواب های متعدد داره و یک جواب منحصر به فرد نداره.
بی نهایت ها دقیقاً با هم مساوی نیستند، بعضی از آن ها بزرگتر و بعضی کوچکتر هستند. نمادی که آن ها را نشان می دهد یکسان است، ولی استثناً نماد های مساوی این جا به معنی تساوی نیست.
می توانیم یک جبر جدید با بی نهایت در نظر بگیریم، فقط این جبر با اصول جبر قدیم در تعارض نباید باشد. مثلاً بینهایت+۲=بینهایت.
منظور از بی نهایت limx, x-->infinity-->limx=infinity یعنی به ازاء هر M>0 عدد x از M بزرگتر است. چون جواب حدود عدد هستند ، بی نهایت یک عدد است، منتها عدد خاصی است.

[محمد مهدي غلامي]

منظور از بی نهایت limx, x-->infinity-->limx=infinity یعنی به ازاء هر M>0 عدد x از M بزرگتر است. چون جواب حدود عدد هستند ، بی نهایت یک عدد است، منتها عدد خاصی است.

بي نهايت عدد است؟
عددي خاص؟
اما من فكر ميكردم بينهايت عدد نيست و تنها يك مفهوم است.

[AliHagigat]

تقریباً ۲- هم یک مفهوم است!! مگر ممکن است ۲- سیب داشته باشیم؟ اینکه سیبی نداریم یا اینکه من مثلاً ۳ تا سیب دارم درست است ولی ۲- سیب یعنی چه؟ ولی بعد دیدیم می توانیم تغییر یکسان درجه حرارت به بالا یا به پائین را با دو عدد یکسان و علامتهای متفاوت بیان کنیم.
منظورم اینستکه اول ریاضی برای شمارش چیز های ساده مثل سیب بوجود آمد! و بعد اعداد منفی به عنوان مفهومی جدید مطرح شدند و جای خود را به عنوان سیمبول های ریاضی معتبر باز کردند.
اینکه بی نهایت ها را بشود مقایسه کرد دلیلش همون مثالی است که دوستمون زد. واقعیت انکار ناپذیر آنستکه به نظر میرسد یک معادله تعداد جوابهای بیشتری از معادلهٔ دیگر دارد. هر چند که هر دو این ها بی شمار جواب دارند. پس راه حل این مشکل چیست؟ آیا نمی توانیم مفاهیم و حساب جدیدی برای رفع این ابهام وضع کنیم؟

[Retin_69]

همونطور که جناب AliHagigat گفت بینهایت ها یکی نیستند و صرف به کار بردن کلمه بینهایت به یک مقدار اشاره نمی کند .
فرض کنید ظرف 1 لیتری دارید . در این صورت 2 و 3 لیتری هر دو نسبت به گنجایشه ظرف نامتناهی هستند ( فقط مثاله برای درک بهتر )
تعداد عضوهای مجموعه R با N برابر نیست هر چند هر دو بینهایته .

اقلیدس موضوع زیر رو بدیهی می دونست :
"هر چیز از هر جز خودش همیشه بزرگتره "
برای مقادیر متناهی درسته اما در بینهایت نه .
با فرض مجموعه ای بودن ( مثله سوال شما که در اینجا مجموعه جواب های معادله مجموعه مورد بحث هستند ) هر مجموعه نامتناهیه اگه با دست کم یکی از زیر مجموعه های خودش هم اندازه باشه .
مثله مجموعه N و مجموعه اعداد فرد .
* برای این کار کافیه تابعی یک به یک از یکی به دیگری تعریف کنید *
با اینکه مجموعه ی N عضوی مانند 2 و 4 و ... داره اما به تعداد مجموعه ی اعداد فرد که زیر مجموعه اش هست عضو داره .


تا مبحث سو تفاهم وسطه به این سو تفاهم هم فکر کنید .
عدد اصلی یک مجموعه تعداد عضوهای یک مجموعه است و عضو N باشد .
عدد اصلی مجموعه N رو K فرض می کنیم ( K متناهی نیست ) و K عضو N است ( خط بالا ) با این فرض که هر عدد رو بشماریم در واقع K بزرگترین عدد N است .( شروع کنید به شمردن اعضای مجموعه ی N ـ 1 و 2 و 3 و 4 و . . . )
از طرفی می دانیم عدد اصلی مجموعه R بزرگتر از K است . ( دو به توان K ~ از طریق مجموعه ی توانی می توانید به این اعداد برسید ) مثلا P اما P عضو N بود پس در واقع P بزرگترین عدد N است نه K ( توجه کنید که P و K نابرابر هستند ) پس تعداد اعضای R هم بیشتر از N خواهد بود .
اما به مساله دقت کنید ، P خود عددی از N بود و لزوما N باید از 1 و 2 و ..... و P تشکیل شده باشد پس به همین تعداد هم عضو خواهد داشت و این به این معناست که مجموعه N و R هم اندازه هستند .
کجا اشتباه رخ داده ؟ و چرا ؟

اینکه بی نهایت ها را بشود مقایسه کرد دلیلش همون مثالی است که دوستمون زد. واقعیت انکار ناپذیر آنستکه به نظر میرسد یک معادله تعداد جوابهای بیشتری از معادلهٔ دیگر دارد. هر چند که هر دو این ها بی شمار جواب دارند. پس راه حل این مشکل چیست؟ آیا نمی توانیم مفاهیم و حساب جدیدی برای رفع این ابهام وضع کنیم؟

به نظر من دید عددی به بینهایت باید بیشر باشه . تعریف شده اما بی مقدار .
فرض کنید بینهایت قسمتی از محور هست که از هر مقدار متناهی از محور دور تر هست به این ترتیب قوانین هر کجای دیگر محور ( متناهی ها ) به بینهایت ها نیز قابل تعمیم است .( ما در مورد بینهایت معمولا ابتدای محور رو می بینیم و بعد از یک مقدار چند تا نقطه می گذاریم چون نهایت ندارد اما حالا فرض کنید این چد نقطه را وسط محور گذاشتیم و سر محور وجود دارد )
بینهایت -1 ، بینهایت قبلی نیست اما مقدار یک عدد برابر فاصله ی آن تا مبدا ( 0 ) است و از آنجا که این قسمت محور از هر عدد به مبدا دورتر بود پس قائدتا قابل بیان با ابزار مورد نظر ( اعداد ) نیستند .

