اثبات تبدیلات لورنتس

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
fatemeh1995

عضویت : شنبه ۱۳۹۵/۷/۱۷ - ۱۴:۲۶


پست: 2



اثبات تبدیلات لورنتس

پست توسط fatemeh1995 »

سلام.توروخدا یکی جواب سوال منو بده.چطوری میشه با استفاده از تبدیلات گالیله به تبدیلات لورنتس رسید؟
ینی چطوری میشه با استفاده از فرمول(x=¥(x^_vtبه اون فرمول اصلی رسید و چطوری ضریب گاما رو پیدا کنیم؟؟؟.گوشیم علامت پریم و گاما رو نداشت مجبور شدم از ^و¥استفاده کنم ببخشید.

نمایه کاربر
stanly

نام: م.گ

محل اقامت: کی اف

عضویت : جمعه ۱۳۹۴/۱۰/۲۵ - ۰۱:۰۶


پست: 362

سپاس: 205

جنسیت:

Re: اثبات تبدیلات لورنتس

پست توسط stanly »

امیدوارم این لینک کمکتون کنه smile072
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mava ... eck&Rand=0

نمایه کاربر
Ali.T

عضویت : چهارشنبه ۱۳۸۷/۳/۱۵ - ۲۰:۰۸


پست: 398

سپاس: 480

جنسیت:

Re: اثبات تبدیلات لورنتس

پست توسط Ali.T »

fatemeh1995 نوشته شده:.چطوری میشه با استفاده از تبدیلات گالیله به تبدیلات لورنتس رسید؟


با استفاده از تبدیل گالیله نمی شود به تبدیل لورنتس رسید.
اما در حالت خاصی می شود از تبدیل لورنتس به تبدیل گالیله رسید.

fatemeh1995

عضویت : شنبه ۱۳۹۵/۷/۱۷ - ۱۴:۲۶


پست: 2



Re: اثبات تبدیلات لورنتس

پست توسط fatemeh1995 »

با استفاده از فرضx^2+y^2+z^2=ct^2و همین جمله البته با پریم میشه قضیه لورنتس رو با (x^=¥(x_vtاثبات کرد.من هر کار کردم نشد.خواهش میکنم یه کم راهنماییم کنید.

نمایه کاربر
رهام1380

نام: رهام حسامی

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۹/۶/۲۰ - ۰۹:۴۸


پست: 98

سپاس: 15

جنسیت:

تماس:

Re: اثبات تبدیلات لورنتس

پست توسط رهام1380 »

رویدادی را رادر نظر بگیریم که در چارچوب S مختصات فضا- زمان ان را به وسیله پارامتر های زیر معلوم می کنیم

,t,x,y,z
این رویداد را در چارچوبی که نسبت به S با سرعتی یکنواخت V حرکت می کند یعنی چارچوب 'S با مختصات پریم دار از چهار چوب S تفکیک می کنیم یعنی مختصات فضا –زمانی این رویداد درچارچوب'S به صورت زیر است(x',y',z',t')اکنون ما به دنبال روابطی هستیم که این دو مختصات را بهم ربط دهد که به صورت نماد ریا ضی داریمتصویر
(x'=x'(x.y,z,t , , و همچنین (y'=y'(x.y,z,t , و همچنین (z'=z'(x.y,z,tو همچنین (t'=t'(x.y,z,t

