گشتاور پارادوکس ، در مورد اصطکاک و دو جسم چرخان

[rohamavation]

گشتاور پارادوکس در مورد اصطکاک و دو جسم چرخان
من یک دیسک چرخش شماره 1 دارم که از طریق یک محور به یک دیسک شماره 2 متصله و شخصی روی اونه دیسک شماره 1 از طریق نیروی وارد شده در لبه گشتاوری در حدود محور از شخص داره و باعث چرخش CCW میشه. فرد و دیسک شماره 2 به دور محور با جهت CW میچرخه.اما چگونه شخص برای انجام این کار حرکت میکنه یا گشتاور دریافت می کند؟ واکنش نیروی وارد شده به شخص توسط اصطکاک حاصل از دیسک شماره 2 لغو میشه. از آنجا که در شعاع برابر هستند گشتاورها لغو میشن. نیروی اصطکاک دیسک شماره 2 از نیروی محور لغو میشه. با این حال یک گشتاور خالص بر روی دیسک شماره 2 وجود داره. جهت کلی سیستم x (دیسک شماره 1 دیسک شماره 2 و شخص) به دلیل داخلی بودن آن لغو میشه. گشتاور تنها دیسک شماره 2 است با این وجود شخص با دیسک میچرخه؟
واکنش نیروی وارد شده به شخص توسط اصطکاک حاصل از دیسک شماره 2 لغو میشه
این اتفاق نمی افتد ما می توانیم اصطکاک بین شخص و disk2 را کافی بدونم تا لغزنده نشود. بنابراین شخص و disk2 را می توان یک شی جامد واحد در نظر گرفت.
هنگامی که فرد به disk1 فشار می آورد یک زوج نیرویی ایجاد میشه. دیسک 1 در یک جهت نیرو داره (که باعث ایجاد گشتاور میشه) و جسم disk2 / person در جهت دیگر نیرو داره (که در جهت دیگر گشتاور ایجاد میکنه
اصطکاک در اینجا فرد را به disk2 متصل میکنه گشتاور را لغو یا از بین نمیبره
اما آیا وقتی آنها را خراب می کنم اصطکاک و نیروی واکنش دیسک شماره 1 بر روی فرد لغو نمیشه؟
نه نیروی اصطکاک باید کوچکتر باشه بنابراین لغو نمیشن. بیایید از نزدیک به اصطکاک نگاه کنیم. این زوج دیگری را تشکیل می دهد یک قسمت از نیرو روی فرد "رو به جلوه(همان جهتی که فرد دیسک 1 را هل می دهد) و قسمت دیگر روی دیسک 2 عقبه.این قسمت دوم از نیروی اصطکاک چیزی برای مقابله با آن نداره. میتوانیم آن را $F = ma$ نشان دهیم جایی که نیروی اصطکاک disk2 را تسریع می کند. از آنجا که فرد به دیسک متصله فرد نیز شتاب میگیره.
اگر می خواهید به شخص و دیسک ها به عنوان 3 عنصر نگاه کنید دیگر هیچ نیرویی در دیسک 1 وجود نداره و اصطکاک لغو کننده دیسک 2 وجود نداره. هر دو باعث شتاب و حرکت میشن.اگر فرد نسبت به دیسک پایین بی حرکت بماند (شماره 2) پس یک اصطکاک ایستا وجود داره زیرا فرد شتاب میگیره. شما جهت نیروی اصطکاک را نمیدونید اما هم دارای اجزای شعاعی و هم مماسیه. م radلفه شعاعی اصطکاک دارای اندازه ای خواهد بود
$|a_r|=m\omega^2 r$و جز component مماس خواهد بود$|a_t|=m\alpha r,$جایی که α شتاب زاویه ای سیستم دیسک شخص / # 2 است.دیسک شماره 1 اصطکاک ایستایی به طور مماس بر روی دستهای فرد ایجاد میکنه اما تنه بدن به دلیل نیروهای عضلانی تسریع میشه. اگر حرکت فرد شتاب در اطراف محور باشه باید یک گشتاور خالص روی فرد در مورد آن محور داشته باشه. این گشتاور خالص از دو اصطکاک ایستای مماس حاصل میشه که نیروهای جداگانه ای هستند و این مساله مساوی نیست با این واقعیت که شتاب فرد نسبت به دیسک شماره 1 مشخصه برابر نیست. گشتاورها مقابل هم هستند اما برابر نیستند! اصطکاک ایستایی فرد روی دیسک شماره 2 گشتاور مربوط به محور شماره 2 را تولید میکنه و شتابهای زاویه ای با تعریف مشکل شما یکسان هستند. اگر آنها یکسان نباشند فرد نسبت به هر دو دیسک حرکت می کند.
