حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت


حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت

نوشتهاز سوی paradoxy در جمعه 15 شهريور 1398 - 19:43

در این تاپیک حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت رو در فیزیک کلاسیک و نسبیت مقایسه می کنیم. اول ورژن کلاسیکی رو بررسی میکنیم.

ذره ای با بار $q$ و جرم $m$ در میدان مغناطیسی یکنواخت $\vec{B}=B_z\hat{k}$ و میدان الکتریکی یکنواخت $\vec{E}=E_y\hat{j}$ با سرعت اولیه $\vec{v_0}=v_x\hat{i}$ شروع به حرکت میکنه. مسیر حرکت ذره رو در تمامی لحظات بیابید. این یک مسئله خیلی سر راست کلاسیکیه که جوابش هم در کتابای مختلف وجود داره. آیا نیروی وارد شده به ذره میشه:
$$\vec{F}=q\vec{E} + q\vec{v_0}\times \vec{B}$$
یا نیروی وارد شده به ذره هستش
$$\vec{F}=q\vec{E} + q\vec{u}\times \vec{B}$$
که $$\vec{u}(t)=u_x \hat{i}+u_y \hat{j} +u_z \hat{k}$$
و
$$\vec{u}(0)=\vec{v}_0$$
دقت کنید که جواب این دو نیرو باهم فرق داره. (توی اولی سرعت ثابت اولیه در میدان مغناطیسی ضرب شده، و میدان مغناطیسی فقط در راستای ایگرگ نیرو وارد میکنه، توی دومی سرعت متغییر در میدان مغناطیسی ضرب شده، و میدان مغناطیسی در هر دو راستای ایکس و ایگرگ نیرو وارد میکنه)
نماد کاربر
 
سپـاس : 963 times

ارسـال : 1848


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت

نوشتهاز سوی M_J1364@yahoo.com در شنبه 16 شهريور 1398 - 10:51

فکر کنم دومی درسته دیگه. باید سرعت $u$ یا همون سرعت لحظه ای رو در نظر گرفت.
ای که مجنون گشته ای در عشقِ ما............کِی بُوَد.. لیلی.. تو را.. نامی.. سزا؟!
سویِ.. من... پروانه.. شو... پروا مکن............در..... میانِ.... آتشم.... رقصان.... بیا
نماد کاربر
 
سپـاس : 444 times

ارسـال : 1220


نام: محمّد جوانشیری
سن: 33 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 90/9/24

ذکر نشده

Re: حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت

نوشتهاز سوی paradoxy در شنبه 16 شهريور 1398 - 13:35

بله دقیقا. یعنی داریم:
$$\vec{F}=m\dot{\vec{u}}= Eq\hat{j}+qu_yB_z \hat{i}-qu_xB_z\hat{j}$$
که نشون میده
$$F_y=m\dot{u}_y= Eq-qu_xB_z$$
$$F_x=m\dot{u}_x=qu_yB_z$$
از معادله $F_y$ بر حسب زمان مشتق میگیریم، و $\dot{u_x}$ رو پیدا میکنیم و در معادله $F_x$ قرار میدیم:

