فرض کنین $n$ و ضرایب $a_1$، $a_2$، … و $a_k$ اعداد حسابی مشخصی باشن؛ اونوقت معادله‌ی سیاله‌ی خطی چند متغیره‌ی
$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+…+a_k=n$$
برای مقادیر حسابی چطوری حل میشه؟ (اصلاً حل میشه؟)
یک معادله‌ی سیاله چند متغیره با ضرایب حسابی
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3288-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: یک معادله‌ی سیاله چند متغیره با ضرایب حسابی
معمولاً دستگاه معادلات سیاله دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد و هدف یافتن اعداد صحیحی است که به‌طور همزمان همه معادلات را حل کنند. از آنجایی که چنین دستگاه معادلاتی را توسط منحنی‌های جبری، رویه‌ها جبری یا به‌طور کلی مجموعه‌های جبری را تعریف می‌کنند، مطالعه آنها بخشی از هندسه جبری است که هندسه دیوفانتینی نامیده می‌شود.
قضیه باقیمانده چینی کلاس مهمی از دستگاه معادلات دیوفانتین خطی را توصیف می‌کند.
فرض کنید ${\displaystyle \;d_{1},d_{2},...,d_{n}}$ و همچنین ${\displaystyle \;a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ اعدادی صحیح باشند که برای هر
${\displaystyle \;0\leq i,j\leq n}$ داریم: ${\displaystyle \;(d_{i},d_{j})|a_{i}-a_{j}}$. که ${\displaystyle \;(d_{i},d_{j})}$ ب.م. م
${\displaystyle \;d_{i}} $و ${\displaystyle \;d_{j}}$است. حال حتماً عدد صحیح ${\displaystyle \;x}$ وجود دارد به‌طوری‌که در دستگاه معادلات همنهشتی زیر صدق کند:
یر صدق کند:
${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$در ریاضیات، معادله دیوفانتین یک معادله است، معمولاً یک معادله چند جمله‌ای در دو یا چند مجهول با ضرایب صحیح، به طوری که تنها راه‌حل‌های مورد علاقه، اعداد صحیح هستند. معادله دیوفانتین خطی معادل ثابتی است که مجموع دو یا چند تک جمله، هر کدام درجه یک است. معادله دیوفانتین نمایی معادله ای است که در آن مجهولات می توانند در توان ها ظاهر شوند.تفسیر هندسی
اجازه دهید${\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n})=0}$
یک معادله دیوفانتین همگن باشد، که در آن ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n})} $یک شکل درجه دوم است (یعنی یک چند جمله‌ای همگن درجه ۲)، با ضرایب صحیح. راه حل بی اهمیت راه حلی است که در آن همه $x_{i} $صفر هستند. اگر${\displaystyle (a_{1},\ldots,a_{n})} $یک راه حل عدد صحیح غیر پیش پا افتاده این معادله است، سپس
${\displaystyle \left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)} $مختصات همگن یک نقطه گویا از ابرسطح تعریف شده توسط Q هستند. برعکس، اگر
${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$ مختصات همگن یک نقطه گویا از این ابرسطح هستند ، جایی که
${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ اعداد صحیح هستند، سپس
${\displaystyle \left(p_{1},\ldots,p_{n}\right)}$ یک جواب عدد صحیح معادله دیوفانتین است. علاوه بر این، راه‌حل‌های اعداد صحیحی که یک نقطه گویا را تعریف می‌کنند، همگی دنباله‌ای از شکل هستند
${\displaystyle \left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right)}$
که در آن k هر عدد صحیح است و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک است ${\displaystyle p_{i}.}$
نتیجه این است که حل معادله دیوفانتین
${\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n})=0}$ به طور کامل به یافتن نقاط منطقی ابرسطح تصویری مربوطه کاهش می‌یابد.
پارامترسازی بگذار حالا ${\displaystyle A=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)} $یک جواب عدد صحیح معادله باشد
${\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n})=0.}$ از آنجایی که Q یک چند جمله ای درجه دو است، خطی که از A می گذرد در یک نقطه دیگر از ابرسطح عبور می کند، که اگر و فقط اگر خط منطقی باشد (یعنی اگر خط با پارامترهای گویا تعریف شود). این اجازه می دهد تا ابرسطح را توسط خطوطی که از A عبور می کنند، پارامتر کنیم، و نقاط گویا آنهایی هستند که از خطوط گویا به دست می آیند، یعنی آنهایی که با مقادیر منطقی پارامترها مطابقت دارند.
به طور دقیق تر، می توان به صورت زیر عمل کرد.
با جابجایی شاخص‌ها، می‌توان بدون از دست دادن کلیت آن را فرض کرد
a_n\ne 0$. $سپس می توان با در نظر گرفتن ابرسطح افین تعریف شده توسط
${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1)}$
که نکته عقلانی را دارد
${\displaystyle R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_ {n-1}}{a_{n}}}\right).}$
اگر این نقطه گویا یک نقطه منفرد باشد، یعنی اگر تمام مشتقات جزئی در R صفر باشند، تمام خطوطی که از R عبور می کنند در ابرسطح قرار می گیرند و یکی دارای مخروط است. تغییر متغیرها
${\displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}$
نقاط گویا را تغییر نمی دهد و q را به یک چند جمله ای همگن در n-1 متغیر تبدیل می کند. در این مورد، بنابراین ممکن است مشکل با اعمال روش در معادله ای با متغیرهای کمتر حل شود.
اگر چند جمله ای q حاصل ضرب چند جمله ای های خطی باشد (احتمالاً با ضرایب غیر منطقی)، آنگاه دو ابرصفحه تعریف می کند. محل تقاطع این ابرصفحه ها یک تخت گویا است و شامل نقاط منفرد گویا است. بنابراین این مورد یک نمونه خاص از پرونده قبلی است.
در حالت کلی، معادله پارامتریک خطی که از R می گذرد را در نظر بگیرید:
$ {\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}}
$با جایگزین کردن این در q، یک چند جمله ای درجه دو در x1 بدست می آید، که برای x1 = r1 صفر است. بنابراین بر x1 - r1 بخش پذیر است. ضریب در x1 خطی است و ممکن است برای بیان x1 به عنوان ضریب دو چند جمله ای درجه حداکثر دو در حل شود.
${\displaystyle t_{2},\ldots ,t_{n-1},}$ با ضرایب صحیح:
${\displaystyle x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n -1})}}.}$
جایگزین کردن این در عبارات برای
${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n-1},} $one دریافت می کند، برای i = 1، …، n − 1،
${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n -1})}}،}$
جایی که ${\displaystyle f_{1},\ldots,f_{n}}$ چندجمله‌ای درجه حداکثر دو با ضرایب صحیح هستند.
سپس می توان به حالت همگن بازگشت. اجازه دهید، برای i = 1، …، n،
${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_ {1}}}،\ldots،{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right)،}$
همگن شدن باشد
${\displaystyle f_{i}.}$ این چند جمله‌ای درجه دوم با ضرایب صحیح، پارامتری از ابرسطح تصویری تعریف شده توسط Q را تشکیل می‌دهند:
${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}}$
نقطه ای از ابرسطح تصویری که با Q تعریف می شود، اگر و تنها در صورتی منطقی است که بتوان آن را از مقادیر گویا به دست آورد.
${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}.}$ به عنوان
${\displaystyle F_{1}،\ldots،F_{n}}$ چند جمله‌ای همگن هستند، اگر همه ti در یک عدد گویا ضرب شوند، نقطه تغییر نمی‌کند. بنابراین، می توان چنین فرض کرد
${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ اعداد صحیح coprime هستند. نتیجه این است که جواب های اعداد صحیح معادله دیوفانتین دقیقاً دنباله هستند
$(x_1، \ldots، x_n)$ که در آن، برای i = 1، ...، n،
${\displaystyle x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},}$
جایی که k یک عدد صحیح است،
${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}} $اعداد صحیح coprime هستند و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک n عدد صحیح است.
${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).}$
می توان امیدوار بود که همزمانی ti، می تواند دلالت بر این داشته باشد که d = 1. متأسفانه، همانطور که در بخش بعدی نشان داده شده است، چنین نیست.
نمونه ای از سه گانه فیثاغورثی
معادله
$x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$
احتمالاً اولین معادله همگن دیوفانتین درجه دو است که مورد مطالعه قرار گرفته است. راه حل های آن سه گانه فیثاغورثی است. این نیز معادله همگن دایره واحد است. در این بخش، نشان می‌دهیم که چگونه روش فوق اجازه می‌دهد تا فرمول اقلیدس برای تولید سه‌گانه‌های فیثاغورثی را بازیابی کنیم.
