هرچه اینرسی چرخشی بیشتر باشه تغییر سرعت چرخش یک جسم دشوارتره. قانون اول نیوتن، قانون اینرسیه در مورد اجسام در حال چرخش اعمال میشه جسمی که حول یک محور داخلی میچرخه تمایل داره به چرخش حول آن محور ادامه بده وضعیت مشابه گرفتن وزنه و آویزان کردن آن از طنابه. ثابت نگه داشتن آن در مقابل شما مستلزم فعال شدن عضله تونه اما اگر شروع به چرخیدن به اطراف خود کنید نیروی مرکزگرا (+تنش) وزن را بالا نگه میداره و اکنون فقط باید نیروی گریز از مرکز را به داخل وارد کنید تا از ایجاد آن جلوگیری کنید. دور شدن از شما یعنی کشیدن در جهت افقی تر و به این ترتیب عضله دوسر شما می تواند به جای شانه با پشت شما کار کنه فکر کنم متوجه شدم بستگی به این داره که در چه ارتفاعی او را بچرخانیم. اگر آن را زیر سطح شانه خود بچرخونیم وزن کمتری به نظر میرسه. اما اگر بالاتر از سطح شانه خود بچرخیم وزن بیشتر به نظر میرسه.، جسم در حال چرخش در دست تمایل به دور شدن از ما داره. این توسط محدودیتی که دست ما نمی تواند بلندترشه جلوگیری میشود. نکته مهم این است که این نیرو$F_{constrain}$ میکنه
توسط عضلات دست ما تامین نمیشه
.حال، هنگامی که بدن چرخان زیر سطح شانه ما قرار داره این $F_{constrain}$ دارای یک جزء رو به بالا $_{\perp} F_{constrain}$ که به سمت بالا روی جسم عمل میکنه و وزن را کاهش میده. عضلات بیرونی دست فقط باید نیروی باقی مانده مورد نیاز را تامین کنه. از این رو F کوچیکه
اگر بالاتر از سطح شانه است، ⊥F محدود کنید به سمت پایین عمل می کند و ماهیچه های دست ما باید نه تنها وزن جسم را تحمل کنند بلکه جزء رو به پایین این نیروی محدود کننده را نیز تحمل کنند و آن را سنگین تر کنند.
وقتی میچرخید بدن‌تان شتاب بیشتری میگیره حالا اگر دوستتان را در حین چرخیدن بگیرید راحت‌تر میتونید او را بلند کنید
روی یک صندلی بنشینید وهر ازیک از وزنه ها را در هر دست و بازوهایتان دراز کنید.
از دوستون خود بخواهید به آرامی شما را بچرخونه و در حالی که صندلی همچنان به چرخش ادامه میده به سرعت وزنه ها را به سمت بدن خود بکشید و متوجه شوید که سریعتر میچرخید.
قانون اینرسی نیوتن
یک قانون معادل برای چرخش اجسام وجود داره. یک جسم در حال چرخش تمایل داره با یک تکانه زاویه ای ثابت در حال چرخش باقی بمونه مگر اینکه توسط یک نیروی چرخشی بیرونی به آن وارد بشه تعریف تکانه زاویه ای پیچیده تر از تکانه خطیه. تکانه زاویه ای حاصل ضرب دو کمیت به نام های سرعت زاویه ای و گشتاور اینرسیه.
ممان اینرسی هم به جرم یک جسم و هم به نحوه توزیع آن جرم بستگی داره. هر چه جرم از محور چرخش دورتر باشه گشتاور اینرسی بزرگتره بنابراین ممان اینرسی شما زمانی که بازوهای شما در دو طرف نگه داشته می شوند کوچکتر و زمانی که بازوهای شما مستقیماً به سمت بیرون کشیده می شوند بزرگتره
اگر حرکت یک سیستم دوار تحت تأثیر نیروی پیچش خارجی قرار نگیره تکانه زاویه ای برای این سیستم حفظ میشه به این معنی که تکانه زاویه ای ثابت میمونه
به یک بالرین فکر کنید دستاشو جمع میکنه سریعتر میچرخه من تو گوشیم یک ویدیو دیدم
نیروهای روی یک رقصنده متعادل: گرانش (به پایین می کشد، با c.g. عمل می کند) + حمایت از زمین (هل به بالا، عمل در پاها) ممان اینرسی است. ممان اینرسی، که با معادله $I=\sum mr^2$ برابر است با جرم یک جسم (m) ضربدر مجذور فاصله از لبه جسم تا محور چرخشش در مورد اسکیت باز یک توضیح بدم
ما از مختصات قطبی برای توصیف موقعیت بازوها استفاده میکنم. مختصات شعاعی r بازوی 1 تابعی از مختصات زاویه ای آن θ هستش r=f(θ)با تعریف $\omega = \dot{\theta}$ من دارم
$\dot{r} = f'\omega$ و$\ddot{r} = f''\omega^2 + f'\dot{\omega}$ شتاب در مختصات قطبیه
