انرژی جنبشی به صورت درجه دوم به سرعت بستگی داره و نه خطی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3257

سپاس: 5493

جنسیت:

تماس:

انرژی جنبشی به صورت درجه دوم به سرعت بستگی داره و نه خطی

پست توسط rohamavation »

چرا انرژی جنبشی با سرعت به صورت درجه دوم و نه خطی افزایش می یابد؟چرا این به صورت خطی با سرعت افزایش نمی یابد؟ چرا برای حرکت از 1 متر بر ثانیه انرژی بسیار بیشتری مصرف می شود؟
تا 2 متر بر ثانیه نسبت به حرکت از 0 متر بر ثانیه تا 1 متر بر ثانیه?تنها راه برای پاسخ دادن به سوالاتی از این دست تکیه بر اصول تقارنه زیرا این اصول اساسی تر از قوانین حرکت هستش. با استفاده از تغییر ناپذیری گالیله، تقارنی که میگه قوانین فیزیک برای شما در قطار در حال حرکت یکسان به نظر میرسن می تونید توضیح بدین که چرا انرژی باید متناسب با جرم ضربدر مجذور سرعت باشه
اینکه انرژی در یک میدان گرانشی ثابت با ارتفاع متناسب است توسط استاتیک ثابت میشه اگر به قانون اهرم اعتقاد دارین زمانی که فاصله ها با جرم ها نسبت معکوس داشته باشن جسمی با جسم دیگری روی یک اهرم در تعادل خواهد بود سپس اگر اهرم را کمی کج کنید، جرم-ضریب-ارتفاع به دست آمده با 1 برابر است با جرم- ضرب-ارتفاع بدست آمده توسط دیگری. این به شما امکان میده اشیاء را بلند کرده تا زمانی که جرم-زمان-ارتفاع اضافه شده روی همه اشیا قبل و بعد ثابت باشه. این اصل ارشمیدسه
راه دیگری برای گفتن همین مطلب از آسانسور استفاده می کند که از دو سکو تشکیل شده که توسط یک زنجیر از طریق یک قرقره به هم متصل شدن ، به طوری که وقتی یکی بالا میره، دیگری پایین میاد اگر مقدار مساوی از جرم را به همان میزان پایین بیارین می تونین یک جسم را به سمت بالا بلند کنین. اگر جسمی را دو برابر فاصله بیندازین، می تونین دو جسم را در فاصله معینی در دو مرحله بلند کنین
این نشان می‌دهد که برای تمام حرکات برگشت‌پذیر آسانسور آنهایی که نیازی به انجام هیچ کاری ندارند جرم-زمان-ارتفاع جمع شده است. تمام اشیاء حفظ شده است. اکنون می‌توان «انرژی» را به عنوان مقداری از حرکت تعریف کرد که وقتی به این اجسام اجازه داده میشه با سرعتی نامتناهی حرکت کنن حفظ می‌شه
بنابراین جرم-زمان-ارتفاع اندازه‌گیری تلاشی است که برای بلند کردن چیزی لازم است و یک کمیت حفظ شده در استاتیکه. این کمیت باید حفظ شود حتی اگر دینامیک در مراحل میانی وجود داشته باشد. منظور من این است که اگر شما اجازه بدین دو وزنه در حالی که روی یک رشته آویزان هستن بیفتن، اجازه دهید آنها یک برخورد کشسانی داشته باشن، و وقتی دو جسم دوباره متوقف شدند، آنها را بگیرند، کاری انجام ندادید. سپس اجسام باید تا مجموع جرم - ضرب - ارتفاع یکسان بروند.
که فقط به حساب بردار و قوانین نیوتن وابسته است، اجازه دهید قانون دوم نیوتن را در نظر بگیریم:
$\sum {\vec F} = m{\vec a}$
حال تعریف کار$W = \int d{\vec s} \cdot{\vec F}$ را اعمال کنید
داریم، با فرض اینکه s
مسیر واقعی طی شده توسط ذره
$\begin{align}