بعلاوه فرض همگنی فضا ایجاب می کند که روابط بین مختصات فضا –زمانی تنها به صورت خطی باشد یعنی داریمرویدادی را رادر نظر بگیریم که در چارچوب S مختصات فضا- زمان ان را به وسیله پارامتر های زیر معلوم می کنیم
ما می توانیم ضرایب A را با تقاضای حرکت S ′ نسبت به S با سرعت ثابت u پیدا کنیم و مقدار c در S و S یکسان است. برای شروع با شرط اول ، یک نقطه ثابت را در S در نظر بگیرید ، بنابراین x ′ = b. از (معادله) $x^\prime = a_{11}x + a_{12}ct $ یا $x = (x^\prime - a_{12}ct)/a_{11} $ داریم. از طرف دیگر ، در S این نقطه با سرعت u حرکت می کند ، بنابراین همان نقطه با معادله فرم x = ut + x0 توصیف می شود. بنابراین ، ما 12a12c / a11 = u داریم. به طور طبیعی ، ما می توانیم یک نقطه ثابت را در S در نظر بگیریم ، $x=b=(a_{22}x^\prime-a_{12}ct^\prime/\det(A) $، که با سرعت −u در S در حال حرکت است ، بنابراین $ x^\prime = -ut^\prime+x_0^\prime$ ، که $-u = a_{12}c/a_{22} $می دهد. از این رو $a_{22} = -a_{12}c/u=a_{11} $ بدست می آید و می توانیم تبدیلات خود را به صورت زیر بنویسیم: از طرفی داریم ما می خواهیم تغییر شکل ما قابل برگشت باشد ،
$ \left(\begin{array}{c}
{x} \\
{c t}
\end{array}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\left(\begin{array}{cc}
{a_{22}} & {-a_{12}} \\
{-a_{21}} & {a_{11}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
{x^{\prime}} \\
{c t^{\prime}}
\end{array}\label{eq:2}\right).$
بنابراین (A) ≠ 0 و $ \left(\begin{array}{c}
{x^{\prime}} \\
{c t^{\prime}}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}
{x} \\
{c t}
\end{array}\right), \quad \text { with } \quad A=\left(\begin{array}{cc}
{a_{11}} & {a_{12}} \\
{a_{21}} & {a_{22}}
\end{array}\label{eq:1}\right)$
$ \begin{equation}\begin{aligned}\label{eq:3}
x^{\prime} &=a_{11}\left(x+\frac{a_{12}}{a_{11}} c t\right)=a_{11}(x-u t) \\
c t^{\prime} &=a_{21} x+a_{22} c t=a_{11}\left(\frac{a_{21}}{a_{11}} x+c t\right) \\
x &=\frac{a_{11}}{\operatorname{det}(A)}\left(x^{\prime}+u t^{\prime}\right) \\
c t &=\frac{a_{11}}{\operatorname{det}(A)}\left(-\frac{a_{21}}{a_{11}} x^{\prime}+c t^{\prime}\right)
\end{aligned}\end{equation}$

توجه داشته باشید که با a11 = 1 و a21 = 0 ، اینها به سادگی دوباره تبدیل های گالیله ای هستند. ما به a21 a 0 اجازه می دهیم تا برای فرضیه سبک متناسب باشد. برای دیدن نحوه کار ، ابتدا سرعت یک جسم متحرک را در هر دو چارچوب مرجع محاسبه کرده و آنها را به یکدیگر مرتبط می کنیم

$v^{\prime}\equiv \frac{\mathrm{d} x^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}}=\frac{a_{11} \mathrm{d}(x-u t)}{a_{11} \mathrm{d}\left(\left(a_{21} / a_{11}\right)(x / c)+t\right)}=\frac{\mathrm{d} x-u \mathrm{d} t}{\left(a_{21} / c a_{11}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{d} t} =\frac{\mathrm{d} x / \mathrm{d} t-u}{1+\left(a_{21} / c a_{11}\right) \mathrm{d} x / \mathrm{d} t}=\frac{v-u}{1+\left(a_{21} / a_{11}\right)(v / c)}
\label{eq:4} $
جایی که ما از v≡dx / dt استفاده کردیم. برعکس ، ما باید:همانطور که فرضیه سبک بیان می کند ، مهم نیست که c را در S اندازه می گیریم یا S ′ ، ما همیشه همان تعداد را می گیریم. بنابراین برای نور ، باید v ′ = c = v داشته باشیم ، که می توانیم از آن در معادله (11.2.4) برای تعیین a21 / a11 استفاده کنیم:
$\begin{equation}\begin{aligned}
&c=\frac{c-u}{1+\left(a_{21} / a_{11}\right)} \quad \text { so } \quad \frac{a_{21}}{a_{11}}=-\frac{u}{c}
\end{aligned}\end{equation}. $ لذا داریم $\begin{equation}\begin{aligned}
x^{\prime} &=a_{11}(x-u t) \\
c t^{\prime} &=a_{11}\left(c t-\frac{u x}{c}\right) \\
x &=\frac{1}{a_{11}} \frac{1}{1-u^{2} / c^{2}}\left(x^{\prime}+u t^{\prime}\right) \\
c t &=\frac{1}{a_{11}} \frac{1}{1-u^{2} / c^{2}}\left(c t^{\prime}+\frac{u x^{\prime}}{c}\right).
\end{aligned}\label{eq:5}\end{equation} $
در معادلات $\det(A)=a^2_{11}(1-u^2/c^2) $ استفاده کردیم. ما با یک پارامتر تعیین نشده باقی مانده ایم ، مقدار a11. ما از آن برای متقارن ساختن استفاده خواهیم کرد - به هر حال ، ما می توانستیم با S ′ به صورت ثابت و S با حرکت (با سرعت −u) شروع کنیم ، و باید همان تغییرات را بدست آوریم ، به جز علامت u. با معادل سازی در معادلات ، متوجه می شویم که $(a11 = γ (u)$ ، با γ (u) که دوباره به صورت تعریف شده است$\gamma(u)=\frac{1}{\sqrt{1-(u / c)^{2}}}. $

