معادلات اویلر

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 855

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

معادلات اویلر

پست توسط rohamjpl »

Cauchy-Euler differential equationمعادله دیفرانسیل کوشی-اولر $ax^{2}{y}''+bx{y}'+cy=0 , x>0$جایی که a ، b و c ثابت هستند ، معادله کوشی-اویلر نامیده می شود.$(D=d/dt)$و$x{y}'=Dy$و$x^{2}{y}''=D(D-1)y$ب) با استفاده از نتیجه این قسمت معلومه که معادله کوشی-اولر را می توان به معادله ضریب ثابت تبدیل کرد:$(aD^{2}+(b-a)D+c)y=0$
به عنوان برای $y'$باید$x=e^t, t=\ln x$داشته باشید ، بنابراین:$\begin{align}
y'=&\frac {dy}{dx}=\frac {dy}{dt}\frac {dt}{dx}\\
y'=&\frac {dy}{dt}\frac {d \ln x}{dx} \\
y'=&\frac {dy}{dt} \frac 1 x \\
\implies xy'=&\frac {dy}{dt}=Dy \\
\end{align}$و$\begin{align}
y''=&\frac {d^2y}{dx^2}=\frac {d}{dx}\left (\frac {dy}{dx} \right )\\
y''=&\frac {d}{dx}\left ( \frac {dy}{dt} \frac 1 x \right ) \\
y''=&\left (-\frac 1 {x^2} \frac {dy}{dt} \right )+ \frac 1 x \frac {d^2y}{dt^2}\left ( \frac {dt}{dx} \right ) \\
y''=&\left (-\frac 1 {x^2} \frac {dy}{dt} \right )+ \frac 1 {x^2} \frac {d^2y}{dt^2} \\
\implies x^2y''=&-\frac {dy}{dt} + \frac {d^2y}{dt^2} =D(D-1)y\\
\end{align}$ببینید من از تغییر متغییر $x = {e^t}$استفاده کرده$\large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } & = \frac { d } { { d x } } \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) = { \frac { d } { { d x } } \left ( { { e ^ { – t } } \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } = { \frac { { \frac { d } { { d t } } } } { { \frac { { d x } } { { d t } } } } \left ( { { e ^ { – t } } \frac { { d y } } { { dt } } } \right) } \\ & = { \frac { { – { e ^ { – t } } \frac { { d y } } { { d t } } + { e ^ { – t } } \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } }} } { { { e ^ t } } } } = { { e ^ { – 2 t } } \left ( { \frac { { { d ^ 2 } y }} { { d { t ^2 } } } – \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) . }
\end {align*}$بعد قرار دادن در معادله اصلی من به $\large { k ^ 2 } + \left ( { A – 1 } \right ) k + B = 0 .$میرسم جواب عمومی $\large y \left ( t \right ) = y \left ( { \ln x } \right ) .$ببینید من میتونم $\large \begin {equation} y \left ( x \right ) = { x ^ r } \end {equation}$اگه تو معادله بزارم به $\large \begin {align*} a { x ^ 2 } \left ( r \right ) \left ( { r – 1 } \right ) { x ^ { r – 2 } } + b x \left ( r \right ) { x ^ { r – 1 } } + c { x ^ r } & = 0 \\ a r \left ( { r – 1 } \right ) { x ^ r } + b \left ( r \right ) { x ^ r } + c { x ^ r } & = 0 \\ \left ( { a r \left ( { r – 1 } \right ) + b \left ( r \right ) + c } \right ) { x ^ r } & = 0 \end {align*}$میرسم ساده میکنم $\large \begin {equation} a r \left ( { r – 1 } \right ) + b \left ( r \right ) + c = 0 \end {equation}$خوب حالا معادله درجه دوم و جواب عمومی اون$\large \boxed { y \left ( x \right ) = { c _ 1 } { x ^ { { r _ 1 } } } + { c _ 2 } { x ^ { { r _ 2 } } } }$اگه ریشه مضاعف Identical double rootجواب $\large \ r_ { 1 , 2 } \ = r$به صورت کلی $\large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } { x ^ r } + { c _ 2 } { x ^ r } \ln x = { x ^ r } \left ( { { c _ 1 } + { c _ 2 } \ln x } \right )$اگه ریشه مختلط بودComplex number $\large { r _ { 1 , 2 } } = \lambda \pm \mu \, i$جواب $\large y \ = \ { x ^ { \lambda + \mu \, i } }$پاسخ معادله دیفرانسیل نمی‌تواند مختلط باشدو$\large { x ^ r } = { { \bf { e } } ^ { \ln { x ^ r } } } = { { \bf { e } } ^ { r \ln x } }$پس $\large \begin {align*} { x ^ { \lambda + \mu \, i } } & = { { \bf { e } } ^ { \left ( { \lambda + \mu \,i} \right ) \ln x } } \\ & = { { \bf { e } } ^ { \lambda \ln x } } { { \bf { e } } ^ { \mu \, i \ln x} } \\ & = { { \bf { e } } ^ { \ln { x ^ \lambda } } } \left ( { \cos \left ( { \mu \ln