تصور کنین فضانوردی با لباس فضایی به دیوار یک سفینه فضایی بسته شده که در آن اوضاع خیلی وحشتناکه. یک شکاف بدنه تمام هوا را مکیده بنابراین فقط فضای خالی در داخل وجود داره و سفینه به طرز خیلی وحشتناکی روی محور خود میچرخه. فضانورد موفق میشه بند خود را باز کند و سپس خود را مثلاً با نوعی تقویت کننده از دیوار مستقیماً به جلو پرتاب میکنه - بنابراین در جهت مرکز در لحظه اعمال نیرو.
جسمی که به یک قاب در حال چرخش در خلاء G صفر متصل شده و سپس از آن دور میشه فضا نورد از یک مهندس هوافضا کمک میخواد
از آنجایی که هیچ نوع مولکول گازی برای تعامل با آنها وجود نداره و اگر برای لحظه ای وانمود کنم که سرعت فشاردور از دیوار فورا به دست میاید آیا این فرض درسته که که بردار سرعت کل پس از گسست فقط مجموع سرعت زاویه ای قاب چرخش و سرعت جهت دار مرکزه؟ همانطور که در عکسی که گذاشتم با بردار "اسپیون-بردار" قرمزو بردار "فشار" زرد و بردار "جمع" نارنجی؟
ببین اسپینورها (Spinors) عناصری از فضای برداری مختلط اند که می‌توان آنها را با فضای اقلیدسی همراه ساخت. اسپینورها مثل بردارهای هندسه و به‌طور کلی‌تر مثل تنسورها وقتی فضای اقلیدسی را کمی دچار دوران (بی‌نهایت‌کوچک) کنیم تحت تبدیل خطی قرار میگیرندیعنی.اسپینورها مشابه بردارها رفتار میکنند مقدار مشخصی دارن و تحت چرخش تغییر میکنند مقدار یک بردار.آیا مقادیر فیزیکی از مقدار جهت و چرخش در امتداد آن جهت تشکیل شده ببینید کمیت‌های اسکالر و کمیت‌های برداری (مقدار و جهت) وجود داره اما آیا کمیت‌های اساسی وجود دارد که به نحوه جهت‌گیریچرخش آن در امتداد جهت (مقدار جهت، و چرخش/جهت جزئی) در فضای اقلیدسی سه‌بعدی نیز بستگی داره دقیقاً مانند چرخش جسم صلب چنین مقادیری باید با pitch-roll-yaw توصیف کنم
منردو سیستم مختصات دارم یکی ثابت اینرسی و دیگری ثابت (هواپیما ثابت).بگذارید بگم که اجزای برداری $\vec{v}_B$ در سیستم هواپیما (شاخص B) بنابراین مقدار بردار سرعت برابره$v_1roham=\sqrt{\vec{v}_B^T\,\vec{v}_B}\tag roham$
من این مولفه های برداری را به سیستم اینرسی منتقل میکنم$\vec{v}_I=R\,\vec{v}_B$جایی که R ماتریس چرخش بین سیستم جسم و سیستم اینرسیه اگر دامنه این بردار را محاسبه کنم به دست میارم
$v_2roham=\sqrt{\left(R\,\vec{v}_B\right)^T\,R\,\vec{v}_B}=\sqrt{\vec{v}_B^T\,R^T\,R\,\vec{v}_B}=\sqrt{\vec{v}_B^T\,\vec{v}_B}\tag 2$
با $R^T\,R=I_3\quad \Leftrightarrow v_2=v1$
بنابراین دامنه یک بردار تحت تبدیل مختصات متعامد (ماتریس چرخش) ثابته نحوه محاسبه زاویه انحراف و چرخش میتونم ماتریس چرخش R را از سه ماتریس چرخش عنصری
$R_1(\alpha)=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos \left(
\alpha \right) &-\sin \left( \alpha \right) \\ 0&
\sin \left( \alpha \right) &\cos \left( \alpha \right) \end {array}
\right]
\quad \text{Rotation about the x- roham-axes}$
$R_2(\beta)=\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \beta \right) &0&\sin \left(
\beta \right) \\ 0&1&0\\ -\sin
\left( \beta \right) &0&\cos \left( \beta \right) \end {array}
