فرض کنید دایره‌‌ای به شعاع r و مرکز (a,b) با معادله‌ی
x-a)^2+(y-b)^2=r^2)
رو داریم. می‌دونیم که با مشتق‌گیری ضمنی و صفر قرار دادن مشتقش، می‌تونیم تعیین کنیم که توی کدوم نقطه یا نقاط شیب مماس بر نمودار صفره (موازیه با محور xها).
ولی چطوری می‌تونیم بفهمیم در چه نقاطی شیب مماس موازی با محور yهاست؟!!! یعنی باید مشتق معادله رو برابر با بینهایت قرار بدیم؟!!!
(نظر شخصی خودم اینه که dx/dy رو برابر صفر قرار بدیم)
خط مماس نمودار که موازی با محور yهاست
Re: خط مماس نمودار که موازی با محور yهاست
سلام
به نظر من اصلا نیاز نیست مشتق بگیریم. طول مرکز دایره a و شعاعش r هست. پس دو خط x=a+r و x=a-r بر دایره مماس قائم هستن
واسه مماس های افقی هم دو خط به معادلات زیر رو داریم:
y=b+r
y=b-r
به نظر من اصلا نیاز نیست مشتق بگیریم. طول مرکز دایره a و شعاعش r هست. پس دو خط x=a+r و x=a-r بر دایره مماس قائم هستن
واسه مماس های افقی هم دو خط به معادلات زیر رو داریم:
y=b+r
y=b-r
Re: خط مماس نمودار که موازی با محور yهاست
مجموع پنج جمله اول یک دنباله حسابی برابر 40 و مجموع 3 جمله اول 3 برابر 2 جمله بعدی است قدر نسبت این دنباله چند است؟ لطفاً سریع جواب بدید
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 2523-
سپاس: 4628
- جنسیت:
تماس:
Re: خط مماس نمودار که موازی با محور yهاست
من جواب شما و هم جواب دوست دیگرمون رو میدم
فرمول $a_n = a_1 + (n − 1)d$و $𝑠_𝑛 =
n/2
[2𝑎_1 + (𝑛 − 1)𝑑]$ خوب اینجا مجموع جملات چهارم و پنجم شما 10هست .و طبق فرمول $2a_1+7d=10$و همچنین $7a_1+10d=40$خوب d=-2,$a_1=12$حالا $a_n = 12 -2 (n − 1)$
در یک تصاعد هندسی، gp geometric progressionمجموع جمله های 2 و 3 برابر12 و مجموع جمله های 3 و 4 برابر با 60 است. نسبت مشترک جمله اول را بیابید.راه حل $\begin{alignat*}{3}
ar & + & ar^2 & = 12 \tag{1}\\
ar^2 & + & ar^3 & = 60 \tag{2}
\end{alignat*}$و $0 = 60 - 12r \tag{3}$و $(5)a+(5^2)a=12 \to 30a = 12 \to a = \frac{2}{5}$یا $\begin{align*}
a = \frac{12}{r + r^2} \\
ar^2 + ar^3 = 60
\end{align*}$و$\begin{align*}
a = \frac{12}{r + r^2} \\
\frac{12}{r + r^2}r^2 + \frac{12}{r + r^2}r^3 = 60
\end{align*}$و$\begin{align*}
\frac{12}{r + r^2}r^2 + \frac{12}{r + r^2}r^3 = 60\frac{12}{r + r^2}\frac{r + r^2}{12}
\end{align*}$و $\begin{align*}
12r^2 + 12r^3 = 60(r + r^2)
\end{align*}$
یک سوال دیگه مسئله ای در مورد دنباله های حسابی و هندسی سه جمله اول یک دنباله هندسی نیز جزء اول، یازدهم و شانزدهم یک دنباله حسابی هستند. شرایط دنباله هندسی همه متفاوت است. مجموع تا بی نهایت دنباله هندسی 18 است. نسبت مشترک دنباله هندسی و تفاوت مشترک دنباله حسابی را بیابید.$ur=u+10d$و$ur^2=u+15d$و $u/(1-r)=18$پس میشه دریافت خواهید کرد
$a_2=a_1q,a_3=a_1q^2$و$\sum_{k=0}^\infty a_1 q^k=a_1\frac{1}{1-q}$
و$a_1=b_1,a_2=b _1+10d,a_3=b_1+15d$می توانید ادامه دهید؟ با استفاده از معادله خود به دست خواهید آورد
$a_1=b_1$و$a_q=b_1+10d$.$a_1q^2=b_1+15d$واز آنجا که$a_1=b_1$ما بدست می آوریم$a_1q=a_1+10d$
$a_1q^2=a_1+15d$وبا حذف q بدست می آوریم$a_1\left(\frac{a_1+10d}{a_1}\right)^2=a_1+15d$
از اینجا معادله را بدست می آوریم$5a_1d+100d^2=0$بنابراین$a_1=-20d$اگرd≠0حل این ما می گیریم$q=\frac{1}{2}$پس $b_1,b_2,b_3 \iff a_1,a_{11},a_{16} \Rightarrow \\
\begin{cases}b_2-b_1=10d \\ b_3-b_2=5d\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}b_1(q-1)=10d \\ b_1(q^2-q)=5d\end{cases} \Rightarrow q=\frac12.\\
\frac{b_1}{1-q}=18 \Rightarrow b_1=9;\\
b_1(q-1)=10d \Rightarrow d=-\frac9{20}.\\$
مسئله دنباله هندسی شامل مجموع اعداد
اعداد: a،b،c،d دنباله هندسی تولید می کنند و a+b+c+d=-40. اگر $a^2+b^2+c^2+d^2=3280$ این اعداد را پیدا کنیدبگذارید $\frac{b}{a}=q$ و $1+q^2=2uq.$بنابراین، $|u|\geq1$
$a=-\frac{40}{1+q+q^2+q^3}$و$a^2(1+q^2+q^4+q^6)=3280,$که می دهد$\frac{1600}{(1+q)^2(1+q^2)^2}\cdot(1+q^2)(1+q^4)=3280$یا$20(1+q^4)=41(1+q)^2(1+q^2)$یا$10(2u^2-1)=41(u+1)u$یا$21u^2+41u+10=0,$که می دهد$u=-\frac{5}{3},$$q\in\left\{-3,-\frac{1}{3}\right\}.$راه ساده فرض کنید r نسبت مشترک GP باشد. سپس با استفاده از فرمول جمع GP، داریم،
$\begin{align}
a+b+c+d=-40&\implies a\left(\dfrac{r^4-1}{r-1}\right)=-40\tag1\\
a^2+b^2+c^2+d^2=3280&\implies a^2\left(\dfrac{r^8-1}{r^2-1}\right)=3280\tag2
\end{align}$حالا معادله دوم را از مربع معادله اول تقسیم کنید تا به دست آورید$\begin{equation}
\dfrac{(r^4+1)(r-1)}{(r^4-1)(r+1)}=\dfrac{41}{20}\tag3
\end{equation}$در اخر $\begin{equation}
r\in\left\{-3,-\dfrac13\right\}
\end{equation}$
سوال خط مماس و موازی بر axis
شکل کلی معادله محور y x = 0 است. بنابراین، معادله خط موازی با محور y با معادله x = k به دست می‌آید.در واقع شیب خط با شیب منحنی یکی باشه موازی با خط شماست صریح بگم شما مشتق ایمپلیسیت ضمنی بگیر مساوس صفر بزار $\frac{dy}{dx}=0$ مقدار اونو در معادله اصلی بزار همین ر ضمن برای محور y هم $\displaystyle \frac{dy}{dx}= \pm \infty$ همین ببین مخرج صفر بشه همین
مشتق ضمنی بلدیImplicit derivative مثال $3=x^2+xy+y^2$که $0=2x+x \frac{dy}{dx}+y+2y \frac{dy}{dx}$و در نهایت $\frac{dy}{dx}=\frac{-(2x+y)}{x+2y}$تمایز ضمنی به محاسبه مشتق بدون فرآیند حل برای y کمک می کند. این امر مستلزم قانون زنجیره ای است، زیرا به طور کلی:$\dfrac{dL}{dx} = \dfrac{dL}{dy}\cdot \dfrac{dy}{dx}$
به طور واضح، به نظر واضح است که در یک صفحه، فقط یک خط می تواند مماس بر یک منحنی در یک نقطه باشد. با این حال، در فضای سه بعدی، بسیاری از خطوط می توانند بر یک نقطه مماس مماس باشند. اگر این خطوط در یک صفحه قرار گیرند، صفحه مماس را در آن نقطه تعیین می کنند. یک راه شهودی تر برای فکر کردن به صفحه مماس این است که فرض کنیم سطح در آن نقطه صاف است (بدون گوشه). سپس، یک خط مماس به سطح در آن نقطه در هر جهت، هیچ تغییر ناگهانی در شیب ندارد زیرا جهت به آرامی تغییر می کند. بنابراین، در یک محله به اندازه کافی کوچک در اطراف نقطه، یک صفحه مماس فقط در آن نقطه سطح را لمس می کند.فرض کنید S سطحی باشد که توسط یک تابع متمایز z=f(x,y) تعریف می شود و $P_0=(x_0,y_0)$ نقطه ای در حوزه f باشد. سپس، معادله صفحه مماس بر S در P0 به دست می آید
$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)$این بردار بر هر دو خط عمود است و بنابراین بر صفحه مماس عمود است. ما می‌توانیم از این بردار به عنوان بردار معمولی بر صفحه مماس، به همراه نقطه$ P0=(x0,y0,f(x0,y0))$ در معادله یک صفحه استفاده کنیم:$\begin{align*}\vecs n·((x−x_0)\,\hat{\mathbf i}+(y−y_0)\,\hat{\mathbf j}+(z−f(x_0,y_0))\,\hat{\mathbf k}) &=0 \\[4pt] (f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf i}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf j}-\,\hat{\mathbf k})·((x−x_0)\,\hat{\mathbf i}+(y−y_0)\,\hat{\mathbf j}+(z−f(x_0,y_0))\,\hat{\mathbf k}) &=0 \\[4pt] f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)−(z−f(x_0,y_0)) &=0. \end{align*}$