برای بازیابی دقیقاً فرمول اقلیدس، از حل (-1، 0، 1)، مربوط به نقطه (-1، 0) دایره واحد شروع می کنیم. خطی که از این نقطه می گذرد ممکن است با شیب آن پارامتر شود:
${\displaystyle y=t(x+1).}$
قرار دادن این در معادله دایره${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}$
یکی می گیرد${\displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$
با تقسیم بر x + 1 نتیجه می شود
${\displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}$
که به راحتی در x حل می شود:
${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$
آن به شرح زیر است
${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$
یکسان سازی همانطور که در بالا توضیح داده شد، همه راه حل ها را به عنوان دریافت می کند
${\displaystyle {\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}}$که در آن k هر عدد صحیحی است، s و t اعداد صحیح اول هستند و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه عدد است. در واقع اگر s و t هر دو فرد باشند d = 2 و اگر یکی فرد و دیگری زوج باشد d = 1.
سه گانه های اولیه راه حل هایی هستند که k = 1 و s > t > 0.
این توصیف از راه حل ها کمی با فرمول اقلیدس متفاوت است زیرا فرمول اقلیدس فقط راه حل هایی را در نظر می گیرد که x، y و z همگی مثبت هستند و بین دو سه گانه که با مبادله x و y تفاوت دارند، تمایز قائل نمی شود.
چگونه تعداد جواب های معادله دیوفانتین خطی با چندین متغیر را به صورت بازگشتی بشماریم؟
معادله دیوفانتین فرم را در نظر بگیرید
$a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_kx_k=n$جایی که$n,k\geq 1$
وI اعداد صحیح غیر منفی هستند. سپس ما نگران v(n) هستیم
تعداد راه حل های یک تاپل ثابت $(a_1,a_2,\cdots ,a_k).$ را مشخص کنید.
Can $v(n)$ به صورت بازگشتی بیان شود، یعنی بر حسب $v(n-1),v(n-2),$
و غیره؟مثال زیر را در نظر گرفتم تا ببینم آیا می توانم تعمیم دهم
$x_1+2x_2 = n.$.
من متوجه شدم که اگر $(x_1,x_2)$
جواب $x_1+2x_2 = n-k$ است
سپس $(x_1+k,x_2)$
جواب $x_1+2x_2=n.$ است.
علاوه بر این برای k=2p
پس اگر$x_1+2x_2 = n-k=n - 2p$
سپس $(x_1,x_2+p)$
جواب $x_1+2x_2=n.$ است.
از این رو،
$v(n) = \sum_{k=1}^{n}v(n-k)+v(n-2)+v(n-4)+\cdots$
آیا این درست است؟ چگونه یک فرمول کلی برای v(n) بدست بیاورم؟
هر ایده ای بسیار قدردانی خواهد شد؟بیایید با v(k,n) نشان دهیم
تعداد جواب های معادله زیر:
$a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_kx_k=n$
به آخرین مورد $x_k$ نگاهی بیندازید
. می تواند هر مقداری از 0 تا $\lfloor{\frac{n}{a_k}}\rfloor$ داشته باشد
. بنابراین ما رابطه عود زیر را داریم:
$v(k,n)=\sum_{i=0}^{\lfloor{\frac{n}{a_k}}\rfloor} v(k-1,n-i\cdot a_k)\tag{1}$
... با معیارهای خروج زیر:
$v(1,n)=\begin{cases}
1, & \text{if}\ a_1\mid n \\
0, & \text{if}\ a_1\nmid n
\end{cases}$
در اینجا یک مثال آورده شده است: بیایید تعداد راه حل های معادله زیر را بشماریم:
$x_1+2x_2+3x_3+2x_4+6x_5+2x_6=100$
حل یک نوع خاص از معادله چند جمله ای
اجازه دهید k هر فیلدی باشد (شاید نیاز باشد که از نظر جبری بسته شود)، و n
یک عدد صحیح مثبت باشد، $k[x_1,\ldots,x_n]$
حلقه چند جمله ای باشد. سپس معادله را در نظر بگیرید
$\sum_{i=1}^n l_i(x)x_i^2=q(x)(x_1+\ldots+ x_n)$جایی که$q(x)\in k[x_1,\ldots,x_n]$
یک چند جمله ای همگن درجه 1 است
و $q(x)\in k[x_1,\ldots,x_n]$
یک چند جمله ای همگن با درجه 2 است
. ما می خواهیم راه حل را پیدا کنیم $(l_i,q)$
برای معادله بالا راحت میشه دیدش
$l_i=x_1+\ldots+ x_n$
$q=x_1^2+\ldots+ x_n^2$
یک راه حل پیش پا افتاده است (و هر C
چندگانه، یعنی مژه
برای$c_i\in k$
). سوال من این است
آیا راه حل غیر پیش پا افتاده دیگری وجود دارد؟
به طور کلی من در مورد راه حل نگران هستم
$\sum_{i=1}^n l_i(x)x_i^2=q(x)(\text{a general linear equation})$(یک معادله خطی کلی)
اما بیایید ابتدا مورد خاص را ببینیم. من هیچ ایده ای برای انجام این کار ندارم.
نشان می دهد که راه حل های دیگری برای n<5 وجود دارد
. حال می خواهم مورد n=5 را بدانم چند جمله ای انتزاعی-جبری-جبری-هندسی
از نظر جبری بسته مسئله ای نیست: این شامل حل یک سیستم خطی از معادلات برای ضرایب li است.
و q، با ضرایب صحیح.
راه حل های بی اهمیت دیگری پیدا خواهید کرد. به عنوان مثال، برای هر i
شما می توانید $l_i = x_1 + \ldots + x_n$ داشته باشید
، همه $l_j = 0$ دیگر$q(x) = x_i^2$
.در مورد n=3 شما همچنین می توانید$l_1(x) = x_2 - x_3 $,$l_3(x) = -x_1$ ,$ q(x) = x_1 x_2 - x_1 x_3 $را بگیرید
(و به طور مشابه برای جایگشت متغیرها).
در مورد n=4 شما می توانید
$\eqalign{l_{{1}}(x)&=x_{{2}}-x_{{4}}\cr
l_{{2}}(x)&=x_{{1}}-x_{{3}}\cr
l_{{3}}(x)&=-x_{{2}}+x_{{4}}\cr
l_{{4}}(x)&=-x_{{1}}+x_{{3}}\cr
q(x)&=x_{{1}}x_{{2}}-x_{{1}}x_{{4}}-x_{{2}}x_{{3}}+x_{{3}}x_{{4}}\cr}$(و باز جایگشت این).
من گمان می کنم این نوع راه حل برای n≥5 وجود ندارد
در مورد نمایش جواب کلی برای معادله دیوفانتین $a_1x_1+\dotsb+a_nx_n=c$
در مورد نمایش راه حل کلی با راه حل های ویژه برای معادله دیوفانتین
$a_1x_1+a_2x_2+\dotsb+a_nx_n=c$در اینجا $a_1 ,a_2, \dotsb,a_n,c\in\Bbb Z,(a_1 ,a_2, \dotsb,a_n)=1$
.آیا می توانیم راه حل کلی را پیدا کنیم؟ همه ما می دانیم، n=2
جواب کلی$x=x_0-a_2t,y=y_0+a_1t$ است
.n≥3 چطور؟
? چنین فرمولی وجود ندارد، اینطور است؟
در واقع ما می توانیم راه حل کلی را پیدا کنیم، اما من معتقدم که در عمل چندان مفید نیست.
من راه حل جی هانتر را که در کتاب نظریه اعداد او یافتم، بازنویسی خواهم کرد:
$d=(a_1,a_2,...,a_n)$ و$d\mid c$
سپس راه حل کلی توسط
$\left(\begin{matrix}x_1\\
x_2\\
.\\
.\\
.\\
x_n\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2n} \\
\cdots& \cdots &\cdots &\cdots\\
\cdots &\cdots&\cdots&\cdots\\
\cdots &\cdots&\cdots&\cdots\\
a_{n1} & a_{n2} & . . . & a_{nn}
\end{matrix}\right)\cdot
\left(\begin{matrix}
1 \\
t_1 \\
. \\
.\\
.\\
t_{n-1}
\end{matrix}\right)$
با همه $a_{ij},t_1,...,t_{n-1}$
اعداد صحیح بودن
من فکر می کنم که این بهترین چیزی است که شما پیدا خواهید کرد
نشان دادن $GCD(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$ حداقل عدد صحیح مثبتی است که می تواند به شک$a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n$ بیان شود.