من می خواهم سیستم زیر را تجزیه و تحلیل کنم جایی که جرم محور ناچیزه و چرخ میچرخه.
بخصوص من باید مقدار گشتاور مربوط به نقطه اتصال رشته با محور را محاسبه کنم.
متأسفانه بسته به روش کار من دو جواب متفاوت میگیرم:
راه اول (و صحیح)
با در نظر گرفتن کل سیستم چرخ و محور دو نیرو وجود داره. وزن با نقطه استفاده از مرکز جرم چرخ ؛ و نیرویی با اندازه برابر اما جهت مخالف با نقطه کاربرد مکانی که رشته با محور ملاقات می کند. بنابراین یک گشتاور خالص وجود داره.
راه دوم (و اشتباه)
با در نظر گرفتن فقط چرخ دو نیرو یکسانن اما هر دو به مرکز جرم چرخ اعمال میشن. بنابراین هیچ گشتاوری وجود نداره.
اساساً شما می پرسید که چرا فراموشی از گشتاور خالص در سیستم اشتباهه و پاسخ واضح آن اینه که شما نمیتونیدتغییر در حرکت زاویه ای را بدون گشتاور به درستی حساب کنید.
معادلات خطی حرکت نیروی خالص را به حرکت مرکز جرم مربوط میکنه.$\boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a}_C$
$\boldsymbol{T}_C = \mathtt{I}_C \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathtt{I}_C \boldsymbol{\omega}$
معادلات چرخشی حرکت گشتاور خالص را به حرکت مرکز جرم مربوط میکنه.
با فراموشی از گشتاور خالص شما به درستی برای نیروهای ژیروسکوپی حساب نمیکنید.
گشتاور M برابر و مخالفه که بر روی چرخ کار میکنه به طوری که نیروهای موجود در محور را متعادل میکنه
معادله و جریان برنولی در یک لوله - پارادوکس
من در حال مطالعه معادله برنولی هستم و با مشکلی روبرو هستم. معادله برنولی در امتداد یک جریان ساده و در شرایط جریان ثابت قابل اجراست (حدس میزنم این شرط برای اطمینان از این باشه که می تواند همیشه اعمال بشه
حال بگویید من می خواهم سرعت جریان را در یک سطح مقطع خاص از یک لوله با مقاطع مختلف محاسبه کنم. حال فرض کنید من یک فشار سنج را بین این دو سطح مقطع خاص قرار داده ام که به من تغییر فشار بین این دو مقطع در امتداد لوله می دهد$\Delta P = \frac{\rho (v_1^2 - v_2^2)}{2} + \rho g \Delta z$در اینجا $v_2$ سرعت مقطعیه که می خواهیم در آن سرعت را محاسبه کنیم. اکنون ما $ΔP$ را می شناسیم $Δz$ را می دانیم (فرض کنید که در حال محاسبه یک خط افقی هستیم).