برای اینکه بفهمیم چرا این فرمول درست است، اجازه دهید ابتدا دو خط مماس به سطح S پیدا کنیم. معادله خط مماس بر منحنی که با تقاطع S با رد عمودی با x=x0 نشان داده می شود $z=f(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)$. به طور مشابه، معادله خط مماس به منحنی که با تقاطع S با رد عمودی داده شده با y=y0 نشان داده می شود$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)$ است. بردار موازی با اولین خط مماس است$\vecs a=\,\hat{\mathbf j}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf k}$و $\vecs b=\hat{\mathbf i}+f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf k}$پس $\begin{align*} \vecs a\times \vecs b &=(\,\hat{\mathbf j}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf k})×(\,\hat{\mathbf i}+f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf k})\\[4pt] &=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf i} & \hat{\mathbf j} & \hat{\mathbf k}\\[4pt] 0 & 1 & f_y(x_0,y_0)\\[4pt] 1 & 0 & f_x(x_0,y_0)\end{vmatrix} \\[4pt] &=f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf i}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf j}−\,\hat{\mathbf k}. \end{align*}$
$\begin{align*}\vecs n·((x−x_0)\,\hat{\mathbf i}+(y−y_0)\,\hat{\mathbf j}+(z−f(x_0,y_0))\,\hat{\mathbf k}) &=0 \\[4pt] (f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf i}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf j}-\,\hat{\mathbf k})·((x−x_0)\,\hat{\mathbf i}+(y−y_0)\,\hat{\mathbf j}+(z−f(x_0,y_0))\,\hat{\mathbf k}) &=0 \\[4pt] f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)−(z−f(x_0,y_0)) &=0. \end{align*}$کلا $\begin{equation}
f_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + f_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0
\end{equation}$معنای هندسی مشابهی برای مشتقات جزئی $\dfrac{∂f}{∂x}$ و $\dfrac{∂f}{∂y}$ یک تابع z=f(x,y) وجود دارد: با دادن یک نقطه (a,b) در حوزه D از f(x,y) ، رد سطحی که با z=f(x,y) در صفحه y=b توصیف می شود منحنی در $\mathbb{R}^ 3$ از نقطه $(a,b, f (a,b))$ و شیب خط مماس است. $L_x$ به آن منحنی در آن نقطه $\dfrac{∂f}{∂x} (a,b)$ است. به طور مشابه، $\dfrac{∂f}{∂y} (a,b)$ شیب خط مما$L_y$ به رد سطح z=f(x,y) در صفحه x=a است .از آنجایی که مشتق $\dfrac{dy}{dx}$ یک تابع y=f(x) برای یافتن خط مماس به نمودار f (که یک منحنی در R^2$ $است) استفاده می‌شود، ممکن است انتظار داشته باشید که مشتقات جزئی را بتوان برای تعریف صفحه مماس به آن استفاده کرد. نمودار یک سطح z=f(x,y) . این در واقع به نظر می رسد که مورد است. ابتدا به تعریف صفحه مماس نیاز داریم. ایده شهودی این است که یک صفحه مماس "فقط" یک سطح را در یک نقطه لمس می کند. تعریف رسمی از مفهوم شهودی یک خط مماس بر یک منحنی تقلید می کند.
فرض کنید z=f(x,y) معادله یک سطح S در R^3$ $باشد و P=(a,b,c) نقطه ای از S باشد. فرض کنید T صفحه ای باشد که حاوی نقطه P باشد و اجازه دهید Q=(x,y,z) یک نقطه عمومی در سطح S را نشان دهد. اگر با نزدیک شدن نقطه Q به P در امتداد سطح S، زاویه (حاد) بین بردار $\vec{PQ}$ و صفحه T به صفر نزدیک شود، آنگاه T را صفحه مماس بر S در P می نامیم.
توجه داشته باشید که از آنجایی که دو خط در $R^3 $یک صفحه را تعیین می کنند، پس دو خط مماس به سطح z=f(x,y) در جهت های x و y که در شکل 2.3.1 شرح داده شده اند در صفحه مماس در آن نقطه قرار می گیرند، اگر صفحه مماس در آن نقطه وجود دارد. وجود آن دو خط مماس به خودی خود وجود صفحه مماس را تضمین نمی کند. ممکن است اگر رد سطح را در صفحه x−y=0 بگیریم (که با محور x مثبت زاویه 45◦ ایجاد می کند)، منحنی حاصل در آن صفحه ممکن است خط مماس داشته باشد که در آن نیست. صفحه ای که توسط دو خط مماس دیگر تعیین می شود، یا ممکن است در آن نقطه اصلاً خط مماس نداشته باشد. خوشبختانه، معلوم می شود که اگر $\dfrac{∂f}{∂x}$ و$\dfrac{∂f}{∂y}$ در ناحیه ای حول یک نقطه (a,b) وجود داشته باشند و در (a,b) پیوسته باشند، صفحه مماس به سطح z=f(x، y) در نقطه$(a,b, f (a,b))$ وجود خواهد داشت. در این متن، آن شرایط همیشه برقرار است.
فرض کنید که می خواهیم معادله ای از صفحه مماس T به سطح z=f(x,y) در یک نقطه$(a,b, f (a,b))$ داشته باشیم. فرض کنید که Lx و Ly خطوط مماس بر آثار سطح در صفحات y=b و x=a باشند، و فرض کنید که شرایط برای وجود T برقرار است. سپس معادله T است
$A(x− a)+B(y− b)+C(z − f (a,b)) = 0$
که در آن n=(A,B,C) یک بردار نرمال برای صفحه T است. از آنجایی که T شامل خطوط$ l_x$ و $L_y $است، پس تنها چیزی که نیاز داریم بردارهای$ v_x$ و$ v_y$ هستند که به ترتیب با$ L_x $and$ L_y $موازی باشند و سپس اجازه دهید $n = v_x × v_y$از آنجایی که شیب $L_x$برابر$\dfrac{∂f}{∂x} (a,b)$ است، پس بردار $v_x = (1,0, \dfrac{∂f}{∂x} (a,b))$ موازی با Lx است (زیرا vx در صفحه -xz قرار دارد و در یک خط با شیب $\dfrac{\dfrac{∂f}{∂x}(a,b)}{1} = \dfrac{∂f}{∂x} (a,b)$ قرار دارد.ببه طور مشابه، بردار $v_y = (0,1, \dfrac{∂f}{∂y} (a,b))$موازی با Ly است. از این رو، بردار
$\textbf{n} = \mathbf{v_x} × \mathbf{v_y} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\[4pt] 1 & 0 & \dfrac{∂f}{∂x}(a,b) \\[4pt] 0 & 1 & \dfrac{∂f}{∂y} (a,b) \end{vmatrix} =-\dfrac{∂f}{∂x}(a,b)\textbf{i}-\dfrac{∂f}{∂y}(a,b)\textbf{j}+\textbf{k} \nonumber$
برایصفحه T طبیعی است. بنابراین معادله T است$dfrac{∂f}{∂x}(a,b)(x-a)-\dfrac{∂f}{∂y}(a,b)(y-b)+z-f(a,b)=0$
با ضرب هر دو ضلع در 1- به نتیجه زیر می رسیم:
معادله صفحه مماس بر سطح$ z=f(x,y) $در نقطه $(a,b, f (a,b))$است.
$\dfrac{∂f}{∂x}(a,b)(x-a)+\dfrac{∂f}{∂y}(a,b)(y-b)-z+f(a,b)=0$
معادله صفحه مماس بر سطح $z = x^2 + y^2$ را در نقطه (1،2،5) بیابید.
راه حل
برای تابع $f (x, y) = x^2 + y^2$ و $\dfrac{∂f}{∂x} = 2x$و$\dfrac{∂f}{∂y} = 2y$داریم، بنابراین معادله صفحه مماس در نقطه (1،2،5) است.
$\nonumber 2(1)(x−1)+2(2)(y−2)− z +5 = 0 \text{ , or }$و $\nonumber 2x+4y− z −5 = 0$
به روشی مشابه، می توان نشان داد که اگر یک سطح به طور ضمنی با معادله ای به شکل F(x,y,z)=0 تعریف شود، آنگاه صفحه مماس بر سطح در یک نقطه (a,b,c) با معادله داده می شود
$dfrac{∂F}{∂x}(a,b, c)(x− a)+ \dfrac{∂F}{∂y}(a,b, c)(y− b)+ \dfrac{∂F}{∂z}(a,b, c)(z − c) = 0$
توجه داشته باشید که معادله قبلی من حالت ویژه معادله بعدی است که در آن$F(x, y, z) = f (x, y)− z$.
معادله صفحه مماس بر سطح $x^2 + y^2 + z^2 = 9$را در نقطه (2،2،-1) بیابید.