با توجه به $a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n$,نه همه صفر، $\gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$ کمترین عدد صحیح مثبتی است که می تواند به شکل$a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n$یببان شود. همچنین استنباط کنید $a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n = b$ دارای راه حل$\iff \gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)|b$ است.
من می دانم که ax+by=n دارای راه حل های عدد صحیح $\iff \gcd(a,b)|n$ است. برای نشان دادن$a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n = \gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$باید از استقرا استفاده کنم و سپس می توانم آن را به صورت$\gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n) | a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n$ برای هر$x_1,x_2, x_3 \ldots x_n$سپس $c \leq \gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$ و $c \geq \gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$، و بنابراین $c=\gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$
طرح کلی: مرحله القاء به شرح زیر است. فرض کنید برای یک عدد صحیح خاص k و اعداد صحیح $a_1,\dots,a_k$, اعداد صحیح $x_1,x_2,\dots,x_k$ وجود دارد به طوری که
$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=x_1a_1+\cdots+x_ka_k.\tag{1}$
ما می خواهیم نشان دهیم که اعداد صحیح $y_1,\dots,y_k,y_{k+1}$ وجود دارد که
$\gcd(a_1,\dots,a_k,a_{k+1})=y_1a_1+\cdots+y_ka_k+y_{k+1}a_{k+1}.$.
ما به این واقعیت نیاز داریم که
$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k,a_{k+1})=\gcd(\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k),a_{k+1}).$اثبات این امر به خصوص سخت نیست.
بنابراین با یک نتیجه آشنا، اعداد صحیح s و t وجود دارند که به این ترتیب
$\gcd(a_1,\dots,a_k,a_{k+1})=s\gcd(a_1,\dots,a_k)+ta_{k+1}$
سمت راست (1) را با$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)$در (2) جایگزین کنید.
بعد از اینکه این قضیه نمایش را اثبات کردیم، بقیه چیزها ساده است. از آنجایی که$a_1,a_2,\dots,a_n$قابل نمایش است، هر مضرب صحیح d قابل نمایش است. برعکس واضح است، هر عدد قابل نمایش مضرب d است.اشتراک گذاریدر اینجا یک راه مفهومی برای اثبات هویت Bezout برای gcd وجود دارد. مجموعه S
از اعداد صحیح$\rm\,a_1\,x_1 + \cdots + a_n x_n,\ x_j\in \mathbb Z\,$
تحت تفریق بسته می شود بنابراین، با لم زیر، هر s∈S مثبت
بر d بخش پذیر است:= حداقل مثبت ∈S. بنابراین $\rm\,a_j\in S$
یعنی d مقسوم علیه مشترک همه aj است،
لزوما بزرگترین توسط $\rm\ c\mid \color{#0a0}{a_{\,j}}$
توجه داشته باشید $\rm \ s\in S\,\Rightarrow\, d\mid s\,$ به معنی$ S⊆dZ $است. معکوس$ S⊇dZ$ توسط d∈S
و s \ بسته به مقیاس های عدد صحیح:$\rm\ k \sum a_j x_j = \sum a_j (k x_j)\in S.\,$ بنابراین: $\rm\, S = d\Bbb Z,\,$
یعنی$\rm\bbox[6px,border:1px solid #c00]{ a_1 \Bbb Z +\cdots+a_n \Bbb Z\, =\, \gcd(a_1,\ldots,a_n)\Bbb Z}\qquad$
لم اجازه دهید S≠∅ مجموعه ای از اعداد صحیح > 0 $\rm\color{#c00}{closed\ under\ subtraction}$باشد
تحت تفریق بسته شد یعنی برای همه $\rm\ n > m\ \Rightarrow\ n-m\, \in\, S.\,$ سپس حداقل ℓ∈S
هر عنصر S را تقسیم می کند.اثبات 1
اگر نه حداقل n∈S غیر چندگانه وجود دارد،
در مقابل n−ℓ∈S غیر چندگانه ℓ است.
اثبات 2 S بسته به تفریق ⇒s در حالت باقی مانده (mod) بسته می شود، زمانی که ≠0 باشد،
از آنجایی که mod به سادگی یک تفریق تکراری است، یعنی $\rm\ a\ mod\ b\, =\, a - k b\, =\, a\!-\!b\!-\!b\!-\cdots\! -\!b.\,$
بنابراین$\rm\, (n\ mod\ \ell) = 0,\,$
در غیر این صورت در S است
و کوچکتر از ℓ، بر خلاف حداقل بودن ℓ.
تذکر دهید به طور خلاصه، دو کاربرد القاء استنباط زیر را به دست می‌دهد
$\rm\begin{eqnarray}\rm S\ closed\ under\ {\bf subtraction} &\:\Rightarrow\:&\rm S\ closed\ under\ {\bf mod} = remainder = repeated\ subtraction \\
&\:\Rightarrow\:&\rm S\ closed\ under\ {\bf gcd} = repeated\ mod\ (Euclid's\ algorithm) \end{eqnarray}$
با تفسیر سازنده، این الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته را برای gcd به دست می دهد. یعنی با شروع از دو عنصر S
که می دانیم$\rm\ a \,=\, 1\cdot a + 0\cdot b,\ \ b \,=\, 0\cdot a + 1\cdot b,\,$
ما کمترین عنصر S را جستجو می کنیم
با کم کردن مکرر عناصر S برای تولید عناصر کوچکتر S (در حالی که نمایش خطی هر عنصر را بر حسبa دنبال می کنید
و b این اساساً شکل تفریقی الگوریتم GCD اقلیدسی است (در مقابل شکل mod / باقیمانده)، که در آن هر مرحله کاهش/نزول از تفریق (در مقابل تفریق تکرار شده = mod) استفاده می‌کند.
ساختار جبری زیربنایی S (بسته شدن تحت جمع و مقیاس‌بندی) از نظر مفهومی با مطالعه ایده‌آل‌های حلقه‌ها روشن می‌شود، که در آن اثبات بالا (به شکل باقیمانده در مقابل تفریق) تعمیم می‌یابد تا نشان دهد حوزه‌های اقلیدسی PID هستند.
مراقب باشید که این نمایش خطی gcd لازم نیست در همه حوزه هایی که gcd وجود دارد صادق باشد، به عنوان مثال. در$\rm\:D = \mathbb Q[x,y]\:$
چند جمله ای در x,y
با ضرایب گویا $\rm\:gcd(x,y) = 1\:$داریم
اما$\rm\:f(x,y),\: g(x,y)\in D\:$وجود ندارد
به طوری که $xf(x,y)+yg(x,y)=1;$ در واقع، اگر چنین است، پس ارزیابی در x=0=y بازده 0=1.
گاهی لازم است مقدار تابع y=f(x) را در یک نقطه معین x، بر اساس مقادیر معلوم $f ( x _ 0 )$، ... و $f ( x _ n )$
در مجموعه n+1
نقطه $a = x _ 0 \le x _ 1 \le \cdots \le x _ n = b$
در بازه [ab] تخمین بزنیم. اگر $a <\; x <\; b$
باشد، این فرایند «درون‌یابی» (Interpolation) نامیده می‌شود و اگر x<a یا x\>b
باشد، به آن «برون‌یابی» (Extrapolation) می‌گوییم. در این آموزش، با «درون یابی چند جمله ای» (Polynomial Interpolation) آشنا می‌شویم.
درون یابی چند جمله ای
یکی از راه‌های انجام درون‌یابی و برون‌یابی، تقریب تابع f(x) با یک چندجمله‌ای مرتبهnاُم است:$\large \begin {equation}
f ( x ) \approx P _ n ( x ) = a _ n x ^ n + a _ { n - 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ 2 x ^ 2 + a _ 1 x + a _ 0
= \sum _ { j = 0 } ^ n a _ j x ^ j
\end {equation}$
که در آن، n+1 ضریب a0، ... و an را می‌توان با n+1 نقطه داده شده به دست آورد. وقتی $P _ n ( x )$
را به دست آوریم، می‌توانیم هر عملیاتی (مانند مشتق‌گیری، انتگرال‌گیری، یا یافتن ریشه) را که می‌خواهیم روی تابع f(x)
انجام دهیم، آن را به صورت تقریب به $P _ n ( x ) \approx f ( x )$
اعمال کنیم. این کار، به ویژه در مواقعی که تابع f(x)
یک تابع غیرمقدماتی بوده و در نتیجه، کار با آن دشوار باشد، یا فرم بسته‌ای نداشته باشد، بسیار کارساز خواهد بود.