$$m\ddot{u}_y=-q\dot{u}_xB_z$$
$$\frac{m}{-qB_z}\ddot{u}_y=\dot{u}_x$$
$$\frac{m^2}{-q^2B^2_z}\ddot{u}_y=u_y$$
$$\ddot{u}_y+\frac{q^2B^2_z}{m^2}u_y=0$$
اگر $\omega=\frac{q^2B^2_z}{m^2}$ جواب معادله میشه
$$u_y=A\sin(\omega t) + D\cos(\omega t)$$
و به همین ترتیب برای $u_x$ میتونیم نشون بدیم:
$$u_x=a\sin(\omega t) +d\cos(\omega t)+\frac{E}{B}$$
کافیه اینبار از $F_x$ مشتق بگیریم و $\dot{u_y}$ رو پیدا کنیم و در معادله $F_y$ بزاریم. با توجه به شرایط مرزی یعنی $\vec{u}(0)=v_x\hat{i}$ در معادله $u_x$ معلوم میشه $d=v_x-\frac{E}{B}$ و از معادله (یکم معادله $F_x$ باید ساده شه)
$$\dot{u}_x=\omega^2u_y$$
با جایگذاری $u_x$ و $u_y$ داخل این معادله معلوم میشه $a=\omega D$ و $d=-\omega A$. چون $u_y(t=0)=0$ از معادله $u_y$ سریع میبینیم که $D=0$ و تمام. با جایگزاری مقادیر پیدا شده
$$u_y=\frac{v_x-\frac{E}{B}}{-\omega}\sin(\omega t)$$
$$u_x=(v_x-\frac{E}{B})\cos(\omega t)+\frac{E}{B}$$
حالا اگه $v_x$ رو صفر بزاریم، یعنی سرعت اولیه ذره صفر باشه هم چنان
$$u_y=\frac{\frac{E}{B}}{\omega}\sin(\omega t)$$
$$u_x=(-\frac{E}{B})\cos(\omega t)+\frac{E}{B}$$
که میشه نشون داد ذره روی یک دایره حرکت میکنه. کافیه از معادلات بالا انتگرال بگیریم و مکان ذره در محور ایکس و مکان ذره در محور ایگرگ رو به توان دو برسونیم.

حالا سوال اینجاست که آیا در نسبیت، همچنان باید $u$ بنویسیم، یا نه دیگه نسبیت "استثناست!" و در اون سرعت اولیه ذره در میدان مغناطیسی ضرب میشه، نه این سرعت متغییر $u$؟
نماد کاربر
 
سپـاس : 963 times

ارسـال : 1848


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت

نوشتهاز سوی M_J1364@yahoo.com در شنبه 16 شهريور 1398 - 22:39

به نظرم محاسباتت می تونه به صورت تقریبی درست باشه. (نمی دونم توی کدوم کتاب مرجع این معادلاتی که نوشتی رو دیدی ولی بدونْ که این محاسبات فقط برای سرعت های خیلی کمتر از سرعتِ نور درستن. متأسفانه بعضی از کتب مرجع چون الکترومغناطیس رو از اول به صورتِ نسبیتی یاد نمی دن، بعضی جاها دچار تقریب زنی هایی میشن که از دیدگاه نسبیت برای سرعت های بالا اصلاً مجاز نیست.) الکترومغناطیس با دینامیک نیوتنی سازگاریِ شناخته شده ای نداره و بهتره از همون اول از دینامیک نسبیتی استفاده کنی. برای این منظور می بایست از ورژنِ نسبیتی نیرو کمک بگیری یعنی به جای $\boldsymbol{F}=m\dot{\boldsymbol{u}}$ باید از تغییرات "تکانه ی نسبیتی" نسبت به زمان، و در نهایت، از معادله ی کلّیِ زیر استفاده کنی:
$$q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} × \boldsymbol{B})=\frac{d}{dt}(\frac{m_0 \boldsymbol{u}}{\sqrt{1-u^2/c^2}})$$
که عبارات پررنگ بُردارن. به نظر من قبل از اینکه بخوای از طرف راست بر حسب زمان مشتق بگیری، اول بر حسبِ یه مؤلفه فورمول رو بازنویسی کن و بعد با علم به اینکه:
$$u^2={u_x}^2+{u_y}^2+{u_z}^2$$
از طرفین مشتق بگیر. مثلاً برای راستای $x$ باید قاعدتاً بنویسیم:
$$q[{E_x}+({\boldsymbol{u} × \boldsymbol{B}})_x]=\frac{d}{dt}(\frac{m_0 {u_x}}{\sqrt{1-({u_x}^2+{u_y}^2+{u_z}^2)/c^2}})$$
دقت کن که توی عبارت بالا داریم:
$$u_yB_z-u_zB_y=({\boldsymbol{u} × \boldsymbol{B}})_x$$
paradoxy نوشته است:حالا سوال اینجاست که آیا در نسبیت، همچنان باید u بنویسیم، یا نه دیگه نسبیت "استثناست!" و در اون سرعت اولیه ذره در میدان مغناطیسی ضرب میشه، نه این سرعت متغییر u؟

