برای ساده نگه داشتن آن، فرض می کنم سقوط مستقیم 90 درجه، ابتدا پاها، و موقعیت در آب تا زمانی که تکانه از بین برود، حفظ می شود.
در لحظه غوطه ور شدن جسم، دو نیرو بر روی آن وارد می شود: عمق ترمینال
$F_B=V(\rho_{water}-\rho_{object})g$، نیروی شناوری و نیروی پسا $F_D$
$F_D$ معمولاً به صورت $F_D=kv$ مدل‌سازی می‌شود که v سرعت و k یک ضریب درگ است.
پس معادله حرکت این است:
$ma=-F_B-F_D$
$ma=-F_B-kv$
$m\frac{dv}{dt}=-F_B-kv$
$-m\frac{dv}{F_B+kv}=dt$
$-m\int_{v_0}^{v(t)}\frac{dv}{F_B+kv}=\int_0^tdt$جایی که v0 سرعت بعد از غوطه وری است. اگر جسم از ارتفاع H سقوط کند، $\frac12 mv_0^2\approx mgH$ است.
$-\frac{m}{k}\ln\frac{kv(t)+F_B}{kv_0+F_B}=t$
$kv(t)+F_B=(kv_0+F_B)e^{-\frac{k}{m}t}$
$\frac{dx(t)}{dt}=\frac1k\Big((kv_0+F_B)e^{-\frac{k}{m}t}-F_B\Big)\tag{1}$
$\int_0^{x(t)}dx(t)=\int_0^t\Big[\frac1k\Big((kv_0+F_B)e^{-\frac{k}{m}t}-F_B\Big)\Big]dt$
$x(t)=\frac1k\Big[\int_0^t\Big((kv_0+F_B)e^{-\frac{k}{m}t}dt-\int_0^tF_Bdt\Big]$
$x(t)=-\frac{m}{k^2}(kv_0+F_B)(e^{-\frac{k}{m}t}-1)-\frac{F_Bt}{k}\tag{2}$
در نقطه‌ای v(t) صفر می‌شود و شناوری باعث می‌شود شیء جهت معکوس کند، بنابراین یک مقدار حداقل برای x(t) وجود دارد. می توانیم $t_{min}$ را به صورت زیر پیدا کنیم:
$\frac{dx(t)}{dt}=\frac1k\Big((kv_0+F_B)e^{-\frac{k}{m}t}-F_B\Big)=0$
$e^{-\frac{k}{m}t}=\frac{F_B}{kv_0+F_B}\tag{3}$
$t_{min}=\frac{m}{k}\ln\frac{kv_0+F_B}{F_B}\tag{4}$
$e^{-\frac{k}{m}t}-1=-\frac{kv_0}{kv_0+F_B}\tag{5}$
$x_{min}=\frac{mv_0}{k(kv_0+F_B)}-\frac{mF_B}{k^2}\ln\frac{kv_0+F_B}{F_B}\tag{6}$
(6) نشان دهنده عمیق ترین چیزی است که یک جسم فرو می رود، قبل از اینکه شناور شروع به حرکت دوباره آن به سمت بالا کند.
شما همچنین باید احتمال زنده ماندن را در نظر بگیرید. پرش به داخل آب بیان می کند که پرش بیش از 76 متر به احتمال زیاد کشنده است و پرش بیش از 46 متر به احتمال زیاد منجر به آسیب ستون فقرات می شود -.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا