پرسش هاي هندسي با پاسخ تشريحي

[پين]

mmeftahpour گرامي،

گويا نوبت با شماست . اگر مايليد و فرصت داريد ،
پرسشي با سليقه خودتان مطرح بفرماييد.

[lebesgue]

با اجازه از پین گرامی، من یک پرسش میگذارم:

مثلثهای T1 و T2 در یک صفحه واقع بوده و T2 درون T1 جای دارد. آیا امکان دارد که محیط T2 بزرگتر از محیط T1 باشد؟ درستی پاسخ خود را نشان دهید.

[sosiana]

مثلث t1 درون t2 قراردارد بزرگترين مثلث درون آن محاط شده توسط t1 است پس امکان ندارد محيط مثلت محاط شده از t1 بيشتر باشد

[sosiana]

اون چيزي که جناب مفتاح بدست آورده بود (2سال پيش )براي حالت خاصي هست که ab و ac و احيانا bc باهم برابرند چون اون دو مثلث سبز و قرمزي که در شکل نشان داده شده است رو با هم متشابه يا يکسان بدست اورده که اين از يکسان بودن اضلاع ab و ac نتيجه ميشه ا

[Neo.SQ]

با اجازه از پین گرامی، من یک پرسش میگذارم:

مثلثهای

و

در یک صفحه واقع بوده و

درون

جای دارد. آیا امکان دارد که محیط

بزرگتر از محیط

باشد؟ درستی پاسخ خود را نشان دهید.

چون مثلث

درون مثلث

قرار دارد بنابراین حتما می توان آن را جوری درون مثلث قرار داد که یک قائده ی آن بر روی یک قائده ی مثلث

منطبق باشد به طوری که بتوان از راس مثلث

به دو سر مثلث

خطی را رسم کرد . به صورت شکل زیر :

A-B.jpg

مثلث جدید تازه رسم شده یا دو ضلع مرسوم ما به رنگ خاکستری , و مثلث رنگی مشخص شده را در نظر میگیریم . با دو لم پیاپی اقلیدس می توان به سادگی نشان داد که ضلع مثلث خاکستری از ضلع مثلث رنگی هم راس خودش در مثلث رنگی بزرگتر است , بنابراین مثلث خاکستری محیط بیشتری دارد .

حال داریم :

a-b-c.jpg

با توجه به قضیه ی اضلاع مثلث و اینکه جمع دو ضلع مثلث از ضلع سوم بیشتر است , نتیجه میگیریم که مجموع bو c از a بزرگتر هستند و در نتیجه مثلث

از مثلث ایجاد شده محیط بیشتری دارد . چون مثلث

محیطش از محیط مثلث خاکستری کمتر است ; بنابراین از محیط مثلث

نیز کمتر است .

* ) "اگر مثلث

مساحتش بیشتر

باشد ; آیا محیط آن نیز حتما بیشتر است ؟" با سوال بالا متفاوت است .
*) این سوال با رابطه ی هرون و اعمال جبری و مثبت بودن به نظر حل میشد.

که در اینجا :

با توجه به فرض داریم :

چون مقدار زیر رادیکال مثبت است داریم :

.... الی آخر

[lebesgue]

با سپاس از پاسخ شما roamer گرامی،

از آنجا که پرسش، اثبات یک گزاره نسبتاً بدیهی را میخواهد، انتظار داریم گزاره ای نابدیهی تر از آن، برای اثبات بکار گرفته نشود. برای نمونه، گزاره زیر خود نیاز به اثبات دارد:

چون مثلث

درون مثلث

قرار دارد بنابراین حتما می توان آن را جوری درون مثلث قرار داد که یک قائده ی آن بر روی یک قائده ی مثلث

منطبق باشد به طوری که بتوان از راس مثلث

به دو سر مثلث

خطی را رسم کرد .

گذشته از این، ما به دنبال ساده ترین اثبات ها هستیم. بهرحال، ایده کلی اثبات شما، به نظر من درست است. من نیز چند اثبات در نظر دارم که شاید در فرصتی دیگر آنها را بنویسم.

* ) "اگر مثلث

مساحتش بیشتر

باشد ; آیا محیط آن نیز حتما بیشتر است ؟" با سوال بالا متفاوت است .
*) این سوال با رابطه ی هرون و اعمال جبری و مثبت بودن به نظر حل میشد.

که در اینجا :

با توجه به فرض داریم :

چون مقدار زیر رادیکال مثبت است داریم :

.... الی آخر

برای این مسئله، مثال نقض به سادگی پیدا می شود. جدا از اینکه به طور شهودی هم میتوان دید که مثلثی با اضلاع 1,1,1 در مقایسه با مثلثی با اضلاع 2,2,0.01 مساحت بیشتر و محیط کمتر دارد، با استفاده از فرمول هرون نیز میتوان تحقیق کرد.

-------------------------------
پرسشی که در پست قبل مطرح شد، در واقع پیش درآمدی بود برای پرسش زیر:

چهاروجهی T2 درون چهاروجهی T1 جای دارد. آیا امکان دارد که مجموع طول شش یال T2 بزرگتر از مجموع طول شش یال T1 باشد؟ درستی پاسخ خود را نشان دهید.

منبع: اضافه خواهد شد.