همچنان باید $u$ بنویسی. احتمالاً با در نظر گرفتنِ این اصلاحات نسبیتی، با یه معادله دیفرانسیلِ به مراتب پیچیده تری برای محاسبه ی مسیر ذره ی باردار مواجه میشی.
ای که مجنون گشته ای در عشقِ ما............کِی بُوَد.. لیلی.. تو را.. نامی.. سزا؟!
سویِ.. من... پروانه.. شو... پروا مکن............در..... میانِ.... آتشم.... رقصان.... بیا
نماد کاربر
 
سپـاس : 444 times

ارسـال : 1220


نام: محمّد جوانشیری
سن: 33 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 90/9/24

ذکر نشده

Re: حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت

نوشتهاز سوی paradoxy در شنبه 16 شهريور 1398 - 23:39

به نظرم محاسباتت می تونه به صورت تقریبی درست باشه. (نمی دونم توی کدوم کتاب مرجع این معادلاتی که نوشتی رو دیدی ولی بدونْ که این محاسبات فقط برای سرعت های خیلی کمتر از سرعتِ نور درستن. متأسفانه بعضی از کتب مرجع چون الکترومغناطیس رو از اول به صورتِ نسبیتی یاد نمی دن، بعضی جاها دچار تقریب زنی هایی میشن که از دیدگاه نسبیت برای سرعت های بالا اصلاً مجاز نیست.) الکترومغناطیس با دینامیک نیوتنی سازگاریِ شناخته شده ای نداره و بهتره از همون اول از دینامیک نسبیتی استفاده کنی.

1. با دقت بخون چی نوشتم، فقط به فرمول ها نگاه نکن. نوشتم:
در این تاپیک حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت رو در فیزیک کلاسیک و نسبیت مقایسه می کنیم. اول ورژن کلاسیکی رو بررسی میکنیم. پس طبیعتا میدونم دارم چی مینویسم و چیکار میکنم. توی "کتاب" مرجع خاصی ندیدم این معادلات رو، چون انقدر معادله دیفرانسیل حل کردم که بدون کپی پیست، بتونم همچین معادله‌ هایی رو حل کنم. الان رفتم دنبال منبع، کتاب فولز این مسئله رو تحلیل کرده. توی کتاب فیزیک پلاسمای اف.چن هم میتونی عین همین مسئله رو پیدا کنی. توی کتاب میلفوردم این مسئله بررسی شده. پس شک نکن چیزایی که نوشتم کاملا درسته. لینکم بخوای میتونم پیدا کنم. محاسباتم در فیزیک کلاسیک کاملا دقیق هستند.

2. نه خیر. اتفاقا خیلی خوبشم مکانیک نیوتونی در این زمینه جواب گوئه، و به جرئت میگم خیلی به ندرت در عمل و جهان واقعی نیاز به استفاده از حد نسبیتی میشه. حتی توی فیزیک پلاسماشم حرکات ذرات رو با همین ورژن نیوتونیش، تازه با هزار تقریب دیگه بررسی می کنند.


همچنان باید u بنویسی. احتمالاً با در نظر گرفتنِ این اصلاحات نسبیتی، با یه معادله دیفرانسیلِ به مراتب پیچیده تری برای محاسبه ی مسیر ذره ی باردار مواجه میشی.

