این موضوع که یک بینهایت تنها می تواند به تعدادی متناهی بینهایت افراز شود یک دیدگاه عامیانه نسبت به بینهایت است. یک بینهایت را می توان به بینهایت زیرمجموعه ی هم توان خودش افراز نمود.هرمز پگاه در بحث مستطاب اثبات ناپذیری وجود در قسمت فلسفه و متافیزیک نوشته شده: ...میتوان گفت كه اگر بینگاریم كه مثلاً پول بی پایانی در جهان هست،
یك شمار پایاندار از پولدار ها میتوانند وجود داشته باشند كه هر كدام دارای
پول بی پایان باشند، چرا كه بینهایت بخش بر دو هم باز بینهایت است و
بینهایت ضربدر 2 هم باز بینهایت!!
دو مجموعه را همتوان گوئیم اگر تابعی یک به یک و پوشا میان انها وجود داشته باشد. به این صورت هر مجموعه ای که همتوان با مجموعه ی اعداد طبیعی باشد را اصطلاحاً "شمارا" یا "شمارش پذیر" می گوئیم.
تعریف: مجموعه ای را نامتناهی گوئیم اگر با یک زیر مجموعه ی سره (محض) خود همتوان باشد.
قضیه: مجموعه اعداد گویا شمارش پذیر است (یعنی همتوان با زیر مجموعه ی سره ی خود یا همان اعداد طبیعی است).
حال بیشمار زیر مجموعه ی نامتناهی از اعداد گویا می سازیم:
کد: انتخاب همه
{1,2,3,4,...}
{1+(1/2), 2+(1/2), 3+(1/2),...}
{1+(1/3), 2+(1/3), 3+(1/3),...}
.
.
.
{1+(1/n), 2+(1/n), 3+1/n),...}
بدیهی است که مجموعه های نامتناهی غیر همتوان با مجموعه اعداد طبیعی نیز وجود دارند:
قضیه: محموعه اعداد حقیقی ناشمارا است.
