لاگرانژی و ضرایبش

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3286

سپاس: 5494

جنسیت:

تماس:

لاگرانژی و ضرایبش

پست توسط rohamavation »

ببینید دوستانییادمه اولین بار که با این مبحث اشنا شدیم استادمون یه مثال قشنگ زد لاگرانژی چیز خوب و قشنگیه. یه جورایی مثل یه شاگرد باهوش که به معلم میگه: حل کنه دیگه من خسته شدم!"
فرض کنید یه مسئله دینامیک دارین یعنی در حال حرکت و تغییر. حالا شما می‌خواهید بفهمید چجوری باید برخورد کنید تا بهینه و با محدودیت‌هایی که دارین به جلو برین.
لاگرانژی به شما این اجازه رو می‌ده که با محدودیت‌هایتون راحت‌تر کار کنین. خیلی وقتا مثل اینه که توی یه رقص شلوغ شده‌اید و لاگرانژی میاد و میگه: خوب دیگه شما برقصید،من می‌بینم و باهاتون هماهنگ می‌شم
توی دینامیک معمولاً با استفاده از لاگرانژی، مسائل بهینه‌سازی رو که معمولاً مثل چیزهایی که دوست داریم بیشینه بشه یا کمینه بشه، بهتر می‌تونیم حل کنیم. مثلاً اگر یک ماشین داریم و می‌خواهیم بفهمیم چجوری باید سرعتش رو تغییر بدیم تا به سرعت بیشینه برسیم، اینجا لاگرانژی به ما کمک می‌کنه.
پس برای اینکه لاگرانژی رو درک کنیم، مثل تعامل با یک دوست باهوش است. همیشه زمان خوبیه که دوست داشتنی‌ترین رقصی که در حال اجرا هستیم، با محدودیت‌هامون بهترین شکل رو بگیره.
لاگرانژی یک فرمولاسیون ریاضیه که برای حل مسائل بهینه‌سازی با محدودیت‌ها استفاده میشه. در واقع، وقتی با مسائل بهینه‌سازی و محدودیت‌ها سر و کار داریم، لاگرانژی یه ابزار قدرتمنده.
بیاین یکم فرآیند رو توضیح بدم. فرض کنید می‌خواهید یک مسئله بهینه‌سازی داشته باشید. معمولاً این مسائل دو جزء دارند: تابع هدف که می‌خواهید آن را بهینه کنید، و محدودیت‌ها که شرایطی هستند که باید رعایت کنید.
حالا بیاین من یه مثال بزنم جلو. بفرضید می‌خواهید یک باغچه برای کاشت گل‌ها طراحی کنید. شما می‌خواهید مساحت باغچه را بهینه کنید (تابع هدف)، اما همزمان محدودیت‌هایی مثل مساحت محدود برای گلخانه و تعداد آبیاری‌ها را هم باید رعایت کنید.
حالا معادله لاگرانژی برای این مسئله به صورت زیر خواهد بود:$L(A, \lambda_1, \lambda_2) = \text{Area of the garden} - \lambda_1 (\text{Permitted greenhouse area} - \text{Actual greenhouse area}) - \lambda_2 (\text{Permitted irrigations} - \text{Actual irrigations})$
ضرایب لاگرانژ مربوط به محدودیت‌ها هستن. این ضرایب لاگرانژ به مت و شما کمک می‌کنند که محدودیت‌ها را به تابع هدف اضافه کنیم و به بهینه بودن مسئله دست پیدا کنیم.
بنا به تعریف لاگرانژی تفاضل کینتیک انرژی و انرژی پتانسیله. یعنی: که همون قانون دوم نیوتنه
اپتیمایزیشن (Optimization): این اصطلاح به بهینه‌سازی یک فرایند یا سیستم بر اساس یک معیار خاص یا چندین معیار می‌پردازه. هدفش اینه که بهترین مقدار یا وضعیت را برای مسئله مشخصی بیابه.
واریابل (Variable) واریابل یا متغیر نمایانگر مقداریه که می‌تونه در یک تابع تغییر کنه. تو مسائل بهینه‌سازی ما می‌تونیم بهینه‌سازی یک تابع را با تغییر واریابل‌های مربوطه انجام بدیم
کنستریت (Constraint) خوب میگه در مسائل بهینه‌سازی شما با محدودیت‌ها یا شرایطی که باید براورده شوند برخورد کنی. این محدودیت‌ها همون کنسترینت‌ها .
ریاضیات مفهوم لاگرانژی روشی برای حل مساله های اپتیمایزیشن بهینه سازی با کنسترینت همون محدودیت(Constrained Optimization) استفاده میشه. پس لاگرانژی یک تابع از واریابل همون متغییر های هدف (تابعی که باید بهینه شه) و واریابل های کنسترینت
فرض کن که من یک مسأله اپتیمایزیشن با تابع هدف دارم$f(x
1

