طناب آویزان از دو نقطه

[hadimath]

سلام

معادله منحنی یک طناب یکنواخت آویزان از دو نقطه هم ارتفاع چیه؟
جوابش: کسینوس هیپربولیک
حل این مساله رو قبلا بشکلی خلاصه یکی از دوستان ارائه کرده ولی کامل نیست. ممنون میشم راه حل کاملش رو بنویسید. اگه تایپش سخته عکس از دستنویس بدید. ممنون

جوابی که قبلا داده شده بود رو میارم:

T.jpg

[Paradoxy]

حالت تعادل طناب رو در نظر میگیریم. یه نقطه دلخواه انتخاب میکنیم روی طناب و نیروهای وارد شده بهش رو بررسی میکنیم. مثلا میدونیم مرکز جرم طناب وقتی جرم طناب یکنواخت باشه در وسط طناب قرار داره و محلشم ثابته. چه نیرو هایی روش اثر میکنه؟ وزن، کشش طناب و یک کشش طناب دیگه. چرا دوتا کشش طناب؟ چون طناب از دو طرف بسته شده. نیروی وزن که جهتش مشخصه و رو به پایینه. یه کشش طناب دیگه هم، در جهت خود طناب قرار داره در هر نقطه و تکلیف اونم مشخصه. اون کشش سوم یکم عجیبه و شاید سریع به ذهن نرسه ولی با یه مثال ساده میشه وجودش رو درک کرد. شما فرض کن گرانش نداریم، یک طرف طناب رو بستیم و طرف دیگش رو با دست میکشیم. خب طناب ممکنه پاره بشه ممکنه هم نشه، ولی اگه پاره نشه چی باعث میشه که طناب شتاب نگیره در جهت نیروی دست؟ درسته، نیروی کشش خود طناب در مقابل نیروی دست. وقتی طناب رو به دو نقطه بستیم، کشش طناب هم در جهت افقی یک مولفه داره هم در جهت عمودی در هر نقطه، وقتی در تعادله، مولفه عمودیش با گرانش خنثی میشه. اما مولفه افقیش با یه کشش دیگه از اون طرف طناب جبران میشه که اسمشو میزارم $k$. اگر کشش طناب $T$ باشه و پارامتر جرم طناب $\lambda=m/L$ باشه، اونوقت طبق معادلات نیوتون در راستای افقی و عمودی داریم

$$T\cos\theta=k$$
$$T\sin\theta=mg=\lambda L g$$

دیگه ازینجا به بعد میشه ریاضیات. منم حالشو ندارم. https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary بخش Model of chains and arches رو ببینید به دو روش حل کرده. هرجاشم متوجه نشدید بگید توضیح میدم.

[hadimath]

ممنونم از توضیحات شما
موضوع اصلی همون موضوع نیروهاست. من قبلا این مساله رو اینجوری تحلیل کردم: اون کشش دوم رو هم که گفتید مثل همین کشش اول در نظر گرفتم. یعنی هر دو کشش از سمت دو نقطه آویز هست. و بعد هم که این نیروها تجزیه میشن و مولفه عمودی با وزن خنثی میشه و افقیها باهم. اشکال این تحلیل چیه؟

[Paradoxy]