\right]
\quad \text{Rotation about the y-roham-axes}$
$R_3(\gamma)= \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \gamma \right) &-\sin \left(
\gamma \right) &0\\\sin \left( \gamma \right) &\cos
\left( \gamma \right) &0\\ 0&0&1\end {array}
\right]
\quad \text{Rotation about the z-roham-axes}$
مثال $R=R_3(\alpha)\,R_2(\beta)\,R_3(\gamma)$. توجه کنید که در این مورد اولین چرخش در مورد محورهای z هستش چرخش دوم در مورد جدید$y'$-axes و سومی در مورد جدید $z''$ این زوایا را زوایای اویلر میگیم. برای هر ماتریس چرخش تکینگی (گیمبال) در یکی از زوایای اویلر به دست میاد
برای به دست آوردن انحراف (ψ) زمین (ϑ) و رول (φ) من این ماتریس چرخش را بین سیستم جسم و سیستم اینرسی انتخاب میکنم$R_{BI}=R_3(\psi)\,R_2(\vartheta)\,R_1(\varphi)$
و البته اثر کوریولیس وجود داره زیرا فضانورد لحظه‌ای که از سطح جدا میشود نمیچرخه در حالی که قاب همچنان میچرخه؟
اگر تسمه های نگهدارنده فضانورد کاملاً سفت نباشه مثلاً چند سانتی متر شل باشه آیا فضانورد همچنان محکم به دیوار کشیده میشه و آیا به اندازه تسمه ها به سمت جهت چرخش کشیده میشن.
آیا این درست است که فرض کنیم بردار سرعت کل پس از گسست فقط مجموع سرعت زاویه ای قاب چرخان و سرعت جهت دار مرکز باشه؟
آره. اگر فشار یک Δv ایجاد کنه
و البته اثر کوریولیس وجود داره زیرا فضانورد لحظه‌ای که از سطح جدا میشه نمیچرخه در حالی که قاب همچنان میچرخه؟
این بستگی به چارچوب مرجعی دارد که برای تجزیه و تحلیل موقعیت استفاده می کنیم. من وضعیت را در قاب غیر چرخشی (اینرسی) ترسیم کردم. در آن قاب هیچ نیروی گریز از مرکز و نیروی کوریولیس وجود نداره فضانورد پس از فشار اولیه در یک خط مستقیم با سرعت ثابت حرکت میکنه
مطمئناً می توان به جای آن وضعیت را در قاب چرخان تحلیل کرد. در آن قاب، سرعت مماسی در ابتدا 0 است بنابراین سرعت پس از فشار فقط برابر با Δv است.
کاملا شعاعی سپس در چارچوب چرخان فضانورد در یک خط مستقیم حرکت نمیکنه بلکه توسط هر دو نیروی گریز از مرکز و کوریولیس شتاب میگیره.
بله من درست میگم. فضانورد تلاش می کند خود را به سمت مرکز سفینه فضایی پرتاب کنه. اما در یک چارچوب مرجع اینرسی همانطور که نمودارم نشون میده بردار سرعت واقعی آنها بردار نارنجیه. مسیر آنها یک خط مستقیمه اما آنها از مرکز سفینه فضایی دور میشن و در نهایت دوباره به دیوار برخورد میکنن
در یک چارچوب مرجع غیر اینرسی که با سفینه فضایی میچرخه به نظر میرسه فضانورد یک مسیر منحنی را دنبال میکنه نه یک خط مستقیم. آنها انحراف مسیر خود را به ترکیبی از اثر کوریولیس و نیروی گریز از مرکز نسبت میدن این نیروها شبه‌نیروهایی هستند که اگر در چارچوب مرجع غیر اینرسی کار میکنن باید آنها را معرفی کنم.
غیر ازاون: یک چیز که کاملاً ضروریه حفظ تمایز بین دیدگاه اینرسی و دیدگاه چرخشیه
در تنظیمات خودم حتی تمام هوا را حذف کردم به طوری که وقتی فضانورد از زمین پرید تماس فیزیکی بین فضانورد و سیستم چرخان فیزیکی صفر نخواهد بود.
به منظور تجربه یک اثر فیزیکی، فضانورد باید در تماس فیزیکی با سیستم چرخان باشد.