,x
2

,…,x
n

)$

و یک مجموعه از کنسترینت‌ها به شکل
)=0. لاگرانژیان مرتبط با این مسأله به شکل زیر تعریف میشه:$L(x
1

,x
2

,…,x
n


1

,…,λ
m

)=f(x
1

,x
2

,…,x
n

)+∑
i=1
m

λ
i

g
i

(x
1

,x
2

,…,x
n

)+∑
j=1
p

μ
j

h
j

(x
1

,x
2

,…,x
n

)$

برای یافتن ماکزیمم یا مینیمم تابع $f(x,y,z)$ زیر کنسترینت$g(x,y,z)=k$, از روش لاگرانژی استفاده میشه. فرض کن میخام تابع زیر را اپتیمایزیشن کنم
$F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λ(g(x,y,z)−k)$
که λ چندگان لاگرانژی است. حالا با گرفتن مشتقات جزئی از F نسبت به x, y, z و λ و قرار دادن آنها برابر با صفر معادلات ناشی از این مشتقات جزئی را حل میکنم. این کار با حل یک سیستم معادلات صورت می‌گیره.$∂x/∂F =0$و برای بقیه همینطوره
در مکانیک تئوری لاگرانژ بر اساس اصل عمل ایستا و اصل حرکت تعریف میشه. این تئوری اینطور کار میکنه که مسیر واقعی یک سیستم از مسیری پیش‌فرض بهینه‌تره خودش اصله ها.
لاگرانژی میگه L=T−Uببین T نمایانگر سنتيک سیستم انرژی حرکته.U نمایانگر انرژی پتانسیل سیستمه.
اصل عمل ایستا: برای یک سیستم در حالت ایستا (T=0) مسیر واقعی باید انرژی کمینه‌ای (حداقل انرژی پتانسیل) داشته باشه.
اصل حرکت: برای یک سیستم در حال حرکت مسیر واقعی باید مسیری باشه که انرژی کل (کینتی و پتانسیل) حداقل یا حداکثر باشه (بسته به مسئله).
مسأله اپتیمایزیشن با لاگرانژی به شکل حل کردن مینیمم یا ماکزیمم لاگرانژیان به شرط تساوی صفر کردن مشتقات جزئی نسبت به تمام وریبل ها است.
مزایا و مفید بودن روش لاگرانژی چیه
تبدیل به مسئله بدون کنسترینت تبدیل مسئله اپتیمایزیشن با کنسترینت به یک مسئله بدون کنسترینت حلشو ساده میکنه
حل سریع مساله شما
اعمال کردن کنسترینت رو به‌صورت مستقیم: با استفاده از واریابل های لاگرانژی میشه کنسترینت را به‌صورت مستقیم به تابع هدف اضافه کرد و تو اپتیمایزیشن مدلش کرد.
معادلات حرکت لاگرانژ ااینطوری هستند:${\displaystyle {\partial L \over {\partial x}}-{d \over {dt}}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}=0}$
در مکانیک که من خوندم کنسترینت در یک سیستم پارامتریه که سیستم باید از آن تبعیت کنه. مثل یه جعبه ای که از یک شیب به پایین می لغزه باید روی شیب باقی بمونه. دو نوع کنسترینت مختلف وجود داره هولونومیک و غیرهولونومیک.سادشو بگم
در مکانیک کنسترینت یعنی کنسترینتی که روی حرکت یا حالت یک سیستم اثر می‌گذاره. این کنسترینت می‌تونه کنسترینت‌های مختلفی باشه که بر اساسش تحلیل و حرکت سیستم‌های مکانیکی انجام می‌شه.
تصویر
به عنوان مثال:
کنسترینت‌های مکانی: مثلاً یه جسم می‌تونه کنسترینت‌های مختلفی در حرکتش داشته باشه، مثل کنسترینت‌هایی برای حرکت روی یک سطح یا روی یه مسیر خاص.
کنسترینت‌های زمانی: بعضی از مسائل مکانیک ممکنه کنسترینتشهایی بر زمان داشته باشن، مثل زمان‌های خاص برای حرکت یا رخدادهای خاص.
کنسترینت‌های انرژی: ممکنه کنسترینت‌هایی بر روی انرژی سیستم اعمال بشه.
در فرمول لاگرانژی معمولاً به آن نیروی کنسترینت می گویند. نیروی کنسترینت اصطلاحی کلی است که بر روی یک ذره اعمال می شود تا حرکت آن در یک مسیر خاص را محدود کند.
در مورد یه جسمی که روی سطح حرکت می‌کنه، نیروهای کنسترینت به اصطلاح نیروهایی گفته می‌شن که براشون می‌فهمونن که باید چطوری حرکت کنه. برای مثال، یه نیروی مثل وزن (که به پایین جذب می‌شه) و یه نیروی عمودی به سطح (نیروی عادی) که سطح به جسم فشار می‌اره نیروهای کنسترینت حساب می‌شن.
تو مواقعی که نیروهای کنسترینت وجود دارن و سیستم با اون‌ها حرکت می‌کنه، از یه تئوری به اسم لاگرانژ استفاده می‌شه. این تئوری این امکان رو می‌ده که مسائل اپتیمایزیشن با کنسترینت‌ها رو به مسائل بدون کنسترینت تبدیل کنیم و از روش‌هایاپتیمایزیشن برای حلشون استفاده کنیم.
با استفاده از فرمولهای لاگرانژی، می‌شه کنسترینت‌های مختلف رو به عنوان شرایط اپتیمایزیشن به مسئله اضافه کرد و بعد مسئله رو با روش‌های معمول حل کرد. این روش معمولاً برای حل مسائل مهندسی و علوم طبیعی با کنسترینت‌های پیچیده واقعی استفاده می‌شه.
در مکانیک کلاسیک، کنسترینت به معنای شرایطیه که سیستم باید ازش پیروی کنه. این کنسترینت معمولا به شکل روابطی بین مختصات یا سرعتاش مطرح میشن. دو نوع اصلی از کنسترینت تو مکانیک کلاسیک به اسم کنسترینت هولونومیک و غیرهولونومیک شناخته میشن.
۱. کنسترینت Constraint هولونومیک:
این نوع کنسترینتا به روابط ریاضی خطی بین مختصات سیستم ارتباط دارن. به عبارت دیگه، میشه اینا رو با معادلات خطی بیان کرد.
مثال: اگه یه ذره روی یه صفحه حرکت کنه، میشه با یه رابطه خطی مثل "ax + by + cz = 0" کنسترینت هولونومیک رو نشون داد.
۲. کنسترینتا Constraintغیرهولونومیک:
این نوع کنسترینت به روابط غیرخطی بین مختصات یا سرعتاش مرتبط میشن.
آخرین ویرایش توسط rohamavation دوشنبه ۱۴۰۲/۱۲/۱۴ - ۰۹:۰۶, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3286