برای تابع$F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 −9$ و $\dfrac{∂F}{∂x} = 2x$ و $\dfrac{∂F}{∂y} = 2y$و $\dfrac{∂F}{∂z} = 2z$داریم، بنابراین معادله مماس صفحه در (2،2،-1) است
$\nonumber 2(2)(x−2)+2(2)(y−2)+2(−1)(z +1) = 0 \text{, or}$ یا$\nonumber 2x+2y− z −9 = 0$
نکته: خط مماس بر یک منحنی در یک نقطه خاص، خطی است که فقط در یک نقطه منحنی را لمس می کند. با توجه به اینکه یک خط مماس بر روی یک منحنی در یک نقطه عمود بر محور x است. وقتی خطی بر محور x عمود باشد، با محور y موازی خواهد بود.یافتن معادله مماس موازی با محور x و yیک منحنی معادله $4x^2+8x+9y^2-36y+4=0$ دارد.
$\dfrac{dy}{dx}$را پیدا کنید.
(ii) معادله(های) مماس(های) منحنی را بنویسید که موازی با
(الف) محور x
(ب) محور y.
پاسخ های (i) $\dfrac{4x+4}{18-9y}\qquad$ (ii) (a) y=0 یا y=4 (ب) x=2 یا x=−4.
من (i) $\frac{dy}{dx}$ را گرفتم. اما چگونه می توانم معادله مماس موازی با محور x را پیدا کنم؟ من فکر کردم که$\frac{dy}{dx} = 0$ را تنظیم کنم اما$\frac{4x+4}{18-9y}=0$ دریافت می کنم چگونه ادامه دهم؟ برای قسمت موازی محور $\frac{dy}{dx} = 1$ را تنظیم کردم؟شما درست گفتید - با تنظیم$\displaystyle \frac{dy}{dx}= 0$ اطلاعاتی در مورد اینکه کدام نقاط دارای خاصیت مماس موازی با محور x هستند را پیدا می کنیم. شما آن $\displaystyle \frac{4x+4}{18-9y} = 0$ را پیدا کردید که فقط اگر x=−1 باشد درست است. این را به معادله منحنی وصل کنید تا مقادیر y نقاط روی منحنی با x=−1 را پیدا کنید.
هنگامی که مختصات نقاط مماس موازی با محور x را بدانید، به طور خودکار معادله مماس را می دانید. اگر نمیدونیدکه چگونه است، یک نموار رسم کنید
برای (ii) (b)، به زبان ساده، گرادیان باید بینهایت باشد، بنابراین باید$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \pm \infty$ را تنظیم کنید و فرآیندی مشابه در قسمت a را طی کنید ببینید روش برای یافتن مماس های افقی:
یک خط مستقیم بگذارید
y=c... (1*)
بیضی داده شده را با معادله برش دهید
$4x^2+8x+9y^2-36y+4=0$
$4x^2+8x+9c^2-36c+4=0$...(3*)، که یک معادله درجه دوم در x است که باید در نقطه مماس دارای ریشه های مساوی باشد.
بنابراین تعیین کننده آن باید ناپدید شود.
$64 - 4\,.4\, (9c^2-36c+4) = 0$ساده کردن و حل کردن،c=0 و c=4 یاy=0 و y=4 ...(4*)مماس های افقی مورد نیاز هستند.
به طور مشابه، x=c را برای مماس های عمودی تنظیم کنید.حال مشتق بگیر میشه$\frac{-8c}{2}=-4c$
برخی از کارها را می توان بادرست کردن بیضی به شکل استاندارد کاهش داد، یا حداقل کاهش داد:
$\left(\dfrac{x+1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{y-2}{2}\right)^2 =1$
با افزودن محورهای نیمه اصلی/فرعی (3،2) به مرکز مختصات بیضی x،y (-1،2)، می‌دانید نقاط مماس شما کجا هستند.
شما باید یک معادله $f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$ایجاد کنید بازم مثال بزنم $x^2-2xy+2y^2=4$مشتق ضمنی ایمپلیسیت بگیر معمولا Explicit و Implicit در روش اجزای محدود کاربرد داره وارد بحث نمیشم $2x-2(y+x\frac{dy}{dx})+4y\frac{dy}{dx}=0$خوب $2x-2y-2x\frac{dy}{dx}+4y\frac{dy}{dx}=0$حال $\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{2y-x}$خوب $\frac{dy}{dx}=0$ حالا y=x خوب و مقدار محاسبه میشه $(-2,-2),(2,2)$
.معادله خط مماس در مختصات کارتزین
فرض کنید تابع y=f(x) در بازه (a,b) تعریف شده و درx0∈(a,b) پیوسته باشد. در این نقطه (نقطه M در شکل زیر)، مقدار تابع برابر با ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ است.همچنین، فرض کنید متغیر مشتق x در x0 دارای نِمُو (افزایش جزئی) Δx باشد. نمو متناظر تابع (Δy) را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:$\large \Delta y = f \left( {{ x _ 0 } + \Delta x} \right) – f\left( { { x_ 0 }} \right).$
خط مماس بر منحنی ، نقطه M1 در موقعیت $\left( {{x_0} + \Delta x,{y_0} + \Delta y} \right)$ قرار دارد. پاره‌خط $MM_1$ را رسم می‌کنیم که معادله آن به‌صورت زیر است:$\large y – { y _ 0 } = k\left( { x – { x _ 0} } \right)$که در آن، k شیب برحسب نمو Δx بوده و برابر است با:$\large k = k\left( {\Delta x} \right) = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.$وقتی Δx کاهش پیدا کند، نقطه M1 به‌سمت نقطه M حرکت می‌کند: M1→M. در شرایط حدیِ Δx→0، فاصله بین نقاط M و M1 به صفر میل می‌کند. با توجه به شرط پیوستگی تابع f(x) در نقطه x0، داریم:$\large { \lim \limits_ { \Delta x \to 0} \Delta y = 0,\;\;}\Rightarrow
{\lim\limits _ { \Delta x \to 0} \left| { M {M _ 1 } } \right| }
= {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \sqrt {{{\left( {\Delta x} \right)} ^ 2 } + {{\left( {\Delta y} \right) } ^ 2 } } = 0 . }$
وضعیت حدی پاره‌خط MM1، خط مماس بر منحنی تابع y=f(x) در نقطه M نامیده می‌شود.
دو نوع خط مماس وجود دارد: «خط مماس مایل» (Oblique Tangent) و «خط مماس قائم» (Vertical Tangent).
تعریف ۱اگر حد کران‌دار و محدود $\lim\limits_{\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) = {k_0}$
را داشته باشیم، آنگاه معادله خط مستقیم به‌صورت زیر است:$\large y – {y _ 0 } = k \left( { x – { x _ 0 } } \right)$
که مماس مایل منحنی y=f(x) در نقطه (x0,y0) نامیده می‌شود.تعریف ۲اگر Δx→0، مقدار k بینهایت شود، یعنی $\lim\limits_{\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) = \pm \infty$، آنگاه معادله خط به‌صورت زیر خواهد بود:x=x0که خط مماس قائم منحنی تابع f(x) در نقطه (x0,y0) نامیده می‌شود.لازم است بدانیم:$\large {{k_0} = \lim \limits _ {\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) }
= { \lim \limits _ { \Delta x \to 0} \frac{{\Delta y } } { {\Delta x } } }
= { f’\left( { { x _ 0 } } \right)}$یعنی شیب خط مماس، برابر با مشتق تابع f(x) در نقطه مماسx0 است. بنابراین، معادله مماس مایل را می‌توان به‌فرم زیر نوشت:$\large { y – { y _ 0 } = f’\left( { { x _ 0 } } \right)\left( {x – { x _ 0}} \right)\;\;}$
$\large { y = f’ \left( {{x_0}} \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right) + f\left( { { x _ 0 } } \right)}$
از آنجایی که شیب خط، برابر با تانژانت زاویه α (زاویه بین خط و جهت مثبت محور x) است، تساوی زیر را داریم:$\large { y = f’ \left( {{x_0}} \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right) + f\left( { { x _ 0 } } \right)}$
معادله خط قائم در مختصات کارتزین
خط راست عمود بر خط مماس بر منحنی که آن را در نقطه تماس (x0,y0) قطع می‌کند، «خط قائم» یا خط عمود یا خط نرمال (Normal Line) بر منحنی تابع y=f(x) در این نقطه نامیده می‌شود.خط قائم بر منحنی از هندسه می‌دانیم که ضرب شیب‌های دو خط عمود بر هم برابر با −1 است. بنابراین، با داشتن معادله خط مماس در نقطه (x0,y0)، یعنی:$\large y – { y _ 0 } = f ’ \left( { { x _ 0 } } \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right),$می‌توانیم معادله خط قائم را به‌سادگی بنویسیم:$\large y – { y _ 0 } = – \frac { 1 } { { f ’ \left( { { x _ 0 } } \right) } } \left( { x – { x _ 0 } } \right ) .$