x } \right ) + i \sin \left ( { \mu \ln x } \right ) } \right ) \\ & = { x ^ \lambda } \cos \left ( { \mu \ln x } \right ) + i { x ^ \lambda } \sin \left ( { \mu \ln x } \right ) \end {align*}$و برای قرینه جواب بعدی $\large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } { x ^ \lambda } \cos \left ( { \mu \ln x } \right ) + { c _ 2 }{ x ^ \lambda } \sin \left ( { \mu \ln x } \right ) = { x ^ \lambda } \left ( { { c _ 1 } \cos \left ( { \mu \ln x } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { \mu \ln x } \right ) } \right )$این هست ببینید بحث حل نیست بحث اشنایی و کاربرد هست .
منحصر به فرد بودن راه حل کلاسیک (معادلات غیر قابل فشردگی اویلر)
برای استخراج معادله اولر از جریان سیال نامشخص یک عنصر سیال ، باید از معادله استفاده کرد$- \nabla P+ \rho \overrightarrow{g} = \overrightarrow{F} \tag{1}$جایی که $\nabla P$ گرادیان فشار ، ρ چگالی فلود است ، $\overrightarrow{F}$ نیروی خالص سیال است و سپس از مشتق همرفت $D/Dt$ برای بدست آوردن فرمول استفاده می شود
$\rho \dfrac{D \overrightarrow{v}}{Dt}=- \nabla P+ \rho \overrightarrow{g} \tag{2}$
که $\overrightarrow{v}$ میدان بردار سرعت سیال است.من می دانم که اگر از (1) شروع کنم به کتاب (2) ، که کتابی که اکنون استفاده می کنم ، معادله جریان نامرغوب اویلر را نام می برد ، می دانم ، اما نحوه استخراج آن را فراموش کرده ام (1).جرم مایع در یک حجم V است ،$\int_V \rho \ dV$در کجا ، ρ چگالی است. به طور مشابه ، حرکت
$\int_V \rho \cdot \vec v \ dV$جایی که $\vec v$ سرعت سیال در یک نقطه از حجم است.اگر سیال از سطح محدود S حجم و داخل آن خارج شود ، با گذشت زمان تغییر می کند.${{d} \over {dt}} \cdot \int_V \rho \ dV=-\int_S \rho \cdot \vec v \cdot \vec n \ dS$جایی که محصول نقطه را در صورت مناسب می گیریم و $\vec n$ سطح طبیعی است. به طور مشابه ،
${{d} \over {dt}} \cdot \int_V \rho \cdot \vec v \ dV=-\int_S \rho \cdot \vec v \ ( \vec v \cdot \vec n) \ dS$
با استفاده از قانون دوم نیوتن ، سرعت تغییر حرکت یک قسمت ثابت از ماده برابر است با نیروی خالصی که بر آن ماده وارد می کند. اگر فرض کنیم نیرو به دلیل فشار p در سطح V باشد ، می توان گفت ،
$(1) \quad {{d} \over {dt}} \cdot \int_V \rho \cdot \vec v \ dV=-\int_S \rho \cdot \vec v \ ( \vec v \cdot \vec n) +p \cdot \vec n \ dS$اکنون ، ما می توانیم از این واقعیت استفاده کنیم که ،
$\int_V \nabla f \ dV=\int_S \vec n \cdot f \ dS$
همراه با این واقعیت ،$\int_V \nabla \cdot \vec B \ dV=\int_S \vec n \cdot \vec B \ dS$
و (1) را دوباره بنویسید ،$(2) \quad {{d} \over {dt}} \cdot \int_V \rho \cdot \vec v \ dV=-\int_V \nabla \cdot (\rho \cdot \vec v) \cdot \vec v +\nabla p\ dV$در حال حرکت ، ما دریافت می کنیم ،
$(3) \quad \int_V {{d} \over {dt}} \ (\rho \cdot \vec v)+\nabla \cdot (\rho \cdot \vec v) \cdot \vec v +\nabla p\ dV=0$
که می تواند به ساده شود ،$(4) \quad {{d} \over {dt}} \ (\rho \cdot \vec v)+\nabla \cdot (\rho \cdot \vec v) \cdot \vec v +\nabla p=0$که در نهایت می شود ،$(5) \quad {{D} \over {Dt}} \ (\rho \cdot \vec v)+\nabla p=0$
که معادله اولر برای جریان نامحسوس است.روش من
حافظه ام تا جایی که بلدم می گوید که من باید فرض کنم که مایع در حالت استراحت است و از این رو در نظر بگیرم که تنها نیروهای وارد شده بر روی مایع فشار و کشش گرانشی هستند و نیروی ناشی از فشار توسط$\nabla P dxdydz$این کاملا درست است
و نیروی ناشی از شتاب احتمالی خارج $\overrightarrow{a}$ است$\overrightarrow{F}$
موقت ، اما درست است.به طوری که کل نیروی بیرونی باشد.$\nabla P dx \cdot dy \cdot dz + \overrightarrow{F}$
بله ، این درست است.و توسط نیوتن III ، یعنی $F_{AB}=-F_{BA}$ ، من فکر می کنم که این نیرو با وزن مایع $g dm = g \rho dx \cdot dy \cdot dz$ جرم اصلی مایع است واکنش نشان می دهد و از این رو می توانم بنویسم
$\nabla P dx \cdot dy \cdot dz + \overrightarrow{F} = - g \rho dxdydz \overrightarrow{ k }$
از قانون دوم نیوتن استفاده کنید و من فکر می کنم این موثر است
تصویر

ارسال پست