خیلی هم عالی. شما نگران معادله دیفرانسیل نباش، من اونو اوکی میکنم. سر نیرو توافق داشته باشیم اول. برگردیم مجددا به همون سوالی که من توی گفت و گوی آزاد مطرح کردم، و خصوصی در موردش جواب دادی رو بررسی کنیم.
یک ذره داریم با سرعت اولیه $\vec{v}_0=0$ در چارچوب ناظر دلخواه b. چارچوب b، میدان الکتریکی $\vec{E}=(E-\gamma_w E)\hat{j}$ که $w$ سرعت نسبی بین چارچوب a و چارچوب b هست، و میدان مغناطیسی $\vec{B}=-\gamma_w \frac{w}{c^2} E \hat{k}$ رو مشاهده میکنه. نیروی لورنتس رو شما از دید این ناظر بنویس.
واپسین ویرایش بدست paradoxy در يكشنبه 17 شهريور 1398 - 01:45, رویهم 1 بار.
نماد کاربر
 
سپـاس : 963 times

ارسـال : 1848


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت

نوشتهاز سوی M_J1364@yahoo.com در يكشنبه 17 شهريور 1398 - 01:13

paradoxy نوشته است:در این تاپیک حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت رو در فیزیک کلاسیک و نسبیت مقایسه می کنیم. اول ورژن کلاسیکی رو بررسی میکنیم. پس طبیعتا میدونم دارم چی مینویسم و چیکار میکنم.

خوب بابا حالا چرا عصبی میشی؟ smile015 از نحوه ی سؤال پرسیدنت و گاماس گاماس راه رفتنت حدس زدم که نتونی معادلات درست نسبیتیش رو بنویسی، برای همین زود معادلاتش رو نوشتم تا سورپرایزت کنم smile058
paradoxy نوشته است:پس شک نکن چیزایی که نوشتم کاملا درسته. لینکم بخوای میتونم پیدا کنم. محاسباتم در فیزیک کلاسیک کاملا دقیق هستند.

من که نگفتم اشتباهن، گفتم تقریبیَن. به نظر من تا تکانه ی نسبیتی رو در نظر نگیری چیزی "دقیق" نمی شه ولی حالا اگه دوست داری می تونی بگی توی مکانیک و الکترومغناطیس کلاسیک محاسباتت دقیقن!
paradoxy نوشته است:. نه خیر. اتفاقا خیلی خوبشم مکانیک نیوتونی در این زمینه جواب گوئه، و به جرئت میگم خیلی به ندرت در عمل و جهان واقعی نیاز به استفاده از حد نسبیتی میشه. حتی توی فیزیک پلاسماشم حرکات ذرات رو با همین ورژن نیوتونیش، تازه با هزار تقریب دیگه بررسی می کنند.

همه ی اینا به این خاطره که مسایلی که گفتی با سرعت های نزدیک نور سر و کلّه نمی زنه. این که معلومه: کلاً پدیده هایی که بررسیشون فقط با نسبیت امکان پذیر باشن کمن. ولی این دلیل نمیشه که ما به یه حل تقریبی بگیم "دقیق".
paradoxy نوشته است:یک ذره داریم با سرعت اولیه $\vec{v}_0=0$ در چارچوب ناظر دلخواه b. چارچوب b، میدان الکتریکی $\vec{E}=(qE-\gamma_w q E)\hat{j}$ که $w$ سرعت نسبی بین چارچوب a و چارچوب b هست، و میدان مغناطیسی $\vec{B}=-\gamma_w \frac{w}{c^2} E \hat{k}$ رو مشاهده میکنه. نیروی لورنتس رو شما از دید این ناظر بنویس.

به نظر میاد سؤالتو تمیز مطرح نکردی: 1- سرعت اولیه در چه جهتیه؟ 2- $w$ در چه جهتیه؟ 3- اون میدانایی که نوشتی از دید a هست؟ اگه هست پس چرا نوشتی چارچوبِ b؟ 4- اون میدان الکتریکیی که نوشتی چرا توش $q$ ضرب شده و به شکل نیرو نوشتیش؟