فرض کنید من ساکن یک سیلندر اونیل هستم و برای سوار شدن به آسانسور وارد آسانسور میشوم. در طول آن سواری نیرویی لازم است تا سرعت دور زدنم را با فاصله آنی من تا مرکز چرخش مطابقت بده. همانطور که وارد آسانسور میشم به سمت دیواری میرم که با شروع حرکت آسانسور به سمتم فشار میاره. همانطور که احساس میکنیم نیرویی که منو هل میدهد بروم آره اثر کوریولیس. (و اگر غافلانه خودم را در مقابل دیوار اشتباهی قرار دهم با یک صحنه بدی مواجه میشم .)استوانه اونیل یک زیستگاه در حال چرخش است که معمولاً از دو استوانه تشکیل شده که توسط یک میله به هم متصل شده اند و در جهت مخالف می چرخند. این استوانه ها به اندازه ای سریع می چرخند که گرانش مصنوعی ایجاد کنند
تا آنجا که به فضانورد مربوط میشه هنگامی که او رانده میشود به سادگی در یک خط مستقیم حرکت میکنه و هیچ نیرویی را تجربه نمیکنه.
آیا نیروی گریز از مرکز در خلاء منتقل میشود؟
فرض کنید یک استوانه بسته در فضا شناوره که هیچ نیروی شتابی را تجربه نمی کند. فرض کنید ارتفاع سیلندر 200 فوت و شعاع 75 فوت . در نهایت، فرض کنید یک توپ ثابت وجود داره که در فاصله 100 فوتی از پایه سیلندر و 35 فوتی از کناره شناور است و از مرکز آن جابجا شده اگر حجم سیلندر خلاء باشه و گاز نداشته باشه و سیلندر شروع به چرخش کنه آیا نیروی گریز از مرکز به توپ وارد میشه فرض من این نیست زیرا تا آنجا که می توانم بگویم، هیچ گاز یا وسیله دیگری برای انتقال انرژی تکانه چرخش به توپ در خلاء وجود ندارد.
اگر هوا در داخل سیلندر وجود داشت انتظار داشتم توپ به سمت سیلندر حرکت کند، و فکر میکنم این به این دلیل است که گاز انرژی چرخش را به نوعی به توپ منتقل میکنه. من مطمئن نیستم که چگونه این کار میکند پس چه اتفاقی خواهد افتاد؟ آیا توپ در یک استوانه بدون هوا ثابت می ماند یا به لبه سیلندر کشیده میشه؟
در ابتدا توپ دقیقاً همان جایی که بود می ماند. تمام اثراتی که معمولاً هنگام برخورد با اجسام در حال چرخش با آن ها مواجه میشویم (نیروی گریز از مرکز نیروی کوریولیس و غیره) به این دلیل رخ میده که جسم در حال چرخش با اشیاء درون یا روی آن، معمولاً با اصطکاک، برهم کنش میکنه. از آنجایی که در مثالی که میزنم چنین تعاملی بین توپ و استوانه وجود نداره در ابتدا نیروی گریز از مرکز وجود نخواهد داشت.
اگر بخوام خیلی دقیق باشم توپ به آرامی به سمت استوانه ای که نزدیکتره جذب میشه زیرا میدان گرانشی در یک استوانه توخالی (برخلاف کره توخالی) به طور کامل از بین نمیرود. در استوانه این میدان مستقل از چرخش خود شه بنابراین بدون توجه به اینکه در حال چرخش بوده یا نه این اتفاق میافته به محض تماس توپ و سیلندر اصطکاک بین آنها شروع به کشیدن توپ میکنه. سپس استوانه یک نیروی مرکزگرا به توپ وارد میکنه و آن را بیشتر به دیوار داخلی فشار میده
در چارچوب مرجع استوانه توپ یک نیروی گریز از مرکز را تجربه میکند زیرا هر جسم در یک قاب مرجع غیر اینرسی شبه نیروهای مرتبط با آن قاب مرجع را تجربه میکنه با این حال اگر توپ در یک قاب مرجع اینرسی ساکن باشه باید در یک حرکت دایره ای یکنواخت در چارچوب مرجع چرخان حرکت کنه. دلیل این امر این است که نیروی کوریولیس دو برابر نیروی گریز از مرکز است و در جهت مخالف قرار میگیره بنابراین نیروی گریز از مرکز لازم برای حرکت دایره ای در قاب دوار را فراهم میکنه. این حرکت دایره ای در قاب دوار با سرعت زاویه ای مخالف استوانه w.r.t. ارجا به موضوع اصلی ام قاب اینرسی مربوط به ثابت بودن توپ در قاب اینرسیه
چرا یک ایستگاه فضایی در حال چرخش به جای چرخیدن به دور فضانورد، نیروی گریز از مرکز را بر روی فضانورد ایجاد میکنه؟
تو فیلم هایی با ایستگاه فضایی در حال چرخش می بینم که با کشیدن فضانوردان به بیرون توسط نیروی گریز از مرکز، گرانش مصنوعی ایجاد میکنند.