به طور مشخص، برای یافتن ضرایب $P _ n ( x )$
، لازم است همه نقاط $\{ x _ i \, y _ i = f ( x _ i ) \, \; i = 0 \, \cdots \, n \}$
، یعنی n +1 معادله خطی زیر را داشته باشیم:$\large \begin {equation}
P _ n ( x _ i ) = \sum _ { j = 0 } ^ n a _ j x ^ j_ i = f ( x _ i ) = y _ i \, \; \; \; \; ( i = 0 \, \cdots \, n )
\end {equation}$
اکنون می‌توان ضرایب $a _ 0$
. و $a _ n$
را با حل این n+1
معادله خطی به دست آورد. این معادلات را می‌توان به فرمی ماتریسی زیر نوشت:$\large \begin {equation}
\left [ \begin {array} {ccccc}
1 &\; x _ 0 &\; x _ 0 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 0 ^ n \\
1 &\; x _ 1 &\; x _ 1 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 1 ^ n \\
1 &\; x _ 2 &\; x _ 2 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 2 ^ n \\
\vdots &\; \vdots &\; \vdots &\; \ddots &\; \vdots \\
1 &\; x _ n &\; x _ n ^ 2 &\; \cdots &\; x _ n ^ n \end {array} \right ]
\left [ \begin {array} { c } a _ 0 \\ a _ 1 \\ a _ 2 \\ \vdots \\ a _ n \end {array} \right]
= { \bf V } { \bf a }
= \left [ \begin {array} { c } y _ 0 \\ y _ 1 \\ y _ 2 \\ \vdots \\ y _ n \end {array} \right]
= { \bf y }
\end {equation}$
که در آن، ${\bf a}=[a_0\,\cdots\,a_n]^T$و${\bf y}=[y_0\,\cdots\,y_n]^T$و$\large \begin {equation}
{ \bf V } = \left [ \begin {array} {ccccc}
1 &\; x _ 0 &\; x _ 0 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 0 ^ n \\
1 &\; x _ 1 &\; x _ 1 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 1 ^ n \\
1 &\; x _ 2 &\; x _ 2 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 2 ^ n \\
\vdots &\; \vdots &\; \vdots &\; \ddots &\; \vdots \\
1 &\; x _ n &\; x _ n ^ 2 &\; \cdots &\; x _ n ^ n
\end {array} \right ]
\end {equation}$
ماتریس V به عنوان «ماتریس وندرموند» (Vandermonde Matrix) شناخته می‌شود. با حل این دستگاه، ضرایب $[a_0\,\cdots\,a_n]^T={\bf a}={\bf V}^{-1}{\bf y}$
به دست می‌آیند. در اینجا، n+1 چندجمله‌ای $[a_0\,\cdots\,a_n]^T={\bf a}={\bf V}^{-1}{\bf y}$
.. و $x ^ n$و.... را می‌توان به عنوان مجموعه‌ای از توابع پایه چندجمله‌ای در نظر گرفت که فضای همه چندجمله‌ای‌های درجه nاُم را اسپن می‌کنند. اگر نقاط $x _ 0$$x _ n$، ... و
متمایز باشند، یعنی V دارای رتبه کامل بوده و معکوس آن، $\mathbf { V} ^ { - 1 }$، وجود داشته باشد، آنگاه جواب سیستم$\mathbf {a } = \mathbf { V} ^ {-1} \mathbf { f}$
و در نتیجه $P _ n ( x )$ یکتا است.
البته در عمل این روش به دو دلیل استفاده نمی‌شود: اول اینکه پیچیدگی محاسباتی $O ( n ^ 3 )$
برای محاسبه معکوس V زیاد است و دوم اینکه با افزایش n ماتریس V بدحالت‌تر می‌شود. بنابراین روش‌های دیگری نیز برای درون‌یابی پیشنهاد شده‌اند.
خطای درون یابی چند جمله ای این‌گونه تعریف می‌شود:$\large R _ n ( x ) = f ( x ) - P _ n ( x )$
که در حالت کلی غیرصفر است، البته جز در نقطه $x = x _ i$که$R_n(x_i)=0\,\;(i=0\,\cdots\,n)$
است. به عبارت دیگر، تابع خطای $R_ n ( x )$
دارای n+1 ریشه درx0، ... و xn است و در نتیجه، می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:$\large R _ n ( x ) = u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( x - x _ i ) =u ( x ) \omega ( x )$
در آن، u(x) یک تابع مجهول و ω(x) یک چندجمله‌ای درجه n+1 است که به صورت زیر تعریف می‌شود:$\large \omega ( x ) = \prod _ { i = 0 } ^ n ( x - x _ i )$
برای یافتن u(x)، تابع دیگری به نام F(t) از متغیر t را تشکیل می‌دهیم که در آن، هر $x \in ( a \, b )$
به عنوان یک پارامتر در نظر گرفته می‌شود:$\large F ( t ) = R _ n ( t ) - u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( t - x _ i ) = f ( t ) - P _ n ( t ) - u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( t - x _ i )$
که در t=x برابر با صفر است:$\large F ( x ) = R _ n ( x ) - u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( x - x _ i ) = R _ n ( x ) - R _ n ( x ) = 0$
بنابراین، می‌توان گفت که F(t) دارای n+2 ریشه در x0، ... و xn و x است. قضیه رول بیان می‌کند که تابع مشتق f′(x) هر تابع مشتق‌پذیر f(x) که در رابطه $f ( a ) = f ( b ) = 0$
صدق می‌کند، باید حداقل یک ریشه در c∈(ab) داشته باشد. طبق «قضیه رول» (Rolle's Theorem)، F′(t) حداقل n+1 ریشه بین دو ریشه متوالی F(t) دارد و $F ^ {\prime \prime } ( t )$
حداقل n ریشه، و $F ^ {( n + 1 ) } ( t)$ حداقل یک ریشه در $\xi\in(a\,\;b)$ دارد:$\large \begin {eqnarray}
F ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) = 0 &\; = &\; \frac { d ^ { n + 1 } } { d t ^ { n + 1 } }
\left [ f ( t ) - P _ n ( t) - u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( t -x _ i ) \right ] _ { t = \xi }
\nonumber \\
&\; = &\; \left [ f ^ { ( n + 1 ) } ( t ) + P _ n ^ { ( n + 1 ) } ( t ) - u ( x ) \frac { d ^ { n + 1 } } { d t ^ { n + 1 } } \prod _ { i = 0 } ^ n ( t - x _ i ) \right ] _ { t = \xi }
\nonumber \\
&\; = &\; f ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) - u ( x ) ( n + 1 ) \!
\end {eqnarray}$
معادله آخر به این دلیل است که $\prod_{i=0}^n(t-x_i)$
، به ترتیب، چندجمله‌ای‌هایی از درجه n و n+1 از t هستند. با حل معادله بالا، داریم:$\large u ( x ) = \frac { f ^ { (n + 1 ) } ( \xi ) } { ( n + 1 ) \! }$
اکنون تابع خطا را می‌توان به صورت زیر نوشت:$\large R _ n ( x ) = u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( x -x _ i ) = \frac { f ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) } {( n + 1 ) \! } \, \omega ( x )$
که در آن، $\large R _ n ( x ) = u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( x -x _ i ) = \frac { f ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) } {( n + 1 ) \! } \, \omega ( x )$
نقطه‌ای است که بسته به x، بینa=x0 و $b = x _ n$ واقع شده است. خطا را می‌توان به صورت کمّی و توسط نُرم دو Rn(x)
اندازه‌گیری کرد:$\large \begin {equation}
\epsilon = | | R _ n ( x ) | | _ 2 = \left ( \int _ a ^ b R ^ 2 _ n ( x ) \, d x \right ) ^ { 1 / 2 }
\end {equation}$
در عمل، اگر f(x) یک چندجمله‌ای مرتبه k≤n و در نتیجه $f^ {(n+1)} ( x ) = 0$ باشد، آنگاه می‌توان آن را با Pn(x) رون‌یابی دقیق کرد. اما اگر k>n باشد، درون‌یابی یک جمله خطای غیرصفر $f ^ {(n + 1 ) } ( x ) = ( n + 1 ) \!$
دارد و جمله خطا به صورت زیر در خواهد آمد:$\large R _ n ( x ) = \frac { f ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) } { ( n + 1 ) \! } \, \omega ( x ) = \omega ( x )$
به دلیل یکتایی درون یابی چند جمله ای ، تحلیل خطای بالا را می‌توان به همه روش‌های دیگر درون‌یابی، از قبیل لاگرانژ و نیوتن نیز اعمال کرد.