آقا جان اون نیروی لورنتس ربطی به سرعت اولیه نداره، بلکه اگه ذرّه ت در چارچوب b تحت میدان هایی داره شتابدار حرکت می کنه، تو باید اول بیای از دید ناظرِ متحرک a تبدیلات صحیح میدان که به $w$ وابسته ست رو بنویسی (احتمالاً همونایی میشن که خودت نوشتی) و بعد سرعت لحظه ایه بارت رو در چارچوب b اسمشو مثلاً $v$ بذاری و بعد بیای با استفاده از جمعِ نسبیتی سرعت ها (که معادله ی عمومیش پیچیده است) سرعت لحظه ایه بار رو از دید a محاسبه کنی و بعد این سرعتِ پیچیده که مثلاً $W$ هست رو بذاری توی فورمول نیروی لورنتس:
$$F=qWB_z$$
من نمی دونم کِی و کجا به تو گفتم سرعت اولیه رو باید توی نیروی لورنتس بذاریم. عجب گیری افتادیما! smile005
ای که مجنون گشته ای در عشقِ ما............کِی بُوَد.. لیلی.. تو را.. نامی.. سزا؟!
سویِ.. من... پروانه.. شو... پروا مکن............در..... میانِ.... آتشم.... رقصان.... بیا
نماد کاربر
 
سپـاس : 444 times

ارسـال : 1220


نام: محمّد جوانشیری
سن: 33 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 90/9/24

ذکر نشده

Re: حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت

نوشتهاز سوی paradoxy در يكشنبه 17 شهريور 1398 - 01:44

به نظر میاد سؤالتو تمیز مطرح نکردی: 1- سرعت اولیه در چه جهتیه؟ 2- w در چه جهتیه؟ 3- اون میدانایی که نوشتی از دید a هست؟ اگه هست پس چرا نوشتی چارچوبِ b؟ 4- اون میدان الکتریکیی که نوشتی چرا توش q ضرب شده و به شکل نیرو نوشتیش؟

3-میدان ها از دید b هستند. 4-اشتباه تایپیه. q رو بردار
1- سرعت اولیه در چه جهتیه!؟ نوشتم سرعت اولیه صفره. جهت میتونی نسبت بدی به بردار صفر، نسبت بده.
2. در راستای ایکس، هرچند واقعا مهم نیست.

آقا جان اون نیروی لورنتس ربطی به سرعت اولیه نداره، بلکه اگه ذرّه ت در چارچوب b تحت میدان هایی داره شتابدار حرکت می کنه، تو باید اول بیای از دید ناظرِ متحرک a تبدیلات صحیح میدان که به w وابسته ست رو بنویسی (احتمالاً همونایی میشن که خودت نوشتی) و بعد سرعت لحظه ایه بارت رو در چارچوب b اسمشو مثلاً v بذاری و بعد بیای با استفاده از جمعِ نسبیتی سرعت ها (که معادله ی عمومیش پیچیده است) سرعت لحظه ایه بار رو از دید a محاسبه کنی و بعد این سرعتِ پیچیده که مثلاً W هست رو بذاری توی فورمول نیروی لورنتس:

من این داستان تراشی هارو نیازی ندارم. شما بگو نیرو در چارچوب b با توجه به شرایطی که گفتم چی میشه. فرمول میخوام. F میخوام. کاری به سمت چپ معادله ندارم که مشتق از تکانه گاما دار میگیری و فلان.

من نمی دونم کِی و کجا به تو گفتم سرعت اولیه رو باید توی نیروی لورنتس بذاریم. عجب گیری افتادیما! smile005

شما نیروی لورنتس رو از دید b نوشتی
$$F=qE_1-\gamma qE_1$$
دلیلیم که آوردی اینه که چون ذره در ابتدا ساکنه نسبت به b، پس جمله دوم نیروی لورنتس میپره. یعنی میدان مغناطیسی نیرویی وارد نمیکنه... یعنی ورداشتی $v_0$ رو ضرب کردی در $B$. بیشتر توضیح بدم؟
Capture.PNG
Capture.PNG (7.53 KIB) بازدید 290 بار

حالا صحبت اینه که خب سرعت اولیه ذره، صفر باشه از دید b‌. چه اهمیتی داره؟ ما سرعت متغییر u رو در نیروی لورنتس به کار می بریم، نه v. یک مثال کلاسیک ساده زدم که متوجهت کنم که سرعت اولیه ضرب نمیشه اونجا.

