لاگرانژین

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
shahrzad.d

نام: shahrzad dehghani

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۶ - ۱۴:۵۴


پست: 9

سپاس: 2

لاگرانژین

پست توسط shahrzad.d »

با سلام خدمت همه ی دوستان .یه توضیح کلی در مورد معادلات اویلر و لاگرانژ و کاربرد آن ها می خواستم.
هرگز نمیرد آنکه دلش زنده شد به عشق
ثبت است بر جریده ی عالم دوام ما

نمایه کاربر
maryamz

نام: مریم

محل اقامت: کرمانشاه

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۸۹/۱۲/۲۴ - ۱۶:۲۲


پست: 357

سپاس: 21


تماس:

Re: لاگرانژین

پست توسط maryamz »

میتونی کتاب مکانیک تحلیلی فولز و مکانیک کلاسیک اریا رو مطالعه کنی.
زیباترین مکان برای حضور، بودن در افکار کسی ست

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 504

سپاس: 250

جنسیت:

تماس:

Re: لاگرانژین

پست توسط rohamjpl »

من یکسری کاربرد اوردم و توضیح عمومی اون در دینامیک سیالات، معادلات اویلر (Euler equations) مدل ریاضی حاکم بر حرکات، جریانات، و دینامیک سیالات غیر لزج را نمایش می‌دهند. معادلهٔ اویلر می‌تواند هم در جریان تراکم پذیر و هم در جریان تراکم ناپذیر استفاده شود.شکل دیفرانسیل اون $\large \begin {equation} a { x ^ 2 } y ^ { \prime\prime } + b x y ^ { \prime } + c y = 0 \end {equation}$البته در کتاب معادلات دیفرانسیل شما قشنگ توضیح داده در مورد روش حل مرتبه های معادله واز آن‌جایی که یک تابعِ مشتق‌پذیر، در نقطهٔ بیشینه یا کمینه‌ی موضعیِ خود تعادلی می‌شود، معادلهٔ اویلر-لاگرانژ، زمانی کاربردی است که بخواهیم مسئله‌ای مربوط به بهینه‌سازی را حل کنیم و در آن یک تابعیِ معین داده شده و می‌خواهیم این تابعی را کمینه یا بیشینه کنیم. این قضیه قابلِ مقایسه با قضیه فرما در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که می‌گوید یک تابعِ مشتق‌پذیر، در نقطه‌ای اکسترممِ موضعیِ دارد که مشتق آن صفر شود.دقت کنید شکل کلی لاگرانژ$\large y = x \varphi \left ( { y ’ } \right ) + \psi \left ( { y ’ } \right )$که در آن، $\varphi \left( {y’} \right)$و$\psi \left( {y’} \right)$با قرار دادن $y’ = p$ و مشتق‌گیری نسبت به x، جواب عمومی معادله به فرم پارامتری زیر است$\large \left\{ \begin {array} {l}
x = f \left ( { p , C } \right) \\
y = f \left ( { p , C } \right ) \varphi \left ( p \right ) + \psi \left ( p \right )
\end{array} \right .$
توابعی معلوم و در بازه‌ای مشخص مشتق‌پذیرند. این معادله، «معادله لاگرانژ» (Lagrange Equation) نامیده می‌شود.
کاربرد ها
منحصر به فرد بودن راه حل کلاسیک (معادلات غیر قابل فشردگی اویلر)
برای استخراج معادله اولر از جریان سیال نامشخص یک عنصر سیال ، باید از معادله استفاده کرد$- \nabla P+ \rho \overrightarrow{g} = \overrightarrow{F} \tag{1}$جایی که $\nabla P$ گرادیان فشار ، ρ چگالی فلود است ، $\overrightarrow{F}$ نیروی خالص سیال است و سپس از مشتق همرفت $D/Dt$ برای بدست آوردن فرمول استفاده می شود
$\rho \dfrac{D \overrightarrow{v}}{Dt}=- \nabla P+ \rho \overrightarrow{g} \tag{2}$