قضیه باقیمانده چینی کلاس مهمی از دستگاه معادلات دیوفانتین خطی را توصیف می‌کند.
فرض کنید ${\displaystyle \;d_{1},d_{2},...,d_{n}}$ و همچنین ${\displaystyle \;a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ اعدادی صحیح باشند که برای هر
${\displaystyle \;0\leq i,j\leq n}$ داریم: ${\displaystyle \;(d_{i},d_{j})|a_{i}-a_{j}}$. که ${\displaystyle \;(d_{i},d_{j})}$ ب.م. م
${\displaystyle \;d_{i}} $و ${\displaystyle \;d_{j}}$است. حال حتماً عدد صحیح ${\displaystyle \;x}$ وجود دارد به‌طوری‌که در دستگاه معادلات همنهشتی زیر صدق کند:
یر صدق کند:
${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$در ریاضیات، معادله دیوفانتین یک معادله است، معمولاً یک معادله چند جمله‌ای در دو یا چند مجهول با ضرایب صحیح، به طوری که تنها راه‌حل‌های مورد علاقه، اعداد صحیح هستند. معادله دیوفانتین خطی معادل ثابتی است که مجموع دو یا چند تک جمله، هر کدام درجه یک است. معادله دیوفانتین نمایی معادله ای است که در آن مجهولات می توانند در توان ها ظاهر شوند.تفسیر هندسی
اجازه دهید${\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n})=0}$
یک معادله دیوفانتین همگن باشد، که در آن ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n})} $یک شکل درجه دوم است (یعنی یک چند جمله‌ای همگن درجه ۲)، با ضرایب صحیح. راه حل بی اهمیت راه حلی است که در آن همه $x_{i} $صفر هستند. اگر${\displaystyle (a_{1},\ldots,a_{n})} $یک راه حل عدد صحیح غیر پیش پا افتاده این معادله است، سپس
${\displaystyle \left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)} $مختصات همگن یک نقطه گویا از ابرسطح تعریف شده توسط Q هستند. برعکس، اگر
${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$ مختصات همگن یک نقطه گویا از این ابرسطح هستند ، جایی که
${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ اعداد صحیح هستند، سپس
${\displaystyle \left(p_{1},\ldots,p_{n}\right)}$ یک جواب عدد صحیح معادله دیوفانتین است. علاوه بر این، راه‌حل‌های اعداد صحیحی که یک نقطه گویا را تعریف می‌کنند، همگی دنباله‌ای از شکل هستند
${\displaystyle \left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right)}$
که در آن k هر عدد صحیح است و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک است ${\displaystyle p_{i}.}$
نتیجه این است که حل معادله دیوفانتین
${\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n})=0}$ به طور کامل به یافتن نقاط منطقی ابرسطح تصویری مربوطه کاهش می‌یابد.
پارامترسازی بگذار حالا ${\displaystyle A=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)} $یک جواب عدد صحیح معادله باشد
${\displaystyle Q(x_{1},\ldots,x_{n})=0.}$ از آنجایی که Q یک چند جمله ای درجه دو است، خطی که از A می گذرد در یک نقطه دیگر از ابرسطح عبور می کند، که اگر و فقط اگر خط منطقی باشد (یعنی اگر خط با پارامترهای گویا تعریف شود). این اجازه می دهد تا ابرسطح را توسط خطوطی که از A عبور می کنند، پارامتر کنیم، و نقاط گویا آنهایی هستند که از خطوط گویا به دست می آیند، یعنی آنهایی که با مقادیر منطقی پارامترها مطابقت دارند.
به طور دقیق تر، می توان به صورت زیر عمل کرد.
با جابجایی شاخص‌ها، می‌توان بدون از دست دادن کلیت آن را فرض کرد
a_n\ne 0$. $سپس می توان با در نظر گرفتن ابرسطح افین تعریف شده توسط
${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1)}$
که نکته عقلانی را دارد
${\displaystyle R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_ {n-1}}{a_{n}}}\right).}$
اگر این نقطه گویا یک نقطه منفرد باشد، یعنی اگر تمام مشتقات جزئی در R صفر باشند، تمام خطوطی که از R عبور می کنند در ابرسطح قرار می گیرند و یکی دارای مخروط است. تغییر متغیرها
${\displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}$
نقاط گویا را تغییر نمی دهد و q را به یک چند جمله ای همگن در n-1 متغیر تبدیل می کند. در این مورد، بنابراین ممکن است مشکل با اعمال روش در معادله ای با متغیرهای کمتر حل شود.
اگر چند جمله ای q حاصل ضرب چند جمله ای های خطی باشد (احتمالاً با ضرایب غیر منطقی)، آنگاه دو ابرصفحه تعریف می کند. محل تقاطع این ابرصفحه ها یک تخت گویا است و شامل نقاط منفرد گویا است. بنابراین این مورد یک نمونه خاص از پرونده قبلی است.
در حالت کلی، معادله پارامتریک خطی که از R می گذرد را در نظر بگیرید:
$ {\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}}
$با جایگزین کردن این در q، یک چند جمله ای درجه دو در x1 بدست می آید، که برای x1 = r1 صفر است. بنابراین بر x1 - r1 بخش پذیر است. ضریب در x1 خطی است و ممکن است برای بیان x1 به عنوان ضریب دو چند جمله ای درجه حداکثر دو در حل شود.
${\displaystyle t_{2},\ldots ,t_{n-1},}$ با ضرایب صحیح:
${\displaystyle x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n -1})}}.}$
جایگزین کردن این در عبارات برای
${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n-1},} $one دریافت می کند، برای i = 1، …، n − 1،
${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n -1})}}،}$
جایی که ${\displaystyle f_{1},\ldots,f_{n}}$ چندجمله‌ای درجه حداکثر دو با ضرایب صحیح هستند.
سپس می توان به حالت همگن بازگشت. اجازه دهید، برای i = 1، …، n،
${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_ {1}}}،\ldots،{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right)،}$
همگن شدن باشد
${\displaystyle f_{i}.}$ این چند جمله‌ای درجه دوم با ضرایب صحیح، پارامتری از ابرسطح تصویری تعریف شده توسط Q را تشکیل می‌دهند:
${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}}$
نقطه ای از ابرسطح تصویری که با Q تعریف می شود، اگر و تنها در صورتی منطقی است که بتوان آن را از مقادیر گویا به دست آورد.
${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}.}$ به عنوان
${\displaystyle F_{1}،\ldots،F_{n}}$ چند جمله‌ای همگن هستند، اگر همه ti در یک عدد گویا ضرب شوند، نقطه تغییر نمی‌کند. بنابراین، می توان چنین فرض کرد
${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ اعداد صحیح coprime هستند. نتیجه این است که جواب های اعداد صحیح معادله دیوفانتین دقیقاً دنباله هستند
$(x_1، \ldots، x_n)$ که در آن، برای i = 1، ...، n،
${\displaystyle x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},}$
جایی که k یک عدد صحیح است،
${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}} $اعداد صحیح coprime هستند و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک n عدد صحیح است.
${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).}$
می توان امیدوار بود که همزمانی ti، می تواند دلالت بر این داشته باشد که d = 1. متأسفانه، همانطور که در بخش بعدی نشان داده شده است، چنین نیست.
نمونه ای از سه گانه فیثاغورثی
معادله
$x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$
احتمالاً اولین معادله همگن دیوفانتین درجه دو است که مورد مطالعه قرار گرفته است. راه حل های آن سه گانه فیثاغورثی است. این نیز معادله همگن دایره واحد است. در این بخش، نشان می‌دهیم که چگونه روش فوق اجازه می‌دهد تا فرمول اقلیدس برای تولید سه‌گانه‌های فیثاغورثی را بازیابی کنیم.