توجه داشته باشید که $\gamma(u)=\gamma(-u) $ ، مطابق با تصور قبلی که فرقی نمی کند شما در S باشید و S را ببینید در حال حرکت در u ، یا در S ′ در حال مشاهده S حرکت در -u است. ما اکنون به تحولات لورنتس رسیده ایم:$\begin{equation}\begin{aligned}
x^{\prime} &=\gamma(u)(x-u t) \\
c t^{\prime} &=\gamma(u)\left(c t-\frac{u x}{c}\right) \\
x &=\gamma(u)\left(x^{\prime}+u t^{\prime}\right) \\
c t &=\gamma(u)\left(c t^{\prime}+\frac{u x^{\prime}}{c}\right)
\end{aligned}\label{eq:6}\end{equation} $
تحولات لورنتس هم فضا و هم زمان را متحول می کند. در نتیجه ، دو ناظر ما نه تنها ، مانند سیستم کلاسیک ، فضا را متفاوت اندازه گیری می کنند (مختصات ثابت و متحرک را بخاطر بیاورید) ، بلکه زمان را نیز متفاوت می سنجند! برای سرعتهای کوچک ، γ (u) (بسیار) نزدیک به یک است و اثر ناچیز است ، اما برای سرعتهای بالا مطمئناً اینگونه نیست. : دو ناظر دیگر در مورد اتفاقات همزمان ، مدت زمان و متر یا توافق نمی کنند چه مدت طول کشید تا از یک مکان به مکان دیگر سفر کرد

قبل از رفتن به برنامه ها ، ما چند نکته پایانی در مورد تحولات لورنتس داریم. اول ، ما مقداری تلاش می کنیم تا تغییر شکل بین رفتن از S به S و برعکس متقارن شود. هر چند ما می توانیم کارهای بیشتری انجام دهیم. از آنجا که زمان و مکان اکنون هر دو تغییر شکل می یابند و در تحول با یکدیگر عجین می شوند ، جدا کردن آنها دیگر مناسب نیست. در عوض ، ما یک سیستم ترکیبی از چهار بعد را که به عنوان زمان-زمان شناخته می شود ، مختصات زمان را با ضرب در c به مختصات فضا تبدیل کرده . در معادلات و ما c را در مقابل t با c در مخرج لغو کردیم ، ، در تحول لورنتس
$\begin{equation}\begin{aligned}
x^{\prime} &=\gamma(u)(x-(u / c) c t) \\
c t^{\prime} &=\gamma(u)(c t-(u / c) x)
\end{aligned}\label{eq:7}\end{equation} $
توجه داشته باشید که در معادلات سرعت u فقط به صورت کسری از c ظاهر می شود: ما فقط عباراتی از شکل u / c را داریم که باعث می شود تمام ضرایب تبدیل هایمان به خوبی بی بعد شوند.

، تمام معادلات بین یک قاب ثابت و دیگری است که در جهت مثبت x با سرعت u حرکت می کند. از آنجا که ما اصولاً مختص مختصات خود هستیم ، همیشه می توانیم محورهای خود را برچسب گذاری یا سازگار کنیم تا با این تنظیم مطابقت داشته باشد. در عمل ، ممکن است همیشه همیشه مفید نباشد ، بنابراین می توانیم حرکت به سمت دیگری را نیز در نظر بگیریم. مطمئناً ، حرکت در جهت y یا z فقط باعث می شود که آن محورها با محور x در نظر گرفته شوند ، بنابراین . ما همچنین می توانیم برای حرکت در یک جهت کلی را بنویسیم

$ \begin{equation}\begin{array}{l}
{x^{\prime}=x+(\gamma(u)-1) \frac{u \cdot x}{u \cdot u} u-\frac{\gamma(u)}{c} u c t} \\
{c t^{\prime}=\gamma(u)\left(c t-\frac{u \cdot x}{c}\right)}
\end{array}\end{equation}$
جایی که u = |u | سرعت قاب متحرک است و$ (x = (x، y، z)$.

مجموعه تحولات لورنتس در جهت x 2 گروهی را تحت ترکیب تشکیل می دهد. اگر یک سیستم S با توجه به S با سرعت u حرکت کند ، و S ′ با توجه به S ′ با سرعت v حرکت کند ، پس می توانید یک تغییر و تحول لورنتس را از S به S ′ و از S ′ به S ′ انجام دهید ، اما همچنین از S به S ′ ′ مستقیم 3. همانطور که خودتان می توانید بررسی کنید ، تبدیل از s به s ′ در واقع یکی دیگر از تحولات لورنتس است. سرعت S ′ ′ با توجه بهدر واقع یک تحول دیگر لورنتس است. سرعت S ′ ′ با توجه به S دوباره u + v نیست ، بلکه $(u+v)/(1+uv/c^2) $) است ، همانطور که توسط معادله جمع سرعت نسبی بدست آمده (به هر حال همه اینها معادلات خطی هستند) ، .تصویر

ارسال پست