[amir_srd]

جالب است.
دقیقا همانطور که تصور هندسه ی نا اقلیدسی مشکل است. تصور جبر بی نهایت هم مشکل است.

[amir_srd]

همونطور که جناب AliHagigat گفت بینهایت ها یکی نیستند و صرف به کار بردن کلمه بینهایت به یک مقدار اشاره نمی کند .
فرض کنید ظرف 1 لیتری دارید . در این صورت 2 و 3 لیتری هر دو نسبت به گنجایشه ظرف نامتناهی هستند ( فقط مثاله برای درک بهتر )
تعداد عضوهای مجموعه R با N برابر نیست هر چند هر دو بینهایته .

اقلیدس موضوع زیر رو بدیهی می دونست :
"هر چیز از هر جز خودش همیشه بزرگتره "
برای مقادیر متناهی درسته اما در بینهایت نه .
با فرض مجموعه ای بودن ( مثله سوال شما که در اینجا مجموعه جواب های معادله مجموعه مورد بحث هستند ) هر مجموعه نامتناهیه اگه با دست کم یکی از زیر مجموعه های خودش هم اندازه باشه .
مثله مجموعه N و مجموعه اعداد فرد .
* برای این کار کافیه تابعی یک به یک از یکی به دیگری تعریف کنید *
با اینکه مجموعه ی N عضوی مانند 2 و 4 و ... داره اما به تعداد مجموعه ی اعداد فرد که زیر مجموعه اش هست عضو داره .


تا مبحث سو تفاهم وسطه به این سو تفاهم هم فکر کنید .
عدد اصلی یک مجموعه تعداد عضوهای یک مجموعه است و عضو N باشد .
عدد اصلی مجموعه N رو K فرض می کنیم ( K متناهی نیست ) و K عضو N است ( خط بالا ) با این فرض که هر عدد رو بشماریم در واقع K بزرگترین عدد N است .( شروع کنید به شمردن اعضای مجموعه ی N ـ 1 و 2 و 3 و 4 و . . . )
از طرفی می دانیم عدد اصلی مجموعه R بزرگتر از K است . ( دو به توان K ~ از طریق مجموعه ی توانی می توانید به این اعداد برسید ) مثلا P اما P عضو N بود پس در واقع P بزرگترین عدد N است نه K ( توجه کنید که P و K نابرابر هستند ) پس تعداد اعضای R هم بیشتر از N خواهد بود .
اما به مساله دقت کنید ، P خود عددی از N بود و لزوما N باید از 1 و 2 و ..... و P تشکیل شده باشد پس به همین تعداد هم عضو خواهد داشت و این به این معناست که مجموعه N و R هم اندازه هستند .
کجا اشتباه رخ داده ؟ و چرا ؟

اینکه بی نهایت ها را بشود مقایسه کرد دلیلش همون مثالی است که دوستمون زد. واقعیت انکار ناپذیر آنستکه به نظر میرسد یک معادله تعداد جوابهای بیشتری از معادلهٔ دیگر دارد. هر چند که هر دو این ها بی شمار جواب دارند. پس راه حل این مشکل چیست؟ آیا نمی توانیم مفاهیم و حساب جدیدی برای رفع این ابهام وضع کنیم؟

به نظر من دید عددی به بینهایت باید بیشر باشه . تعریف شده اما بی مقدار .
فرض کنید بینهایت قسمتی از محور هست که از هر مقدار متناهی از محور دور تر هست به این ترتیب قوانین هر کجای دیگر محور ( متناهی ها ) به بینهایت ها نیز قابل تعمیم است .( ما در مورد بینهایت معمولا ابتدای محور رو می بینیم و بعد از یک مقدار چند تا نقطه می گذاریم چون نهایت ندارد اما حالا فرض کنید این چد نقطه را وسط محور گذاشتیم و سر محور وجود دارد )
بینهایت -1 ، بینهایت قبلی نیست اما مقدار یک عدد برابر فاصله ی آن تا مبدا ( 0 ) است و از آنجا که این قسمت محور از هر عدد به مبدا دورتر بود پس قائدتا قابل بیان با ابزار مورد نظر ( اعداد ) نیستند .

چرا می گویید مجموعه ی N به اندازه ی مجموعه ی اعداد فرد،عضو دارد ...اما در مورد R و N می گویید R بیشتر از N عضو دارد؟
اگر عدد اصلی R بیشتر باشد، پس این استدلال درست است.عدد اصلی R از N بیشتر نیست.اشکال اینجاست.
عدد اصلی R را P و عدد اصلی N را عدد K در نظر می گیریم.
یا P=K یا P>K یا P<K .
حالت P<K نتیجه می دهد که R از زیر مجموعه ی خود کوچکتر است که یک تناقض است.چون هر عضو زیر مجموعه،عضو خود مجموعه هم هست.
حالت P>K هم که به تناقض می رسد(شما این را نشان داده اید).
پس P=K درست است.یعنی عد اصلی R و N برابر است.