که $\overrightarrow{v}$ میدان بردار سرعت سیال است.
من می دانم، معادله جریان نامرغوب اویلر را نام می برد ، می دانم ، .جرم مایع در یک حجم V است ،
$\int_V \rho \ dV$در کجا ، ρ چگالی است. به طور مشابه ، حرکت
$\int_V \rho \cdot \vec v \ dV$جایی که $\vec v$ سرعت سیال در یک نقطه از حجم است.
اگر سیال از سطح محدود S حجم و داخل آن خارج شود ، با گذشت زمان تغییر می کند.
${{d} \over {dt}} \cdot \int_V \rho \ dV=-\int_S \rho \cdot \vec v \cdot \vec n \ dS$
جایی که محصول نقطه را در صورت مناسب می گیریم و $\vec n$ سطح طبیعی است. به طور مشابه ،
${{d} \over {dt}} \cdot \int_V \rho \cdot \vec v \ dV=-\int_S \rho \cdot \vec v \ ( \vec v \cdot \vec n) \ dS$
با استفاده از قانون دوم نیوتن ، سرعت تغییر حرکت یک قسمت ثابت از ماده برابر است با نیروی خالصی که بر آن ماده وارد می کند. اگر فرض کنیم نیرو به دلیل فشار p در سطح V باشد ، می توان گفت ،
$(1) \quad {{d} \over {dt}} \cdot \int_V \rho \cdot \vec v \ dV=-\int_S \rho \cdot \vec v \ ( \vec v \cdot \vec n) +p \cdot \vec n \ dS$اکنون ، ما می توانیم از این واقعیت استفاده کنیم که ،
$\int_V \nabla f \ dV=\int_S \vec n \cdot f \ dS$
همراه با این واقعیت ،$\int_V \nabla \cdot \vec B \ dV=\int_S \vec n \cdot \vec B \ dS$
و (1) را دوباره بنویسید ،$(2) \quad {{d} \over {dt}} \cdot \int_V \rho \cdot \vec v \ dV=-\int_V \nabla \cdot (\rho \cdot \vec v) \cdot \vec v +\nabla p\ dV$
در حال حرکت ، ما دریافت می کنیم ،$(3) \quad \int_V {{d} \over {dt}} \ (\rho \cdot \vec v)+\nabla \cdot (\rho \cdot \vec v) \cdot \vec v +\nabla p\ dV=0$
که می تواند به ساده شود ،$(4) \quad {{d} \over {dt}} \ (\rho \cdot \vec v)+\nabla \cdot (\rho \cdot \vec v) \cdot \vec v +\nabla p=0$
که در نهایت می شود ،$(5) \quad {{D} \over {Dt}} \ (\rho \cdot \vec v)+\nabla p=0$
که معادله اولر برای جریان نامحسوس است.روش من
حافظه ام تا جایی که بلدم می گوید که من باید فرض کنم که مایع در حالت استراحت است و از این رو در نظر بگیرم که تنها نیروهای وارد شده بر روی مایع فشار و کشش گرانشی هستند و نیروی ناشی از فشار توسط
$\nabla P dxdydz$این کاملا درست استو نیروی ناشی از شتاب احتمالی خارج $\overrightarrow{a}$ است$\overrightarrow{F}$
موقت ، اما درست استبه طوری که کل نیروی بیرونی باشد$\nabla P dx \cdot dy \cdot dz + \overrightarrow{F}$
بله ، این درست استو توسط نیوتن ، یعنی $F_{AB}=-F_{BA}$ ، من فکر می کنم که این نیرو با وزن مایع $g dm = g \rho dx \cdot dy \cdot dz$ جرم اصلی مایع است واکنش نشان می دهد و از این رو می توانم بنویسم$\nabla P dx \cdot dy \cdot dz + \overrightarrow{F} = - g \rho dxdydz \overrightarrow{ k }$از قانون دوم نیوتن استفاده کنید و من فکر می کنم این موثر است
شکل واریانس معادلات سیال تراکم ناپذیر اویلر$\frac{\partial v}{\partial t} = -\nabla p$.و$\nabla\cdot v = 0$
شروع با یک لاگرانژی متشکل از انرژی سینتیک و محدودیت تداوم (سرعت آزاد واگرایی):$\mathcal{L} = \int_\Omega{\frac{1}{2}|v|^2 - p(\nabla\cdot v)}$
تصویر

ارسال پست