سپاس: 5494

جنسیت:

تماس:

Re: لاگرانژی و ضرایب ان

پست توسط rohamavation »

مثال: اگه یه جعبه روی یه شیب لغزش کنه ولی نیاز به حرکت باقی ماندن روی شیب داشته باشه، کنسترینت غیرهولونومیک پدیدار میشن.
تو تحلیل مسائل مکانیکی کلاسیک با کنسترینت از واریابل های لاگرانژی استفاده میشه تا معادلات حرکت سیستم با کنسترینت به دست بیاد. این معادلات به اسم معادلات لاگرانژ معروفن و این امکان رو می‌دن که حرکت سیستم به دقت توصیف بشه.
کنسترینت‌های هولونومیک در مکانیک کلاسیک به شرایطی میگیم که ممیشه اونارو را با روابط ریاضی خطی بین وارایابلهای سیستم بیان کردش. این نوع کنسترینت‌ها بیشتراً با استفاده از معادلات خطی یا کامبینیشن خطی از واریابل مختلف سیستم تعریف می‌شن. به عبارت دیگر، اگر $q
1

,q
2

,…,q
n$
واریابل مختلف سیستم باشن کنسترینت‌های هولونومیک میتونن به صورت خطی بیان بشن مانند:$a
1

q
1

+a
2

q
2

+…+a
n

q
n

=0$
که $a
1

,a
2

,…,a
n$

ضرایب ثابت هستن. این نوع کنسترینت‌ها به تنهایی یا ترکیبی از چندین واریابل سیستم مرتبط با یکدیگر می‌تونند وجود داشته باشن.
فرض کنید یک ذره در فضا با دو مختصات x و y حرکت می‌کند. اگر کنسترینت‌های هولونومیک وجود داشته باشند میشه را به صورت خطی بیان کرد
$a
1