معادله خط مماس و قائم بر منحنی در فرم پارامتریفرض کنید منحنی یک حرکت در صفحه به‌فرم پارامتری زیر داده شده است:$\large {x = x \left( t \right),}\;\;\;\kern-0.3pt{ y = y \left( t \right) . }$آنگاه شیب خط مماس بر نقطه (x0,y0) را می‌توان با استفاده از قاعده مشتق توابع پارامتری به‌صورت زیر نوشت:$\large k = \tan \alpha = \frac{{{y’_ t } }} { {{ x’ _ t } }} .$بنابراین، معادله خط مماس به‌فرم زیر خواهد بود:$\large {y – { y _ 0 } = \frac{ { { y ’_ t} } }{ {{ x ’_ t} } } \left( { x – { x_ 0} } \right)}$یا $\large \frac{{x – { x _ 0} }} {{ { x’ _t } } } = \frac{ { y – { y _0 }} } { {{ y’ _t } } }$بر همین اساس، معادله خط قائم به‌صورت زیر است:
$\large { y – { y _ 0} = – \frac { { { x ’ _ t } } } { { { y ’ _ t } } } \left( { x – { x _ 0 } } \right)}$ویا $\large {\;\;\;\kern-0.3pt\frac{{x – {x _ 0} } } {{ { y ’ _ t } } } = – \frac{{y – { y _ 0 } } }{ { {x ’ _ t } } } . }$
.معادله خط مماس و قائم در مختصات قطبی فرض کنید منحنی با معادله قطبی r=f(θ) بیان شده باشد که براساس طول بردار شعاعی
r و زاویه قطبی θ است. در مختصات کارتزین، این منحنی به‌صورت زیر بیان می‌شود:$\large \left\{ \begin {array} {l}
x = r \cos \theta = f\left( \theta \right) \cos \theta \\
y = r \sin \theta = f\left( \theta \right) \sin\theta
\end{array} \right..$بنابراین، معادله پارامتری منحنی را می‌نویسیم که در آن، زاویه θ نقش یک پارامتر را ایفا می‌کند. در ادامه، توصیف شیب خط مماس بر منحنی را در نقطه(x0,y0) به‌دست می‌آوریم:$\large {k = \tan \theta = \frac { { { y ’_\theta } } }{{ {x ’ _\theta }}} }
= {\frac { { { { \left( {r\sin \theta } \right) } ^ \prime }}}{ { {{\left( {r\cos \theta } \right) } ^ \prime }}} }
= { \frac { {{ r ’_\theta }\sin \theta + r \cos \theta }} { { { r ’ _ \theta }\cos\theta – r\sin \theta }}.}$
ر نتیجه، معادله مربوط به خط مماس و خط قائم به‌ترتیب، به‌صورت زیر خواهد بود:$\large { y – { y _ 0 } = \frac { { { y’_\theta } }} { { { x ’_ \theta }}}\left( { x – { x _ 0 } } \right)}$و$\large { y – { y _ 0 } = – \frac { { { x ’ _ \theta } } }{ { {y ’ _ \theta } } } \left( { x – { x _ 0 } } \right) } .$خط مماس در مختصات قطبی
منحنی‌ها را می‌توان مستقیماً در مختصات قطبی و بدون تبدیل به دستگاه مختصات کارتزین بررسی کرد. در این حالت، به‌جای زاویه
θ نسبت به محور قطبی (یعنی جهت مثبت محور x)، ساده‌تر است که زاویه β را نسبت به خط شامل بردار شعاعی r در نظر بگیریم.
تانژانت زاویه β را می‌توان با استفاده از فرمول زیر به‌دست آورد:$\large \tan \beta = \frac { r } { { { r ’ _ \theta } } } .$
اگر y=m(x−a) مماس بر$y = x^3 - x$ باشد چه می توانیم بگوییم؟
نمودارهای $y = x^3 - x$ و y=m(x−a) روی محورهای زیر رسم شده‌اند. در اینجا m>0 و a≤-1.
خط y=m(x−a) با محور x در A=(a,0) برخورد می کند، مکعب $y = x^3 - x$ را در B لمس می کند و دوباره با مکعب در C قطع می کند. مختصات x B و C به ترتیب b و c هستند.
نمودار مکعب و خط. خط قبل از اولین نقطه عطف مکعب را لمس می کند و پس از نقطه عطف دوم مکعب از آن عبور می کند.
برای نشان دادن $m=3b^2-1$ از این واقعیت استفاده کنید که خط و مکعب با x=b تماس دارند.
برای اینکه خط و مکعب در x=b لمس شوند، شیب ها باید در این نقطه برابر باشند.
شیب مکعب به دست می آید$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1,$و شیب خط m است.
بنابراین، معادل سازی این عبارات در x=b به دست می آید$m = 3b^2 - 1.$
بیشتر نشان دهید که$a = \frac{2b^3}{3b^2 - 1}.$مقدار y باید برای هر نمودار در x=b یکسان باشد. از این رو داریم
$b^3 - b = m(b-a).$اکنون از قسمت (i) می دانیم که $m=3b^2 - 1$، بنابراین جایگزینی آن با عبارت بالا به دست می آید
$b^3 - b = (3b^2 - 1)(b-a).$می‌توانیم با تقسیم بر $3b^2-1$ این را دوباره مرتب کنیم تا a را بدست آوریم
$b^3 - b = (3b^2 - 1)(b-a).$و سپس پیدا کردن$\begin{align*}
a &{}= b - \frac{b^3 - b}{3b^2 - 1}\\
&{}= \frac{b(3b^2-1) -(b^3 - b)}{3b^2 -1}\\
&{}= \frac{2b^3}{3b^2 - 1}.
\end{align*}$اگر $a=-10^6$ باشد، مقدار تقریبی b چقدر است؟
خط منحنی و مماس با یک خط بسیار بزرگ و منفی. خط از نقطه A با یک گرادیان مثبت کوچک می آید تا به نمودار در B برسد.
اگر a بزرگ و منفی باشد، خط y=m(x−a) (که هنوز مماس بر منحنی بین 1- و 0 است) تقریباً افقی خواهد بود.
بنابراین نقطه B تقریباً در حداکثر نقطه منحنی قرار خواهد گرفت، یعنی جایی که $3x^2-1=0$ است، بنابراین $b \approx - \dfrac{1}{\sqrt{3}}$روش دیگر در مورد این موضوع این است که کسری در (ii) باید بسیار بزرگ و منفی باشد.
برای این کار یا b باید خیلی بزرگ و منفی باشد یا مخرج باید خیلی نزدیک به صفر باشد.
اما b بین -1 و 0 قرار دارد، بنابراین باید دومی باشد، و$3b^2-1\approx0$، به $b \approx - \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ (با گرفتن جذر منفی).با استفاده از این واقعیت که$x^3 - x - m(x-a) = (x-b)^2 (x-c)$
(که نیازی به اثبات آن ندارید)، نشان دهید که c=−2b.می‌توانیم هر دو طرف را به صورت چند جمله‌ای قرار دهیم، به طوری که ضرایب $x^3$،$ x^2 $و غیره را در هر طرف ببینیم. انجام این کار می دهد$x^3-(m+1)x +ma = x^3 -(2b + c)x^2 +(b^2 + 2bc)x -b^2 c.$
از آنجایی که عبارت برای همه x صادق است، باید درست باشد که ضریب هر توان x باید در هر دو طرف یکسان باشد.
به ویژه ضریب$ x^2 $در سمت چپ، 0، باید برابر با ضریب سمت راست، -(2b+c) باشد. بنابراین $2b+c=0$ و از این رو c=−2b.
R ناحیه محدودی است که در بالا با خط y=m(x−a) محدود شده و در پایین با $y = x^3 - x$ مکعب محدود شده است. مساحت R برای کدام مقدار a بزرگتر است؟نشان دهید که بزرگترین مساحت ممکن R$\dfrac{27}{4}$ است.
نموداری از خط و منحنی با منطقه بین منحنی‌های بین دو نقطه ملاقات سایه‌دار، با برچسب R. a و b نیز مشخص شده‌اند.
اگر a افزایش یابد (به 1- نزدیکتر شود)، b کاهش می یابد و خط y=m(x−a) بالا می رود و مساحت R را بزرگتر می کند.
بنابراین ما می خواهیم بزرگترین مقدار ممکن a را انتخاب کنیم تا مساحت را بزرگتر کنیم. بنابراین به عنوان a≤−1، مساحت R زمانی که a=−1 است، بزرگترین است.و وقتی a=−1، خط y=m(x−a) باید مماس بر منحنی در نقطه (-1,0) باشد زیرا این یک نقطه روی خط و منحنی برای این مقدار a است.بنابراین B با A و b=−1 منطبق است.
ما همچنین می توانیم این را به صورت جبری با استفاده از نتایج قبلی به شرح زیر استنباط کنیم. با بخش (II)، ما آن را می بینیم
$-1 = \frac{2b^3}{3b^2 - 1}.$با ترتیب مجدد این مقدار$2b^3 + 3b^2 - 1 = 0$ به دست می آید که می تواند به صورت $(b+1)^2 (2b-1) = 0$ فاکتورسازی شود. از آنجایی که b نمی تواند مثبت باشد، نتیجه می گیریم که b=-1.
سپس با استفاده از قسمت (iv) c=2 بدست می آوریم و از قسمت (i) می بینیم که$m=3b^2 - 1 = 2$
بنابراین اکنون می توانیم محاسبه کنیممساحت$\begin{align*}
\text{Area of $R$} &{}= \int_b^c (m(x+1) - (x^3 - x)) \, dx \\
&{}= \int_{-1}^2 -x^3 + 3x + 2 \, dx \\
&{}= \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^2 \\
&{}= 6-\left(-\frac{3}{4}\right)\\
&{}= \frac{27}{4}.
\end{align*}$خط مماس موازی با محور Y، تابع $f(y)=\sqrt[3]{x^2-x^3}+x$ و نقاطی که خط مماس وجود ندارد.