اکنون جالبه که در تمام افرادی که سرعتی که محاسبه میکنند همه فرض میکنند که آن از سطح مقطع یکنواخت باشه. چرا؟ معادله برنولی در امتداد یک خط ساده قابل اجراست و هر نقطه شروع یک نقطه پایان متفاوت داره و از این رو یک جریان متفاوت داره. چرا در زمین همه سرعت یک سطح مقطع را یکسان فرض می کنند.توضیح این فرض برای اکثر فرضیات یکسانه زیرا مسئله را آسانتر می کند. این معادله (به طور کلی) به دلیل فرضیاتی که هنگام استخراج معادله بیان شده برای یک جریان ساده اعمال میشه. بسیاری به اشتباه قانون برنولی را به اصل صرفه جویی در انرژی نسبت می دهند در حالی که در واقع این نتیجه مستقیماً از معادله حرکت خطی نیوتنه. از تجزیه و تحلیل نیروی نسبتاً مستقیم یک توده سیال دیفرانسیل می توان نشان داد که
$-\frac{\partial p}{\partial s}=\rho a_s=\rho v\frac{\partial v}{\partial s},
$و$+\frac{\partial p}{\partial n}=\rho a_n=\rho\frac{v^2}{R}, \tag{roham}$که در آن $p$ فشار استاتیکیه $ρ$ چگالی سیال a شتاب محلیه $v$سرعته $R$ شعاع محلی انحناست و s و n به ترتیب coodinates منحنی در امتداد و به ترتیب نرمال هستند. از دیفرانسیل جزئی استفاده میشه زیرا فشار و سرعت (به طور کلی) در دو جهت n و s تغییر می کنند. حال اگر تحلیل خود را فقط به تغییرات موجود در جریان محدود کنیم می توانیم تفاوت های جزئی اصلی را در (1) با تفاوت های دقیق جایگزین کنیم. تنظیم مجدد این به ما می دهد$\frac{dp}{ds}+\rho V\frac{dV}{ds}=0, \tag{roham}$که می تواند بیشتر در معادله کلاسیک دیفرانسیل برنولی ساده شود:$\frac{dp}{\rho}+VdV=0. \tag{iv}$این نسخه از معادله (با فرضیات ذاتی که سپس برای ارائه نسخه کتاب کلاسیک Eqn برنولی ادغام میشه. $p + 1/2ρV^2 = p0$
چرا ما این کار را می کنیم؟ خوب چندین موقعیت جریان وجود داره که تقریباً معتبره (به عنوان مثال جریان های غیر متحرک) که فشار رکود در همه جا یکنواخته و فقط یک بار باید محاسبه شود. برای جریانهای چسبناک هنوز می توان از معادله برای تعیین فشار رکود در یک مکان مشخص در جریان استفاده کرد اما نباید انتظار داشت که فشارهای رکود بین خطوط جریان برابر باشه
پارادوکس قانون استوکس قانون استوکس بیان میکنهکه نیروی حرکت در کره آهسته (یعنی Re≪1) در مایعه
$F_d = 6 \pi \mu R V$
در دو بعد ما با مشکل روبرو هستیم (در اطراف دیسک در 2d یا در اطراف سیلندر در 3D جریان پیدا کنید) زیرا هیچ مشکلی برای مشکل استوکس وجود نداره (معروف به پارادوکس استوکس) اما با تجزیه و تحلیل بعدی هنوز می توان نتیجه گرفت که$F_d = C \mu V$
من چند آزمایش عددی معادله Navier-Stokes برای اعداد کوچک رینولدز انجام دادم و دریافتم که $F_d$ واقعاً به R و $C\approx 4\pi$ بستگی نداره.به نظر من کاملاً ضد شهودیه که نیرو در 2D به شعاع دیسک بستگی نداره. کار اشتباهی انجام داده ام؟ یا واقعاً به شعاع دیسک بستگی نداره؟
تنها چیزی که به شعاع دیسک بستگی داره دامنه قابل قبول سرعت ورودیه. اگر R را افزایش می دهید باید حداکثر V را کاهش دهید تا از شرایط Re≪1 اطمینان حاصل کنید.تناقض رخ می دهد زیرا اعتبار معادلات استوکس به کوچک بودن عدد رینولدز متکیه این امر در 2D اینگونه نیست زیرا در زمینه دور نمی توان اینرسی را نادیده گرفت و بنابراین فقط یک نیروی وابسته چسبناک امکان پذیر نیست. در عوض تجزیه و تحلیل اختلال با استفاده از معادلات اوسین (معروف به تقریب اوسین) مورد نیازه که منجر به شکلی از کشش استوکس در ضریب تعدیل ضریب ضرب میشه که به عدد رینولدز بستگی داره.