x+a
2

y=0$

در اینجا،
$a
1$و$a
2$ ضرایب ثابت هستن و کنسترینت نشون میده که ذره برخوردی خطی در فضا داره.
حالا "کنسترینت‌های غیرهولونومیک"، اون شرایطیه که نمی‌تونی اونارو با روابط خطی بیان کنی. معمولاً این نوع کنسترینت‌ها با روابط غیرخطی یا کامبینیشن غیرخطی از وریبل شهای سیستم تعریف میشن.
مثال اگه یه ذره در فضا حرکت کنه ولی یه کنسترینت غیرهولونومیک داشته باشیم، می‌تونیم اون رو با یه معادله غیرخطی بیان کنیم$x
2
+y
2
−R
2
=0$
"نقاط لاگرانزی" تو مکانیک لاگرانژی جاهایی هستن که معادلات حرکت یک سیستم با استفاده از معادلات لاگرانژ تعریف میشن. به عبارت دیگه، جواب‌های معادلات حرکت لاگرانژ رو در این نقاط پیدا می‌کنیم.
نقاط لاگرانژ موقعیت هایی در فضا هستن که در آن نیروهای گرانشی یک سیستم دو جسمی مانند خورشید و زمین مناطق افزایش یافته جذب و دافعه را ایجاد می کنن
لاگرانژیان (Lagrangian) یک تابع است که در مسائل بهینه‌سازی با محدودیت‌ها Constrained Optimization استفاده می‌شود. این تابع با استفاده از ضرایب معروف کوفی شنت لاگرانژ ساخته میشه
فرض کنی که شما یک مسئله بهینه‌سازی داری که درش باید یک تابع هدف Objective Function را بهینه کنی اما با یک یا چندین شرط Constrained مواجه هستم. معمولاً مسائل بهینه‌سازی با محدودیت‌ها اینطور میارمشون
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{Minimize} \quad & f(x) \\
\text{Subject to} \quad & g_i(x) = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, m
\end{aligned}
\end{equation}
در اینجا:
$f(x)$ تابع هدف است که باید کمینه بشه
$g_i(x)$ توابع مربوط به محدودیت‌هاست
$x$ برداری از متغیرهای بهینه‌سازیه
حالا برای استفاده از محدودیت‌ها در فرمولاسیون مسئله من از ضرایب لاگرانژ استفاده می‌کنم یعنی یک ضریب لاگرانژ برای هر شرط (محدودیت) اضافه می‌کنم. این ضریب با یک واریابل جدید معمولاً با نام $\lambda_i$ نشاون داده میشه. حالا لاگرانژیانش
\begin{equation}
L(x, \lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i g_i(x)
\end{equation}
در اینجا:
$\lambda_i$ ضریب لاگرانژ مربوط به شرط $g_i(x)$
حالا با استفاده از لاگرانژیان من مسئله بهینه‌سازی اصلی را به یک مسئله بدون محدودیت تبدیل می‌کنم. برای یافتن نقطه بهینه مشتقات جزئی لاگرانژیان نسبت به $x$ و $\lambda$ برابر با صفر قرار میدم و
حل میکنمش
{لاگرانژی در دینامیک و هوافضا}
فرض کن می‌خوام یک شیء از نقطه $A$ به نقطه $B$ حرکت کنه اما در مسیر مسائلی وجود داره که باید رعایت بشه. من میخوام مسیری انتخاب کنم که زمان حرکت (تابع هدف) کمینه بشه اما محدودیت‌هایی همچون مصرف انرژی (تابع محدودیت) را نیز رعایت کنم.
تابع هدف (زمان حرکت) را با $J(t)$ نشون میدم و تابع محدودیت (مصرف انرژی) را با $g(t)$ میارم براتون
حالا لاگرانژیان را معرفی میکنم
\begin{equation}
L(t, \lambda) = J(t) + \lambda g(t)
\end{equation}
در اینجا، $\lambda$ یک کوفیشنت لاگرانژه که بهم کمک می‌کنه مسأله را به صورت یک مسأله بدون محدودیت تبدیل کنم.
خوب معادلات لاگرانژ را برای حل مسئله رومی‌نویسم:
\begin{align}
\frac{\partial L}{\partial t} &= \frac{\partial J}{\partial t} + \lambda \frac{\partial g}{\partial t} = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} &= g(t) = 0
\end{align}
این معادلات منو را به جواب میرسونه. کوفیشنت لاگرانژ ($\lambda$) منو را به ادپتیشن میان تابع هدف و تابع محدودیت هدایت میکنه این میتونه مقداری برابر با صفر یا غیرصفر باشه و این بستگی به حالت محدودیت‌ها و اهداف داره.
در دینامیک و هوافضا این روش برای بهینه‌سازی مثل مسیریابی هواپیماها یا حرکت سیستم‌های فضایی به کار میره. در این حالت من می‌تونم با تعریف تابع هدف و توابع محدودیت با استفاده از لاگرانژیان به جواب مسائل بهینه‌سازی برسم
تصویر

ارسال پست