من می خواهم بدانم که آیا واقعاً این اتفاق می افتد یا خیر و اگر چنین است، چرا سناریوی زیر درست نیست:یک فضانورد را در فضای باز ببرید. او حرکت نمی کند.
یک استوانه چرخان باز بزرگ دور او قرار دهید - مطمئناً او هنوز حرکت نمیکنه.سیلندر را ببندید. من هنوز دلیلی نمی بینم که او به بیرون کشیده شود.یک فضانورد ثابت را در یک اتاق کوچک در داخل یک استوانه چرخان بزرگ قرار دهید. بعد از یک لحظه دیوارهای آن اتاق به او برخورد میکنه و ناگهان سرعتی برابر با اتاق خواهد داشت. به دلیل حرکت زاویه ای اتاق به سمت محور سیلندر شتاب میگیره. متعاقباً، از طریق نیروی پشتیبانی از کف (کف در سطح استوانه است) فضانورد را نیز به سمت مرکز سیلندر شتاب میده اگر شتاب اتاق $9.81~\rm{ms^{-2}}$ باشه
به سمت مرکز این احساس مانند گرانش معمولی هست بچه های هوپا نکته که نمی توان گرانش یا شتاب را به این صورت احساس کرد (به جز نیروهای جزر و مدی). وزنی که فرد احساس میکنه نیروی پشتیبانی از سطوحه. بیعنی گرانش به گونه‌ایه که شما دائماً توسط کف تحت فشار قرار میگیرین که شما را با سرعت $9.81~\rm{ms^{-2}}$ شتاب میده
در سناریوی من3 عبارتم درسته و اگر چیزی تغییر نکنه فضانوردم از نقطه خود حرکت نمیکنه زیرا دیواره سیلندر از کنار او عبور میکنه با این حال اگر فضانورد به نحوی «لحظه‌ای» به دیواره سیلندر (کف زمین) بچسبه آنگاه سرعت مماسی نقطه‌ای را که به آن میچسبه به دست میاورد و این سرعت مماسی همان چیزیه که او را به دیواره استوانه چسب نگه میداره
آیا در یک ایستگاه فضایی حلقهای یک فضانورد نیروی مرکزگرا centrifugal forceرا احساس میکنه؟
. من درک میدونم که در خود ایستگاه فضایی یک نیروی مرکزگرا $\vec{F}_{centripetal} = \frac{mv^2}{R}$ وجود داره من میدونم گریز از مرکز نیرویی مجازیه که به سمت بیرون بر یک جسم در حال دوران احساس میشه و ناشی از همین حرکت دورانیه${\displaystyle Fc=MV^{2}/R}$ وهمچنین${\displaystyle {\boldsymbol {F}}-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}-2m {\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\right]-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})=m\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{ \mathrm {d} t^{2}}}\right]\ .}$
اعمال میشه که باعث چرخشش میشه و همچنین یک نیروی گریز از مرکز $\vec{F}_{centrifugal} = -m \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r})$
که گرانش "مصنوعی" را ایجاد میکنه. من 2 سوال دارم:
آیا فضانوردی که در کنار ایستگاه فضایی ایستاده نیز همان نیروی مرکزگرا را تجربه میکنه؟
آیا فضانورد نیروی کوریولیس را تجربه میکنه $\vec{F}_{coriolis} = -2m \vec{ω} \times \vec{v}$
ببین نیروی کوریولیس یا اثر کوریولیس Coriolis effect یک شبه نیرویه که باعث انحراف اجسام در حال حرکت به بیرون از راستای خط راست از دید یک ناظر درون یک دستگاه مرجع چرخانه${\displaystyle {\vec {F}}_{C}=-2\,m\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}}$نیروی گریز از مرکز نتیجه اینرسیه در حالی که نیروی کوریولیس نتیجه چرخشه. نیروی گریز از مرکز عمود بر محور چرخش عمل میکنه در حالی که نیروی کوریولیس عمود بر سرعت جسم متحرک عمل میکنهشتاب گریز از مرکز در جهت بیرون از مرکزه. شتاب کوریولیس متناسب با سرعت جسم نسبت به فریم چرخانخ. در جهت عمود بر حرکت جسمه .