ججواب $\frac{d}{dx}\left(\sqrt[3]{x^{2}-x^{3}}+x\right)=\frac{2x-3x^{2}}{3\sqrt[3]{\left(x^{2}-x^{3}\right)^{2}}}+1$به وضوح تابع برای x=0,1 تعریف نشده است$f'_{+}\left(0\right)=\lim_{x \to 0^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$و$f'_{-}\left(0\right)=\lim_{x \to 0^-}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}0$و $=\lim_{x \to 0^-}\frac{x\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}-1}+1\right)}{x}=1+\sqrt[3]{\lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}-1}=-∞$تحلیل به کمک روش المان محدود (FEA)
معادلات حاکم بر اغلب مسائل مهندسی معادلات دیفرانسیل هستند. . روش المان محدود (Finite Element Method=FEM) یکی از مشهورترین روش‌های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل اعم از معادلات دیفرانسیل معمولی خطی/غیرخطی (Ordinary Differential Equation=ODE) و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی/غیرخطی (Partial Differential Equation=PDE) است.
فرمول $a_n = a_1 + (n − 1)d$و $𝑠_𝑛 =
n/2
[2𝑎_1 + (𝑛 − 1)𝑑]$ خوب اینجا مجموع جملات چهارم و پنجم شما 10هست .و طبق فرمول $2a_1+7d=10$و همچنین $7a_1+10d=40$خوب d=-2,$a_1=12$حالا $a_n = 12 -2 (n − 1)$
در یک تصاعد هندسی، gp geometric progressionمجموع جمله های 2 و 3 برابر12 و مجموع جمله های 3 و 4 برابر با 60 است. نسبت مشترک جمله اول را بیابید.راه حل $\begin{alignat*}{3}
ar & + & ar^2 & = 12 \tag{1}\\
ar^2 & + & ar^3 & = 60 \tag{2}
\end{alignat*}$و $0 = 60 - 12r \tag{3}$و $(5)a+(5^2)a=12 \to 30a = 12 \to a = \frac{2}{5}$یا $\begin{align*}
a = \frac{12}{r + r^2} \\
ar^2 + ar^3 = 60
\end{align*}$و$\begin{align*}
a = \frac{12}{r + r^2} \\
\frac{12}{r + r^2}r^2 + \frac{12}{r + r^2}r^3 = 60
\end{align*}$و$\begin{align*}
\frac{12}{r + r^2}r^2 + \frac{12}{r + r^2}r^3 = 60\frac{12}{r + r^2}\frac{r + r^2}{12}
\end{align*}$و $\begin{align*}
12r^2 + 12r^3 = 60(r + r^2)
\end{align*}$
یک سوال دیگه مسئله ای در مورد دنباله های حسابی و هندسی سه جمله اول یک دنباله هندسی نیز جزء اول، یازدهم و شانزدهم یک دنباله حسابی هستند. شرایط دنباله هندسی همه متفاوت است. مجموع تا بی نهایت دنباله هندسی 18 است. نسبت مشترک دنباله هندسی و تفاوت مشترک دنباله حسابی را بیابید.$ur=u+10d$و$ur^2=u+15d$و $u/(1-r)=18$پس میشه دریافت خواهید کرد
$a_2=a_1q,a_3=a_1q^2$و$\sum_{k=0}^\infty a_1 q^k=a_1\frac{1}{1-q}$
و$a_1=b_1,a_2=b _1+10d,a_3=b_1+15d$می توانید ادامه دهید؟ با استفاده از معادله خود به دست خواهید آورد
$a_1=b_1$و$a_q=b_1+10d$.$a_1q^2=b_1+15d$واز آنجا که$a_1=b_1$ما بدست می آوریم$a_1q=a_1+10d$
$a_1q^2=a_1+15d$وبا حذف q بدست می آوریم$a_1\left(\frac{a_1+10d}{a_1}\right)^2=a_1+15d$
از اینجا معادله را بدست می آوریم$5a_1d+100d^2=0$بنابراین$a_1=-20d$اگرd≠0حل این ما می گیریم$q=\frac{1}{2}$پس $b_1,b_2,b_3 \iff a_1,a_{11},a_{16} \Rightarrow \\
\begin{cases}b_2-b_1=10d \\ b_3-b_2=5d\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}b_1(q-1)=10d \\ b_1(q^2-q)=5d\end{cases} \Rightarrow q=\frac12.\\
\frac{b_1}{1-q}=18 \Rightarrow b_1=9;\\
b_1(q-1)=10d \Rightarrow d=-\frac9{20}.\\$
مسئله دنباله هندسی شامل مجموع اعداد
اعداد: a،b،c،d دنباله هندسی تولید می کنند و a+b+c+d=-40. اگر $a^2+b^2+c^2+d^2=3280$ این اعداد را پیدا کنیدبگذارید $\frac{b}{a}=q$ و $1+q^2=2uq.$بنابراین، $|u|\geq1$
$a=-\frac{40}{1+q+q^2+q^3}$و$a^2(1+q^2+q^4+q^6)=3280,$که می دهد$\frac{1600}{(1+q)^2(1+q^2)^2}\cdot(1+q^2)(1+q^4)=3280$یا$20(1+q^4)=41(1+q)^2(1+q^2)$یا$10(2u^2-1)=41(u+1)u$یا$21u^2+41u+10=0,$که می دهد$u=-\frac{5}{3},$$q\in\left\{-3,-\frac{1}{3}\right\}.$راه ساده فرض کنید r نسبت مشترک GP باشد. سپس با استفاده از فرمول جمع GP، داریم،
$\begin{align}
a+b+c+d=-40&\implies a\left(\dfrac{r^4-1}{r-1}\right)=-40\tag1\\
a^2+b^2+c^2+d^2=3280&\implies a^2\left(\dfrac{r^8-1}{r^2-1}\right)=3280\tag2
\end{align}$حالا معادله دوم را از مربع معادله اول تقسیم کنید تا به دست آورید$\begin{equation}
\dfrac{(r^4+1)(r-1)}{(r^4-1)(r+1)}=\dfrac{41}{20}\tag3
\end{equation}$در اخر $\begin{equation}
r\in\left\{-3,-\dfrac13\right\}
\end{equation}$
سوال خط مماس و موازی بر axis
شکل کلی معادله محور y x = 0 است. بنابراین، معادله خط موازی با محور y با معادله x = k به دست می‌آید.در واقع شیب خط با شیب منحنی یکی باشه موازی با خط شماست صریح بگم شما مشتق ایمپلیسیت ضمنی بگیر مساوس صفر بزار $\frac{dy}{dx}=0$ مقدار اونو در معادله اصلی بزار همین ر ضمن برای محور y هم $\displaystyle \frac{dy}{dx}= \pm \infty$ همین ببین مخرج صفر بشه همین
مشتق ضمنی بلدیImplicit derivative مثال $3=x^2+xy+y^2$که $0=2x+x \frac{dy}{dx}+y+2y \frac{dy}{dx}$و در نهایت $\frac{dy}{dx}=\frac{-(2x+y)}{x+2y}$تمایز ضمنی به محاسبه مشتق بدون فرآیند حل برای y کمک می کند. این امر مستلزم قانون زنجیره ای است، زیرا به طور کلی:$\dfrac{dL}{dx} = \dfrac{dL}{dy}\cdot \dfrac{dy}{dx}$
به طور واضح، به نظر واضح است که در یک صفحه، فقط یک خط می تواند مماس بر یک منحنی در یک نقطه باشد. با این حال، در فضای سه بعدی، بسیاری از خطوط می توانند بر یک نقطه مماس مماس باشند. اگر این خطوط در یک صفحه قرار گیرند، صفحه مماس را در آن نقطه تعیین می کنند. یک راه شهودی تر برای فکر کردن به صفحه مماس این است که فرض کنیم سطح در آن نقطه صاف است (بدون گوشه). سپس، یک خط مماس به سطح در آن نقطه در هر جهت، هیچ تغییر ناگهانی در شیب ندارد زیرا جهت به آرامی تغییر می کند. بنابراین، در یک محله به اندازه کافی کوچک در اطراف نقطه، یک صفحه مماس فقط در آن نقطه سطح را لمس می کند.فرض کنید S سطحی باشد که توسط یک تابع متمایز z=f(x,y) تعریف می شود و $P_0=(x_0,y_0)$ نقطه ای در حوزه f باشد. سپس، معادله صفحه مماس بر S در P0 به دست می آید
$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)$این بردار بر هر دو خط عمود است و بنابراین بر صفحه مماس عمود است. ما می‌توانیم از این بردار به عنوان بردار معمولی بر صفحه مماس، به همراه نقطه$ P0=(x0,y0,f(x0,y0))$ در معادله یک صفحه استفاده کنیم:$\begin{align*}\vecs n·((x−x_0)\,\hat{\mathbf i}+(y−y_0)\,\hat{\mathbf j}+(z−f(x_0,y_0))\,\hat{\mathbf k}) &=0 \\[4pt] (f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf i}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf j}-\,\hat{\mathbf k})·((x−x_0)\,\hat{\mathbf i}+(y−y_0)\,\hat{\mathbf j}+(z−f(x_0,y_0))\,\hat{\mathbf k}) &=0 \\[4pt] f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)−(z−f(x_0,y_0)) &=0. \end{align*}$