برای بازیابی دقیقاً فرمول اقلیدس، از حل (-1، 0، 1)، مربوط به نقطه (-1، 0) دایره واحد شروع می کنیم. خطی که از این نقطه می گذرد ممکن است با شیب آن پارامتر شود:
${\displaystyle y=t(x+1).}$
قرار دادن این در معادله دایره${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}$
یکی می گیرد${\displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$
با تقسیم بر x + 1 نتیجه می شود
${\displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}$
که به راحتی در x حل می شود:
${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$
آن به شرح زیر است
${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$
یکسان سازی همانطور که در بالا توضیح داده شد، همه راه حل ها را به عنوان دریافت می کند
${\displaystyle {\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}}$که در آن k هر عدد صحیحی است، s و t اعداد صحیح اول هستند و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه عدد است. در واقع اگر s و t هر دو فرد باشند d = 2 و اگر یکی فرد و دیگری زوج باشد d = 1.
سه گانه های اولیه راه حل هایی هستند که k = 1 و s > t > 0.
این توصیف از راه حل ها کمی با فرمول اقلیدس متفاوت است زیرا فرمول اقلیدس فقط راه حل هایی را در نظر می گیرد که x، y و z همگی مثبت هستند و بین دو سه گانه که با مبادله x و y تفاوت دارند، تمایز قائل نمی شود.
چگونه تعداد جواب های معادله دیوفانتین خطی با چندین متغیر را به صورت بازگشتی بشماریم؟
معادله دیوفانتین فرم را در نظر بگیرید
$a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_kx_k=n$جایی که$n,k\geq 1$
وI اعداد صحیح غیر منفی هستند. سپس ما نگران v(n) هستیم
تعداد راه حل های یک تاپل ثابت $(a_1,a_2,\cdots ,a_k).$ را مشخص کنید.
Can $v(n)$ به صورت بازگشتی بیان شود، یعنی بر حسب $v(n-1),v(n-2),$
و غیره؟مثال زیر را در نظر گرفتم تا ببینم آیا می توانم تعمیم دهم
$x_1+2x_2 = n.$.
من متوجه شدم که اگر $(x_1,x_2)$
جواب $x_1+2x_2 = n-k$ است
سپس $(x_1+k,x_2)$
جواب $x_1+2x_2=n.$ است.
علاوه بر این برای k=2p
پس اگر$x_1+2x_2 = n-k=n - 2p$
سپس $(x_1,x_2+p)$
جواب $x_1+2x_2=n.$ است.
از این رو،
$v(n) = \sum_{k=1}^{n}v(n-k)+v(n-2)+v(n-4)+\cdots$
آیا این درست است؟ چگونه یک فرمول کلی برای v(n) بدست بیاورم؟
هر ایده ای بسیار قدردانی خواهد شد؟بیایید با v(k,n) نشان دهیم
تعداد جواب های معادله زیر:
$a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_kx_k=n$
به آخرین مورد $x_k$ نگاهی بیندازید
. می تواند هر مقداری از 0 تا $\lfloor{\frac{n}{a_k}}\rfloor$ داشته باشد
. بنابراین ما رابطه عود زیر را داریم:
$v(k,n)=\sum_{i=0}^{\lfloor{\frac{n}{a_k}}\rfloor} v(k-1,n-i\cdot a_k)\tag{1}$
... با معیارهای خروج زیر:
$v(1,n)=\begin{cases}
1, & \text{if}\ a_1\mid n \\
0, & \text{if}\ a_1\nmid n
\end{cases}$
در اینجا یک مثال آورده شده است: بیایید تعداد راه حل های معادله زیر را بشماریم:
$x_1+2x_2+3x_3+2x_4+6x_5+2x_6=100$
حل یک نوع خاص از معادله چند جمله ای
اجازه دهید k هر فیلدی باشد (شاید نیاز باشد که از نظر جبری بسته شود)، و n
یک عدد صحیح مثبت باشد، $k[x_1,\ldots,x_n]$
حلقه چند جمله ای باشد. سپس معادله را در نظر بگیرید
$\sum_{i=1}^n l_i(x)x_i^2=q(x)(x_1+\ldots+ x_n)$جایی که$q(x)\in k[x_1,\ldots,x_n]$
یک چند جمله ای همگن درجه 1 است
و $q(x)\in k[x_1,\ldots,x_n]$
یک چند جمله ای همگن با درجه 2 است
. ما می خواهیم راه حل را پیدا کنیم $(l_i,q)$
برای معادله بالا راحت میشه دیدش
$l_i=x_1+\ldots+ x_n$
$q=x_1^2+\ldots+ x_n^2$
یک راه حل پیش پا افتاده است (و هر C
چندگانه، یعنی مژه
برای$c_i\in k$
). سوال من این است
آیا راه حل غیر پیش پا افتاده دیگری وجود دارد؟
به طور کلی من در مورد راه حل نگران هستم
$\sum_{i=1}^n l_i(x)x_i^2=q(x)(\text{a general linear equation})$(یک معادله خطی کلی)
اما بیایید ابتدا مورد خاص را ببینیم. من هیچ ایده ای برای انجام این کار ندارم.
نشان می دهد که راه حل های دیگری برای n<5 وجود دارد
. حال می خواهم مورد n=5 را بدانم چند جمله ای انتزاعی-جبری-جبری-هندسی
از نظر جبری بسته مسئله ای نیست: این شامل حل یک سیستم خطی از معادلات برای ضرایب li است.
و q، با ضرایب صحیح.
راه حل های بی اهمیت دیگری پیدا خواهید کرد. به عنوان مثال، برای هر i
شما می توانید $l_i = x_1 + \ldots + x_n$ داشته باشید
، همه $l_j = 0$ دیگر$q(x) = x_i^2$
.در مورد n=3 شما همچنین می توانید$l_1(x) = x_2 - x_3 $,$l_3(x) = -x_1$ ,$ q(x) = x_1 x_2 - x_1 x_3 $را بگیرید
(و به طور مشابه برای جایگشت متغیرها).
در مورد n=4 شما می توانید
$\eqalign{l_{{1}}(x)&=x_{{2}}-x_{{4}}\cr
l_{{2}}(x)&=x_{{1}}-x_{{3}}\cr
l_{{3}}(x)&=-x_{{2}}+x_{{4}}\cr
l_{{4}}(x)&=-x_{{1}}+x_{{3}}\cr
q(x)&=x_{{1}}x_{{2}}-x_{{1}}x_{{4}}-x_{{2}}x_{{3}}+x_{{3}}x_{{4}}\cr}$(و باز جایگشت این).
من گمان می کنم این نوع راه حل برای n≥5 وجود ندارد
در مورد نمایش جواب کلی برای معادله دیوفانتین $a_1x_1+\dotsb+a_nx_n=c$
در مورد نمایش راه حل کلی با راه حل های ویژه برای معادله دیوفانتین
$a_1x_1+a_2x_2+\dotsb+a_nx_n=c$در اینجا $a_1 ,a_2, \dotsb,a_n,c\in\Bbb Z,(a_1 ,a_2, \dotsb,a_n)=1$
.آیا می توانیم راه حل کلی را پیدا کنیم؟ همه ما می دانیم، n=2
جواب کلی$x=x_0-a_2t,y=y_0+a_1t$ است
.n≥3 چطور؟
? چنین فرمولی وجود ندارد، اینطور است؟
در واقع ما می توانیم راه حل کلی را پیدا کنیم، اما من معتقدم که در عمل چندان مفید نیست.
من راه حل جی هانتر را که در کتاب نظریه اعداد او یافتم، بازنویسی خواهم کرد:
$d=(a_1,a_2,...,a_n)$ و$d\mid c$
سپس راه حل کلی توسط
$\left(\begin{matrix}x_1\\
x_2\\
.\\
.\\
.\\
x_n\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2n} \\
\cdots& \cdots &\cdots &\cdots\\
\cdots &\cdots&\cdots&\cdots\\
\cdots &\cdots&\cdots&\cdots\\
a_{n1} & a_{n2} & . . . & a_{nn}
\end{matrix}\right)\cdot
\left(\begin{matrix}
1 \\
t_1 \\
. \\
.\\
.\\
t_{n-1}
\end{matrix}\right)$
با همه $a_{ij},t_1,...,t_{n-1}$
اعداد صحیح بودن
من فکر می کنم که این بهترین چیزی است که شما پیدا خواهید کرد
نشان دادن $GCD(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$ حداقل عدد صحیح مثبتی است که می تواند به شک$a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n$ بیان شود.
با توجه به $a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n$,نه همه صفر، $\gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$ کمترین عدد صحیح مثبتی است که می تواند به شکل$a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n$یببان شود. همچنین استنباط کنید $a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n = b$ دارای راه حل$\iff \gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)|b$ است.