نیروی کوریولیس متناسب با سرعت چرخش و توان دوم نیروی گریز از مرکز میباشد. نیروی کوریولیس در جهت عمودی با محور چرخشه و با سرعت جسم در محور مختصات چرخش متناسبه. نیروی گریز از مرکز به سمت خارج در جهت چرخش حرکت میکنه و با فاصله جسم از محور مختصات چرخشی نیز متناسب میباش ببین نیروی کوریولیس $\vec F_{\text{coriolis}} = -2m \, \vec \omega \times \vec v$
فقط به سرعت بستگی دارد نیروی گریز از مرکز$\vec F_{\text{centrifugal}} = -m \, \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r)$ فقط به موقعیت بستگی دارد
فرض کنید در لبه یک چرخ و فلک عظیم ایستادین. شما یک نیروی را احساس میکنین که به نظر میرسه شما را به بیرون هل میدهد. این نیروی گریز از مرکزه
نیروی گریز از مرکز نیروییه که شما احساس می کنید زیرا در فاصله معینی از محور چرخش قرار داری. $\vec{F}_{\rm centrifugal} = m~\vec{\omega} \times (\vec{r} \times \vec{\omega})$
حالا تصور کنید که در بالای چرخ و فلک شناور هستین و نسبت به زمین ثابت هستید و من جای شما را در چرخ و فلک گرفته ام. اکنون با سرعت ثابت شروع به راه رفتن به سمت مرکز چرخش می کنم. وقتی در لبه هستم با مقداری سرعت مماسی حرکت می کنم، $v_{\rm tan}$. وقتی به سمت مرکز نزدیکتر میشوم هیچ چیز نمیتواند مانع حرکت من با همان سرعت بشه بنابراین با وجود اینکه فکر می کنم در یک خط مستقیم حرکت می کنم، می بینید که من از مسیر خارج می شوم و در طول مسیر حرکت میکنم. مسیر منحنی این نیروی ظاهری نیروی کوریولیس نامیده میشود. $F_{\rm Coriolis} = 2m (\vec{v} \times \vec{\omega})$
. همانطور که می بینید، این به موقعیت شما در چرخ و فلک بستگی ندارد، فقط به سرعت شما و سرعت زاویه ای چرخ و فلک بستگی دارد.
نیروی کوریولیس نیرویی است که شما احساس می کنید زیرا در چارچوب مرجع چرخان در جهت شعاعی حرکت می کنید.
تنها نیروی واقعی که بر فضانورد اثر میزاره نیروی مرکزگرا ست (اگر گرانش را کنار بزارم اما اگر فرض کنم ایستگاه فضایی و همه چیز در آن در سقوط آزاده میتونم گرانش را نادیده بگیرم).