برای اینکه بفهمیم چرا این فرمول درست است، اجازه دهید ابتدا دو خط مماس به سطح S پیدا کنیم. معادله خط مماس بر منحنی که با تقاطع S با رد عمودی با x=x0 نشان داده می شود $z=f(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)$. به طور مشابه، معادله خط مماس به منحنی که با تقاطع S با رد عمودی داده شده با y=y0 نشان داده می شود$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)$ است. بردار موازی با اولین خط مماس است$\vecs a=\,\hat{\mathbf j}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf k}$و $\vecs b=\hat{\mathbf i}+f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf k}$پس $\begin{align*} \vecs a\times \vecs b &=(\,\hat{\mathbf j}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf k})×(\,\hat{\mathbf i}+f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf k})\\[4pt] &=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf i} & \hat{\mathbf j} & \hat{\mathbf k}\\[4pt] 0 & 1 & f_y(x_0,y_0)\\[4pt] 1 & 0 & f_x(x_0,y_0)\end{vmatrix} \\[4pt] &=f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf i}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf j}−\,\hat{\mathbf k}. \end{align*}$
$\begin{align*}\vecs n·((x−x_0)\,\hat{\mathbf i}+(y−y_0)\,\hat{\mathbf j}+(z−f(x_0,y_0))\,\hat{\mathbf k}) &=0 \\[4pt] (f_x(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf i}+f_y(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf j}-\,\hat{\mathbf k})·((x−x_0)\,\hat{\mathbf i}+(y−y_0)\,\hat{\mathbf j}+(z−f(x_0,y_0))\,\hat{\mathbf k}) &=0 \\[4pt] f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)−(z−f(x_0,y_0)) &=0. \end{align*}$کلا $\begin{equation}
f_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + f_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0
\end{equation}$معنای هندسی مشابهی برای مشتقات جزئی $\dfrac{∂f}{∂x}$ و $\dfrac{∂f}{∂y}$ یک تابع z=f(x,y) وجود دارد: با دادن یک نقطه (a,b) در حوزه D از f(x,y) ، رد سطحی که با z=f(x,y) در صفحه y=b توصیف می شود منحنی در $\mathbb{R}^ 3$ از نقطه $(a,b, f (a,b))$ و شیب خط مماس است. $L_x$ به آن منحنی در آن نقطه $\dfrac{∂f}{∂x} (a,b)$ است. به طور مشابه، $\dfrac{∂f}{∂y} (a,b)$ شیب خط مما$L_y$ به رد سطح z=f(x,y) در صفحه x=a است .از آنجایی که مشتق $\dfrac{dy}{dx}$ یک تابع y=f(x) برای یافتن خط مماس به نمودار f (که یک منحنی در R^2$ $است) استفاده می‌شود، ممکن است انتظار داشته باشید که مشتقات جزئی را بتوان برای تعریف صفحه مماس به آن استفاده کرد. نمودار یک سطح z=f(x,y) . این در واقع به نظر می رسد که مورد است. ابتدا به تعریف صفحه مماس نیاز داریم. ایده شهودی این است که یک صفحه مماس "فقط" یک سطح را در یک نقطه لمس می کند. تعریف رسمی از مفهوم شهودی یک خط مماس بر یک منحنی تقلید می کند.
فرض کنید z=f(x,y) معادله یک سطح S در R^3$ $باشد و P=(a,b,c) نقطه ای از S باشد. فرض کنید T صفحه ای باشد که حاوی نقطه P باشد و اجازه دهید Q=(x,y,z) یک نقطه عمومی در سطح S را نشان دهد. اگر با نزدیک شدن نقطه Q به P در امتداد سطح S، زاویه (حاد) بین بردار $\vec{PQ}$ و صفحه T به صفر نزدیک شود، آنگاه T را صفحه مماس بر S در P می نامیم.
توجه داشته باشید که از آنجایی که دو خط در $R^3 $یک صفحه را تعیین می کنند، پس دو خط مماس به سطح z=f(x,y) در جهت های x و y که در شکل 2.3.1 شرح داده شده اند در صفحه مماس در آن نقطه قرار می گیرند، اگر صفحه مماس در آن نقطه وجود دارد. وجود آن دو خط مماس به خودی خود وجود صفحه مماس را تضمین نمی کند. ممکن است اگر رد سطح را در صفحه x−y=0 بگیریم (که با محور x مثبت زاویه 45◦ ایجاد می کند)، منحنی حاصل در آن صفحه ممکن است خط مماس داشته باشد که در آن نیست. صفحه ای که توسط دو خط مماس دیگر تعیین می شود، یا ممکن است در آن نقطه اصلاً خط مماس نداشته باشد. خوشبختانه، معلوم می شود که اگر $\dfrac{∂f}{∂x}$ و$\dfrac{∂f}{∂y}$ در ناحیه ای حول یک نقطه (a,b) وجود داشته باشند و در (a,b) پیوسته باشند، صفحه مماس به سطح z=f(x، y) در نقطه$(a,b, f (a,b))$ وجود خواهد داشت. در این متن، آن شرایط همیشه برقرار است.
فرض کنید که می خواهیم معادله ای از صفحه مماس T به سطح z=f(x,y) در یک نقطه$(a,b, f (a,b))$ داشته باشیم. فرض کنید که Lx و Ly خطوط مماس بر آثار سطح در صفحات y=b و x=a باشند، و فرض کنید که شرایط برای وجود T برقرار است. سپس معادله T است
$A(x− a)+B(y− b)+C(z − f (a,b)) = 0$
که در آن n=(A,B,C) یک بردار نرمال برای صفحه T است. از آنجایی که T شامل خطوط$ l_x$ و $L_y $است، پس تنها چیزی که نیاز داریم بردارهای$ v_x$ و$ v_y$ هستند که به ترتیب با$ L_x $and$ L_y $موازی باشند و سپس اجازه دهید $n = v_x × v_y$از آنجایی که شیب $L_x$برابر$\dfrac{∂f}{∂x} (a,b)$ است، پس بردار $v_x = (1,0, \dfrac{∂f}{∂x} (a,b))$ موازی با Lx است (زیرا vx در صفحه -xz قرار دارد و در یک خط با شیب $\dfrac{\dfrac{∂f}{∂x}(a,b)}{1} = \dfrac{∂f}{∂x} (a,b)$ قرار دارد.ببه طور مشابه، بردار $v_y = (0,1, \dfrac{∂f}{∂y} (a,b))$موازی با Ly است. از این رو، بردار
$\textbf{n} = \mathbf{v_x} × \mathbf{v_y} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\[4pt] 1 & 0 & \dfrac{∂f}{∂x}(a,b) \\[4pt] 0 & 1 & \dfrac{∂f}{∂y} (a,b) \end{vmatrix} =-\dfrac{∂f}{∂x}(a,b)\textbf{i}-\dfrac{∂f}{∂y}(a,b)\textbf{j}+\textbf{k} \nonumber$
برایصفحه T طبیعی است. بنابراین معادله T است$dfrac{∂f}{∂x}(a,b)(x-a)-\dfrac{∂f}{∂y}(a,b)(y-b)+z-f(a,b)=0$
با ضرب هر دو ضلع در 1- به نتیجه زیر می رسیم:
معادله صفحه مماس بر سطح$ z=f(x,y) $در نقطه $(a,b, f (a,b))$است.
$\dfrac{∂f}{∂x}(a,b)(x-a)+\dfrac{∂f}{∂y}(a,b)(y-b)-z+f(a,b)=0$
معادله صفحه مماس بر سطح $z = x^2 + y^2$ را در نقطه (1،2،5) بیابید.
راه حل
برای تابع $f (x, y) = x^2 + y^2$ و $\dfrac{∂f}{∂x} = 2x$و$\dfrac{∂f}{∂y} = 2y$داریم، بنابراین معادله صفحه مماس در نقطه (1،2،5) است.
$\nonumber 2(1)(x−1)+2(2)(y−2)− z +5 = 0 \text{ , or }$و $\nonumber 2x+4y− z −5 = 0$
به روشی مشابه، می توان نشان داد که اگر یک سطح به طور ضمنی با معادله ای به شکل F(x,y,z)=0 تعریف شود، آنگاه صفحه مماس بر سطح در یک نقطه (a,b,c) با معادله داده می شود
$dfrac{∂F}{∂x}(a,b, c)(x− a)+ \dfrac{∂F}{∂y}(a,b, c)(y− b)+ \dfrac{∂F}{∂z}(a,b, c)(z − c) = 0$
توجه داشته باشید که معادله قبلی من حالت ویژه معادله بعدی است که در آن$F(x, y, z) = f (x, y)− z$.
معادله صفحه مماس بر سطح $x^2 + y^2 + z^2 = 9$را در نقطه (2،2،-1) بیابید.
برای تابع$F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 −9$ و $\dfrac{∂F}{∂x} = 2x$ و $\dfrac{∂F}{∂y} = 2y$و $\dfrac{∂F}{∂z} = 2z$داریم، بنابراین معادله مماس صفحه در (2،2،-1) است
$\nonumber 2(2)(x−2)+2(2)(y−2)+2(−1)(z +1) = 0 \text{, or}$ یا$\nonumber 2x+2y− z −9 = 0$
نکته: خط مماس بر یک منحنی در یک نقطه خاص، خطی است که فقط در یک نقطه منحنی را لمس می کند. با توجه به اینکه یک خط مماس بر روی یک منحنی در یک نقطه عمود بر محور x است. وقتی خطی بر محور x عمود باشد، با محور y موازی خواهد بود.یافتن معادله مماس موازی با محور x و yیک منحنی معادله $4x^2+8x+9y^2-36y+4=0$ دارد.
$\dfrac{dy}{dx}$را پیدا کنید.