خوب بابا حالا چرا عصبی میشی؟ smile015 از نحوه ی سؤال پرسیدنت و گاماس گاماس راه رفتنت حدس زدم که نتونی معادلات درست نسبیتیش رو بنویسی، برای همین زود معادلاتش رو نوشتم تا سورپرایزت کنم smile058

باریکالله!!! لایک هم میدم بهت که انقدر زرنگی.

اصلا شما این مسئله رو بریز دور. فقط یک ناظر داریم.
میدان الکتریکی از نظر این ناظر E در راستای ایگرگ
میدان مغناطیسی از نظر این ناظر B در راستای زد
و سرعت اولیه ذره صفره. شما نیروی لورنتس رو بنویس از دید این ناظر. در همه جهات.
نماد کاربر
 
سپـاس : 963 times

ارسـال : 1848


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی و مغناطیسی ثابت

نوشتهاز سوی M_J1364@yahoo.com در يكشنبه 17 شهريور 1398 - 13:35

paradoxy نوشته است:اصلا شما این مسئله رو بریز دور. فقط یک ناظر داریم.
میدان الکتریکی از نظر این ناظر E در راستای ایگرگ
میدان مغناطیسی از نظر این ناظر B در راستای زد
و سرعت اولیه ذره صفره. شما نیروی لورنتس رو بنویس از دید این ناظر. در همه جهات.

اگه برای همون لحظات اولیه که ذره تحت $E$ هنوز سرعت نگرفته بخوای، میشه همون $F=Eq$. ولی اگه برای هر لحظه ی دلخواه بعد از شتاب گرفتنِ ذره تحتِ $E$ بخوای:

برای راستای $x$ داریم:
$$q[{E_x}+({\boldsymbol{u} × \boldsymbol{B}})_x]=F_x$$
دقت کن که توی عبارت بالا داریم:
$$u_yB_z-u_zB_y=({\boldsymbol{u} × \boldsymbol{B}})_x$$
حالا طبق داده های خودت: $E_x=0$ و $B_y=0$ و $B_z=B$. پس داریم:
$$F_x=q(0+u_yB)$$
که $u_y$ سرعتِ لحظه ایِ ذره در راستای $y$ از دیدِ همون ناظره.

برای راستای $y$ داریم:
$$q[{E_y}+({\boldsymbol{u} × \boldsymbol{B}})_y]=F_y$$
دقت کن که توی عبارت بالا داریم:
$$u_zB_x-u_xB_z=({\boldsymbol{u} × \boldsymbol{B}})_y$$
حالا طبق داده های خودت: $E_y=E$ و $B_x=0$ و $B_z=B$. پس داریم:
$$F_y=q(E-u_xB)$$
که $u_x$ سرعتِ لحظه ایِ ذره در راستای $x$ از دیدِ همون ناظره.

برای راستای $z$ داریم:
$$q[{E_z}+({\boldsymbol{u} × \boldsymbol{B}})_z]=F_z$$
دقت کن که توی عبارت بالا داریم:
$$u_xB_y-u_yB_x=({\boldsymbol{u} × \boldsymbol{B}})_z$$
حالا طبق داده های خودت: $E_z=0$ و $B_x=0$ و $B_y=0$. پس داریم:
$$F_z=0$$
مقدار نیروی لورنتس هم از معادله ی زیر به دست میاد:
$$|F|=\sqrt{{F_x}^2+{F_y}^2+{F_z}^2}=q \sqrt{({u_x}^2+{u_y}^2)B^2+E^2-2EBu_x}$$
ای که مجنون گشته ای در عشقِ ما............کِی بُوَد.. لیلی.. تو را.. نامی.. سزا؟!
سویِ.. من... پروانه.. شو... پروا مکن............در..... میانِ.... آتشم.... رقصان.... بیا
نماد کاربر
 
سپـاس : 444 times

ارسـال : 1220


نام: محمّد جوانشیری
سن: 33 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 90/9/24

ذکر نشده


بازگشت به نسبیت

چه کسی هم اکنون اینجاست ؟

کاربرانی که در این تالار هستند: بدون کاربران عضو شده و 3 مهمان