با این حال اگر فضانورد جسمی را رها کنه در چارچوب مرجع چرخان ایستگاه فضایی به زمین میافته. فضانورد این حرکت را به نیروی شعاعی بیرونی به نام نیروی گریز از مرکز نسبت میده. در واقع هیچ نیرویی به جسم در حال سقوط وارد نمیشه- این جسم در یک خط مستقیم با سرعت ثابت حرکت میکنه و این کف ایستگاه فضاییه که برای رهگیری جسم شتاب میگیره. به نظر میرسه این شی فقط نسبت به ایستگاه فضایی در حال سقوطه
هنگامی که فضانورد به دقت جسم را مشاهده میکنه میبینه که نسبت به ایستگاه فضایی مستقیماً به پایین نمیافته بلکه مسیر کمی منحنی را دنبال میکنه. این انحراف از یک خط مستقیم را به نیروی دیگری - نیروی کوریولیس - نسبت میده که در زوایای قائم با سرعت جسم عمل میکنه این یک نیروی واقعی نیست - این صرفاً یک اندازه‌گیری حرکت جسم نسبت به یک قاب مرجع چرخانه
معادلات حرکت در این قاب دقیقاً مثل معادلات اینرسی نیوتنیه که باید در قاب دکارتی ثابت استفاده بشه یک$-\Omega \times (\Omega \times r)$ وجود داره
$-2\Omega \times v_r$ . این نمیگه که همه چیز متفاوته. میگه که اگر میخواین حرکت را در یک قاب چرخشی مشاهده کنین با معادلاتی که در قاب اینرسی اومده سازگار باشه. آنها نیرو نیستن
جاذبه مصنوعی
ساختاری را در نظر بگیرین منظور ایجاد گرانش مصنوعی حول محوری از وسط آن عمود بر محور بلند میچرخه.
با فرض چرخش ساختار با سرعت زاویه ای ثابت ω، دو اتفاق میفته
فرد کاهش شتاب شعاعی را احساس میکنه که توسط $\omega^2r$ داده میشه . این به این دلیله که r فاصله او از مرکز در حال کاهشه
شخص شتاب دیگری را در جهت مماس بر اثر نیروی خیالی به نام نیروی کوریولیس احساس میکنه. این شتاب $2\vec \omega \times \vec v$داده میشه . این نیرو توسط جسمی که در یک چارچوب چرخشی مرجع حرکت میکنه تجربه میشه. چون که فرد دارای سرعت شعاعی v هست به طور شعاعی به سمت داخل او این نیرو را احساس میکنه و در واقع به هر یک از دیواره های جانبی رونده میشه
در مورد کل گرانش مصنوعی احساس شده توسط شخص شتاب خالصی که او احساس میکنه $a = \sqrt{(\omega^2r)^2+(2\omega v)^2}$
این به فاصله او از مرکز و سرعت حرکت شعاعی او به سمت داخل بستگی داره. به علاوه جهت نیز تغییر میکنه.
پرتاب یک توپ در یک ایستگاه فضایی در حال چرخش
به سناریوی زیر فکر کرده ام . فرض کنید در یک سفینه فضایی استوانه‌ای ایستادین که برای شبیه‌سازی گرانش میچرخه (مثلاً یک استوانه O'neill). اگر یک توپ را مستقیماً بالای سر خود پرتاب کنید چه اتفاقی میفته
هنگامی که توپ از دست شما خارج میشه هیچ نیرویی روی آن وارد نمیشه (فرض کنید مقاومت هوا ناچیزه). اگر فکر می کنم که توپ با سرعت ثابت به حرکت خود ادامه میده اما این نتیجه گیری احتمالا اشتباهه یا درسته
تصور کنین که من توپ را در فضا قرار دادم و سفینه فضایی را در اطراف توپ ساختم سپس شروع به چرخش سفینه فضایی کردم. هرکسی که در سفینه فضایی ایستاده احساس میکنه1g روی پاهای خود اعمال میشه و بنابراین به نظر میرسه شبیه سازی گرانش به خوبی کار میکنه. اما سپس آنها توپ را میبینند که بالای سرشان شناوره و هیچ نیرویی روی آن وارد نمیشه چرا گرانش روی توپ اعمال نمیشه
فرض کنید توپ از نقطه ای روی زمین به سمت بالا (یعنی نیرویی در جهت شعاعی اعمال میشه) شلیک شده . از دید یک ناظر اینرسی خارجی در واقع در یک خط مستقیم حرکت میکنه در جهت بردار سرعت در زمانی که از کف خارج شد ترکیبی از سرعت مماسی ناشی از چرخش و سرعت شعاعی ناشی از نیرویی که آن را بالا شلیک کرد. این یعنی که مسیر آن یک وتر از دایره ای هست که توسط کف ایستگاه تعریف شده بنابراین از دید کسی که روی زمین قرار داره به نظر میرسه که تا حداکثر ارتفاع بالا میره سپس به سمت پایین به سمت زمین سقوط میکنه.