$\vec{a} = \hat{r}(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) + \hat{\theta}(2\dot{r}\dot{\theta} ^2 + r\dot{\omega})$
نیروی وارد بر این بازو توسط قانون دوم نیوتن $\vec{F} = m\vec{a}$محاسبه میشه . نیرویی که بازو بر چوب وارد میکنه بر اساس قانون سوم نیوتن منفیه
همانطور که چوب میچرخه نیروی بازو روی چوب روی چوب کار میکنه که به انرژی جنبشی اسکیت باز میره (خود چوب جرم نداره). سرعت نقطه روی چوب که در آن نیرو اعمال میشه$\vec{v} = f\omega\hat{\theta}$ است.$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = -2m\omega f(2f'\omega^2 + f\dot{\omega})$
این میزان تغییر انرژی جنبشی اسکیت بازه. که انرژی جنبشیه $T = \frac{1}{2}M (R \omega)^2$با R شعاع اسکیت باز اگر توان را با مشتق زمانی انرژی جنبشی برابر کنم$MR^2\dot{\omega} = -2mf(2f'\omega^2 + f\dot{\omega})$و$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(\omega(MR^2 + 2mf^2)\right) = 0$ که در زمان تغییر نمیکنه - یک کمیت حفظ شده. به آن تکانه زاویه ای و قسمت$MR^2 + 2mf^2$میگم ممان اینرسی تکانه زاویه ای همون Lهست $L = \omega(MR^2 + 2mr^2)$زیرا Lثابته من می تونمω را پیدا کنم
$\omega = \frac{L}{MR^2 + 2mr^2}$از جانب $\frac{\textrm{d}\omega}{\textrm{d}r} = \frac{-4m L r}{(MR^2+2mr^2)^2}$
بالا میره بنابراین اسکیت باز هر چه بازوشو جمع میکنه سریعتر و سریعتر میره دقیقا همون بالرین که میچرخه
از جمله بدن یک خانم بالرین - تکانه زاویه ای J ممکنه به عنوان حاصل ضرب ممان اینرسی I بیارم و فرکانس زاویه ای ω
J=Iωممان اینرسی I تقریبا برابره $I = MR^2$بنابراین اگر بالرین دربازوهاشو جمع کنه به محور نزدیکترمیشه و R کاهش میده. جرم اون M تغییر نمیکنه اما ممان اینرسی I نیز کاهش میاد زیرا J=Iω
باید حفظ بشه و $I$ کاهش میاد ω ناگزیر افزایش میاد سریعتر میچرخه افزایش فرکانس زاویه ای چرخش را بر حسب نیرو و گشتاور. اگر بازوها به محور نزدیکتر شون گشتاوری به بالرین وارد میکنند که سرعت او را افزایش میده.
انرژی جنبشی بالرین چگونه افزایش میاد؟انرژی جنبشی بالرین چگونه افزایش می یابد؟
حفظ تکانه زاویه ای:$L_1=L_2 \implies I_1\omega_1=I_2\omega_2\quad\quad (roham_1)$
کشیدن در بازوها ممان اینرسی I را کاهش میده از اونجایی که همان جرم اکنون در حجمی نزدیکتر به مرکز چرخش توزیع شده $I=\sum mr^2$ پس
$I_2<I_1$، به معنی افزایش سرعت زاویه ای $\omega_2>\omega_1$ است.بقاء انرژی $E_1=E_2 \implies K_1+W=K_2 \implies \frac{1}{2}I_1\omega_1^2+W=\frac{1}{2}I_2\omega_2^2\quad\quad (roham_2)$انرژی جنبشی نیز تحت تأثیر کاهش ممان اینرسی قرار میگیره. بدون کار اضافه شده W=0 کاهش I بنابراین $I_2<I_1$ ، مانند قبل $\omega_2^2>\omega_1^2$
. سرعت زاویه ایافزایش میاد اما یک کلینچ وجود داره برای W=0 این دو معادله معلومه که به سرعت زاویه ای یکسان $\omega_2$ باعث تمیشه . پس W>0 باید اینطور باشه ترکیب معادلات $\omega_1=\frac{I_2}{I_1}\omega_2$ حالا$\frac{1}{2}I_1\left(\frac{I_2}{I_1}\omega_2\right)^2+W=\frac{1}{2}I_2\omega_2^2\implies\\
\frac{1}{2}\frac{I_2^2}{I_1}\omega_2^2+W=\frac{1}{2}I_2\omega_2^2\implies\\
W=\frac{1}{2}I_2\omega_2^2-\frac{1}{2}\frac{I_2^2}{I_1}\omega_2^2=\frac{1}{2}I_2\omega_2^2\left(1-\frac{I_2}{I_1}\right)$
این مقدار کار W باید اضافه بشه. کار ازجایی هست که خود بالرین دربازوهاشو جمع میکنه این نیاز به انرژی از درون سیستم بدن خودش داره از قانون 1 ترمودینامیک$\Delta U=Q-W\implies \Delta U=-W$
جایی که U انرژی درونیه و هیچ افزودنی گرمایی Q وجود نداره تغییر انرژی داخلی U برای انجام این کار باید در بدن فردباشه