(ii) معادله(های) مماس(های) منحنی را بنویسید که موازی با
(الف) محور x
(ب) محور y.
پاسخ های (i) $\dfrac{4x+4}{18-9y}\qquad$ (ii) (a) y=0 یا y=4 (ب) x=2 یا x=−4.
من (i) $\frac{dy}{dx}$ را گرفتم. اما چگونه می توانم معادله مماس موازی با محور x را پیدا کنم؟ من فکر کردم که$\frac{dy}{dx} = 0$ را تنظیم کنم اما$\frac{4x+4}{18-9y}=0$ دریافت می کنم چگونه ادامه دهم؟ برای قسمت موازی محور $\frac{dy}{dx} = 1$ را تنظیم کردم؟شما درست گفتید - با تنظیم$\displaystyle \frac{dy}{dx}= 0$ اطلاعاتی در مورد اینکه کدام نقاط دارای خاصیت مماس موازی با محور x هستند را پیدا می کنیم. شما آن $\displaystyle \frac{4x+4}{18-9y} = 0$ را پیدا کردید که فقط اگر x=−1 باشد درست است. این را به معادله منحنی وصل کنید تا مقادیر y نقاط روی منحنی با x=−1 را پیدا کنید.
هنگامی که مختصات نقاط مماس موازی با محور x را بدانید، به طور خودکار معادله مماس را می دانید. اگر نمیدونیدکه چگونه است، یک نموار رسم کنید
برای (ii) (b)، به زبان ساده، گرادیان باید بینهایت باشد، بنابراین باید$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \pm \infty$ را تنظیم کنید و فرآیندی مشابه در قسمت a را طی کنید ببینید روش برای یافتن مماس های افقی:
یک خط مستقیم بگذارید
y=c... (1*)
بیضی داده شده را با معادله برش دهید
$4x^2+8x+9y^2-36y+4=0$
$4x^2+8x+9c^2-36c+4=0$...(3*)، که یک معادله درجه دوم در x است که باید در نقطه مماس دارای ریشه های مساوی باشد.
بنابراین تعیین کننده آن باید ناپدید شود.
$64 - 4\,.4\, (9c^2-36c+4) = 0$ساده کردن و حل کردن،c=0 و c=4 یاy=0 و y=4 ...(4*)مماس های افقی مورد نیاز هستند.
به طور مشابه، x=c را برای مماس های عمودی تنظیم کنید.حال مشتق بگیر میشه$\frac{-8c}{2}=-4c$
برخی از کارها را می توان بادرست کردن بیضی به شکل استاندارد کاهش داد، یا حداقل کاهش داد:
$\left(\dfrac{x+1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{y-2}{2}\right)^2 =1$
با افزودن محورهای نیمه اصلی/فرعی (3،2) به مرکز مختصات بیضی x،y (-1،2)، می‌دانید نقاط مماس شما کجا هستند.
شما باید یک معادله $f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$ایجاد کنید بازم مثال بزنم $x^2-2xy+2y^2=4$مشتق ضمنی ایمپلیسیت بگیر معمولا Explicit و Implicit در روش اجزای محدود کاربرد داره وارد بحث نمیشم $2x-2(y+x\frac{dy}{dx})+4y\frac{dy}{dx}=0$خوب $2x-2y-2x\frac{dy}{dx}+4y\frac{dy}{dx}=0$حال $\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{2y-x}$خوب $\frac{dy}{dx}=0$ حالا y=x خوب و مقدار محاسبه میشه $(-2,-2),(2,2)$
.معادله خط مماس در مختصات کارتزین
فرض کنید تابع y=f(x) در بازه (a,b) تعریف شده و درx0∈(a,b) پیوسته باشد. در این نقطه (نقطه M در شکل زیر)، مقدار تابع برابر با ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ است.همچنین، فرض کنید متغیر مشتق x در x0 دارای نِمُو (افزایش جزئی) Δx باشد. نمو متناظر تابع (Δy) را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:$\large \Delta y = f \left( {{ x _ 0 } + \Delta x} \right) – f\left( { { x_ 0 }} \right).$
خط مماس بر منحنی ، نقطه M1 در موقعیت $\left( {{x_0} + \Delta x,{y_0} + \Delta y} \right)$ قرار دارد. پاره‌خط $MM_1$ را رسم می‌کنیم که معادله آن به‌صورت زیر است:$\large y – { y _ 0 } = k\left( { x – { x _ 0} } \right)$که در آن، k شیب برحسب نمو Δx بوده و برابر است با:$\large k = k\left( {\Delta x} \right) = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.$وقتی Δx کاهش پیدا کند، نقطه M1 به‌سمت نقطه M حرکت می‌کند: M1→M. در شرایط حدیِ Δx→0، فاصله بین نقاط M و M1 به صفر میل می‌کند. با توجه به شرط پیوستگی تابع f(x) در نقطه x0، داریم:$\large { \lim \limits_ { \Delta x \to 0} \Delta y = 0,\;\;}\Rightarrow
{\lim\limits _ { \Delta x \to 0} \left| { M {M _ 1 } } \right| }
= {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \sqrt {{{\left( {\Delta x} \right)} ^ 2 } + {{\left( {\Delta y} \right) } ^ 2 } } = 0 . }$
وضعیت حدی پاره‌خط MM1، خط مماس بر منحنی تابع y=f(x) در نقطه M نامیده می‌شود.
دو نوع خط مماس وجود دارد: «خط مماس مایل» (Oblique Tangent) و «خط مماس قائم» (Vertical Tangent).
تعریف ۱اگر حد کران‌دار و محدود $\lim\limits_{\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) = {k_0}$
را داشته باشیم، آنگاه معادله خط مستقیم به‌صورت زیر است:$\large y – {y _ 0 } = k \left( { x – { x _ 0 } } \right)$
که مماس مایل منحنی y=f(x) در نقطه (x0,y0) نامیده می‌شود.تعریف ۲اگر Δx→0، مقدار k بینهایت شود، یعنی $\lim\limits_{\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) = \pm \infty$، آنگاه معادله خط به‌صورت زیر خواهد بود:x=x0که خط مماس قائم منحنی تابع f(x) در نقطه (x0,y0) نامیده می‌شود.لازم است بدانیم:$\large {{k_0} = \lim \limits _ {\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) }
= { \lim \limits _ { \Delta x \to 0} \frac{{\Delta y } } { {\Delta x } } }
= { f’\left( { { x _ 0 } } \right)}$یعنی شیب خط مماس، برابر با مشتق تابع f(x) در نقطه مماسx0 است. بنابراین، معادله مماس مایل را می‌توان به‌فرم زیر نوشت:$\large { y – { y _ 0 } = f’\left( { { x _ 0 } } \right)\left( {x – { x _ 0}} \right)\;\;}$
$\large { y = f’ \left( {{x_0}} \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right) + f\left( { { x _ 0 } } \right)}$
از آنجایی که شیب خط، برابر با تانژانت زاویه α (زاویه بین خط و جهت مثبت محور x) است، تساوی زیر را داریم:$\large { y = f’ \left( {{x_0}} \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right) + f\left( { { x _ 0 } } \right)}$
معادله خط قائم در مختصات کارتزین
خط راست عمود بر خط مماس بر منحنی که آن را در نقطه تماس (x0,y0) قطع می‌کند، «خط قائم» یا خط عمود یا خط نرمال (Normal Line) بر منحنی تابع y=f(x) در این نقطه نامیده می‌شود.خط قائم بر منحنی از هندسه می‌دانیم که ضرب شیب‌های دو خط عمود بر هم برابر با −1 است. بنابراین، با داشتن معادله خط مماس در نقطه (x0,y0)، یعنی:$\large y – { y _ 0 } = f ’ \left( { { x _ 0 } } \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right),$می‌توانیم معادله خط قائم را به‌سادگی بنویسیم:$\large y – { y _ 0 } = – \frac { 1 } { { f ’ \left( { { x _ 0 } } \right) } } \left( { x – { x _ 0 } } \right ) .$
معادله خط مماس و قائم بر منحنی در فرم پارامتریفرض کنید منحنی یک حرکت در صفحه به‌فرم پارامتری زیر داده شده است:$\large {x = x \left( t \right),}\;\;\;\kern-0.3pt{ y = y \left( t \right) . }$آنگاه شیب خط مماس بر نقطه (x0,y0) را می‌توان با استفاده از قاعده مشتق توابع پارامتری به‌صورت زیر نوشت:$\large k = \tan \alpha = \frac{{{y’_ t } }} { {{ x’ _ t } }} .$بنابراین، معادله خط مماس به‌فرم زیر خواهد بود:$\large {y – { y _ 0 } = \frac{ { { y ’_ t} } }{ {{ x ’_ t} } } \left( { x – { x_ 0} } \right)}$یا $\large \frac{{x – { x _ 0} }} {{ { x’ _t } } } = \frac{ { y – { y _0 }} } { {{ y’ _t } } }$بر همین اساس، معادله خط قائم به‌صورت زیر است:
$\large { y – { y _ 0} = – \frac { { { x ’ _ t } } } { { { y ’ _ t } } } \left( { x – { x _ 0 } } \right)}$ویا $\large {\;\;\;\kern-0.3pt\frac{{x – {x _ 0} } } {{ { y ’ _ t } } } = – \frac{{y – { y _ 0 } } }{ { {x ’ _ t } } } . }$
.معادله خط مماس و قائم در مختصات قطبی فرض کنید منحنی با معادله قطبی r=f(θ) بیان شده باشد که براساس طول بردار شعاعی
r و زاویه قطبی θ است. در مختصات کارتزین، این منحنی به‌صورت زیر بیان می‌شود:$\large \left\{ \begin {array} {l}
x = r \cos \theta = f\left( \theta \right) \cos \theta \\
y = r \sin \theta = f\left( \theta \right) \sin\theta
\end{array} \right..$بنابراین، معادله پارامتری منحنی را می‌نویسیم که در آن، زاویه θ نقش یک پارامتر را ایفا می‌کند. در ادامه، توصیف شیب خط مماس بر منحنی را در نقطه(x0,y0) به‌دست می‌آوریم:$\large {k = \tan \theta = \frac { { { y ’_\theta } } }{{ {x ’ _\theta }}} }
= {\frac { { { { \left( {r\sin \theta } \right) } ^ \prime }}}{ { {{\left( {r\cos \theta } \right) } ^ \prime }}} }
= { \frac { {{ r ’_\theta }\sin \theta + r \cos \theta }} { { { r ’ _ \theta }\cos\theta – r\sin \theta }}.}$
ر نتیجه، معادله مربوط به خط مماس و خط قائم به‌ترتیب، به‌صورت زیر خواهد بود:$\large { y – { y _ 0 } = \frac { { { y’_\theta } }} { { { x ’_ \theta }}}\left( { x – { x _ 0 } } \right)}$و$\large { y – { y _ 0 } = – \frac { { { x ’ _ \theta } } }{ { {y ’ _ \theta } } } \left( { x – { x _ 0 } } \right) } .$خط مماس در مختصات قطبی
منحنی‌ها را می‌توان مستقیماً در مختصات قطبی و بدون تبدیل به دستگاه مختصات کارتزین بررسی کرد. در این حالت، به‌جای زاویه
θ نسبت به محور قطبی (یعنی جهت مثبت محور x)، ساده‌تر است که زاویه β را نسبت به خط شامل بردار شعاعی r در نظر بگیریم.