اشکالش اینه که شما باید دقت کنی منشاء کشش دوم، اصلا خود مولفه افقی کشش اول هست. ساده توضیح میدم. شما فک کن یه نخ بستی به یه میخ. و یه چی آویزون کردی ازش، بعد نخ رو میبری تحت زاویه دلخواه و رهاش میکنی. چی میشه؟ خب نوسان میکنه، یه آونگ داریم. چرا نوسان میکنه؟ مگه نه این که گرانش فقط مولفه عمودی داره؟ چه نیرویی مولفه افقی واسه نخ فراهم میکنه، که نخ ما نوسان کنه در محور ایکس؟، درسته، مولفه افقی کشش نخ که در راستای ایکس میوفته عامل حرکت جسم در راستای ایکسه. البته ما همیشه تو دستگاه مختصات قطبی کار میکنیم، آر و تتا میگیریم، دقت نمیکنیم توی ایکس و ایگرگ چه خبره. ولی خب طبیعیه که وقتی گرانش فقط در محور yه، تنها عاملی که میتونه سبب شتاب در راستای ایکس بشه برای نوسانگر، همون مولفه افقی کشش نخ هست! حالا اینجا که طناب به دو تا میخ وصله، یه وزن داریم که هیچی فقط در راستای ایگرگه. یه کشش نخ هم داریم، مثل کشش نخ آونگ که زاویه داره... اینم هیچی طبیعیه. منتهی، باید دقت داشته باشیم که این کشش هم در راستای ایکس مولفه داره هم ایگرگ. ایگرگش که با وزن میره هیچی، اون مولفه ایکسه میخواد یه نقطه دلخواه از طناب رو شتاب بده در جهتی که هستش. یعنی شما یه نقطه، هرجایی بجز وسط طناب در نظر بگیر که درکش ساده تره. بعد کشش طناب معمولی مثل آونگ رو براش بکش و تجزیه کن. مولفه ایگرگشو بیخیال، اون مولفه ایکسه میخواد به اون نقطه از طناب شتاب بده و اونو بکشه سمت خودش. حالا در خلاف جهت این نیرو، یه نیروی واکنش در ادامه طناب به وجود میاد که زور میزنه جلوی این مولفه افقی رو بگیره و برای همین طناب در راستای ایکس شتاب پیدا نمیکنه. چرا کشش دوم فقط افقیه؟ چون منشاء ش خود مولفه افقی کشش طبیعی طناب هست! مثلا اگه ما یه فنر داشته باشیم، صرفا بکشیم یا لهش کنیم، فقط در یک محور فنر نیروی بازگشتی از خودش نشون میده. ولی اگه فنر رو "خم" کنیم به اصطلاح، میبینیم فنر در مقابل "خم" کردن ما هم واکنش نشون میده. واکنش فنر، به نیرویی که دست بهش وارد میکنه بستگی داره. اگه خمش کنیم، در خلاف جهت خم کردنه زور میزنه و برمیگرده به حالت اول. اگه بکشیمش یا لهش کنیم، خلاف اونا عمل میکنه... طنابم مستثنی نیست. اگه وزنی وجود نداشت و فرضا کشش طناب داشتیم که مولفه ایگرگش با چیزی خنثی نمیشد، و ازونور سیستمم تو تعادل بود، میتونستیم ببینیم که کشش دوم، مولفه ایگرگ هم پیدا میکرد.

[hadimath]

ممنون. البته از همین جمله اول (منشاء کشش دوم، اصلا خود مولفه افقی کشش اول هست) متوجه موضوع شدم. ولی از توضیحات کامل و مثال آونگ که خیلی خوب بود ممنونم. اما سوال آخر اینکه:
همون کشش اول امتدادش در راستای خط مماس بر طناب در اون نقطه فرضی است یا در امتداد خط واصل نقطه فرضی با میخ؟ بنظرم باید در امتداد خط مماس باشه. درسته؟

[Paradoxy]

اون صفحه ویکی پدیایی که دادم فقط از نظر ریاضی خوب نیست، عکسای مفیدی هم توش پیدا میشه

The tension at r is parallel to the curve at r and pulls the section to the right

نیروی کشش مماس هست بر هر نقطه منحنی. اگر نبود، و به قول شما میخواست در امتداد خط فرضی بین اون نقطه و میخ باشه، اونوقت طناب به اصطلاح شکم نمینداخت. میشد شبیه تابع قدر مطلق، دوتا خط تیز. ادامه ویکی هم تصریح کرده که فی (یا تتا توی پست من) زاویه بین نقطه r روی منحنی و محور ایکس هست.

اما به این سوال میتونید جواب بدید؟، توی خود نقطه c یا مرکز طناب، کشش طناب فقط در راستای افقی مولفه داره. چون کشش طناب گفتیم مماسه با منحنی در هر نقطه. خب،پس تو نقطه c کشش طناب اصلا مولفه عمودی نداره، در حالی که به نظر اونجا وزن داریم. چی میخواد این وزنو خنثی کنه و سیستم توی تعادل بمونه در نقطه c؟ معادله دوم منو ببینید.

[hadimath]

در نقطه c بنظرم وزن نداریم. چون در هر نقطه وزن همه نقاط پایینتر از اون نقطه تا نقطه C بر اون نقطه وارد میشه. پایینتر از نقطه C که طنابی وجود نداره و نیروی وزنی هم به اون نقطه وارد نمیشه. بنابراین اینکه میگیم نیروی وزن بر مرکز ثقل جسم وارد میشه در واقع فقط به مفهوم برقراری تعادل در اطراف مرکز ثقل معنی پیدا میکنه. درواقع یکم موضوع مرکز ثقل مبهم میشه. شاید این موضوع برمیگرده به تعریف دقیق مرکز ثقل که من احتمالا نمیدونم چیه این تعریف دقیق.
اون سایت رو فعلا نگا نکردم چون میخوام قسمت ریاضیشو خودم حل کنم.