سلام من 4 تا سوال ریاضی دارم که حلشو خیلی بلد نیستم روش حلشو میخوام اگه کسی یاد داره کمکم کنه ممنون
1.
2.
3.
سوال از مباحث کاربرد انتگرال و بازه
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3265-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: سوال از مباحث کاربرد انتگرال و بازه
تعریف همگرایی سری اگر دنباله $\large { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } } = { { a _ 1 } + { a _ 2 } + \ldots } + { { a _ n } + \ldots } $و شرط $ { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = L \; \; } \kern -0.3pt { \text {if} \; \; \lim \limits _ { n \to \infty } { S _ n } = L }$ واگر به هر نحوی رابطه فوق برقرار نباشد، سری واگرا نامیده می‌شود من چند روش میدم این آزمون می‌گوید اگر سری $ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$
همگرا باشد در این صورت حد an در بینهایت بایستی حتما برابر با صفر باشد. به عبارتی به منظور همگرا بودن سری $ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$
حد زیر بایستی برقرار باشد.$ \large \lim \limits _ { n \to \infty } { a _ n } = 0$ توجه کنید عکس این آزمون الزاما درست نیست. در حقیقت صفر بودن حد an در بینهایت همگرا بودن سری را نتیجه نمی‌دهد. برای نمونه حاصل حد $ \frac {1}{n}$ برابر با صفر است. این در حالی است که سری $\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { n } \normalsize } $
واگرا است.بعدی دالامبر برای به‌‌کارگیری این آزمون بایستی حاصل حد $ { \displaystyle \lim _ { n \to \infty } \left| { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } \right| = r }$
را بیابیم. در این رابطه اگر $ r < 1$ باشد، در این صورت سری همگرا است. در حالتی که r=1 باشد، نمی‌توان در مورد همگرا یا واگرا بودن سری نظری قطعی داد.
به طور کلی $Σ x^n/(n!)=e^x $ داریم به مثال توجه کنید $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2x^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{(n-1)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)x^n}{(n-1)!}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}=\underbrace{x^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}}_{f_1(x)}+\underbrace{x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}_{f_2(x)}$ چون $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)x^{n}}{(n-1)!}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)x^{n}}{(n-1)!}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n-2)!}=x^2\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}=x^2e^x$ و $ S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2x^n}{n!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{nx^n}{(n-1)!}\color{red}{=}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(n+1)x^{n+1}}{n!}=\underbrace{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{nx^{n+1}}{n!}}_{S_1}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}$و البته $S_1=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{nx^{n+1}}{n!}\color{blue}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{nx^{n+1}}{n!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{(n-1)!}\color{red}{=}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+2}}{n!} $لذا بدست میاورم $ S=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+2}}{n!}=x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}+x^2\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=xe^x+x^2e^x$ همگرا هست دومی واگرا هست جواب حد صفر هست و سوال سوم شما $ \int_0^{2\pi}\int_{c_1}^{c_2}\int_0^zr\,\mathrm dr\,\mathrm dz\,\mathrm d\theta$که $V=\int_{c_1}^{c_2}\left(\iint_{49-x^2\le z^2} 1 dxdy\right)dz
=\int_{c_1}^{c_2}\pi z^2dz=\frac{\pi}{3}238\big|_{c_1}^{c_2} $چون $ V_w = \pi \int_2^4 {R(y)^2 - r(y)^2 \ dy}$لذا $V=2\pi\int_a^b r(x)h(x)dx $ روش حل ${\displaystyle\int}\left(49-x^2\right)\mathrm{d}x $که میشه $ =49x-\dfrac{x^3}{3}+C$
همگرا باشد در این صورت حد an در بینهایت بایستی حتما برابر با صفر باشد. به عبارتی به منظور همگرا بودن سری $ \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$
حد زیر بایستی برقرار باشد.$ \large \lim \limits _ { n \to \infty } { a _ n } = 0$ توجه کنید عکس این آزمون الزاما درست نیست. در حقیقت صفر بودن حد an در بینهایت همگرا بودن سری را نتیجه نمی‌دهد. برای نمونه حاصل حد $ \frac {1}{n}$ برابر با صفر است. این در حالی است که سری $\sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { n } \normalsize } $
واگرا است.بعدی دالامبر برای به‌‌کارگیری این آزمون بایستی حاصل حد $ { \displaystyle \lim _ { n \to \infty } \left| { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } \right| = r }$
را بیابیم. در این رابطه اگر $ r < 1$ باشد، در این صورت سری همگرا است. در حالتی که r=1 باشد، نمی‌توان در مورد همگرا یا واگرا بودن سری نظری قطعی داد.
به طور کلی $Σ x^n/(n!)=e^x $ داریم به مثال توجه کنید $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2x^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{(n-1)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)x^n}{(n-1)!}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}=\underbrace{x^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}}_{f_1(x)}+\underbrace{x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}_{f_2(x)}$ چون $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)x^{n}}{(n-1)!}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)x^{n}}{(n-1)!}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n-2)!}=x^2\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}=x^2e^x$ و $ S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2x^n}{n!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{nx^n}{(n-1)!}\color{red}{=}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(n+1)x^{n+1}}{n!}=\underbrace{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{nx^{n+1}}{n!}}_{S_1}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}$و البته $S_1=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{nx^{n+1}}{n!}\color{blue}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{nx^{n+1}}{n!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{(n-1)!}\color{red}{=}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+2}}{n!} $لذا بدست میاورم $ S=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+2}}{n!}=x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}+x^2\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=xe^x+x^2e^x$ همگرا هست دومی واگرا هست جواب حد صفر هست و سوال سوم شما $ \int_0^{2\pi}\int_{c_1}^{c_2}\int_0^zr\,\mathrm dr\,\mathrm dz\,\mathrm d\theta$که $V=\int_{c_1}^{c_2}\left(\iint_{49-x^2\le z^2} 1 dxdy\right)dz
=\int_{c_1}^{c_2}\pi z^2dz=\frac{\pi}{3}238\big|_{c_1}^{c_2} $چون $ V_w = \pi \int_2^4 {R(y)^2 - r(y)^2 \ dy}$لذا $V=2\pi\int_a^b r(x)h(x)dx $ روش حل ${\displaystyle\int}\left(49-x^2\right)\mathrm{d}x $که میشه $ =49x-\dfrac{x^3}{3}+C$