تانژانت زاویه β را می‌توان با استفاده از فرمول زیر به‌دست آورد:$\large \tan \beta = \frac { r } { { { r ’ _ \theta } } } .$
اگر y=m(x−a) مماس بر$y = x^3 - x$ باشد چه می توانیم بگوییم؟
نمودارهای $y = x^3 - x$ و y=m(x−a) روی محورهای زیر رسم شده‌اند. در اینجا m>0 و a≤-1.
خط y=m(x−a) با محور x در A=(a,0) برخورد می کند، مکعب $y = x^3 - x$ را در B لمس می کند و دوباره با مکعب در C قطع می کند. مختصات x B و C به ترتیب b و c هستند.
نمودار مکعب و خط. خط قبل از اولین نقطه عطف مکعب را لمس می کند و پس از نقطه عطف دوم مکعب از آن عبور می کند.
برای نشان دادن $m=3b^2-1$ از این واقعیت استفاده کنید که خط و مکعب با x=b تماس دارند.
برای اینکه خط و مکعب در x=b لمس شوند، شیب ها باید در این نقطه برابر باشند.
شیب مکعب به دست می آید$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1,$و شیب خط m است.
بنابراین، معادل سازی این عبارات در x=b به دست می آید$m = 3b^2 - 1.$
بیشتر نشان دهید که$a = \frac{2b^3}{3b^2 - 1}.$مقدار y باید برای هر نمودار در x=b یکسان باشد. از این رو داریم
$b^3 - b = m(b-a).$اکنون از قسمت (i) می دانیم که $m=3b^2 - 1$، بنابراین جایگزینی آن با عبارت بالا به دست می آید
$b^3 - b = (3b^2 - 1)(b-a).$می‌توانیم با تقسیم بر $3b^2-1$ این را دوباره مرتب کنیم تا a را بدست آوریم
$b^3 - b = (3b^2 - 1)(b-a).$و سپس پیدا کردن$\begin{align*}
a &{}= b - \frac{b^3 - b}{3b^2 - 1}\\
&{}= \frac{b(3b^2-1) -(b^3 - b)}{3b^2 -1}\\
&{}= \frac{2b^3}{3b^2 - 1}.
\end{align*}$اگر $a=-10^6$ باشد، مقدار تقریبی b چقدر است؟
خط منحنی و مماس با یک خط بسیار بزرگ و منفی. خط از نقطه A با یک گرادیان مثبت کوچک می آید تا به نمودار در B برسد.
اگر a بزرگ و منفی باشد، خط y=m(x−a) (که هنوز مماس بر منحنی بین 1- و 0 است) تقریباً افقی خواهد بود.
بنابراین نقطه B تقریباً در حداکثر نقطه منحنی قرار خواهد گرفت، یعنی جایی که $3x^2-1=0$ است، بنابراین $b \approx - \dfrac{1}{\sqrt{3}}$روش دیگر در مورد این موضوع این است که کسری در (ii) باید بسیار بزرگ و منفی باشد.
برای این کار یا b باید خیلی بزرگ و منفی باشد یا مخرج باید خیلی نزدیک به صفر باشد.
اما b بین -1 و 0 قرار دارد، بنابراین باید دومی باشد، و$3b^2-1\approx0$، به $b \approx - \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ (با گرفتن جذر منفی).با استفاده از این واقعیت که$x^3 - x - m(x-a) = (x-b)^2 (x-c)$
(که نیازی به اثبات آن ندارید)، نشان دهید که c=−2b.می‌توانیم هر دو طرف را به صورت چند جمله‌ای قرار دهیم، به طوری که ضرایب $x^3$،$ x^2 $و غیره را در هر طرف ببینیم. انجام این کار می دهد$x^3-(m+1)x +ma = x^3 -(2b + c)x^2 +(b^2 + 2bc)x -b^2 c.$
از آنجایی که عبارت برای همه x صادق است، باید درست باشد که ضریب هر توان x باید در هر دو طرف یکسان باشد.
به ویژه ضریب$ x^2 $در سمت چپ، 0، باید برابر با ضریب سمت راست، -(2b+c) باشد. بنابراین $2b+c=0$ و از این رو c=−2b.
R ناحیه محدودی است که در بالا با خط y=m(x−a) محدود شده و در پایین با $y = x^3 - x$ مکعب محدود شده است. مساحت R برای کدام مقدار a بزرگتر است؟نشان دهید که بزرگترین مساحت ممکن R$\dfrac{27}{4}$ است.
نموداری از خط و منحنی با منطقه بین منحنی‌های بین دو نقطه ملاقات سایه‌دار، با برچسب R. a و b نیز مشخص شده‌اند.
اگر a افزایش یابد (به 1- نزدیکتر شود)، b کاهش می یابد و خط y=m(x−a) بالا می رود و مساحت R را بزرگتر می کند.
بنابراین ما می خواهیم بزرگترین مقدار ممکن a را انتخاب کنیم تا مساحت را بزرگتر کنیم. بنابراین به عنوان a≤−1، مساحت R زمانی که a=−1 است، بزرگترین است.و وقتی a=−1، خط y=m(x−a) باید مماس بر منحنی در نقطه (-1,0) باشد زیرا این یک نقطه روی خط و منحنی برای این مقدار a است.بنابراین B با A و b=−1 منطبق است.
ما همچنین می توانیم این را به صورت جبری با استفاده از نتایج قبلی به شرح زیر استنباط کنیم. با بخش (II)، ما آن را می بینیم
$-1 = \frac{2b^3}{3b^2 - 1}.$با ترتیب مجدد این مقدار$2b^3 + 3b^2 - 1 = 0$ به دست می آید که می تواند به صورت $(b+1)^2 (2b-1) = 0$ فاکتورسازی شود. از آنجایی که b نمی تواند مثبت باشد، نتیجه می گیریم که b=-1.
سپس با استفاده از قسمت (iv) c=2 بدست می آوریم و از قسمت (i) می بینیم که$m=3b^2 - 1 = 2$
بنابراین اکنون می توانیم محاسبه کنیممساحت$\begin{align*}
\text{Area of $R$} &{}= \int_b^c (m(x+1) - (x^3 - x)) \, dx \\
&{}= \int_{-1}^2 -x^3 + 3x + 2 \, dx \\
&{}= \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^2 \\
&{}= 6-\left(-\frac{3}{4}\right)\\
&{}= \frac{27}{4}.
\end{align*}$خط مماس موازی با محور Y، تابع $f(y)=\sqrt[3]{x^2-x^3}+x$ و نقاطی که خط مماس وجود ندارد.
ججواب $\frac{d}{dx}\left(\sqrt[3]{x^{2}-x^{3}}+x\right)=\frac{2x-3x^{2}}{3\sqrt[3]{\left(x^{2}-x^{3}\right)^{2}}}+1$به وضوح تابع برای x=0,1 تعریف نشده است$f'_{+}\left(0\right)=\lim_{x \to 0^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$و$f'_{-}\left(0\right)=\lim_{x \to 0^-}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}0$و $=\lim_{x \to 0^-}\frac{x\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}-1}+1\right)}{x}=1+\sqrt[3]{\lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}-1}=-∞$تحلیل به کمک روش المان محدود (FEA)
معادلات حاکم بر اغلب مسائل مهندسی معادلات دیفرانسیل هستند. . روش المان محدود (Finite Element Method=FEM) یکی از مشهورترین روش‌های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل اعم از معادلات دیفرانسیل معمولی خطی/غیرخطی (Ordinary Differential Equation=ODE) و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی/غیرخطی (Partial Differential Equation=PDE) است.