من می دانم که ax+by=n دارای راه حل های عدد صحیح $\iff \gcd(a,b)|n$ است. برای نشان دادن$a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n = \gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$باید از استقرا استفاده کنم و سپس می توانم آن را به صورت$\gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n) | a_1x_1+a_2x_2+ \ldots +a_nx_n$ برای هر$x_1,x_2, x_3 \ldots x_n$سپس $c \leq \gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$ و $c \geq \gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$، و بنابراین $c=\gcd(a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n)$
طرح کلی: مرحله القاء به شرح زیر است. فرض کنید برای یک عدد صحیح خاص k و اعداد صحیح $a_1,\dots,a_k$, اعداد صحیح $x_1,x_2,\dots,x_k$ وجود دارد به طوری که
$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=x_1a_1+\cdots+x_ka_k.\tag{1}$
ما می خواهیم نشان دهیم که اعداد صحیح $y_1,\dots,y_k,y_{k+1}$ وجود دارد که
$\gcd(a_1,\dots,a_k,a_{k+1})=y_1a_1+\cdots+y_ka_k+y_{k+1}a_{k+1}.$.
ما به این واقعیت نیاز داریم که
$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k,a_{k+1})=\gcd(\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k),a_{k+1}).$اثبات این امر به خصوص سخت نیست.
بنابراین با یک نتیجه آشنا، اعداد صحیح s و t وجود دارند که به این ترتیب
$\gcd(a_1,\dots,a_k,a_{k+1})=s\gcd(a_1,\dots,a_k)+ta_{k+1}$
سمت راست (1) را با$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)$در (2) جایگزین کنید.
بعد از اینکه این قضیه نمایش را اثبات کردیم، بقیه چیزها ساده است. از آنجایی که$a_1,a_2,\dots,a_n$قابل نمایش است، هر مضرب صحیح d قابل نمایش است. برعکس واضح است، هر عدد قابل نمایش مضرب d است.اشتراک گذاریدر اینجا یک راه مفهومی برای اثبات هویت Bezout برای gcd وجود دارد. مجموعه S
از اعداد صحیح$\rm\,a_1\,x_1 + \cdots + a_n x_n,\ x_j\in \mathbb Z\,$
تحت تفریق بسته می شود بنابراین، با لم زیر، هر s∈S مثبت
بر d بخش پذیر است:= حداقل مثبت ∈S. بنابراین $\rm\,a_j\in S$
یعنی d مقسوم علیه مشترک همه aj است،
لزوما بزرگترین توسط $\rm\ c\mid \color{#0a0}{a_{\,j}}$
توجه داشته باشید $\rm \ s\in S\,\Rightarrow\, d\mid s\,$ به معنی$ S⊆dZ $است. معکوس$ S⊇dZ$ توسط d∈S
و s \ بسته به مقیاس های عدد صحیح:$\rm\ k \sum a_j x_j = \sum a_j (k x_j)\in S.\,$ بنابراین: $\rm\, S = d\Bbb Z,\,$
یعنی$\rm\bbox[6px,border:1px solid #c00]{ a_1 \Bbb Z +\cdots+a_n \Bbb Z\, =\, \gcd(a_1,\ldots,a_n)\Bbb Z}\qquad$
لم اجازه دهید S≠∅ مجموعه ای از اعداد صحیح > 0 $\rm\color{#c00}{closed\ under\ subtraction}$باشد
تحت تفریق بسته شد یعنی برای همه $\rm\ n > m\ \Rightarrow\ n-m\, \in\, S.\,$ سپس حداقل ℓ∈S
هر عنصر S را تقسیم می کند.اثبات 1
اگر نه حداقل n∈S غیر چندگانه وجود دارد،
در مقابل n−ℓ∈S غیر چندگانه ℓ است.
اثبات 2 S بسته به تفریق ⇒s در حالت باقی مانده (mod) بسته می شود، زمانی که ≠0 باشد،
از آنجایی که mod به سادگی یک تفریق تکراری است، یعنی $\rm\ a\ mod\ b\, =\, a - k b\, =\, a\!-\!b\!-\!b\!-\cdots\! -\!b.\,$
بنابراین$\rm\, (n\ mod\ \ell) = 0,\,$
در غیر این صورت در S است
و کوچکتر از ℓ، بر خلاف حداقل بودن ℓ.
تذکر دهید به طور خلاصه، دو کاربرد القاء استنباط زیر را به دست می‌دهد
$\rm\begin{eqnarray}\rm S\ closed\ under\ {\bf subtraction} &\:\Rightarrow\:&\rm S\ closed\ under\ {\bf mod} = remainder = repeated\ subtraction \\
&\:\Rightarrow\:&\rm S\ closed\ under\ {\bf gcd} = repeated\ mod\ (Euclid's\ algorithm) \end{eqnarray}$
با تفسیر سازنده، این الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته را برای gcd به دست می دهد. یعنی با شروع از دو عنصر S
که می دانیم$\rm\ a \,=\, 1\cdot a + 0\cdot b,\ \ b \,=\, 0\cdot a + 1\cdot b,\,$
ما کمترین عنصر S را جستجو می کنیم
با کم کردن مکرر عناصر S برای تولید عناصر کوچکتر S (در حالی که نمایش خطی هر عنصر را بر حسبa دنبال می کنید
و b این اساساً شکل تفریقی الگوریتم GCD اقلیدسی است (در مقابل شکل mod / باقیمانده)، که در آن هر مرحله کاهش/نزول از تفریق (در مقابل تفریق تکرار شده = mod) استفاده می‌کند.
ساختار جبری زیربنایی S (بسته شدن تحت جمع و مقیاس‌بندی) از نظر مفهومی با مطالعه ایده‌آل‌های حلقه‌ها روشن می‌شود، که در آن اثبات بالا (به شکل باقیمانده در مقابل تفریق) تعمیم می‌یابد تا نشان دهد حوزه‌های اقلیدسی PID هستند.
مراقب باشید که این نمایش خطی gcd لازم نیست در همه حوزه هایی که gcd وجود دارد صادق باشد، به عنوان مثال. در$\rm\:D = \mathbb Q[x,y]\:$
چند جمله ای در x,y
با ضرایب گویا $\rm\:gcd(x,y) = 1\:$داریم
اما$\rm\:f(x,y),\: g(x,y)\in D\:$وجود ندارد
به طوری که $xf(x,y)+yg(x,y)=1;$ در واقع، اگر چنین است، پس ارزیابی در x=0=y بازده 0=1.
گاهی لازم است مقدار تابع y=f(x) را در یک نقطه معین x، بر اساس مقادیر معلوم $f ( x _ 0 )$، ... و $f ( x _ n )$
در مجموعه n+1
نقطه $a = x _ 0 \le x _ 1 \le \cdots \le x _ n = b$
در بازه [ab] تخمین بزنیم. اگر $a <\; x <\; b$
باشد، این فرایند «درون‌یابی» (Interpolation) نامیده می‌شود و اگر x<a یا x\>b
باشد، به آن «برون‌یابی» (Extrapolation) می‌گوییم. در این آموزش، با «درون یابی چند جمله ای» (Polynomial Interpolation) آشنا می‌شویم.
درون یابی چند جمله ای
یکی از راه‌های انجام درون‌یابی و برون‌یابی، تقریب تابع f(x) با یک چندجمله‌ای مرتبهnاُم است:$\large \begin {equation}
f ( x ) \approx P _ n ( x ) = a _ n x ^ n + a _ { n - 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ 2 x ^ 2 + a _ 1 x + a _ 0
= \sum _ { j = 0 } ^ n a _ j x ^ j
\end {equation}$
که در آن، n+1 ضریب a0، ... و an را می‌توان با n+1 نقطه داده شده به دست آورد. وقتی $P _ n ( x )$
را به دست آوریم، می‌توانیم هر عملیاتی (مانند مشتق‌گیری، انتگرال‌گیری، یا یافتن ریشه) را که می‌خواهیم روی تابع f(x)
انجام دهیم، آن را به صورت تقریب به $P _ n ( x ) \approx f ( x )$
اعمال کنیم. این کار، به ویژه در مواقعی که تابع f(x)
یک تابع غیرمقدماتی بوده و در نتیجه، کار با آن دشوار باشد، یا فرم بسته‌ای نداشته باشد، بسیار کارساز خواهد بود.