توپ سرعت کلی بیشتر و مسافت کمتری برای طی کردن نسبت به نقطه روی زمینی که از آن به سمت بالا پرتاب شده داره بنابراین دقیقاً در همان نقطه از زمین فرود نمیاد. در قاب چرخان ایستگاه بر حسب نیروی کوریولیس توضیح داده میشه یک نیروی ساختگی وابسته به سرعته که در قاب های چرخان همراه با نیروی گریز از مرکز دیده میش
من روشمو گسترش میدم که در آن توپ نسبت به مرکز ایستگاه در حالت استراحت قرار داره در بالای یک موقعیت ثابت قرار نمیگیره. از آنجایی که ناظر اینرسی طبقه را در حال چرخش از کنار آن میبیند. بنابراین از روی عرشه ایستگاه به نظر میرسه که نسبت به زمین به سمتی پرواز میکنه و ارتفاع ثابتی را حفظ میکنه مثل اینکه در یک مداره . باز هم، عدم سقوط آن به سمت پایین را می توان در قاب چرخان بر حسب نیروی ساختگی کوریولیس توضیح داد.
برای معادلات واقعی ابتدا ω را تعریف میکنم سرعت زاویه ای چرخش ایستگاه همانطور که در قاب اینرسی که مرکز ایستگاه در حالت سکونه (اگر T دوره زمانی یک چرخش کامله سپس $\omega = 2\pi / T$
). سپس در قاب چرخشی که هر نقطه از سطح ایستگاه در حال سکونه نیروی گریز از مرکز بر جسمی به جرم m در شعاع r از مرکز دارای مقدار $mr\omega^2$ هست
و جهت بردار نیروی گریز از مرکز همیشه به صورت شعاعی به سمت بیرون از مرکزه نیروی کوریولیس بر جسمی با جرم m در سیستم مختصات دوار با$-2m (\vec{\Omega} \times \vec{v})$داده میشه
، جایی که $\vec{\Omega}$ بردار چرخشی است که مقدارش برابر ω هستش و جهت آن موازی با محور چرخش ایستگاهه (این بردار با قانون سمت راست تعیین میشه نماد در $(\vec{\Omega} \times \vec{v})$ یعنی حاصل ضرب متقاطع دو برداره که بردار جدیدی با مقدار$\omega v \sin (\theta)$میده (جایی که ω مقدار $\vec{\Omega}$ هستش یعنی سرعت زاویه ای v مقدار $\vec{v}$
یعنی سرعت و θ زاویه بین دو بردار $\vec{\Omega}$ و $\vec{v}$
جهتی که توسط قانون دست راست داده شد دلیل علامت منفی در معادله نیروی کوریولیس نیروی کوریولیس در جهت مخالفه ($(\vec{\Omega} \times \vec{v})$)
میبینین که اگر یک جسم دارای بردار سرعتی باشه که مماس بر دایره ای در اطراف محور چرخش (مثل مقطع دایره ای سطح داخلی ایستگاه) و در جهت مخالف چرخش ایستگاه باشه (بنابراین اگر ایستگاه در جهت عقربه های ساعت بچرخه بردار سرعت جسم باید در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت باشه) سپس بردار نیروی کوریولیس به صورت شعاعی به سمت داخل مخالف بردار نیروی گریز از مرکز که به صورت شعاعی به سمت بیرون اشاره میکنه قرار میگیره. مقدار نیروی کوریولیس در این حالت $2mωv$ هست
و چون که مقدار بردار نیروی گریز از مرکز $mr\omega^2$ یعنی که اگر$ v=rω $ نیروی کوریولیس $2mr\omega^2$خواهد بود
دو برابر گریز از مرکز بنابراین مجموع آنها نیروی $mr\omega^2$ هست
با اشاره به مرکز و همانطور که اتفاق می افتد، شرط یک مدار دایره ای اینه که اگر جسم در حال گردش شعاع r داشته باشه و یک سرعت کاملا مماسی v
باید نیروی درونی$mv^2 /r$ را تجربه کنه چون که جسم دارای سرعت مماسی v=rω هستش نیروی داخل مورد نیاز $m (r\omega)^2 /r = mr\omega^2$ هستش
