این اتحاد از کجا اومده؟

Stupendous

سلام.داشتم روند رسیدن به معادله موج الکترومغناطیس رو میخوندم که به یک اتحاد رسیدم:

Capture.GIF

خوب به نظر من این نمیتونه درست باشه چون سمت چپ برداریه ولی سمت راست یه بردار به علاوه ی یه عدد.از اساتید خواهش می کنم توضیح بدن.

slice_of_god

Cartouche

نه مشکلی نداره. درسته همینطوریه.
جمله ی دوم اسکالر نیست، بلکه بردار هست.
دقت کنید که ما داریم لاپلاسی ِ یک اسکالر، یک کمیت اسکالر هست و نه لاپلاسی یک بردار. اینجا ما لاپلاسی یک بردار داریم.
در واقع اگر بخواهید بازش کنید میشه ِ دیورژانس ِ یک سری دیادیک. که دیورژانس ِ دیادیک ها هم بردار هست.
مثلا لاپلاسی ِ یک بردار در مختصات ِ دکارتی میشه:

$\bigtriangledown ^2 \vec{A}=\bigtriangledown ^2 (A_{x})\hat{x}+\bigtriangledown ^2 (A_{y})\hat{y} +\bigtriangledown ^2 (A_{z})\hat{z}$

+ در مورد ِ از کجا اومدنش هم اثباتش خیلی سادست. کافیه از
$A\times B\times C=B(A.C)-C(A.B)$
و البته از تعریف ِ دل استفاده کنید. (در اثبات دقت کنید که چون دل در سمت ِ راست از بردار مشتق میگیرد، پس باید در سمت ِ چپ هم مشتق بگیرد!)

++ در مورد دیورژانس ِ دیادیک:
الآن گرادیان ِ یک بردار، به صورت ِ زیر میشه که من اسمشو گذاشتم پسی:

$\Psi = \begin{vmatrix} a_{11}\hat{x} & a_{12}\hat{x} & a_{13}\hat{x} \\ a_{21}\hat{y} & a_{22}\hat{y} &a_{23}\hat{y} \\ a_{31}\hat{z} & a_{32}\hat{z} & a_{33}\hat{z} \end{vmatrix}\times \begin{vmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \\ \hat{z} \end{vmatrix}$

که جملات ِa1 و a2 و ... در واقع
$\frac{\partial A_{x}}{\partial x}$
, ... هستن که اینجا بردار شما B هست که من اسمشو عوض کردم به A!
و حالا لاپلاسی A میشه دیورژانس پسی:

$\bigtriangledown ^2 A=\bigtriangledown .(\Psi )$

که دیورژانس انگار یک بردار داره ضرب داخلی میشه.
پس دقیقا انگار داره یک بردار توی این دیادیک ها ضرب داخلی میشه.
حالا مثلا ضرب داخلی دیادیک ها هم اینطوریه:

$\hat{x}.(a_{11}\hat{x}\hat{x})=a_{11}\hat{x}$

$\hat{x}.(a_{12}\hat{x}\hat{y})=a_{12}\hat{y}$

$\hat{x}.(a_{21}\hat{y}\hat{x})=0$

$\hat{x}.(a_{32}\hat{z}\hat{y})=0$

و ....
بنابراین دیورژانس ِ یک دیادیک مثل ضرب داخلی هر بردار ِ دیگری در دیادیک، یک برداره، بنابراین لاپلاسی یک بردار هم برداره!

jhvh

Cartouche نوشته شده:نه مشکلی نداره. درسته همینطوریه.
جمله ی دوم اسکالر نیست، بلکه بردار هست.
دقت کنید که ما داریم لاپلاسی ِ یک اسکالر، یک کمیت اسکالر هست و نه لاپلاسی یک بردار. اینجا ما لاپلاسی یک بردار داریم.
در واقع اگر بخواهید بازش کنید میشه ِ دیورژانس ِ یک سری دیادیک. که دیورژانس ِ دیادیک ها هم بردار هست.
مثلا لاپلاسی ِ یک بردار در مختصات ِ دکارتی میشه:

$\bigtriangledown ^2 \vec{A}=\bigtriangledown ^2 (A_{x})\hat{x}+\bigtriangledown ^2 (A_{y})\hat{y} +\bigtriangledown ^2 (A_{z})\hat{z}$

+ در مورد ِ از کجا اومدنش هم اثباتش خیلی سادست. کافیه از
$A\times B\times C=B(A.C)-C(A.B)$
و البته از تعریف ِ دل استفاده کنید. (در اثبات دقت کنید که چون دل در سمت ِ راست از بردار مشتق میگیرد، پس باید در سمت ِ چپ هم مشتق بگیرد!)

++ در مورد دیورژانس ِ دیادیک:
الآن گرادیان ِ یک بردار، به صورت ِ زیر میشه که من اسمشو گذاشتم پسی:

$\Psi = \begin{vmatrix} a_{11}\hat{x} & a_{12}\hat{x} & a_{13}\hat{x} \\ a_{21}\hat{y} & a_{22}\hat{y} &a_{23}\hat{y} \\ a_{31}\hat{z} & a_{32}\hat{z} & a_{33}\hat{z} \end{vmatrix}\times \begin{vmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \\ \hat{z} \end{vmatrix}$

که جملات ِa1 و a2 و ... در واقع
$\frac{\partial A_{x}}{\partial x}$
, ... هستن که اینجا بردار شما B هست که من اسمشو عوض کردم به A!
و حالا لاپلاسی A میشه دیورژانس پسی:

$\bigtriangledown ^2 A=\bigtriangledown .(\Psi )$

که دیورژانس انگار یک بردار داره ضرب داخلی میشه.
پس دقیقا انگار داره یک بردار توی این دیادیک ها ضرب داخلی میشه.
حالا مثلا ضرب داخلی دیادیک ها هم اینطوریه:

$\hat{x}.(a_{11}\hat{x}\hat{x})=a_{11}\hat{x}$

$\hat{x}.(a_{12}\hat{x}\hat{y})=a_{12}\hat{y}$

$\hat{x}.(a_{21}\hat{y}\hat{x})=0$

$\hat{x}.(a_{32}\hat{z}\hat{y})=0$

و ....
بنابراین دیورژانس ِ یک دیادیک مثل ضرب داخلی هر بردار ِ دیگری در دیادیک، یک برداره، بنابراین لاپلاسی یک بردار هم برداره!

واقعا ممنون

از صمیم وجودم
از نورون های کرم آلود مغزم

این اتحاد از کجا اومده؟

این اتحاد از کجا اومده؟

Re: این اتحاد از کجا اومده؟

Re: این اتحاد از کجا اومده؟

Re: این اتحاد از کجا اومده؟