به طور مشخص، برای یافتن ضرایب $P _ n ( x )$
، لازم است همه نقاط $\{ x _ i \, y _ i = f ( x _ i ) \, \; i = 0 \, \cdots \, n \}$
، یعنی n +1 معادله خطی زیر را داشته باشیم:$\large \begin {equation}
P _ n ( x _ i ) = \sum _ { j = 0 } ^ n a _ j x ^ j_ i = f ( x _ i ) = y _ i \, \; \; \; \; ( i = 0 \, \cdots \, n )
\end {equation}$
اکنون می‌توان ضرایب $a _ 0$
. و $a _ n$
را با حل این n+1
معادله خطی به دست آورد. این معادلات را می‌توان به فرمی ماتریسی زیر نوشت:$\large \begin {equation}
\left [ \begin {array} {ccccc}
1 &\; x _ 0 &\; x _ 0 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 0 ^ n \\
1 &\; x _ 1 &\; x _ 1 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 1 ^ n \\
1 &\; x _ 2 &\; x _ 2 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 2 ^ n \\
\vdots &\; \vdots &\; \vdots &\; \ddots &\; \vdots \\
1 &\; x _ n &\; x _ n ^ 2 &\; \cdots &\; x _ n ^ n \end {array} \right ]
\left [ \begin {array} { c } a _ 0 \\ a _ 1 \\ a _ 2 \\ \vdots \\ a _ n \end {array} \right]
= { \bf V } { \bf a }
= \left [ \begin {array} { c } y _ 0 \\ y _ 1 \\ y _ 2 \\ \vdots \\ y _ n \end {array} \right]
= { \bf y }
\end {equation}$
که در آن، ${\bf a}=[a_0\,\cdots\,a_n]^T$و${\bf y}=[y_0\,\cdots\,y_n]^T$و$\large \begin {equation}
{ \bf V } = \left [ \begin {array} {ccccc}
1 &\; x _ 0 &\; x _ 0 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 0 ^ n \\
1 &\; x _ 1 &\; x _ 1 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 1 ^ n \\
1 &\; x _ 2 &\; x _ 2 ^ 2 &\; \cdots &\; x _ 2 ^ n \\
\vdots &\; \vdots &\; \vdots &\; \ddots &\; \vdots \\
1 &\; x _ n &\; x _ n ^ 2 &\; \cdots &\; x _ n ^ n
\end {array} \right ]
\end {equation}$
ماتریس V به عنوان «ماتریس وندرموند» (Vandermonde Matrix) شناخته می‌شود. با حل این دستگاه، ضرایب $[a_0\,\cdots\,a_n]^T={\bf a}={\bf V}^{-1}{\bf y}$
به دست می‌آیند. در اینجا، n+1 چندجمله‌ای $[a_0\,\cdots\,a_n]^T={\bf a}={\bf V}^{-1}{\bf y}$
.. و $x ^ n$و.... را می‌توان به عنوان مجموعه‌ای از توابع پایه چندجمله‌ای در نظر گرفت که فضای همه چندجمله‌ای‌های درجه nاُم را اسپن می‌کنند. اگر نقاط $x _ 0$$x _ n$، ... و
متمایز باشند، یعنی V دارای رتبه کامل بوده و معکوس آن، $\mathbf { V} ^ { - 1 }$، وجود داشته باشد، آنگاه جواب سیستم$\mathbf {a } = \mathbf { V} ^ {-1} \mathbf { f}$
و در نتیجه $P _ n ( x )$ یکتا است.
البته در عمل این روش به دو دلیل استفاده نمی‌شود: اول اینکه پیچیدگی محاسباتی $O ( n ^ 3 )$
برای محاسبه معکوس V زیاد است و دوم اینکه با افزایش n ماتریس V بدحالت‌تر می‌شود. بنابراین روش‌های دیگری نیز برای درون‌یابی پیشنهاد شده‌اند.
خطای درون یابی چند جمله ای این‌گونه تعریف می‌شود:$\large R _ n ( x ) = f ( x ) - P _ n ( x )$
که در حالت کلی غیرصفر است، البته جز در نقطه $x = x _ i$که$R_n(x_i)=0\,\;(i=0\,\cdots\,n)$
است. به عبارت دیگر، تابع خطای $R_ n ( x )$
دارای n+1 ریشه درx0، ... و xn است و در نتیجه، می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:$\large R _ n ( x ) = u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( x - x _ i ) =u ( x ) \omega ( x )$
در آن، u(x) یک تابع مجهول و ω(x) یک چندجمله‌ای درجه n+1 است که به صورت زیر تعریف می‌شود:$\large \omega ( x ) = \prod _ { i = 0 } ^ n ( x - x _ i )$
برای یافتن u(x)، تابع دیگری به نام F(t) از متغیر t را تشکیل می‌دهیم که در آن، هر $x \in ( a \, b )$
به عنوان یک پارامتر در نظر گرفته می‌شود:$\large F ( t ) = R _ n ( t ) - u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( t - x _ i ) = f ( t ) - P _ n ( t ) - u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( t - x _ i )$
که در t=x برابر با صفر است:$\large F ( x ) = R _ n ( x ) - u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( x - x _ i ) = R _ n ( x ) - R _ n ( x ) = 0$
بنابراین، می‌توان گفت که F(t) دارای n+2 ریشه در x0، ... و xn و x است. قضیه رول بیان می‌کند که تابع مشتق f′(x) هر تابع مشتق‌پذیر f(x) که در رابطه $f ( a ) = f ( b ) = 0$
صدق می‌کند، باید حداقل یک ریشه در c∈(ab) داشته باشد. طبق «قضیه رول» (Rolle's Theorem)، F′(t) حداقل n+1 ریشه بین دو ریشه متوالی F(t) دارد و $F ^ {\prime \prime } ( t )$
حداقل n ریشه، و $F ^ {( n + 1 ) } ( t)$ حداقل یک ریشه در $\xi\in(a\,\;b)$ دارد:$\large \begin {eqnarray}
F ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) = 0 &\; = &\; \frac { d ^ { n + 1 } } { d t ^ { n + 1 } }
\left [ f ( t ) - P _ n ( t) - u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( t -x _ i ) \right ] _ { t = \xi }
\nonumber \\
&\; = &\; \left [ f ^ { ( n + 1 ) } ( t ) + P _ n ^ { ( n + 1 ) } ( t ) - u ( x ) \frac { d ^ { n + 1 } } { d t ^ { n + 1 } } \prod _ { i = 0 } ^ n ( t - x _ i ) \right ] _ { t = \xi }
\nonumber \\
&\; = &\; f ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) - u ( x ) ( n + 1 ) \!
\end {eqnarray}$
معادله آخر به این دلیل است که $\prod_{i=0}^n(t-x_i)$
، به ترتیب، چندجمله‌ای‌هایی از درجه n و n+1 از t هستند. با حل معادله بالا، داریم:$\large u ( x ) = \frac { f ^ { (n + 1 ) } ( \xi ) } { ( n + 1 ) \! }$
اکنون تابع خطا را می‌توان به صورت زیر نوشت:$\large R _ n ( x ) = u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( x -x _ i ) = \frac { f ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) } {( n + 1 ) \! } \, \omega ( x )$
که در آن، $\large R _ n ( x ) = u ( x ) \prod _ { i = 0 } ^ n ( x -x _ i ) = \frac { f ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) } {( n + 1 ) \! } \, \omega ( x )$
نقطه‌ای است که بسته به x، بینa=x0 و $b = x _ n$ واقع شده است. خطا را می‌توان به صورت کمّی و توسط نُرم دو Rn(x)
اندازه‌گیری کرد:$\large \begin {equation}
\epsilon = | | R _ n ( x ) | | _ 2 = \left ( \int _ a ^ b R ^ 2 _ n ( x ) \, d x \right ) ^ { 1 / 2 }
\end {equation}$
در عمل، اگر f(x) یک چندجمله‌ای مرتبه k≤n و در نتیجه $f^ {(n+1)} ( x ) = 0$ باشد، آنگاه می‌توان آن را با Pn(x) رون‌یابی دقیق کرد. اما اگر k>n باشد، درون‌یابی یک جمله خطای غیرصفر $f ^ {(n + 1 ) } ( x ) = ( n + 1 ) \!$
دارد و جمله خطا به صورت زیر در خواهد آمد:$\large R _ n ( x ) = \frac { f ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) } { ( n + 1 ) \! } \, \omega ( x ) = \omega ( x )$
به دلیل یکتایی درون یابی چند جمله ای ، تحلیل خطای بالا را می‌توان به همه روش‌های دیگر درون‌یابی، از قبیل لاگرانژ و نیوتن نیز اعمال کرد.