\sum W &= m\int d{\vec s(t)}\cdot {\vec a}\\
&=m\int dt\frac{d{\vec s}}{dt}\cdot {\vec a}\\
&= m\int dt \,{\vec v} \cdot {\vec a}\\
&= m\int dt\,{\vec v}\cdot \frac{d{\vec v}}{dt}\\
&= m\int {\vec v} \cdot d{\vec v}\\
&= \frac{1}{2}m\left(v_{f}^{2} - v_{i}^{2}\right)\\
&= \Delta {\rm KE}
\end{align}$بنابراین، می بینیم که تعریف کار مترادف با وابستگی درجه دوم به سرعته. چه کسی اهمیت می دهد؟ خوب، اکنون، من برخی از الزامات نیرو را برطرف می کنم. یعنی من نیروهایم را محافظه کار فرض می کنم این یعنی چی؟ خوب، به این معنی است که نیروی من بدون حلقه است $\rightarrow {\vec \nabla} \times {\vec F}=0$
. این از نظر ریاضی معادل بسیاری از چیزها است، اما دو مورد مهم این است که$\int d{\vec s}\cdot {\vec F}$
به مسیری که در آن ادغام می کنید بستگی نداره بلکه فقط به نقاط انتهایی منحنی بستگی داره و دوم اینکه ${\vec F} = -{\vec \nabla}\phi$
برای برخی از تابع $\phi(x,y,z,t)$
. وقتی این را بدونین نشان دادن $\int {\vec ds}\cdot {\vec F} = \phi_{0} - \phi_{f}$ نسبتا آسونه
سپس، شما دارین
$0 = \Delta {\rm KE} + \sum \Delta {\rm PE}_{i}$
که در آن مجموع بیش از پتانسیل برای نیروهای مختلف است (و من PE را جایگزین ϕ کردم، از آنجایی که من اکنون در مورد انرژی پتانسیل گفتم.) اکنون ثابت کردم که انرژی کل تغییر نمی کنه بنابراین، تعریف استاندارد کار به ما یک کمیت حفظ شده میده که می تونیم آن را انرژی بنامیم (تا زمانی که فرض کنیم نیروهای غیرمحافظه ای وجود نداشته باشند، اما در حضور این نیروها، انرژی حفظ نشده است و ما شروع به نگرانی می کنیم. تلفات گرما و تشعشع).البته را ه کلیترش
تغییرات درجه دوم انرژی جنبشی با سرعت را می توان با خواص تقارن فضا و زمان توضیح بدم. تابع لاگرانژی به صورت $\mathcal{L}=T-U$تعریف میشه
، جایی که T انرژی جنبشی و U است انرژیپتانسیله می دانیم که فضا همگن و همسانگرد است و زمان همگن است. برای یک ذره آزاد، چنین است که لاگرانژی $\mathcal{L}$ باید دارای خواص زیر باشد:
$\mathcal{L}$ نباید به مختصات موقعیت بستگی داشته باشه $\mathcal{L}$ نباید به بردار سرعت بستگی داشته باشد. بلکه باید به بزرگی سرعت بستگی داشته باشد، یعنی مقداری توان بردار سرعت.
$\mathcal{L}$ نباید به مختصات زمانی بستگی داشته باشهبنابراین شکل کلی لاگرانژ برای یک ذره آزاده
$\mathcal{L}(x,v,t)=\alpha v^n$جایی که $\alpha$ ثابت مستقل از مختصات، سرعت و زمان است. حال با استفاده از رابطه می توان تکانه را محاسبه کرد
$p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}=\alpha nv^{n-1}$
با این حال، تکانه همیشه تابعی خطی از سرعته که به راحتی می توان آن را با تحلیل ابعادی اثبات کرد. این تنها زمانی امکان پذیره که n=2 باشه
در عبارت بالااز آنجایی که ما یک ذره آزاد را در نظر می گیریم (که فقط انرژی جنبشی دارد)، لاگرانژ (انتخاب n=2)) است
$\mathcal{L}=T=\alpha v^2$
بنابراین، انرژی جنبشی با $v^2$ متناسبه و نه با V
.
تصویر

ارسال پست