، که دقیقاً همان چیزیه که من برای مجموع نیروهای گریز از مرکز و کوریولیس پیدا کردم. بنابراین، جسمی با این سرعت در قاب دوار پیش‌بینی میشه که با شعاع ثابت به مدار میچرخه و هرگز به کف ایستگاه نزدیکتر نمیشه. و دوره برای این مدار $T = 2\pi r / v = 2\pi r / (r\omega) = 2\pi / \omega$ هستش
که دقیقاً همان دوره چرخش ایستگاه است که در قاب استراحت اینرسی ایستگاه دیده میشه. یعنی که جسمی که به این شکل در حال چرخشه همانطور که در قاب چرخان دیده میشه به سادگی در قاب استراحت اینرسی ایستگاه در حال سکوننه تصور کنید که من توپ را در فضا قرار دادیم، و سفینه فضایی را در اطراف توپ ساختیم، سپس شروع به چرخش سفینه فضایی کردیم. هرکسی که در سفینه فضایی ایستاده احساس می کند 1g روی پاهای خود اعمال میشن و بنابراین به نظر میرسه شبیه سازی گرانش به خوبی کار میکنه. اما سپس آنها توپ را میبینند که بالای سرشان شناور است و هیچ نیرویی روی آن وارد نمیشه و تعجب میکنن که چرا این گرانش روی توپ اعمال نمیشه
توپ در این مورد یک قاب مرجع اینرسیه. اگر این کار را انجام بدین توپ نمیافته. چون تحلیلم درسته زیرا شما یک چارچوب مرجع اینرسی هستید. افراد در حال چرخش در ایستگاه در این مورد نیست. در چارچوب مرجع خود آنها توپ را در حال چرخش ایستگاه در حالی که حرکت نمیکنه میبینند. یعنی در این حالت توپ در حال شتاب گرفتنه در حالی که آنها حرکت نمیکنن. از آنجایی که این نیرو در واقع وجود نداره (چون افراد یک چارچوب مرجع اینرسی معتبر نیستن) به آنها نیروهای اینرسی میگم اگر در یک مثال خاص توپ دقیقاً در محور چرخش ایستگاه باشه آنها حرکت نکردن توپ را می بینن در حالی که حرکت نمیکنه. اما توپ نیز سقوط نمیکنه زیرا در چارچوب مرجع آنها گرانش به شعاع r بستگی داره از مرکز به سطح و از آنجایی که توپ دقیقاً در محور قرار داره r=0 و بدون جاذبه برای توپ در این قاب غیر اینرسی.
فقط برای ثبت در چارچوب مرجع غیر اینرسی افراد در ایستگاه فضایی در حال چرخش شتاب غیر اینرسی مسئول گرانشه $g = \omega^2 r$ وω سرعت زاویه ای ایستگاهه و r فاصله یک نفر از محور مرکزی
حال چارچوب مرجع غیر اینرسی افراد در ایستگاه را در هر دو روشم بررسی کنم. تمام نیروهای غیر اینرسی $\mathbf g = \mathbf\omega\times (\mathbf\omega\times\mathbf r), \quad\quad
\mathbf a_c = 2\mathbf\omega\times\mathbf v$جایی که g شتاب گرانش گریز از مرکز،و $\mathbf a_c$ شتاب کوریولیسه v سرعت توپ در این مرجع غیر اینرسیه. آن ها بردار هستند. محصول متقاطع
بین بردارها بردار عمود بر هر دو را به طور همزمان برمیگردونه بنابراین در یک توپ متحرک با توجه به چارچوب مرجع اینرسی کل شتاب های غیر اینرسی $a_t = 2\omega v - \omega^2 r$جهت شعاعیه که به محور مرکزی اشاره داره. بنابراین می‌تونیم ببینیم که گرانش گریز از مرکز شما را دور میکنه و کوریولیس به سمت داخل. اگر توپ در محور مرکزی باشد: r=0 و v=0
، بدون شتاب وجود خواهد داشت. اگر توپ در محور مرکزی نباشه: $a_t = 2\omega v - \omega^2 r$ از آنجایی که این مورد کوریولیس بزرگتره مثل یک نیروی مرکزگرا" عمل میکنه که از رسیدن آن به زمین جلوگیری میکنه و حرکت آن را دایره ای نگه میداره