[slice_of_god]

چرا از یک نقطه خارج خط فقط می توان یک خط عمود کشید!!!(اثبات هندسی)

چرا از یک نقطه خارج خط فقط می توان یک خط موازی کشید!!!(اثبات هندسی)

[Anne Shirley]

چرا از یک نقطه خارج خط فقط می توان یک خط عمود کشید!!!(اثبات هندسی)

چرا از یک نقطه خارج خط فقط می توان یک خط موازی کشید!!!(اثبات هندسی)

البته باید در صفحه را هم می افزودید.

این دو مورد جزء اصولند و درستی اصل را بدون اثبات می پذیریم.

[Neo.SQ]

برای این مسئله، مثال نقض به سادگی پیدا می شود. جدا از اینکه به طور شهودی هم میتوان دید که مثلثی با اضلاع 1,1,1 در مقایسه با مثلثی با اضلاع 2,2,0.01 مساحت بیشتر و محیط کمتر دارد، با استفاده از فرمول هرون نیز میتوان تحقیق کرد.

کمی با سوال متفاوت نیست ؟ اینکه مثلثی درون دیگری باشد با اینکه مساحتش کمتر باشد یکی نیست , من گفتم اگر
درون دیگری باشد مساحتش کمتر است اما اگر مساحتش کمتر باشد قرار نیست که درون آن باشد ,

چرا از یک نقطه خارج خط فقط می توان یک خط عمود کشید!!!(اثبات هندسی)

چرا از یک نقطه خارج خط فقط می توان یک خط موازی کشید!!!(اثبات هندسی)

هر دو با برهان خلف به سادگی حل می شوند ; با مثلث های ایجاد شده و مجموع زوایای داخلی 180 .... .

چهاروجهی T2 درون چهاروجهی T1 جای دارد. آیا امکان دارد که مجموع طول شش یال T2 بزرگتر از مجموع طول شش یال T1 باشد؟ درستی پاسخ خود را نشان دهید.

مرحله ی اول اینگونه در نظر میگیرم که یک چند ضلعی را درون یک چند ضلعی دیگر قرار می دهم ,
از آنجا که هر چند ضلعی از چند مثلث تشکیل شده پس می توان این نتیجه را گرفت که فرض درست است .
به همین ترتیب برای اشکال سه بعدی و چند وجهی نیز این را ادمه میدم , چون یک به طور مثال 4 وجهی از 4
مثلث تشکیل شده و یا یک 6 وجهی از 6 مربع , می توانم این نتیجه را بگیرم که هرکدام از این وجوه به موازای
خود باید از یک چند وجهی متناظر به خود مساحت کمتر و محیط کمتر نیز داشته باشند تا این چند وجهی درون
چند وجهی دیگر جا شود ; به این دلیل چون همه ی وجوه آنها کوچکتر از وجوه چند وجهی اولیه و بیرونی هستند
می توان استنباط کرد که مجموع یالهای آن نیز کمتر از مجموع یالهای چند وجهی بیرونی است .

[lebesgue]

کمی با سوال متفاوت نیست ؟ اینکه مثلثی درون دیگری باشد با اینکه مساحتش کمتر باشد یکی نیست , من گفتم اگر
درون دیگری باشد مساحتش کمتر است اما اگر مساحتش کمتر باشد قرار نیست که درون آن باشد ,

متوجه نشدم تفاوت کدام دو سوال را می گویید، اما بطور خلاصه:

1: اگر T مثلثی درون مثلث U باشد، آنگاه محیط U بزرگتر از محیط T است.

2: اگر مساحت مثلث V بزرگتر از مساحت مثلث W باشد، آنگاه محیط V بزرگتر از محیط W است.

گزاره 1 درست، و گزاره 2 نادرست است. مثال نقضی که در پست قبل آورده شد، برای همین گزاره 2 بود.

مرحله ی اول اینگونه در نظر میگیرم که یک چند ضلعی را درون یک چند ضلعی دیگر قرار می دهم ,
از آنجا که هر چند ضلعی از چند مثلث تشکیل شده پس می توان این نتیجه را گرفت که فرض درست است .
به همین ترتیب برای اشکال سه بعدی و چند وجهی نیز این را ادمه میدم , چون یک به طور مثال 4 وجهی از 4
مثلث تشکیل شده و یا یک 6 وجهی از 6 مربع , می توانم این نتیجه را بگیرم که هرکدام از این وجوه به موازای
خود باید از یک چند وجهی متناظر به خود مساحت کمتر و محیط کمتر نیز داشته باشند تا این چند وجهی درون
چند وجهی دیگر جا شود ; به این دلیل چون همه ی وجوه آنها کوچکتر از وجوه چند وجهی اولیه و بیرونی هستند
می توان استنباط کرد که مجموع یالهای آن نیز کمتر از مجموع یالهای چند وجهی بیرونی است .

1. کدام فرض درست است؟!

2. گزاره آبی رنگ درست نیست. ساده ترین مثال نقض را میتوانید در بُرش یک مکعب بیابید.

3. چندین نادرستی دیگر نیز در استدلال شما به نظر می آیند، اما چون استدلالتان را دقیق بیان نکرده اید، به بررسی آنها نمی پردازم.

راهنمایی: برای این مسئله، به دنبال مثال نقض باشید.

پ.ن. از دوستان گرامی خواهشمندم، دستکم ریاضیات را کمی دقیقتر و با حوصله تر بنویسید، و اگر شده یک بار، پست خود را مرور نمایید.

[alihadadi]

سه نقطه A,B,Cدر یه صفحه اند چه طور می شه با یک پرگار و یک خط کش غیر مدرج نقطه x رو روی AC و نقطه y روی AB طوری پیدا کنیم که: Ax=xy=By ؟؟؟؟